安徽省皖南地區(qū)2025屆數(shù)學高二上期末達標檢測模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

安徽省皖南地區(qū)2025屆數(shù)學高二上期末達標檢測模擬試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)F為雙曲線C:(a>0,b>0)的右焦點,O為坐標原點,以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點.若|PQ|=|OF|,則C的離心率為A. B.C.2 D.2.若,滿足約束條件則的最大值是A.-8 B.-3C.0 D.13.下列命題中正確的是A.命題“若,則”的否命題為:“若,則”B.若命題,是假命題,則實數(shù)C.“”的一個充分不必要條件是“”D.命題“若,則”的逆否命題為真命題4.某次數(shù)學考試試卷評閱采用“雙評+仲裁”的方式,規(guī)則如下:兩位老師獨立評分,稱為一評和二評,當兩者所評分數(shù)之差的絕對值小于或等于分時,取兩者平均分為該題得分;當兩者所評分數(shù)之差的絕對值大于分時,再由第三位老師評分,稱之為仲裁,取仲裁分數(shù)和一、二評中與之接近的分數(shù)的平均分為該題得分.如圖所示,當,,時,則()A. B.C.或 D.5.已知數(shù)列滿足,且,則()A.2 B.3C.5 D.86.已知是拋物線:的焦點,直線與拋物線相交于,兩點,滿足,記線段的中點到拋物線的準線的距離為,則的最大值為()A. B.C. D.7.已知直線與直線垂直,則實數(shù)()A.10 B.C.5 D.8.“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年,如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣,記為圖中虛線上的數(shù)1,3,6,10,…構(gòu)成的數(shù)列的第n項,則的值為()A.1225 B.1275C.1326 D.13629.已知角為第二象限角,,則的值為()A. B.C. D.10.設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,則的值為()A.28 B.39C.56 D.11711.直線的傾斜角為()A.1 B.-1C. D.12.如圖,已知正方體,點P是棱中點,設(shè)直線為a,直線為b.對于下列兩個命題:①過點P有且只有一條直線l與a、b都相交;②過點P有且只有兩條直線l與a、b都成角.以下判斷正確的是()A.①為真命題,②為真命題 B.①為真命題,②為假命題C.①為假命題,②為真命題 D.①為假命題,②為假命題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知是雙曲線的左、右焦點,點M是雙曲線E上的任意一點(不是頂點),過作角平分線的垂線,垂足為N,O是坐標原點.若,則雙曲線E的漸近線方程為__________14.已知橢圓:的右焦點為,且經(jīng)過點(1)求橢圓的方程以及離心率;(2)若直線與橢圓相切于點,與直線相交于點.在軸是否存在定點,使?若存在,求出點的坐標;若不存在,說明理由15.已知曲線,①若,則是橢圓,其焦點在軸上;②若,則是圓,其半徑為;③若,則是雙曲線,其漸近線方程為;④若,,則是兩條直線.以上四個命題,其中正確的序號為_________.16.已知拋物線的焦點F為,過點F的直線交該拋物線的準線于點A,與該拋物線的一個交點為B,且,則______三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖甲是由正方形,等邊和等邊組成的一個平面圖形,其中,將其沿,,折起得三棱錐,如圖乙.(1)求證:平面平面;(2)過棱作平面交棱于點,且三棱錐和的體積比為,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知函數(shù).(1)當時,求曲線在點處的切線方程;(2)試討論函數(shù)的單調(diào)性.19.(12分)已知函數(shù)是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù),且當時,(1)求的解析式;(2)若在上恒成立,求的取值范圍20.(12分)在中,,,的對邊分別是,,,已知.(1)求;(2)若,且的面積為4,求的周長21.(12分)數(shù)列的前n項和為,(1)求數(shù)列的通項公式;(2)令,求數(shù)列的前n項和22.(10分)(1)已知集合,.:,:,并且是的充分條件,求實數(shù)的取值范圍(2)已知:,,:,,若為假命題,求實數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】準確畫圖,由圖形對稱性得出P點坐標,代入圓的方程得到c與a關(guān)系,可求雙曲線的離心率【詳解】設(shè)與軸交于點,由對稱性可知軸,又,為以為直徑的圓的半徑,為圓心,又點在圓上,,即,故選A【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解,難度適中,審題時注意半徑還是直徑,優(yōu)先考慮幾何法,避免代數(shù)法從頭至尾,運算繁瑣,準確率大大降低,雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題,需強化練習,才能在解決此類問題時事半功倍,信手拈來2、C【解析】作出可行域,把變形為,平移直線過點時,最大.【詳解】作出可行域如圖:由得:,作出直線,平移直線過點時,.故選C.【點睛】本題主要考查了簡單線性規(guī)劃問題,屬于中檔題.3、C【解析】.命題的否定是同時否定條件和結(jié)論;.將當成真命題解出的范圍,再取補集即可;.求出“”的充要條件再判斷即可;.判斷原命題的真假即可【詳解】解:對于A:命題“若,則”的否命題為:“若,則“,故A錯誤;對于B:當命題,是真命題時,,所以,又因為命題為假命題,所以,故B錯誤;對于C:由“”解得:,故“”是“”的充分不必要條件,故C正確;對于D:因為命題“若,則”是假命題,所以其逆否命題也是假命題,故D錯誤;故選:C4、B【解析】按照框圖考慮成立和不成立即可求解.【詳解】因為,,,所以輸入,當成立時,,即,解得,,滿足條件;當不成立時,,即,解得,,不滿足條件;故.故選:B.5、D【解析】使用遞推公式逐個求解,直到求出即可.【詳解】因為所以,,,.故選:D6、C【解析】設(shè),過點,分別作拋物線的準線的垂線,垂足分別為,進而得,再結(jié)合余弦定理得,進而根據(jù)基本不等式求解得.【詳解】解:設(shè),過點,分別作拋物線的準線的垂線,垂足分別為,則,因為點為線段中點,所以根據(jù)梯形中位線定理得點到拋物線的準線的距離為,因為,所以在中,由余弦定理得,所以,又因為,所以,當且僅當時等號成立,所以,故.所以的最大值為.故選:C【點睛】本題考查拋物線的定義,直線與拋物線的位置關(guān)系,余弦定理,基本不等式,考查運算求解能力,是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意,設(shè),進而結(jié)合拋物線的定于與余弦定理得,,再求最值.7、B【解析】根據(jù)兩直線垂直,列出方程,即可求解.【詳解】由題意,直線與直線垂直,可得,解得.故選:B.8、B【解析】觀察前4項可得,從而可求得結(jié)果【詳解】由題意可得,……,觀察規(guī)律可得,所以,故選:B9、C【解析】由同角三角函數(shù)關(guān)系可得,進而直接利用兩角和的余弦展開求解即可.【詳解】∵,是第二象限角,∴,∴.故選:C.10、B【解析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為等差數(shù)列中,,則.故選:B.11、C【解析】根據(jù)直線斜率的定義即可求解.【詳解】,斜率為1,則傾斜角為.故選:C.12、A【解析】①由正方形的性質(zhì),可以延伸正方形,再利用兩條平行線確定一個平面即可;②一組鄰邊與對角面夾角相等,在平面內(nèi)繞P轉(zhuǎn)動,可以得到二條直線與a、b的夾角都等于.【詳解】如下圖所示,在側(cè)面正方形和再延伸一個正方形和,則平面和在同一個平面內(nèi),所以過點P,有且只有一條直線l,即與a、b相交,故①為真命題;取中點N,連PN,由于a、b為異面直線,a、b的夾角等于與b的夾角.由于平面,平面,,所以平面,所以與與b的夾角都為.又因為平面,所以與與b的夾角都為,而,所以過點P,在平面內(nèi)存在一條直線,使得與與b的夾角都為,同理可得,過點P,在平面內(nèi)存在一條直線,使得與與的夾角都為;故②為真命題.故選:A二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】延長交于點,利用角平分線結(jié)合中位線和雙曲線定義求得的關(guān)系,然后利用,及漸近線方程即可求得結(jié)果.【詳解】延長交于點,∵是的平分線,,,又是中點,所以,且,又,,,又,雙曲線E的漸近線方程為故答案為:.14、(1),;(2)存在定點,為【解析】(1)利用,,求解方程(2)設(shè)直線方程為,與橢圓聯(lián)立利用判別式等于0得,并求得切點坐標及,假設(shè)存在點,利用化簡求值【詳解】(1)由已知得,,,,橢圓的方程為,離心率為;(2)在軸存在定點,為使,證明:設(shè)直線方程為代入得,化簡得由,得,,設(shè),則,,則,設(shè),則,則假設(shè)存在點解得所以在軸存在定點使【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查切線的應用,利用判別式等于0得坐標是解決問題的關(guān)鍵,考查計算能力,是中檔題15、①③④【解析】通過m,n的取值判斷焦點坐標所在軸,判斷①,求出圓的半徑判斷②;通過求解雙曲線的漸近線方程,判斷③;利用,,判斷曲線是否是兩條直線判斷④【詳解】解:①若,則,因為方程化為:,焦點坐標在y軸,所以①正確;②若,則C是圓,其半徑為:,不一定是,所以②不正確;③若,則C是雙曲線,其漸近線方程為,化簡可得,所以③正確;④若,,方程化為,則C是兩條直線,所以④正確;故答案為:①③④16、【解析】作垂直于準線,垂足為,準線與軸交于點,根據(jù)已知條件,利用幾何方法,結(jié)合拋物線的定義得到答案.【詳解】拋物線的焦點坐標,準線方程,作垂直于準線于,準線與軸交于點,則,∴.∵,∴,由拋物線的定義得,∴.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】(1)取的中點為,連接,,證明,,即證平面,即證得面面垂直;(2)建立如圖空間直角坐標系,寫出對應點的坐標和向量的坐標,再計算平面法向量,利用所求角的正弦為即得結(jié)果.【詳解】(1)證明:如圖,取的中點為,連接,.∵,∴.∵,,∴,同理.又,∴,∴.∵,,平面,∴平面.又平面,∴平面平面;(2)解:如圖建立空間直角坐標系,根據(jù)邊長關(guān)系可知,,,,,∴,.∵三棱錐和的體積比為,∴,∴,∴.設(shè)平面的法向量為,則,令,得.設(shè)直線與平面所成角為,則.∴直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】方法點睛:求空間中直線與平面所成角的常見方法為:(1)定義法:直接作平面的垂線,找到線面成角;(2)等體積法:不作垂線,通過等體積法間接求點到面的距離,距離與斜線長的比值即線面成角的正弦值;(3)向量法:利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對值,即是線面成角的正弦值.18、(1)(2)詳見解析.【解析】(1)由,求導,得到,寫出切線方程;(2)求導,再分,,討論求解.【小問1詳解】解:因為,所以,則,所以,所以曲線在點處的切線方程是,即;【小問2詳解】因為,所以,當時,成立,則在上遞減;當時,令,得,當時,,當時,,所以在上遞減,在上遞增;綜上:當時,在上遞減;當時,在上遞減,在上遞增;19、(1),(2)實數(shù)的取值范圍是【解析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式;(2)將恒成立轉(zhuǎn)化為令,恒成立,討論二次函數(shù)系數(shù),結(jié)合根的分布.【詳解】解:(1)因為函數(shù)是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù),所以,當時,則所以當時所以(2)因為時,在上恒成立等價于即在上恒成立令,則①當時,不恒成立,故舍去②當時必有,此時對稱軸若即或時,恒成立因為,所以若即時,要使恒成立則有與矛盾,故舍去綜上,實數(shù)的取值范圍是【點睛】應用函數(shù)奇偶性可解決的四類問題及解題方法(1)求函數(shù)值:將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解;(2)求解析式:先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求解,或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于的方程(組),從而得到的解析式;(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值:利用待定系數(shù)法求解,根據(jù)得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組),進而得出參數(shù)的值;(4)畫函數(shù)圖象和判斷單調(diào)性:利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性.20、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)正弦定理及題中條件,可得,化簡整理,即可求解(2)由的面積為4,結(jié)合(1)中結(jié)論,可得,結(jié)合余弦定理,可得,從而可求的周長【詳解】解:(1)由及正弦定理得,,又,∴,∴,∴.(2)∵的面積為,∴.由余弦定理得,∴.故的周長為.【點睛】本題考查正弦定理應用,余弦定理解三角形,三角形面積公式,考查計算化簡的能力,屬基礎(chǔ)題21、(1);(2).【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合“當時,”計算作答.(2)由(1)求出,利用裂項相消法計算得解.【小問1詳解】數(shù)列的前n項和為,,當時,,當時,,滿足上式,則,所以數(shù)列的通項公式是【小問2詳解】由(1)知,,所以,所以數(shù)列的前n項和22、(1);(2)【解析】(1)由二次函數(shù)的性

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