2025屆安徽省三人行名校聯(lián)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析_第1頁(yè)
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2025屆安徽省三人行名校聯(lián)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.“”是“方程表示橢圓”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2.在等差數(shù)列中,已知,則數(shù)列的前6項(xiàng)之和為()A.12 B.32C.36 D.373.設(shè)雙曲線與冪函數(shù)的圖象相交于,且過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切于,則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.4.已知關(guān)于的不等式的解集為,則不等式的解集為()A.或 B.C.或 D.5.有這樣一道題目:“戴氏善屠,日益功倍.初日屠五兩,今三十日屠訖,向共屠幾何?”其意思為:“有一個(gè)姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5兩肉,共屠了30天,問(wèn)一共屠了多少兩肉?"在這個(gè)問(wèn)題中,該屠夫前5天所屠肉的總兩數(shù)為()A.35 B.75C.155 D.3156.已知命題p:,總有,則為()A.,使得 B.,使得C.,總有 D.,總有7.已知雙曲線C:(a>0,b>0),斜率為的直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn),且線段的中點(diǎn)為P(2,4),則雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.8.設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和是,若,則的通項(xiàng)公式可以是()A. B.C. D.9.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,則()A.3 B.5C.6 D.1010.小方每次投籃的命中率為,假設(shè)每次投籃相互獨(dú)立,則他連續(xù)投籃2次,恰有1次命中的概率為()A. B.C. D.11.某公司有320名員工,將這些員工編號(hào)為1,2,3,…,320,從這些員工中使用系統(tǒng)抽樣的方法抽取20人進(jìn)行“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的問(wèn)卷調(diào)查,若54號(hào)被抽到,則下面被抽到的是()A.72號(hào) B.150號(hào)C.256號(hào) D.300號(hào)12.直線的傾斜角為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知橢圓的離心率為.(1)證明:;(2)若點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部,過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn),為線段的中點(diǎn),且.①求直線的方程;②求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn):平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn),的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓.人們將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓,簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)滿足,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線,給出下列四個(gè)結(jié)論:①曲線方程為;②曲線上存在點(diǎn),使得到點(diǎn)的距離為;③曲線上存在點(diǎn),使得到點(diǎn)的距離大于到直線的距離;④曲線上存在點(diǎn),使得到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.15.兩個(gè)人射擊,互相獨(dú)立.已知甲射擊一次中靶概率是0.6,乙射擊一次中靶概率是0.3,現(xiàn)在兩人各射擊一次,中靶至少一次就算完成目標(biāo),則完成目標(biāo)的概率為_(kāi)____________16.如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位:件).若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等,且平均值也相等,則x=_____________,y=_____________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)某種機(jī)械設(shè)備隨著使用年限的增加,它的使用功能逐漸減退,使用價(jià)值逐年減少,通常把它使用價(jià)值逐年減少的“量”換算成費(fèi)用,稱之為“失效費(fèi)”.某種機(jī)械設(shè)備的使用年限(單位:年)與失效費(fèi)(單位:萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示:使用年限(單位:年)1234567失效費(fèi)(單位:萬(wàn)元)2.903.303.604.404.805.205.90(1)由上表數(shù)據(jù)可知,可用線性回歸模型擬合與關(guān)系.請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明;(精確到0.01)(2)求出關(guān)于的線性回歸方程,并估算該種機(jī)械設(shè)備使用8年的失效費(fèi)參考公式:相關(guān)系數(shù)線性回歸方程中斜率和截距最小二乘估計(jì)計(jì)算公式:,參考數(shù)據(jù):,,18.(12分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c,其中,,且(1)求角B的值;(2)若,判斷△ABC的形狀19.(12分)設(shè)圓的圓心為A,直線l過(guò)點(diǎn)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E(1)判斷與題中圓A的半徑的大小關(guān)系,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程;(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為,的兩條直線,分別交點(diǎn)E的軌跡于M,N兩點(diǎn),且,證明:直線MN必過(guò)定點(diǎn)20.(12分)已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn),,且圓心C在直線上(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)向圓C引兩條切線PD,PE,切點(diǎn)分別為D,E,求切線PD,PE的方程,并求弦DE的長(zhǎng)21.(12分)如圖,在四棱錐中,底面ABCD是矩形,M是PA的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),平面ABCD,且,(1)求證:∥平面PCD;(2)求平面MBC與平面ABCD夾角的余弦值22.(10分)已知拋物線:上的點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為5.(1)求拋物線的方程;(2)已知為原點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,若的面積為6,求點(diǎn)的坐標(biāo).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)方程表示橢圓,且2,再判斷必要不充分條件即可.【詳解】解:方程表示橢圓滿足,解得,且2所以“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選:B2、C【解析】直接按照等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】數(shù)列的前6項(xiàng)之和為.故選:C.3、B【解析】設(shè)直線方程為,聯(lián)立,利用判別式可得,進(jìn)而可求,再結(jié)合雙曲線的定義可求,即得.【詳解】可設(shè)直線方程為,聯(lián)立,得,由題意得,∴,,∴,即,由雙曲線定義得,.故選:B.4、A【解析】由一元二次不等式的解集可得且,確定a、b、c間的數(shù)量關(guān)系,再求的解集.【詳解】由題意知:且,得,從而可化為,等價(jià)于,解得或.故選:A.5、C【解析】構(gòu)造等比數(shù)列模型,利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題意可得該屠夫每天屠的肉成等比數(shù)列,記首項(xiàng)為,公比為,前項(xiàng)和為,所以,,因此前5天所屠肉的總兩數(shù)為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列模型,考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】由含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因?yàn)槊}p:,總有是全稱量詞命題,所以其否定為存在量詞命題,即,使得,故選:B7、C【解析】設(shè),代入雙曲線方程相減后可求得,從而得漸近線方程【詳解】設(shè),則,相減得,∴,又線段的中點(diǎn)為P(2,4),的斜率為1,∴,,∴漸近線方程為故選:C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:本題考查求雙曲線的漸近線方程,已知弦的中點(diǎn)(或涉及到中點(diǎn)),可設(shè)弦兩端點(diǎn)的坐標(biāo),代入雙曲線方程后作差,作差后式子中有直線的斜率,弦中點(diǎn)坐標(biāo),有.這種方法叫點(diǎn)差法8、D【解析】根據(jù)題意可得公差的范圍,再逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】解:設(shè)等差數(shù)列的公差為,由,得,所以,故AB錯(cuò)誤;若,則,與題意矛盾,故C錯(cuò)誤;若,則,符合題意.故選:D.9、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,由題中條件,即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列,由,可得,,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),以及等差數(shù)列前項(xiàng)和的基本量運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題型.10、A【解析】先弄清連續(xù)投籃2次,恰有1次命中的情況有兩種,它們是互斥關(guān)系,因此根據(jù)相互獨(dú)立事件以及互斥事件的概率計(jì)算公式進(jìn)行求解.【詳解】由題意知,他連續(xù)投籃2次,有兩種互斥的情況,即第一次投中第二次不中和第一次不中第二次投中,因此恰有1次命中的概率為,故選:A.11、B【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣分成20個(gè)小組,每組16人中抽一人,故抽到的序號(hào)相差16的整數(shù)倍,即可求解.【詳解】∵用系統(tǒng)抽樣的方法從320名員工中抽取一個(gè)容量為20的樣本∴,即每隔16人抽取一人∵54號(hào)被抽到∴下面被抽到的是54+16×6=150號(hào),而其他選項(xiàng)中的數(shù)字不滿足與54相差16的整數(shù)倍,故答案為:B故選:B12、D【解析】若直線傾斜角為,由題設(shè)有,結(jié)合即可得傾斜角的大小.【詳解】由直線方程,若其傾斜角為,則,而,∴.故選:D二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、(1)證明見(jiàn)解析;(2)①;②.【解析】(1)由可證得結(jié)論成立;(2)①設(shè)點(diǎn)、,利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率,利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程;②將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,由可得出,利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于的等式,可求出的值,即可得出橢圓的方程.【詳解】(1),,因此,;(2)①由(1)知,橢圓的方程為,即,當(dāng)在橢圓的內(nèi)部時(shí),,可得.設(shè)點(diǎn)、,則,所以,,由已知可得,兩式作差得,所以,所以,直線方程為,即.所以,直線的方程為;②聯(lián)立,消去可得.,由韋達(dá)定理可得,,又,而,,,解得合乎題意,故,因此,橢圓的方程為.14、①④【解析】設(shè),根據(jù)滿足,利用兩點(diǎn)間距離公式化簡(jiǎn)整理,即可判斷①是否正確;由①可知,圓上的點(diǎn)到的距離的范圍為,進(jìn)而可判斷②是否正確;設(shè),根據(jù)題意可知,再根據(jù)在曲線上,可得,由此即可判斷③是否正確;由橢圓的的定義,可知在橢圓上,再根據(jù)橢圓與曲線的位置關(guān)系,即可判斷④是否正確.【詳解】設(shè),因?yàn)闈M足,所以,整理可得:,即,所以①正確;對(duì)于②中,由①可知,點(diǎn)在圓的外部,因?yàn)榈綀A心的距離,半徑為,所以圓上的點(diǎn)到的距離的范圍為,而,所以②不正確;對(duì)于③中,假設(shè)存在,使得到點(diǎn)的距離大于到直線的距離,又,到直線的距離,所以,化簡(jiǎn)可得,又,所以,即,故假設(shè)不成立,故③不正確;對(duì)于④中,假設(shè)存在這樣的點(diǎn),使得到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為,則在以點(diǎn)與點(diǎn)為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為的橢圓上,即在橢圓上,易知橢圓與曲線有交點(diǎn),故曲線上存在點(diǎn),使得到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為;所以④正確.故答案為:①④.15、72【解析】利用獨(dú)立事件的概率乘法公式和對(duì)立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由題意可知,若甲、乙兩個(gè)各射擊1次,至少有一人命中目標(biāo)的概率為.故答案為:16、①.3②.5【解析】根據(jù)莖葉圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,列方程求出x、y.【詳解】由題意,甲組數(shù)據(jù)為56,62,65,70+x,74;乙組數(shù)據(jù)為59,61,67,60+y,78.要使兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相等,有65=60+y,所以y=5.又平均數(shù)相同,則,解得x=3.故答案為:3;5.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)答案見(jiàn)解析;(2);失效費(fèi)為6.3萬(wàn)元【解析】(1)根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算出相關(guān)系數(shù)可得結(jié)果;(2)根據(jù)公式求出和可得關(guān)于的線性回歸方程,再代入可求出結(jié)果.【詳解】(1)由題意,知,,∴結(jié)合參考數(shù)據(jù)知:因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,所以與的線性相關(guān)程度相當(dāng)大,從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系(2)∵,∴∴關(guān)于的線性回歸方程為,將代入線性回歸方程得萬(wàn)元,∴估算該種機(jī)械設(shè)備使用8年的失效費(fèi)為6.3萬(wàn)元18、(1)(2)等邊三角形【解析】(1)把化為,然后由正弦定理化邊為角,利用兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式可求得;(2)由余弦定理及三角形面積公式可得,從而得出三角形為等邊三角形【小問(wèn)1詳解】∵,∴由正弦定理得,∵,∴,∴,又,所以,可得;【小問(wèn)2詳解】由(1)知余弦定理,①,②由①②可得:,又,所以,所以該三角形為等邊三角形19、(1)與半徑相等,(2)證明見(jiàn)解析【解析】(1)依據(jù)橢圓定義去求點(diǎn)E的軌跡方程事半功倍;(2)直線MN要分為斜率存在的和不存在的兩種情況進(jìn)行討論,由設(shè)而不求法把條件轉(zhuǎn)化為直線MN過(guò)定點(diǎn)的條件即可解決.【小問(wèn)1詳解】圓即為,可得圓心,半徑,由,可得,由,可得,即為,即有,則,所以其與半徑相等.因?yàn)?,故E的軌跡為以A,B為焦點(diǎn)的橢圓(不包括左右頂點(diǎn)),且有,,即,,,則點(diǎn)E的軌跡方程為;【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí),設(shè)直線方程為,則,,,,則,∴,此時(shí)直線MN的方程為當(dāng)直線MN斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為:,與橢圓方程聯(lián)立:,得,設(shè),,有則將*式代入化簡(jiǎn)可得:,即,∴,此時(shí)直線MN:,恒過(guò)定點(diǎn)又直線MN斜率不存在時(shí),直線MN:也過(guò),故直線MN過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法,數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì);另外,由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法,很多問(wèn)題便迎刃而解,且解法簡(jiǎn)捷。20、(1)(2)或,【解析】(1)設(shè)圓心,根據(jù)圓心在直線上及圓過(guò)兩點(diǎn)建立方程求解即可;(2)分切線的斜率存在與不存在分類討論,利用圓心到切線的距離等于半徑求解,再根據(jù)圓的切線的幾何性質(zhì)求弦長(zhǎng)即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓心,因?yàn)閳A心C在直線上,所以①因?yàn)锳,B是圓上的兩點(diǎn),所以,所以,即②聯(lián)立①②

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