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廣東省揭陽(yáng)市2025屆數(shù)學(xué)高一上期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均為如圖1所示,則在圖2的四個(gè)圖中可以作為該幾何體的俯視圖的是A.(1),(3) B.(1),(4)C.(2),(4) D.(1),(2),(3),(4)2.已知全集,則正確表示集合和關(guān)系的韋恩圖是A. B.C. D.3.設(shè)集合M={x|x=×180°+45°,k∈Z},N={x|x=×180°+45°,k∈Z},那么()A.M=N B.N?MC.M?N D.M∩N=?4.設(shè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B,則等于()A.4 B.C. D.25.已知,,,則下列關(guān)系中正確的是A. B.C. D.6.“”是“”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件7.已知cosα=,cos(α+β)=-,且α,β∈,則cos(α-β)的值等于A.- B.C.- D.8.命題關(guān)于的不等式的解集為的一個(gè)充分不必要條件是()A. B.C. D.9.已知扇形周長(zhǎng)為40,當(dāng)扇形的面積最大時(shí),扇形的圓心角為()A. B.C.3 D.210.長(zhǎng)方體中,,,則直線(xiàn)與平面ABCD所成角的大小A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減,則___________.12.______________13.已知函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論:①存在實(shí)數(shù),使函數(shù)為奇函數(shù);②對(duì)任意實(shí)數(shù),函數(shù)既無(wú)最大值也無(wú)最小值;③對(duì)任意實(shí)數(shù)和,函數(shù)總存在零點(diǎn);④對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù),總存在實(shí)數(shù),使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______________.14.函數(shù)的零點(diǎn)是___________.15.已知,則__________16.計(jì)算:sin150°=_____三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.函數(shù)的定義域且,對(duì)定義域D內(nèi)任意兩個(gè)實(shí)數(shù),,都有成立(1)求的值并證明為偶函數(shù);18.已知函數(shù)的最小正周期為(1)求圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程;(2)將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到函數(shù)的圖象,求函數(shù)在上的值域19.某市為發(fā)展農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì),鼓勵(lì)農(nóng)產(chǎn)品加工,助推美麗鄉(xiāng)村建設(shè),成立了生產(chǎn)一種飲料的食品加工企業(yè),每瓶飲料的售價(jià)為14元,月銷(xiāo)售量為9萬(wàn)瓶.(1)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,若每瓶飲料的售價(jià)每提高1元,則月銷(xiāo)售量將減少5000瓶,要使月銷(xiāo)售收入不低于原來(lái)的月銷(xiāo)售收入,該飲料每瓶售價(jià)最多為多少元?(2)為了提高月銷(xiāo)售量,該企業(yè)對(duì)此飲料進(jìn)行技術(shù)和銷(xiāo)售策略改革,提高每瓶飲料的售價(jià)到元,并投入萬(wàn)元作為技術(shù)革新費(fèi)用,投入2萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用.試問(wèn):技術(shù)革新后,要使革新后的月銷(xiāo)售收入不低于原來(lái)的月銷(xiāo)售收入與總投入之和,求月銷(xiāo)售量(萬(wàn)瓶)的最小值,以及取最小值時(shí)的每瓶飲料的售價(jià).20.已知圓的圓心在直線(xiàn)上,半徑為,且圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)①求圓的方程②過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)截圖所得弦長(zhǎng)為,求直線(xiàn)的方程21.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E分別為AB、BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求證:(1)直線(xiàn)A1C1∥平面B1DE;(2)平面A1B1BA⊥平面A1C1F.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】可以是一個(gè)正方體上面一個(gè)球,也可以是一個(gè)圓柱上面一個(gè)球2、B【解析】∵集合∴集合∵集合∴故選B3、C【解析】變形表達(dá)式為相同的形式,比較可得【詳解】由題意可即為的奇數(shù)倍構(gòu)成的集合,又,即為的整數(shù)倍構(gòu)成的集合,,故選C【點(diǎn)睛】本題考查集合的包含關(guān)系的判定,變形為同樣的形式比較是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,屬基礎(chǔ)題4、A【解析】求出點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B,再利用兩點(diǎn)之間的距離即可求得結(jié)果.【詳解】點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是故選:A5、C【解析】利用函數(shù)的單調(diào)性、正切函數(shù)的值域即可得出【詳解】,,∴,又∴,則下列關(guān)系中正確的是:故選C【點(diǎn)睛】本題考查了指對(duì)函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題6、B【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求的解集,由充分、必要性的定義判斷題設(shè)條件間的關(guān)系即可.【詳解】由,則,所以“”是“”的充分不必要條件.故選:B7、D【解析】∵α∈,∴2α∈(0,π).∵cosα=,∴cos2α=2cos2α-1=-,∴sin2α=,而α,β∈,∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=,∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)==.8、D【解析】根據(jù)三個(gè)二次式的性質(zhì),求得命題的充要條件,結(jié)合選項(xiàng)和充分不必要的判定方法,即可求解.【詳解】由題意,命題不等式的解集為,即不等式的解集為,可得,解得,即命題的充要條件為,結(jié)合選項(xiàng),可得,所以是的一個(gè)充分不必要條件.故選:D.9、D【解析】設(shè)出扇形半徑并表示出弧長(zhǎng)后,由扇形面積公式求出取到面積最大時(shí)半徑的長(zhǎng)度,代入圓心角弧度公式即可得解.【詳解】設(shè)扇形半徑,易得,則由已知該扇形弧長(zhǎng)為.記扇形面積為,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取到最大值,此時(shí)記扇形圓心角為,則故選:D10、B【解析】連接,根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)和線(xiàn)面角的定義可知:是直線(xiàn)與平面ABCD所成角,在底面ABCD中,利用勾股定理可以求出,在中,利用銳角三角函數(shù)知識(shí)可以求出的大小.【詳解】連接,在長(zhǎng)方體中,顯然有平面ABCD,所以是直線(xiàn)與平面ABCD所成角,在底面ABCD中,,在中,,故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)面角的求法,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】由系數(shù)為1解出的值,再由單調(diào)性確定結(jié)論【詳解】由題意,解得或,若,則函數(shù)為,在上遞增,不合題意若,則函數(shù)為,滿(mǎn)足題意故答案為:12、【解析】利用指數(shù)的運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即求.【詳解】原式.故答案為:.13、①②③④【解析】分別作出,和的函數(shù)的圖象,由圖象即可判斷①②③④的正確性,即可得正確答案.【詳解】如上圖分別為,和時(shí)函數(shù)的圖象,對(duì)于①:當(dāng)時(shí),,圖象如圖關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以存在使得函數(shù)為奇函數(shù),故①正確;對(duì)于②:由三個(gè)圖知當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)既無(wú)最大值也無(wú)最小值;故②正確;對(duì)于③:如圖和圖中存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)圖象與沒(méi)有交點(diǎn),此時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn),所以對(duì)任意實(shí)數(shù)和,函數(shù)總存在零點(diǎn)不成立;故③不正確對(duì)于④:如圖,對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù),取即可使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,故④正確;故答案為:①②④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題解題關(guān)鍵點(diǎn)是分段函數(shù)圖象,涉及二次函數(shù)的圖象,要討論,和即明確分段區(qū)間,作出函數(shù)圖象,數(shù)形結(jié)合可研究分段函數(shù)的性質(zhì).14、和【解析】令y=0,直接解出零點(diǎn).【詳解】令y=0,即,解得:和故答案為:和【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解15、【解析】將題干中的兩個(gè)等式先平方再相加,利用兩角差的余弦公式可求得結(jié)果.【詳解】由,,兩式相加有,可得故答案為:.16、【解析】利用誘導(dǎo)公式直接化簡(jiǎn)計(jì)算即可得出答案.【詳解】sin150°=sin(180°﹣30°)=sin30°.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1),證明見(jiàn)解析(2)(3)【解析】(1)取得到,取得到,取得到,得到答案.(2)證明函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,得到,結(jié)合定義域得到答案.(3)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性得到,考慮,,三種情況,得到函數(shù)的最值,解不等式得到答案.【小問(wèn)1詳解】取得到,得到,取得到,得到,取得到,即,故函數(shù)為偶函數(shù).【小問(wèn)2詳解】設(shè),則,,故,即,函數(shù)單調(diào)遞減.函數(shù)為偶函數(shù),故函數(shù)在上單調(diào)遞增.,故,且,解得.【小問(wèn)3詳解】,根據(jù)(2)知:,,恒成立,故,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,,故.綜上所述:,解得,,故.18、(1);(2)【解析】(1)先由誘導(dǎo)公式及倍角公式得,再由周期求得,由正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求對(duì)稱(chēng)軸方程即可;(2)先由圖象平移求出,再求出,即可求出在上的值域【小問(wèn)1詳解】,則,解得,則,令,解得,故圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為.【小問(wèn)2詳解】,,則,,則在上的值域?yàn)?19、(1)18元;(2),此時(shí)每瓶飲料的售價(jià)為16元.【解析】(1)先求售價(jià)為元時(shí)的銷(xiāo)售收入,再列不等式求解;(2)由題意有解,參變分離后求的最小值.【詳解】(1)設(shè)每平售價(jià)為元,依題意有,即,解得:,所以要使月銷(xiāo)售收入不低于原來(lái)的月銷(xiāo)售收入,該飲料每瓶售價(jià)最多為18元;(2)當(dāng)時(shí),,有解,當(dāng)時(shí),即,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí)等號(hào)成立,,因此月銷(xiāo)售量要達(dá)到16萬(wàn)瓶時(shí),才能使技術(shù)革新后的月銷(xiāo)售收入不低于原來(lái)的月銷(xiāo)售收入與總投入之和,此時(shí)售價(jià)為16元.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,關(guān)鍵是讀懂題意,并能抽象出函數(shù)關(guān)系,第二問(wèn)的關(guān)鍵是理解當(dāng)時(shí),有能使不等式成立,即有解,求的取值范圍.20、①.②.或【解析】①.由題意設(shè)出圓心坐標(biāo),結(jié)合圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)得到方程組,求解方程組計(jì)算可得圓的方程為②.分類(lèi)討論直線(xiàn)的斜率存在和斜率不存在兩種情況可得直線(xiàn)的方程為或試題解析:①由題意可知,設(shè)圓心為則圓為:,∵圓過(guò)點(diǎn)和點(diǎn),∴,則即圓的方程為②設(shè)直線(xiàn)的方程為即,∵過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)截圖所得弦長(zhǎng)為,∴,則當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí),直線(xiàn)為,此時(shí)弦長(zhǎng)為符合題意,即直線(xiàn)的方程為或21、證明過(guò)程詳見(jiàn)解析【解析】(1)先證明DE∥A1C1,即證直線(xiàn)A1C1∥平面B1DE.(2)先證明DE⊥平面AA1B1B,再證明A1F⊥平面B1DE,即證平面AA1B1B⊥平面A1C1F.【詳解】證明:(1)∵D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),∴DE為△ABC的中位線(xiàn),∴DE∥AC,∵ABC-A1B1C1為棱柱,∴AC∥A1C1,∴DE∥A1C1,∵DE?平面B1DE,且A1C1?平面B1DE,∴A1C1∥平面B1DE;(2)在ABC-A1B1C1的直棱柱中,∴AA1⊥平面A1B1C1,∴A
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