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文檔簡(jiǎn)介
專題10圓
錦程要求
《初中課程要求》平面幾何中直線與圓的位置關(guān)系包含的知識(shí)點(diǎn)較多,方法靈活,抓
住核心概念和基本方法即可,對(duì)定理的本質(zhì)要理解,看到相關(guān)已知
能夠聯(lián)想到需要的定理,常常先分析所求問(wèn)題的路徑,找準(zhǔn)方向,
綜合運(yùn)用條件加以突破.
直線與圓有三種位置關(guān)系:相離、相切和相交.相切和相交是代數(shù)與
幾何研究的重點(diǎn).
高中的學(xué)習(xí)是在初中基礎(chǔ)上更高層次的拓展與延伸。
《高中課程要求》
4身煉燈
一、單選題
1.(2020?重慶復(fù)旦中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試)如圖,。。的直徑AB與弦。。相交于點(diǎn)£,ZBDC=35°.則
NA8C的度數(shù)為()
A.35°B.45°C.65°D.55°
【答案】D
【分析】由圓的性質(zhì)可得NACB=90°,NC4B=N8DC=35°,在直角三角形ABC中,根據(jù)三角形的
內(nèi)角和性質(zhì),可得答案.
【詳解】在圓。。中,AB為宜徑,則ZACB=90°
山圓中同弧所對(duì)的圓周角相等,得NC48=N8OC=35°
所以在直角三角形ABC中,ZABC=ZACB-ZCAB=90°-35°=55°
故選:D
2.(2020北京清華附中高一開(kāi)學(xué)考試)如圖,小、P3是。。切線,4、8為切點(diǎn),AC是直徑,NP=4()°,
C.20°D.10°
【答案】C
【分析】由△P4B為等腰三角形求出NR4B=70",再證明K4_LAC,最后illN3AC=44。一/巳4得
出答案.
【詳解】?.?PA=P8,NP=40°
I?n_40
.?AR鉆為等腰三角形,且NPA8=---------=70°
2
是。。切線,A為切點(diǎn),AC是直徑
:.PA±AC
即ABAC=APAC-NPAB=90°-70°=20°
故選:C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.
3.(2020?福建廈門市?廈門一中高一開(kāi)學(xué)考試)如圖,已知EB是半圓。。的直徑,A是座延長(zhǎng)線上一點(diǎn),
AC切半圓。。于點(diǎn)。,3。,4。于點(diǎn)(7,DF上EB于點(diǎn)、F,若BC=2DF=6,則。。的半徑為()
A.3.5B.4C.2百D.3.75
【答案】D
【分析】根據(jù)圖形,連接OD,作OH1BC于點(diǎn)H,由4c切半圓O。于點(diǎn)D,得到0。J_AC,乂BC_LAC,
則8//5C,易證ADOF三AOBH,得到OH=DF=3,設(shè)。B=QD=r,然后在RhABC中,利用
勾股定理求解.
【詳解】
如圖所示:
連接。D,作點(diǎn)H,
因?yàn)锳C切半圓。。于點(diǎn)。,
所以0DL4C,又BC_LAC,
所以。D//3C,
所以NDOF=NOBH,
又OD=OB,
所以ADOFMAOBH,
所以O(shè)H=O尸=3,
設(shè)OB=OD=r,則BH=6-r,
在R/AABC中,由勾股定理得產(chǎn)=(6-r)2+32,
解得r="=3.75,
4
故選:D
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線的性質(zhì),切割線定理,勾股定理等面積法以及平行線段成比例定理,還考
查了數(shù)形結(jié)合的思想方法,屬于中檔題.
二、填空題
4.(2020?北京清華附中高一開(kāi)學(xué)考試)如圖,是半圓。的直徑,四邊形CPMN和OEFG都是正方形,
其中C,D,E在45匕F,N在半圓上.若AB=10,則正方形CDWN的面積與正方形。EFG的面
積之和是
【答案】25
【分析】連接ONQF,汲CN=x,EF=y,。。=z,由勾股定理得犬十@+z>=25,+(,_%)?=25,
兩式相減得x+z=y,從而可求得f+J
【詳解】連接。N,OF,設(shè)CN=x,EF=y,OD=z,
則f+(x+z)2=25,V+(y-z)2=25,
兩式相減得:2(x+y)(x-y+z)=0,
0x+y>O,0x-y+z=(),即x+z=y,
Six2+(x+z)2=x2+y2=25.
故故答案為:25.
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理,正方形的性質(zhì),題中證明x+z=y是解題關(guān)鍵.
知徂器餅
一、直線與圓的位置關(guān)系
(一)、基礎(chǔ)定義:
1.當(dāng)直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí),叫做直線與圓相離.
2.當(dāng)直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí),叫做直線與圓相切,這時(shí)直線叫做圓的切線.唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).
3.當(dāng)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)(即交點(diǎn))時(shí),叫做直線與圓相交.
4.根據(jù)直線與圓公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況,相應(yīng)得到直線與圓的位置關(guān)系有三種:相離,相切,相交.
(二)、直線與圓位置關(guān)系用數(shù)量關(guān)系描述:
如果的半徑長(zhǎng)為R,圓心。到直線/的距離為"
直線/與。。相交oOV"<R;
直線/與O。相切od=R:
直線,與。。相離
(三)、相關(guān)定理:
1.切線的判定定理:經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
二、點(diǎn)的軌跡
到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為半徑的圓.
和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡,是這條線段的垂直平分線.
到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡,是這個(gè)角的平分線.
"A例周折
一、直線與圓的位置關(guān)系
例1.在同一平面直角坐標(biāo)系中有5個(gè)點(diǎn):A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2.-2).
(1)畫(huà)出4ABC的外接圓。P,并指出點(diǎn)D與。P相的位置關(guān)系:
(2)E點(diǎn)是y軸上的一點(diǎn),若直線DE與。P相切,求點(diǎn)E的坐標(biāo).
【答案】(1)見(jiàn)解析,點(diǎn)D在。P上;(2)E(0,-3).
【解析】(1)如圖所示:
△ABC外接圓的圓心為(-1,0),點(diǎn)D在。P上;
(2)連接PD,
?.?直線DE與OP相切,
,PDJ_PE,
利用網(wǎng)格過(guò)點(diǎn)D做直線的DFJ_PD,則F(-6,0),
設(shè)過(guò)點(diǎn)D,E的直線解析式為:y=kx+b,
VD(-2,-2),F(-6,0),
解得:P--7,
b=-3
...直線DE解析式為:y=-=x-3,
.*.x=0時(shí),y=-3,
:.E(0,-3).
'對(duì)X4稱
1.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(L3)、B(3,3)、C(4.2).
(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出經(jīng)過(guò)點(diǎn)4、8、C三點(diǎn)的OM,并寫(xiě)出圓心M的坐標(biāo);
(2)若D(L4),試判斷直線8。與。M的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)如圖所示見(jiàn)解析,圓心M的坐標(biāo)為(2.1);(2)直線8D與。M相切,理由見(jiàn)解析.
【解析】
(1)如圖所示,OM即為所求.
由圖知,圓心M的坐標(biāo)為(2,1);
(2)連接MB,DB,DM,
???DB=V5,BM=百,DM=
DB2+BM:=DM:,
;.△DBM是直角三角形,
???Z.DBM=90°>
即BMJ.DB,
直線BD與。M相切.
三、點(diǎn)的軌跡
例1.如圖,點(diǎn)4(-4.3),將dABC繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。得到dA'B'C'.
(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出dA'B'C',并寫(xiě)出點(diǎn)4'的坐標(biāo);
(2)求旋轉(zhuǎn)過(guò)程中4點(diǎn)的軌跡長(zhǎng).
【答案】⑴圖形見(jiàn)解析,4*(4-3);(2)5n.
【解析】
解:(1)如圖所示,dA'B'C'即為所求出;1(4.-3);
(2)連接。4
?:0A=V3:+4==5,
,旋轉(zhuǎn)過(guò)程中A點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)=33=57r.
180
對(duì)支幡秣
1.閱讀理解:在平面直角坐標(biāo)系中,若兩點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是P(xi,yi)、
::
Q(X2,y2),則P、Q這兩點(diǎn)間的距離為|PQ|=?(Xi-x;:)+(九一%)二.如P(l,2),Q(3,4),貝U|PQ|=
-3尸+(2-4尸=2丫2.
對(duì)于某種幾何圖形給出如下定義:符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)形成的圖形,叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡.如平
面內(nèi)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線.
解決問(wèn)題:如圖,已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=kx+=交y軸于點(diǎn)A,點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B,
過(guò)點(diǎn)B作直線I平行于x軸.
(1)到點(diǎn)A的距離等于線段AB長(zhǎng)度的點(diǎn)的軌跡是;
(2)若動(dòng)點(diǎn)C(x,y)滿足到直線I的距離等于線段CA的長(zhǎng)度,求動(dòng)點(diǎn)C軌跡的函數(shù)表達(dá)式;
問(wèn)題拓展:(3)若(2)中的動(dòng)點(diǎn)C的軌跡與直線y=kx+=交于E、F兩點(diǎn),分別過(guò)E、F作直線I的垂線,垂
足分別是M、N,求證:①EF是AAMN外接圓的切線;+會(huì)為定值.
【答案】(1)X2+(y-2=1;(2)動(dòng)點(diǎn)C軌跡的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=?2;(3)①證明見(jiàn)解析;②證明見(jiàn)解析.
【解析】(1)設(shè)到點(diǎn)A的距離等于線段AB長(zhǎng)度的點(diǎn)D坐標(biāo)為(x,y),
/.AD2=x2+(y--)2,
直線y=kx+:交y軸于點(diǎn)A,
AA(0,
,/點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B,
AB(0,-=),
.\AB=1,
???點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離等于線段AB長(zhǎng)度,
x2+(y-7)2=1,
故答案為:x2+(y4)2=1;
(2)?.?過(guò)點(diǎn)B作直線I平行于x軸,
二直線I的解析式為y=-t
VC(x,y),A(0,7),
r.AC2=x2+(y-i)2,點(diǎn)c到直線I的距離為:(y+5),
?.?動(dòng)點(diǎn)C(x,y)滿足到直線I的距離等于線段CA的長(zhǎng)度,
x2+(y-i)2=(y+j)2,
二動(dòng)點(diǎn)C軌跡的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=7X2;
(3)①如圖,
設(shè)點(diǎn)E(m,a)點(diǎn)F(n,b),
動(dòng)點(diǎn)C的軌跡與直線y=kx+:交于E、F兩點(diǎn),
.y=k
??s-,,
y=kx+7
/.x2-2kx-1=0,
\m+n=2k,mn=-1,
?.?過(guò)E、F作直線I的垂線,垂足分別是M、N,
/.M(m,-二*?r),N(n,一二),
VA(0,i),
/.AM2+AN2=m2+l+n2+l=m2+n2+2=(m+n)2-2mn+2=4k2+4,
MN2=(m-n)2=(m+n)2-4mn=4k2+4,
.".AM2+AN2=MN2,
AAAMN是直角三角形,MN為斜邊,
取MN的中點(diǎn)Q,
二點(diǎn)Q是AAMN的外接圓的圓心,
Q(k,-
VA(0,i),
直線AQ的解析式為y=-三x+三,
直線EF的解析式為y=kx+:,
/.AQ1EF,
AEF是AAMN外接圓的切線;
②1,點(diǎn)E(m,a)點(diǎn)F(n,b)在直線y=kxW上,
??a=mk+^,b=nk+二,
VME,NF,EF是AAMN的外接圓的切線,
,AE=ME=a+:=mk+l,AF=NF=b+:=nk+l,
.?,+工=-J--=(m+n)k+==2,
AEAFmfc+1+nkflmnk2+(m+n)k+=3j-津
即:三+三為定值,定值為2.
2.在數(shù)學(xué)上,我們把符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)所形成的圖形叫做滿足該條件的點(diǎn)的軌跡.例如:動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)滿
足(m,m-1),所有符合該條件的點(diǎn)組成的圖象在平面直角坐標(biāo)系xOy中就是一次函數(shù)y=x-1的圖象.即
點(diǎn)P的軌跡就是直線y=x-1.
(1)若m、n滿足等式mn-m=6,則(m,n-1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中的軌跡是;
(2)若點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)A(0,1)的距離與到直線y=-l的距離相等,求點(diǎn)P的軌跡;
(3)若拋物線上有兩動(dòng)點(diǎn)M、N滿足MN=a(a為常數(shù),且a24),設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q,求點(diǎn)Q
到x軸的最短距離.
【答案】(1)y=-:(2)丫=入2;(3)點(diǎn)Q到x軸的最短距離為1.
【解析】(1)設(shè)m=x,n-l=y,
Vmn-m=6,m(n-1)=6,xy=6,
???),=:,J(m,n-1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中的軌跡是y
故答案為:”,;
X
(2).?.點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)A(0,1),
二點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)A(0,1)的距離的平方為x?+(y-1)2,
:點(diǎn)P(x,y)到直線y=-1的距離的平方為(y+1)2,
?.?點(diǎn)P(X,y)到點(diǎn)A(0,1)的距離與到直線y=-l的?距離相等,
X2+(y-1)2=(y+l)2,
?1**
??)'=?>
設(shè)直線的解析式為尸
(3)MNkx+b,M(xi,yi),N(x2,yz).
.??線段MN的中點(diǎn)為Q的縱坐標(biāo)為空匹.
?二=kx+b,
/.x2-4kx-4b=0,
Axi+X2=4k,XiX2=-4b,
=z(kx.+b+kxz+&)=HkfXi+7+=碧妒+歐
22z:
:.MN=(x.-x:)+(打一y2)=(k+1)付-M*=《妒+U[0■工+3史一加工喇心
=16(k=+l)(k2+6)i16
'':'-=k:+kz+b>kz+/,一俯-I+厲J-1>2—1=1
.?.點(diǎn)Q到x軸的最短距離為1.
*
德后依可
一、單選題
1.(2019?四川省眉山第一中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試)如圖,。。的直徑A3,弦CO,垂足為E,NA=22.5°,
0C=4,則C。的長(zhǎng)為()
A.272B.4
C.472D.8
【答案】c
[分析]根據(jù)圓的半徑相等以及三角形的角度關(guān)系可求得ZCOE=45°,再分析得CD=2CE求解即可.
【詳解】因?yàn)椤!?故。4=OC,NOC4=4=22.5。.
根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和可得Z.COE=NA+40cA=45°.
又因?yàn)橹睆紸6L弦CO,故ACOE為等腰直角:角形.
因?yàn)镺C=4,故CE=+=2五.故C。=2CE=4血.
故選:c
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓與三角形的性質(zhì)運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.
二、填空題
2.(2019?廣東佛山市?佛山一中高一開(kāi)學(xué)考試)如圖,邊長(zhǎng)為200的正方形ABC。中,以8C為直徑畫(huà)一個(gè)
半圓,直線DE與半圓相切,交于E點(diǎn),則£>£:=.
【答案】250
【分析】取BC的中點(diǎn)。,則。為半圓的圓心,連接。D,OE,OF,根據(jù)直線與圓相切,有OF上DE,OE,
OD,分別平分行3。尸,COF,得到A0OE為宜角三角形,再利用射影定理求解.
【詳解】如圖所示:
取8c的中點(diǎn)。,則。為半圓的圓心,
連接。D,OE,OF,則OE,
OE,OD,分別平分彳正。尸,COF,
所以AOOE為直角三角形,
OF為斜邊上的高,
所以0尸2=。尸?EFAB?BE,
OF2
所以8£=——=50.
AB
所以O(shè)E=250.
故答案為:250
【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系和射影定理,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力,屬
于中檔題.
3.(2018?福建廈門市?廈門一中高一開(kāi)學(xué)考試)如圖,在中,弦AB=1的,圓周角NAC5=30°,且A。
為O。的直徑,則BD的長(zhǎng)為cm.
【答案】V3
【分析】由題意知,弧長(zhǎng)為1所對(duì)的圓周角為30,則弧對(duì)的圓心角為60',由于弧與圓心構(gòu)成的三角形是
等腰三角形,所以當(dāng)圓心角為60。,這個(gè)三角形是等邊三角形,邊長(zhǎng)已知,易得半徑,得直徑,再根據(jù)勾股
定理,即可求解.
【詳解】連接Q4和。8,
AB=l,NACB=3(r
/.ZAO8=60°
?:OA=OB
,三角形AOB為等邊三角形,
:.OA=OB=AB=l,
直徑AD為2cm
則AABZ)是直角三角形,BD2=AD2-AB2
BD=y[3
故答案為:上
【點(diǎn)睛】本題考查直徑所對(duì)圓周角是直角,為證明垂直關(guān)系做準(zhǔn)備,屬于基礎(chǔ)題.
4.(2020?河北邯鄲市?高一開(kāi)學(xué)考試)如圖,AB,AC是。。的兩條弦NA=25°,過(guò)點(diǎn)。的切線與08的
延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。,則"的度數(shù)是.
A
【答案】40°
【分析】由同弧所對(duì)圓心角和圓周角的關(guān)系求得NCO5,再由切線的性質(zhì)得OC_LCD,從而可得ND.
【詳解】如圖,連接OC,NCOB是圓心角,NC48是圓周角,團(tuán)NCO8=2NA=50°,
又CO是切線,。是切點(diǎn),0OC1CD,即NC0D=9O°,團(tuán)"=40°.
故答案為:40°.
【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì),考查圓心角與圓周角的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.
5.(2020?黑龍江哈爾濱市?哈爾濱三中高一開(kāi)學(xué)考試)如圖,為。。的直徑,C為A3上一點(diǎn),
ZBOC=50°,AD/IOC,AO交。。于點(diǎn)。,連接AC,CD,那么NACO=.
【答案】40
【分析】先求出回"8=50°,進(jìn)而得出附。。=80°,即可得出結(jié)論.
【詳解】連接。D,
04D0OC,WDAB=@BOC=SO°,
QOA=OD,WAOD=1SO°-2BDAB=80",
1
0ILACD=—04OD=4O°,
2
故答案為40°
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì),圓周角定理,求出財(cái)。。是解本題的關(guān)鍵.
6.(2020?四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試)如圖,△A6C是直角邊長(zhǎng)為。的等腰直角三角形,直角邊
是半圓。的直徑,半圓。2過(guò)。點(diǎn)且與半圓a相切,則圖中陰影部分的面積是
【答案】—
36
【分析】利用等弦所對(duì)的弧相等,先把陰影部分進(jìn)行適當(dāng)拼接,變化成一個(gè)直角梯形,然后再利用兩圓外
切的條件和勾股定理求小圓的半徑,從而求出陰影部分的面積.
【詳解】如圖所標(biāo)記,易得。為的中點(diǎn),AADB,△PEC都是等腰直角三角形.
根據(jù)對(duì)稱性,弓形8D面積與弓形DA面積相等,弓形EC面積與弓形PE面積相等,原題圖中所有陰影面
積等于如圖中直角梯形PEDA的面枳,
設(shè)兩圓的半徑分別為凡乙
則火=1,AQ=a-r,0}02=r+R,
2>
,解得r=5,;.CE=PE=叵,
([a-r);+Uf-1j=Ifr+-2)|33
,所求陰影部分的面積為:
-16O10al52
S-SjDC~SKEP=CD-AD一C£?PEx—=ax—ax------x---x—=—a
2222233236
故答案為:—
36
【點(diǎn)睛】本題主要考查了面積的計(jì)算,涉及兩圓外切的條件和勾股定理,解答的關(guān)鍵是將圖形適當(dāng)拼接,
變?yōu)橐粋€(gè)規(guī)則圖形.
7.(2019?四川省眉山第一中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試)如圖,A3為。。的直徑,CB切00于點(diǎn)B,點(diǎn)D是。O
上一點(diǎn),點(diǎn)E是直徑AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連結(jié)A。、CE、DE.若AB=5,AO=4,BC=《,則CE+DE的
最小值為_(kāi)____________.
【答案】975
5
【分析】作_L4?于",延長(zhǎng)DH交。。于F點(diǎn),根據(jù).ABD~AADH可求得DH,AH,HB的值,再根
據(jù)CE+OE的最小值即CF的值,利用勾股定理求解即可.
【詳解】作。H_L4?于〃,延長(zhǎng)?!ń?。。于尸點(diǎn),延長(zhǎng)CB,交AB的平行線F7于I.
由圓的對(duì)稱性有CE+DE=CE+EF,故CE+OE的最小值為CF.
因?yàn)閆DHA=ZBDA=90°,ADAH=/BAD,故QHA~ABDA.
,ABAD16_,,,DHAD4.12,12
所以=---=>AHATt=—,明r以=二^DH=-x3=—.故FH=DH=—
ADAH5DBAB555
故H=BH=A5—AH=2,C7=CB+B/=CB+HF=9+2=曳.
5555
還.即CE+DE的最小值為)叵.
55
故答案為:植
5
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面幾何中三角形相似求線段長(zhǎng)度以及兩線段距離之和距離最小值的問(wèn)題,需要根
據(jù)題意作對(duì)稱點(diǎn)分析出最小值,再計(jì)算各邊長(zhǎng)進(jìn)行求解.屬于難題.
三、解答題
8.(2020?福建廈門市?廈門一中高一開(kāi)學(xué)考試)如圖1,A3是。。的直徑,E是延長(zhǎng)線上一點(diǎn),EC切
。。于點(diǎn)C,OP_LAO交AC于點(diǎn)P,交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.
(1)求證:△「口)是等腰三角形;
(2)CGJ_A3于H點(diǎn),交。。于G點(diǎn),過(guò)B點(diǎn)、作BF//EC,交0。于點(diǎn)F,交CG于Q點(diǎn),連接AE,
3
如圖2,若sinE=二,CQ=5,求A產(chǎn)值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)12.
【分析】(1)連接OC,根據(jù)EC切。。于點(diǎn)C,得到OC_L£)E,則Nl+N3=90°,同理N2+N4=90°,
再由N1=N2,Z3=Z4,N4=N5證明.
(2)由圖2,連接OC、BC,根據(jù)。E與。。相切于點(diǎn)E,得到NOCB+N5CE=90°,同理有
NOBC+NBCE=90。,ZOBC+ZBCG=90°,得到NBCE=NBCG,再由BE//QE,得到
NBCE=NQBC,則QC=Q3=5,由BF//DE,得到Z4Bb=NE,設(shè)0。的半徑為r,在△OC”
3
中,由,2=82+(廠-4)2,解得r,再由sin/AB/uj■求解.
【詳解】
(1)連接OC,
回EC切。。于點(diǎn)C,
SIOCLDE,
團(tuán)Nl+N3=9()°,
又回OP_LQ4,
回N2+N4=90°,
0OA=OC,
0Z1=Z2.
團(tuán)/3=/4,
又用N4=N5,
回N3=N5,
0DP=DC,即△PCD為等腰三角形.
(2)如圖2,連接OC、BC,
D
團(tuán)DE與O。相切于點(diǎn)E,
0NOCB+NBCE=90°,
0OC=OB,
6NOCB=NOBC,
ZOBC+ZBCE^90°,
又回CGLAB,
團(tuán)N03C+NBCG=90°,
團(tuán)NBCE=NBCG,
^BFUDE,
國(guó)NBCE=NQBC,
QNBCG=NQBC,
回QC=Q5=5,
0BF/IDE,
?ZABF=&,
.3
ElsinEc=—,
5
3
團(tuán)sin/A6F=—,
5
回。"=3、BH=4,
設(shè)。。的半徑為r,
回在△OS中,r2=82+(r-4)2,
解得:r=l(),
3
又用ZAFB=90°,sinNABE=—,
5
EAF=12.
【點(diǎn)睛】本題主要考查平面幾何的直線與直線,直線與圓的位置關(guān)系,還考查了邏輯推理和運(yùn)算求解的能
力,屬于中檔題.
9.(2020?浙江高一開(kāi)學(xué)考試)如圖,在RAM8c中,0C=9O°,。為AB上一點(diǎn),回。過(guò)點(diǎn)B且與AC相切于點(diǎn)
D,于E.
(2)若AE:AC=1:2,AB=10,求OE的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)3.
【分析】(1)連接。D、BD,則。D08C利用平行線的性質(zhì)以及等邊對(duì)等角,即可證得日2=回3,根據(jù)角平分
線的性質(zhì)即可證得;
(2)易證HADEHEWBC,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等,可以得到:-xl0=5,BC=2DE,
22
設(shè)DE=x,則DC=D£=x,8c=2x,AC=5+x,則在直角MBC中,利用勾股定理即可得到關(guān)于x的方程,求
得x的值.
【詳解】(1)連接。D、BD.
0OD04C,
0DEH4B于E,
回。。團(tuán)8C,
001=03,
BOD=OB
mi=02,
E02=03,
團(tuán)8=DE.
(2)能1DEA=[3C=9O°,M=M,
團(tuán)財(cái)。函明8C,
AEADDE1
團(tuán)---=----=----=—.
ACABBC2
11
0AD=—ZIB=—xlO=5,BC=2DE.
22
設(shè)DE=x,則DC=DE=x,BC=2x,AC=5+x.
在048c中,AB2=AC2+BC2.
貝lj100=(5+x)2+(2x)2,
解得:x=3,
DE的長(zhǎng)為3.
【點(diǎn)睛】本題考查/切線的性質(zhì)定理,以及相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,利用勾股定理把求線段
的長(zhǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程的問(wèn)題,體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用.
10.(2020?云南昆明市?昆明一中高一開(kāi)學(xué)考試)如圖,已知點(diǎn)P是等邊三角形ABC外接圓上任一點(diǎn)(異于B,
E111
(2)若外交BC于貝U—-------1-------
PDPBPC
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;
【分析】⑴首先在:Q4匕截取PD=PC,由AABC是等邊二角形,可得/CD是等邊三角形,繼而可
證明八4?!?三則AD=PB,從而得出Q4=BB+PC
(2)根據(jù)圓周角定理得到NC4D=NP3。,ZAPB^ZACB,推出△PBDSAACZ),根據(jù)相似三角形的
ACCD,ABBD,,,_,ACABCDBDBC,-,,①■、人
性1a質(zhì)L得e到c孱E=萬(wàn)萬(wàn),同理石1=萬(wàn)萬(wàn),兩式相z加得到五^二-^萬(wàn)十萬(wàn)萬(wàn)=萬(wàn)萬(wàn),即可得到結(jié)論.
1Ij1/LxIV--I1^/1Lj1Ix_X1Z_xILy
【詳解】
(1)證明:在P4上截取尸D=PC,
???AB=AC=8C,
.-.ZAPB=ZAPC=60o,
.?.△PCD為等邊三角形,
.-.ZPCD=ZACB=60°,CP=CD,
"CD-ZDCB=ZACB-ZDCB,
即ZACD=/BCP,
在八48和ABCP中,
AC=BC
<ZACD=NBCP,
CP=CD
:.^ACD^BCP(SAS),
:.AD=PB^
:.PA=PB+PC.
(2)解:?.?NC4D=NZW,ZAPB=ZACB,
:.“PB4小CD,
.ACCD,AB_BI)
??---=----,可埋—~=------
PBPDPCPD
.?-A-C1--AB=-C-D-1B-D-=-B-C
PBPCPDPDPD
???△ABC是等邊三角形,
AB=BC=AC,
,-1-1--1=—1
「PBPCPD'
【點(diǎn)睛】本題考查r相似三角形的判定和性質(zhì),圓周角定理,等邊三角形的性質(zhì),熟練掌握相似三角形的
判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.
11.(2020?黑龍江哈爾濱市?哈爾濱三中高一開(kāi)學(xué)考試)對(duì)于平面內(nèi)的(DC和。C外一點(diǎn)。,給出如下定義:
八,AQ+BQ
若過(guò)點(diǎn)。的直線與OC存在公共點(diǎn),記為點(diǎn)A,B,設(shè)左二,則稱點(diǎn)A(或點(diǎn)3)是0C的”
c,2A。2BQ
相關(guān)依附點(diǎn)".特別地,當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)3重合時(shí),規(guī)定AQ=8Q,卜二洋(或7康).已知在平面直角坐
(1)如圖1,當(dāng)廠=0時(shí),
①若4(o,i)是oc的"k相關(guān)依附點(diǎn)",則k的值為;
②&(1+夜,o)是否為oc的“2相關(guān)依附點(diǎn)"?答:是(選"是"或"否");
(2)若OC上存在"攵相關(guān)依附點(diǎn)"點(diǎn)M,
①當(dāng)r=l,直線QM與OC相切時(shí),求上的值;
②當(dāng)斤=6時(shí),求r的取值范圍;
(3)若存在r的值使得直線y=-J%+8與OC有公共點(diǎn),且公共點(diǎn)是0c的相關(guān)依附點(diǎn)",直接寫(xiě)
出b的取值范圍.
【答案】⑴①正,②是;⑵①G,②1?"2;(3)-6<6<36.
2A0
【分析】(1)①如圖1中,連接c&、Q\.首先證明QA是切線,根據(jù)%=7胃計(jì)算即可解決問(wèn)題;
②根據(jù)定義求出k的值即可判斷;
(2)①如圖,當(dāng),=1時(shí),不妨設(shè)直線QM與0c相切的切點(diǎn)M在%軸上方(切點(diǎn)M在x軸下方時(shí)同理),
連接CM,則QM回CM,根據(jù)定義計(jì)算即可;
②如圖3中,若宜線。仞與OC不相切,設(shè)直線QW與OC的另一個(gè)交點(diǎn)為N(不妨設(shè)QNVQM,點(diǎn)N,
M在%軸下方時(shí)同理),作CD0QM于點(diǎn)D,則MO=ND,可得MQ+NQ=2DQ,CQ=2,推出
k=-,*=-^=DQ,可得當(dāng)左=G時(shí),DQ=G,可得CD的值,再因?yàn)辄c(diǎn)Q在OC外,可得
r的取值范圍;
(3)由(2)可知,OC的"JJ相關(guān)依附點(diǎn)",在直線QM:y=Gx+乎或>=一氐一日上,且r的
取值范圍是1*<2,當(dāng)r=2時(shí),易知直線y=J5x+乎與0c(大圓)的交點(diǎn),當(dāng)r=l時(shí),易知直線
了=一心一冬3℃(小圓)的交點(diǎn),當(dāng)直線y=+8勺線段QE,線段QF有交點(diǎn)時(shí)(線段端點(diǎn)除
外),滿足條件,帶點(diǎn)即可解決問(wèn)題.
【詳解】
解:(1)①如圖1中,連接C4、。4
由題意:OC=OQ=OA=I,
??.△QAC是直角三角形,即4c_LQA,
是OC的切線,
…2=巫=日
CQ2
②?.?40+夜,0)在0c上,
,2->/2+l+V2+l-
k------------------二2
2
4(1+夜,0)是QC的"2相關(guān)依附點(diǎn)”,
故答案為:(1)①血;②是;
(2)①如圖2,當(dāng)r=l時(shí),不妨設(shè)直線QM與。C相切的切點(diǎn)M在x軸上方(切點(diǎn)”在x軸下方時(shí)同
理),連接CM,則QM_LCM.
由CQ=2,CM=1.
0MQ=E
y2MQ273/T
此時(shí)%=—上=二_=J3;
CQ2
②如圖3中,
若直線QWLJQC不相切,
設(shè)直線QM與OC的另一個(gè)交點(diǎn)為N(不妨設(shè)QN<QM,點(diǎn)N,M在x軸下方時(shí)同理).
作CD±QM于點(diǎn)D,則MD=ND.
mMQ+NQ=(MN+NQ)+NQ=2ND+2NQ=2DQ.
MQ+NQ2DQ
回CQ=2,回左-=DQ.
CQ~CQ
團(tuán)當(dāng)女=G時(shí),DQ=6
此時(shí)CD=QCQ2-DQ,=I.
又回點(diǎn)。在OC外,則r<2
團(tuán)廠的取值范圍是14r<2.
山(2)可知,。。的"代相關(guān)依附點(diǎn)",在直線QM:
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