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文檔簡介

專項素養(yǎng)綜合練(五)分式方程中的三種新定義型問題1.(2023山東煙臺萊陽期末)定義運算m※n=1+

,例如:1※2=1+

=

,則方程x※(x+1)=

的解為

(

)A.x=-

B.x=

C.x=1

D.x=-1類型一定義新運算型B解析由題意得1+

=

,整理得

=

,方程兩邊都乘2(2x+1),得2=2x+1,解得x=

,檢驗:當x=

時,2(2x+1)≠0,所以x=

是原方程的解.2.(2023廣東佛山禪城期中)當a≠b時,定義一種新運算:F(a,b)

=

例如:F(3,1)=

=1,F(-1,4)=

=

.(1)F(a+1,a)=

;(2)若F(m,2)-F(2,m)=1,求m的值.解析

(1)根據(jù)題中新運算的定義得F(a+1,a)=

=2.故答案為2.(2)當m>2時,∵F(m,2)-F(2,m)=1,∴

-

=1,解得m=

<2,不合題意,舍去;當m<2時,∵F(m,2)-F(2,m)=1,∴

-

=1,解得m=0<2,經(jīng)檢驗,m=0是分式方程的解,且符合題意.綜上,m的值為0.類型二定義新概念型3.(2023浙江金華東陽期末)對于一些特殊的方程,我們給出

兩個定義:①若兩個方程有相同的一個解,則稱這兩個方程為

“相似方程”;②若兩個方程有相同的整數(shù)解,則稱這兩個方

程為“相伴方程”.(1)判斷一元一次方程3-2(1-x)=4x與分式方程

-1=

是不是“相似方程”,并說明理由;(2)已知關于x,y的二元一次方程y=mx+6與y=x+4m是“相伴

方程”,求正整數(shù)m的值.解析

(1)一元一次方程3-2(1-x)=4x與分式方程

-1=

不是“相似方程”.理由如下:解一元一次方程3-2(1-x)=4x,得x=

.解分式方程

-1=

,整理得(2x+1)2-4x2+1=4,解得x=

,檢驗:當x=

時,(2x+1)(2x-1)=0,∴原分式方程無解.∴一元一次方程3-2(1-x)=4x與分式方程

-1=

不是“相似方程”.(2)由題意得,兩個方程有相同的整數(shù)解,∴mx+6=x+4m,∴(m-1)x=4m-6.①當m-1=0,即m=1時,方程無解;②當m-1≠0,即m≠1時,x=

,即x=4-

.∵x,y均為整數(shù),∴m-1=1,2,-1,-2,∴m=2,3,0,-1.又∵m為正整數(shù),∴m=2或3.類型三定義新方法型4.閱讀下列材料:換元法是數(shù)學中一個非常重要的解題方法,

我們通常把未知數(shù)稱為元,所謂換元法,就是解數(shù)學題時,把

某個式子看成一個整體,用一個變量去代替它,從而使得復雜

問題簡單化.換元的實質是轉化,關鍵是構造元和設元.例如:

解方程組

設

=m,

=n,則原方程組可化為

解得

即

所以原方程組的

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