圓（解析版）-2021年初升高數(shù)學(xué)無(wú)憂銜接（滬教版2020）

專題10圓

錦程要求

《初中課程要求》平面幾何中直線與圓的位置關(guān)系包含的知識(shí)點(diǎn)較多，方法靈活，抓

住核心概念和基本方法即可，對(duì)定理的本質(zhì)要理解，看到相關(guān)已知

能夠聯(lián)想到需要的定理，常常先分析所求問(wèn)題的路徑，找準(zhǔn)方向，

綜合運(yùn)用條件加以突破.

直線與圓有三種位置關(guān)系：相離、相切和相交.相切和相交是代數(shù)與

幾何研究的重點(diǎn).

高中的學(xué)習(xí)是在初中基礎(chǔ)上更高層次的拓展與延伸。

《高中課程要求》

4身煉燈

一、單選題

1.（2020?重慶復(fù)旦中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）如圖，。。的直徑AB與弦。。相交于點(diǎn)￡,ZBDC=35°.則

NA8C的度數(shù)為（）

A.35°B.45°C.65°D.55°

【答案】D

【分析】由圓的性質(zhì)可得NACB=90°,NC4B=N8DC=35°,在直角三角形ABC中，根據(jù)三角形的

內(nèi)角和性質(zhì)，可得答案.

【詳解】在圓。。中，AB為宜徑，則ZACB=90°

山圓中同弧所對(duì)的圓周角相等，得NC48=N8OC=35°

所以在直角三角形ABC中，ZABC=ZACB-ZCAB=90°-35°=55°

故選：D

2.（2020北京清華附中高一開(kāi)學(xué)考試）如圖，小、P3是。。切線，4、8為切點(diǎn)，AC是直徑，NP=4（）°,

C.20°D.10°

【答案】C

【分析】由△P4B為等腰三角形求出NR4B=70"，再證明K4_LAC，最后illN3AC=44。一/巳4得

出答案.

【詳解】?.?PA=P8,NP=40°

I?n_40

.?AR鉆為等腰三角形，且NPA8=---------=70°

2

是。。切線，A為切點(diǎn)，AC是直徑

：.PA±AC

即ABAC=APAC-NPAB=90°-70°=20°

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2020?福建廈門市?廈門一中高一開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知EB是半圓。。的直徑，A是座延長(zhǎng)線上一點(diǎn),

AC切半圓。。于點(diǎn)。，3。，4。于點(diǎn)（7,DF上EB于點(diǎn)、F,若BC=2DF=6,則。。的半徑為（）

A.3.5B.4C.2百D.3.75

【答案】D

【分析】根據(jù)圖形，連接OD,作OH1BC于點(diǎn)H,由4c切半圓O。于點(diǎn)D,得到0。J_AC，乂BC_LAC,

則8//5C,易證ADOF三AOBH,得到OH=DF=3,設(shè)。B=QD=r,然后在RhABC中，利用

勾股定理求解.

【詳解】

如圖所示:

連接。D,作點(diǎn)H,

因?yàn)锳C切半圓。。于點(diǎn)。，

所以0DL4C，又BC_LAC,

所以。D//3C，

所以NDOF=NOBH,

又OD=OB,

所以ADOFMAOBH,

所以O(shè)H=O尸=3,

設(shè)OB=OD=r,則BH=6-r,

在R/AABC中，由勾股定理得產(chǎn)=（6-r）2+32,

解得r="=3.75,

4

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線的性質(zhì)，切割線定理，勾股定理等面積法以及平行線段成比例定理，還考

查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題.

二、填空題

4.（2020?北京清華附中高一開(kāi)學(xué)考試）如圖，是半圓。的直徑，四邊形CPMN和OEFG都是正方形，

其中C，D，E在45匕F，N在半圓上.若AB=10,則正方形CDWN的面積與正方形。EFG的面

積之和是

【答案】25

【分析】連接ONQF,汲CN=x,EF=y,。。=z,由勾股定理得犬十@+z>=25,+（,_%）?=25,

兩式相減得x+z=y,從而可求得f+J

【詳解】連接。N,OF,設(shè)CN=x,EF=y,OD=z,

則f+（x+z）2=25,V+（y-z）2=25,

兩式相減得：2（x+y）（x-y+z）=0,

0x+y>O,0x-y+z=(),即x+z=y,

Six2+(x+z)2=x2+y2=25.

故故答案為：25.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，正方形的性質(zhì)，題中證明x+z=y是解題關(guān)鍵.

知徂器餅

一、直線與圓的位置關(guān)系

（一）、基礎(chǔ)定義：

1.當(dāng)直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相離.

2.當(dāng)直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線.唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

3.當(dāng)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)（即交點(diǎn)）時(shí)，叫做直線與圓相交.

4.根據(jù)直線與圓公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況，相應(yīng)得到直線與圓的位置關(guān)系有三種：相離，相切，相交.

（二）、直線與圓位置關(guān)系用數(shù)量關(guān)系描述：

如果的半徑長(zhǎng)為R,圓心。到直線/的距離為"

直線/與。。相交oOV"<R；

直線/與O。相切od=R：

直線，與。。相離

（三）、相關(guān)定理：

1.切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

二、點(diǎn)的軌跡

到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓.

和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線.

到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線.

"A例周折

一、直線與圓的位置關(guān)系

例1.在同一平面直角坐標(biāo)系中有5個(gè)點(diǎn)：A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2.-2).

(1)畫(huà)出4ABC的外接圓。P,并指出點(diǎn)D與。P相的位置關(guān)系：

(2)E點(diǎn)是y軸上的一點(diǎn)，若直線DE與。P相切，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【答案】(1)見(jiàn)解析，點(diǎn)D在。P上；(2)E(0,-3).

【解析】(1)如圖所示：

△ABC外接圓的圓心為(-1,0),點(diǎn)D在。P上;

(2)連接PD,

?.?直線DE與OP相切,

，PDJ_PE,

利用網(wǎng)格過(guò)點(diǎn)D做直線的DFJ_PD,則F(-6,0),

設(shè)過(guò)點(diǎn)D,E的直線解析式為：y=kx+b,

VD(-2,-2),F(-6,0),

解得：P--7,

b=-3

...直線DE解析式為：y=-=x-3,

.*.x=0時(shí)，y=-3,

：.E(0,-3).

'對(duì)X4稱

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(L3)、B(3,3)、C(4.2).

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出經(jīng)過(guò)點(diǎn)4、8、C三點(diǎn)的OM,并寫(xiě)出圓心M的坐標(biāo);

(2)若D(L4),試判斷直線8。與。M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)如圖所示見(jiàn)解析，圓心M的坐標(biāo)為(2.1);(2)直線8D與。M相切，理由見(jiàn)解析.

【解析】

(1)如圖所示，OM即為所求.

由圖知，圓心M的坐標(biāo)為(2,1)；

(2)連接MB,DB,DM,

???DB=V5,BM=百，DM=

DB2+BM:=DM：,

；.△DBM是直角三角形，

???Z.DBM=90°>

即BMJ.DB,

直線BD與。M相切.

三、點(diǎn)的軌跡

例1.如圖，點(diǎn)4(-4.3),將dABC繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。得到dA'B'C'.

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出dA'B'C',并寫(xiě)出點(diǎn)4'的坐標(biāo);

(2)求旋轉(zhuǎn)過(guò)程中4點(diǎn)的軌跡長(zhǎng).

【答案】⑴圖形見(jiàn)解析，4*(4-3)；(2)5n.

【解析】

解：(1)如圖所示，dA'B'C'即為所求出；1(4.-3)；

（2）連接。4

?：0A=V3:+4==5，

，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中A點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)=33=57r.

180

對(duì)支幡秣

1.閱讀理解：在平面直角坐標(biāo)系中，若兩點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是P（xi,yi）、

::

Q（X2,y2），則P、Q這兩點(diǎn)間的距離為|PQ|=?（Xi-x;:）+（九一%）二.如P（l，2）,Q（3,4）,貝U|PQ|=

-3尸+（2-4尸=2丫2.

對(duì)于某種幾何圖形給出如下定義：符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)形成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡.如平

面內(nèi)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線.

解決問(wèn)題：如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx+=交y軸于點(diǎn)A,點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B,

過(guò)點(diǎn)B作直線I平行于x軸.

（1）到點(diǎn)A的距離等于線段AB長(zhǎng)度的點(diǎn)的軌跡是；

（2）若動(dòng)點(diǎn)C（x,y）滿足到直線I的距離等于線段CA的長(zhǎng)度，求動(dòng)點(diǎn)C軌跡的函數(shù)表達(dá)式；

問(wèn)題拓展：（3）若（2）中的動(dòng)點(diǎn)C的軌跡與直線y=kx+=交于E、F兩點(diǎn)，分別過(guò)E、F作直線I的垂線，垂

足分別是M、N,求證：①EF是AAMN外接圓的切線；+會(huì)為定值.

【答案】(1)X2+(y-2=1；(2)動(dòng)點(diǎn)C軌跡的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=？2；(3)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析.

【解析】(1)設(shè)到點(diǎn)A的距離等于線段AB長(zhǎng)度的點(diǎn)D坐標(biāo)為(x,y),

/.AD2=x2+(y--)2,

直線y=kx+：交y軸于點(diǎn)A,

AA(0,

,/點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B,

AB(0,-=),

.\AB=1,

???點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離等于線段AB長(zhǎng)度，

x2+(y-7)2=1,

故答案為：x2+(y4)2=1；

(2)?.?過(guò)點(diǎn)B作直線I平行于x軸，

二直線I的解析式為y=-t

VC(x,y),A(0,7),

r.AC2=x2+(y-i)2,點(diǎn)c到直線I的距離為：(y+5),

?.?動(dòng)點(diǎn)C(x,y)滿足到直線I的距離等于線段CA的長(zhǎng)度，

x2+(y-i)2=(y+j)2,

二動(dòng)點(diǎn)C軌跡的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=7X2；

(3)①如圖，

設(shè)點(diǎn)E(m,a)點(diǎn)F(n,b),

動(dòng)點(diǎn)C的軌跡與直線y=kx+：交于E、F兩點(diǎn)，

.y=k

??s-,，

y=kx+7

/.x2-2kx-1=0,

\m+n=2k,mn=-1,

?.?過(guò)E、F作直線I的垂線，垂足分別是M、N,

/.M(m,-二*?r)，N(n,一二)，

VA(0,i),

/.AM2+AN2=m2+l+n2+l=m2+n2+2=(m+n)2-2mn+2=4k2+4,

MN2=(m-n)2=(m+n)2-4mn=4k2+4,

.".AM2+AN2=MN2,

AAAMN是直角三角形，MN為斜邊，

取MN的中點(diǎn)Q,

二點(diǎn)Q是AAMN的外接圓的圓心，

Q(k,-

VA(0,i),

直線AQ的解析式為y=-三x+三，

直線EF的解析式為y=kx+：,

/.AQ1EF,

AEF是AAMN外接圓的切線；

②1,點(diǎn)E(m,a)點(diǎn)F(n,b)在直線y=kxW上，

??a=mk+^,b=nk+二，

VME,NF,EF是AAMN的外接圓的切線，

，AE=ME=a+：=mk+l,AF=NF=b+：=nk+l,

.?，+工=-J--=(m+n)k+==2,

AEAFmfc+1+nkflmnk2+(m+n)k+=3j-津

即：三+三為定值,定值為2.

2.在數(shù)學(xué)上，我們把符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)所形成的圖形叫做滿足該條件的點(diǎn)的軌跡.例如：動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)滿

足(m,m-1),所有符合該條件的點(diǎn)組成的圖象在平面直角坐標(biāo)系xOy中就是一次函數(shù)y=x-1的圖象.即

點(diǎn)P的軌跡就是直線y=x-1.

(1)若m、n滿足等式mn-m=6,則(m,n-1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中的軌跡是；

(2)若點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)A(0,1)的距離與到直線y=-l的距離相等，求點(diǎn)P的軌跡；

(3)若拋物線上有兩動(dòng)點(diǎn)M、N滿足MN=a(a為常數(shù)，且a24),設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q,求點(diǎn)Q

到x軸的最短距離.

【答案】(1)y=-：(2)丫=入2；(3)點(diǎn)Q到x軸的最短距離為1.

【解析】(1)設(shè)m=x,n-l=y,

Vmn-m=6,m(n-1)=6,xy=6,

???)，=：,J(m,n-1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中的軌跡是y

故答案為：”,；

X

(2).?.點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)A(0,1),

二點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)A(0,1)的距離的平方為x?+(y-1)2,

:點(diǎn)P(x,y)到直線y=-1的距離的平方為(y+1)2,

?.?點(diǎn)P(X,y)到點(diǎn)A(0,1)的距離與到直線y=-l的?距離相等，

X2+(y-1)2=(y+l)2,

?1**

??)'=?>

設(shè)直線的解析式為尸

(3)MNkx+b,M(xi,yi),N(x2,yz).

.??線段MN的中點(diǎn)為Q的縱坐標(biāo)為空匹.

?二=kx+b,

/.x2-4kx-4b=0,

Axi+X2=4k,XiX2=-4b,

=z(kx.+b+kxz+&)=HkfXi+7+=碧妒+歐

22z:

：.MN=(x.-x:)+(打一y2)=(k+1)付-M*=《妒+U[0■工+3史一加工喇心

=16(k=+l)(k2+6)i16

''：'-=k:+kz+b>kz+/,一俯-I+厲J-1>2—1=1

.?.點(diǎn)Q到x軸的最短距離為1.

*

德后依可

一、單選題

1.（2019?四川省眉山第一中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）如圖，。。的直徑A3,弦CO,垂足為E,NA=22.5°,

0C=4,則C。的長(zhǎng)為（）

A.272B.4

C.472D.8

【答案】c

［分析］根據(jù)圓的半徑相等以及三角形的角度關(guān)系可求得ZCOE=45°，再分析得CD=2CE求解即可.

【詳解】因?yàn)椤！?故。4=OC,NOC4=4=22.5。.

根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和可得Z.COE=NA+40cA=45°.

又因?yàn)橹睆紸6L弦CO,故ACOE為等腰直角：角形.

因?yàn)镺C=4,故CE=+=2五.故C。=2CE=4血.

故選：c

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓與三角形的性質(zhì)運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題

2.（2019?廣東佛山市?佛山一中高一開(kāi)學(xué)考試）如圖，邊長(zhǎng)為200的正方形ABC。中，以8C為直徑畫(huà)一個(gè)

半圓，直線DE與半圓相切，交于E點(diǎn)，則￡>￡：=.

【答案】250

【分析】取BC的中點(diǎn)。，則。為半圓的圓心，連接。D,OE,OF,根據(jù)直線與圓相切，有OF上DE,OE,

OD,分別平分行3。尸，COF,得到A0OE為宜角三角形，再利用射影定理求解.

【詳解】如圖所示：

取8c的中點(diǎn)。，則。為半圓的圓心,

連接。D,OE,OF,則OE,

OE,OD,分別平分彳正。尸，COF,

所以AOOE為直角三角形，

OF為斜邊上的高，

所以0尸2=。尸?EFAB?BE,

OF2

所以8￡=——=50.

AB

所以O(shè)E=250.

故答案為：250

【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系和射影定理，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬

于中檔題.

3.（2018?福建廈門市?廈門一中高一開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，弦AB=1的，圓周角NAC5=30°，且A。

為O。的直徑，則BD的長(zhǎng)為cm.

【答案】V3

【分析】由題意知，弧長(zhǎng)為1所對(duì)的圓周角為30，則弧對(duì)的圓心角為60'，由于弧與圓心構(gòu)成的三角形是

等腰三角形，所以當(dāng)圓心角為60。，這個(gè)三角形是等邊三角形，邊長(zhǎng)已知，易得半徑，得直徑，再根據(jù)勾股

定理，即可求解.

【詳解】連接Q4和。8,

AB=l,NACB=3（r

/.ZAO8=60°

?：OA=OB

，三角形AOB為等邊三角形,

：.OA=OB=AB=l,

直徑AD為2cm

則AABZ）是直角三角形，BD2=AD2-AB2

BD=y[3

故答案為：上

【點(diǎn)睛】本題考查直徑所對(duì)圓周角是直角，為證明垂直關(guān)系做準(zhǔn)備，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2020?河北邯鄲市?高一開(kāi)學(xué)考試）如圖，AB,AC是。。的兩條弦NA=25°,過(guò)點(diǎn)。的切線與08的

延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。，則"的度數(shù)是.

A

【答案】40°

【分析】由同弧所對(duì)圓心角和圓周角的關(guān)系求得NCO5,再由切線的性質(zhì)得OC_LCD,從而可得ND.

【詳解】如圖，連接OC,NCOB是圓心角，NC48是圓周角，團(tuán)NCO8=2NA=50°,

又CO是切線，。是切點(diǎn)，0OC1CD,即NC0D=9O°,團(tuán)"=40°.

故答案為：40°.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，考查圓心角與圓周角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2020?黑龍江哈爾濱市?哈爾濱三中高一開(kāi)學(xué)考試）如圖，為。。的直徑，C為A3上一點(diǎn),

ZBOC=50°,AD/IOC,AO交。。于點(diǎn)。，連接AC,CD,那么NACO=.

【答案】40

【分析】先求出回"8=50°,進(jìn)而得出附。。=80°,即可得出結(jié)論.

【詳解】連接。D,

04D0OC,WDAB=@BOC=SO°,

QOA=OD,WAOD=1SO°-2BDAB=80",

1

0ILACD=—04OD=4O°,

2

故答案為40°

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，圓周角定理，求出財(cái)。。是解本題的關(guān)鍵.

6.(2020?四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試)如圖，△A6C是直角邊長(zhǎng)為。的等腰直角三角形，直角邊

是半圓。的直徑，半圓。2過(guò)。點(diǎn)且與半圓a相切，則圖中陰影部分的面積是

【答案】—

36

【分析】利用等弦所對(duì)的弧相等，先把陰影部分進(jìn)行適當(dāng)拼接，變化成一個(gè)直角梯形，然后再利用兩圓外

切的條件和勾股定理求小圓的半徑，從而求出陰影部分的面積.

【詳解】如圖所標(biāo)記，易得。為的中點(diǎn)，AADB，△PEC都是等腰直角三角形.

根據(jù)對(duì)稱性，弓形8D面積與弓形DA面積相等，弓形EC面積與弓形PE面積相等，原題圖中所有陰影面

積等于如圖中直角梯形PEDA的面枳，

設(shè)兩圓的半徑分別為凡乙

則火=1,AQ=a-r,0}02=r+R,

2>

，解得r=5，；.CE=PE=叵,

(［a-r)；+Uf-1j=Ifr+-2)|33

，所求陰影部分的面積為:

-16O10al52

S-SjDC~SKEP=CD-AD一C￡?PEx—=ax—ax------x---x—=—a

2222233236

故答案為：—

36

【點(diǎn)睛】本題主要考查了面積的計(jì)算，涉及兩圓外切的條件和勾股定理，解答的關(guān)鍵是將圖形適當(dāng)拼接,

變?yōu)橐粋€(gè)規(guī)則圖形.

7.（2019?四川省眉山第一中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）如圖，A3為。。的直徑，CB切00于點(diǎn)B,點(diǎn)D是。O

上一點(diǎn)，點(diǎn)E是直徑AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)A。、CE、DE.若AB=5,AO=4,BC=《，則CE+DE的

最小值為_(kāi)____________.

【答案】975

5

【分析】作_L4?于"，延長(zhǎng)DH交。。于F點(diǎn)，根據(jù).ABD~AADH可求得DH,AH,HB的值，再根

據(jù)CE+OE的最小值即CF的值，利用勾股定理求解即可.

【詳解】作。H_L4?于〃,延長(zhǎng)?！ń?。。于尸點(diǎn)，延長(zhǎng)CB,交AB的平行線F7于I.

由圓的對(duì)稱性有CE+DE=CE+EF,故CE+OE的最小值為CF.

因?yàn)閆DHA=ZBDA=90°,ADAH=/BAD，故QHA~ABDA.

,ABAD16_,,,DHAD4.12,12

所以=---=>AHATt=—，明r以=二^DH=-x3=—.故FH=DH=—

ADAH5DBAB555

故H=BH=A5—AH=2,C7=CB+B/=CB+HF=9+2=曳.

5555

還.即CE+DE的最小值為）叵.

55

故答案為：植

5

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面幾何中三角形相似求線段長(zhǎng)度以及兩線段距離之和距離最小值的問(wèn)題，需要根

據(jù)題意作對(duì)稱點(diǎn)分析出最小值，再計(jì)算各邊長(zhǎng)進(jìn)行求解.屬于難題.

三、解答題

8.（2020?福建廈門市?廈門一中高一開(kāi)學(xué)考試）如圖1,A3是。。的直徑，E是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，EC切

。。于點(diǎn)C,OP_LAO交AC于點(diǎn)P,交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

（1）求證：△「口）是等腰三角形；

（2）CGJ_A3于H點(diǎn)，交。。于G點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)、作BF//EC,交0。于點(diǎn)F,交CG于Q點(diǎn)，連接AE，

3

如圖2,若sinE=二，CQ=5,求A產(chǎn)值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）12.

【分析】（1）連接OC,根據(jù)EC切。。于點(diǎn)C,得到OC_L￡）E,則Nl+N3=90°,同理N2+N4=90°,

再由N1=N2，Z3=Z4,N4=N5證明.

（2）由圖2,連接OC、BC,根據(jù)。E與。。相切于點(diǎn)E,得到NOCB+N5CE=90°,同理有

NOBC+NBCE=90。,ZOBC+ZBCG=90°,得到NBCE=NBCG,再由BE//QE,得到

NBCE=NQBC,則QC=Q3=5,由BF//DE,得到Z4Bb=NE，設(shè)0。的半徑為r，在△OC”

3

中，由，2=82+（廠-4）2,解得r,再由sin/AB/uj■求解.

【詳解】

（1）連接OC,

回EC切。。于點(diǎn)C,

SIOCLDE,

團(tuán)Nl+N3=9（）°,

又回OP_LQ4，

回N2+N4=90°,

0OA=OC,

0Z1=Z2.

團(tuán)/3=/4,

又用N4=N5,

回N3=N5,

0DP=DC，即△PCD為等腰三角形.

（2）如圖2,連接OC、BC,

D

團(tuán)DE與O。相切于點(diǎn)E，

0NOCB+NBCE=90°,

0OC=OB,

6NOCB=NOBC,

ZOBC+ZBCE^90°,

又回CGLAB，

團(tuán)N03C+NBCG=90°,

團(tuán)NBCE=NBCG,

^BFUDE,

國(guó)NBCE=NQBC,

QNBCG=NQBC,

回QC=Q5=5,

0BF/IDE,

?ZABF=&，

.3

ElsinEc=—,

5

3

團(tuán)sin/A6F=—，

5

回。"=3、BH=4,

設(shè)。。的半徑為r,

回在△OS中，r2=82+(r-4)2,

解得：r=l()，

3

又用ZAFB=90°,sinNABE=—，

5

EAF=12.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面幾何的直線與直線，直線與圓的位置關(guān)系，還考查了邏輯推理和運(yùn)算求解的能

力，屬于中檔題.

9.（2020?浙江高一開(kāi)學(xué)考試）如圖，在RAM8c中，0C=9O°,。為AB上一點(diǎn)，回。過(guò)點(diǎn)B且與AC相切于點(diǎn)

D,于E.

（2）若AE：AC=1：2,AB=10,求OE的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）3.

【分析】（1）連接。D、BD,則。D08C利用平行線的性質(zhì)以及等邊對(duì)等角，即可證得日2=回3,根據(jù)角平分

線的性質(zhì)即可證得；

（2）易證HADEHEWBC,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，可以得到：-xl0=5,BC=2DE,

22

設(shè)DE=x,則DC=D￡=x,8c=2x,AC=5+x,則在直角MBC中，利用勾股定理即可得到關(guān)于x的方程，求

得x的值.

【詳解】（1）連接。D、BD.

0OD04C,

0DEH4B于E,

回。。團(tuán)8C,

001=03,

BOD=OB

mi=02,

E02=03,

團(tuán)8=DE.

(2)能1DEA=[3C=9O°,M=M,

團(tuán)財(cái)。函明8C,

AEADDE1

團(tuán)---=----=----=—.

ACABBC2

11

0AD=—ZIB=—xlO=5,BC=2DE.

22

設(shè)DE=x,則DC=DE=x,BC=2x,AC=5+x.

在048c中，AB2=AC2+BC2.

貝lj100=(5+x)2+(2x)2,

解得：x=3,

DE的長(zhǎng)為3.

【點(diǎn)睛】本題考查/切線的性質(zhì)定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，利用勾股定理把求線段

的長(zhǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程的問(wèn)題，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用.

10.(2020?云南昆明市?昆明一中高一開(kāi)學(xué)考試)如圖，已知點(diǎn)P是等邊三角形ABC外接圓上任一點(diǎn)(異于B,

E111

(2)若外交BC于貝U—-------1-------

PDPBPC

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析;

【分析】⑴首先在：Q4匕截取PD=PC，由AABC是等邊二角形，可得/CD是等邊三角形，繼而可

證明八4?！?三則AD=PB，從而得出Q4=BB+PC

(2)根據(jù)圓周角定理得到NC4D=NP3。，ZAPB^ZACB,推出△PBDSAACZ),根據(jù)相似三角形的

ACCD,ABBD,,,_,ACABCDBDBC，-，，①■、人

性1a質(zhì)L得e到c孱E=萬(wàn)萬(wàn)，同理石1=萬(wàn)萬(wàn)，兩式相z加得到五^二-^萬(wàn)十萬(wàn)萬(wàn)=萬(wàn)萬(wàn)，即可得到結(jié)論.

1Ij1/LxIV--I1^/1Lj1Ix_X1Z_xILy

【詳解】

(1)證明：在P4上截取尸D=PC,

???AB=AC=8C，

.-.ZAPB=ZAPC=60o,

.?.△PCD為等邊三角形，

.-.ZPCD=ZACB=60°,CP=CD，

"CD-ZDCB=ZACB-ZDCB,

即ZACD=/BCP,

在八48和ABCP中，

AC=BC

<ZACD=NBCP,

CP=CD

:.^ACD^BCP(SAS),

：.AD=PB^

:.PA=PB+PC.

(2)解：?.?NC4D=NZW,ZAPB=ZACB，

:.“PB4小CD,

.ACCD,AB_BI)

??---=----,可埋—~=------

PBPDPCPD

.?-A-C1--AB=-C-D-1B-D-=-B-C

PBPCPDPDPD

???△ABC是等邊三角形，

AB=BC=AC，

,-1-1--1=—1

「PBPCPD'

【點(diǎn)睛】本題考查r相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的

判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

11.（2020?黑龍江哈爾濱市?哈爾濱三中高一開(kāi)學(xué)考試）對(duì)于平面內(nèi)的（DC和。C外一點(diǎn)。，給出如下定義：

八,AQ+BQ

若過(guò)點(diǎn)。的直線與OC存在公共點(diǎn)，記為點(diǎn)A,B,設(shè)左二,則稱點(diǎn)A（或點(diǎn)3）是0C的”

c,2A。2BQ

相關(guān)依附點(diǎn)".特別地，當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)3重合時(shí)，規(guī)定AQ=8Q,卜二洋（或7康）.已知在平面直角坐

（1）如圖1,當(dāng)廠=0時(shí)，

①若4（o,i）是oc的"k相關(guān)依附點(diǎn)"，則k的值為；

②&（1+夜,o）是否為oc的“2相關(guān)依附點(diǎn)"？答：是（選"是"或"否"）；

（2）若OC上存在"攵相關(guān)依附點(diǎn)"點(diǎn)M，

①當(dāng)r=l,直線QM與OC相切時(shí)，求上的值；

②當(dāng)斤=6時(shí)，求r的取值范圍；

（3）若存在r的值使得直線y=-J%+8與OC有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)是0c的相關(guān)依附點(diǎn)"，直接寫(xiě)

出b的取值范圍.

【答案】⑴①正，②是；⑵①G，②1?"2；（3）-6<6<36.

2A0

【分析】（1）①如圖1中，連接c&、Q\.首先證明QA是切線，根據(jù)％=7胃計(jì)算即可解決問(wèn)題；

②根據(jù)定義求出k的值即可判斷；

（2）①如圖，當(dāng)，=1時(shí)，不妨設(shè)直線QM與0c相切的切點(diǎn)M在％軸上方（切點(diǎn)M在x軸下方時(shí)同理），

連接CM,則QM回CM,根據(jù)定義計(jì)算即可；

②如圖3中，若宜線。仞與OC不相切，設(shè)直線QW與OC的另一個(gè)交點(diǎn)為N（不妨設(shè)QNVQM,點(diǎn)N,

M在％軸下方時(shí)同理），作CD0QM于點(diǎn)D,則MO=ND,可得MQ+NQ=2DQ,CQ=2,推出

k=-，*=-^=DQ,可得當(dāng)左=G時(shí)，DQ=G，可得CD的值，再因?yàn)辄c(diǎn)Q在OC外，可得

r的取值范圍；

（3）由（2）可知，OC的"JJ相關(guān)依附點(diǎn)"，在直線QM：y=Gx+乎或>=一氐一日上，且r的

取值范圍是1*<2,當(dāng)r=2時(shí)，易知直線y=J5x+乎與0c（大圓）的交點(diǎn)，當(dāng)r=l時(shí)，易知直線

了=一心一冬3℃（小圓）的交點(diǎn)，當(dāng)直線y=+8勺線段QE,線段QF有交點(diǎn)時(shí)（線段端點(diǎn)除

外），滿足條件，帶點(diǎn)即可解決問(wèn)題.

【詳解】

解：（1）①如圖1中，連接C4、。4

由題意：OC=OQ=OA=I，

??.△QAC是直角三角形，即4c_LQA，

是OC的切線，

…2=巫=日

CQ2

②?.?40+夜,0）在0c上，

,2->/2+l+V2+l-

k------------------二2

2

4（1+夜,0）是QC的"2相關(guān)依附點(diǎn)”，

故答案為：（1）①血;②是；

（2）①如圖2,當(dāng)r=l時(shí)，不妨設(shè)直線QM與。C相切的切點(diǎn)M在x軸上方（切點(diǎn)”在x軸下方時(shí)同

理），連接CM,則QM_LCM.

由CQ=2,CM=1.

0MQ=E

y2MQ273/T

此時(shí)％=—上=二_=J3；

CQ2

②如圖3中,

若直線QWLJQC不相切，

設(shè)直線QM與OC的另一個(gè)交點(diǎn)為N（不妨設(shè)QN<QM,點(diǎn)N,M在x軸下方時(shí)同理）.

作CD±QM于點(diǎn)D,則MD=ND.

mMQ+NQ=（MN+NQ）+NQ=2ND+2NQ=2DQ.

MQ+NQ2DQ

回CQ=2,回左-=DQ.

CQ~CQ

團(tuán)當(dāng)女=G時(shí)，DQ=6

此時(shí)CD=QCQ2-DQ，=I.

又回點(diǎn)。在OC外，則r<2

團(tuán)廠的取值范圍是14r<2.

山（2）可知，。。的"代相關(guān)依附點(diǎn)"，在直線QM：