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江蘇省宿遷市沭陽(yáng)縣華沖高中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象可能是()A. B.C. D.2.某產(chǎn)品的銷(xiāo)售收入(萬(wàn)元)是產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù),且函數(shù)解析式為,生產(chǎn)成本(萬(wàn)元)是產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù),且函數(shù)解析式為,要使利潤(rùn)最大,則該產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)()A.6千臺(tái) B.7千臺(tái)C.8千臺(tái) D.9千臺(tái)3.設(shè),,若,其中是自然對(duì)數(shù)底,則()A. B.C. D.4.已知在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)Q(4,0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線l:上存在點(diǎn)P滿足.則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B.C. D.5.在中國(guó)古代,人們用圭表測(cè)量日影長(zhǎng)度來(lái)確定節(jié)氣,一年之中日影最長(zhǎng)一天被定為冬至.從冬至算起,依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣,其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列,若冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為31.5尺,小寒、雨水,清明日影長(zhǎng)之和為28.5尺,則大寒、驚蟄、谷雨日影長(zhǎng)之和為()A.25.5尺 B.34.5尺C.37.5尺 D.96尺6.在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B.C. D.7.南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子祖暅在數(shù)學(xué)上也有很多創(chuàng)造,其最著名的成就是祖暅原理:夾在兩個(gè)平行平面之間的幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截,如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等,現(xiàn)有一個(gè)圓柱體和一個(gè)長(zhǎng)方體,它們的底面面積相等,高也相等,若長(zhǎng)方體的底面周長(zhǎng)為,圓柱體的體積為,根據(jù)祖暅原理,可推斷圓柱體的高()A.有最小值 B.有最大值C.有最小值 D.有最大值8.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B.C. D.9.已知兩條直線:,:,且,則的值為()A.-2 B.1C.-2或1 D.2或-110.已知函數(shù),要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B.C. D.11.某海關(guān)緝私艇在執(zhí)行巡邏任務(wù)時(shí),發(fā)現(xiàn)其所在位置正西方向20nmile處有一走私船只,正以30nmile/h的速度向北偏東30°的方向逃竄,若緝私艇突然發(fā)生機(jī)械故障,20min后才以的速度開(kāi)始追趕,則在走私船只不改變航向和速度的情況下,緝私艇追上走私船只的最短時(shí)間為()A.1h B.C. D.12.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知直線l1:(1)x+y﹣2=0與l2:(1)x+ay﹣4=0平行,則a=_____.14.已知關(guān)于的不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.15.在報(bào)名的3名男教師和3名女教師中,選取3人參加義務(wù)獻(xiàn)血,要求男、女教師都有,則不同的選取方法數(shù)為_(kāi)_________.(結(jié)果用數(shù)值表示)16.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在雙曲線右支上,若線段PF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心,為半徑的圓上,且直線PF的斜率為,則該雙曲線的離心率是______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線的準(zhǔn)線方程是,直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)(1)求拋物線的方程;(2)求弦長(zhǎng);(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:18.(12分)兩人下棋,每局均無(wú)和棋且獲勝的概率為,某一天這兩個(gè)人要進(jìn)行一場(chǎng)五局三勝的比賽,勝者贏得2700元獎(jiǎng)金,(1)分別求以獲勝、以獲勝的概率;(2)若前兩局雙方戰(zhàn)成,后因?yàn)槠渌露K止比賽,間,怎么分獎(jiǎng)金才公平?19.(12分)已知橢圓,其焦點(diǎn)為,,離心率為,若點(diǎn)滿足.(1)求橢圓的方程;(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),的重心滿足:,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知橢圓C:的離心率為,,是橢圓的左、右焦點(diǎn),過(guò)且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1(1)求橢圓C的方程;(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),求(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積的最大值21.(12分)已知是公差不為零等差數(shù)列,,且、、成等比數(shù)列(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式:(2)設(shè).?dāng)?shù)列{}的前項(xiàng)和為,求證:22.(10分)已知函數(shù),為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí),證明,,;(2)若函數(shù)在上存在極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系可作答【詳解】原函數(shù)在上先減后增,再減再增,對(duì)應(yīng)到導(dǎo)函數(shù)先負(fù)再正,再負(fù)再正,且原函數(shù)在處與軸相切,故可知,導(dǎo)函數(shù)圖象為D故選:D2、A【解析】構(gòu)造利潤(rùn)函數(shù),求導(dǎo),判斷單調(diào)性,求得最大值處對(duì)應(yīng)的自變量即可.【詳解】設(shè)利潤(rùn)為y萬(wàn)元,則,∴.令,解得(舍去)或,經(jīng)檢驗(yàn)知既是函數(shù)的極大值點(diǎn)又是函數(shù)的最大值點(diǎn),∴應(yīng)生產(chǎn)6千臺(tái)該產(chǎn)品.故選:A【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某區(qū)間上最值的規(guī)律:(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減,與一個(gè)為最大值,一個(gè)為最小值(2)若函數(shù)在閉區(qū)間上有極值,要先求出上的極值,與,比較,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成(3)函數(shù)在區(qū)間上有唯一一個(gè)極值點(diǎn),這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或小)值點(diǎn),此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到3、A【解析】利用函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項(xiàng).【詳解】令,因?yàn)榫鶠?,故為上的增函?shù),由可得,故,故選:A.4、A【解析】根據(jù)給定直線設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),再借助列出關(guān)于的不等式,然后由不等式有解即可計(jì)算作答.【詳解】因點(diǎn)P在直線l:上,則設(shè),于是有,而,因此,,即,依題意,上述關(guān)于的一元二次不等式有實(shí)數(shù)解,從而有,解得,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選:A5、A【解析】由題意可知,十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列,設(shè)冬至日的日影長(zhǎng)為尺,公差為尺,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,求出,即可求出,從而得到答案【詳解】設(shè)從冬至日起,小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列{},如冬至日的日影長(zhǎng)為尺,設(shè)公差為尺.由題可知,所以,,,,故選:A6、B【解析】結(jié)合已知條件,利用對(duì)稱(chēng)的概念即可求解.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則線段垂直于軸且的中點(diǎn)在軸,從而點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選:B.7、C【解析】由條件可得長(zhǎng)方體的體積為,設(shè)長(zhǎng)方體的底面相鄰兩邊分別為,根據(jù)基本不等式,可求出底面面積的最大值,進(jìn)而求出高的最小值,得出結(jié)論.【詳解】依題意長(zhǎng)方體的體積為,設(shè)圓柱的高為長(zhǎng)方體的底面相鄰兩邊分別為,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景,考查基本不等式求最值,要認(rèn)真審題,理解題意,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】求導(dǎo)后,利用求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解:,則,由得,故選:D.9、B【解析】?jī)芍本€平行,傾斜角相等,斜率均不存在或斜率存在且相等,據(jù)此即可求解.【詳解】:,:斜率不可能同時(shí)不存在,∴和斜率相等,則或,∵m=-2時(shí),和重合,故m=1.另解:,故m=1.故選:B.10、A【解析】要使函數(shù)有三個(gè)解,則與圖象有三個(gè)交點(diǎn),數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】要使函數(shù)有三個(gè)解,則與圖象有三個(gè)交點(diǎn),因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以,可得在上遞減,在遞增,所以,有最小值,且時(shí),,當(dāng)趨向于負(fù)無(wú)窮時(shí),趨向于0,但始終小于0,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,由圖像可知:所以要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則.故選:A11、A【解析】設(shè)小時(shí)后,相遇地點(diǎn)為,在三角形中根據(jù)題目條件得出,再在三角形中,由勾股定理即可求出.【詳解】以緝私艇為原點(diǎn),建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系.圖中走私船所在位置為,設(shè)緝私艇追上走私船的最短時(shí)間為,相遇地點(diǎn)為.則,走私船以的速度向北偏東30°的方向逃竄,60°.因?yàn)?0min后緝私艇才以的速度開(kāi)始追趕走私船,所以20min走私船行走了,到達(dá).在三角形中,由余弦定理知:,則,所以.在三角形中,,,有:,化簡(jiǎn)得:,則.緝私艇追上走私船只的最短時(shí)間為1h.故選:A.點(diǎn)睛】12、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在有解,進(jìn)而求函數(shù)的最值,即可求出的范圍.【詳解】∵,∴,若在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間,則有解,故,令,則在單調(diào)遞增,,故.故選:D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求解【詳解】因?yàn)橐阎獌芍本€平行,所以,解得故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行的充要條件,兩直線平行的充要條件是,或,在均不為0時(shí),用表示容易理解與記憶14、【解析】參變分離,可得,設(shè),求導(dǎo)分析單調(diào)性,可得,即得解【詳解】因?yàn)?,所以不等式可化為,設(shè),則,設(shè),由于故在上單調(diào)遞增,且,則當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,所以,則,即.故答案為:15、18【解析】由題設(shè),選取方式有兩男教師一女教師或兩女教師一男教師,應(yīng)用組合數(shù)求出選取方法數(shù).【詳解】選取方式有:選兩男教師一女教師或選兩女教師一男教師,∴不同的選取方法有:種.故答案為:18.16、3【解析】如圖利用條件可得,,然后利用雙曲線的定義可得,即求.【詳解】如圖設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為,線段PF的中點(diǎn)為M,連接,則,又直線PF的斜率為,∴在直角三角形中,,∴,∴,即,∴.故答案:3.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2);(3)詳見(jiàn)解析.【解析】(1)根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程求解;(2)由直線方程與拋物線方程聯(lián)立,利用弦長(zhǎng)公式求解;(3)結(jié)合韋達(dá)定理,利用數(shù)量積運(yùn)算證明;【小問(wèn)1詳解】解:因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程是,所以,解得,所以拋物線的方程是;【小問(wèn)2詳解】由,得,設(shè),則,所以;【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?,,,所以,?18、(1)以獲勝、以獲勝的概率分別是;(2)分給分別元,元.【解析】(1)以獲勝、以獲勝,則分別要連勝三局,前三局勝兩局輸一局,第四局勝利;(2)求出若兩局之后正常結(jié)束比賽時(shí),的勝率,按照勝率分獎(jiǎng)金.【小問(wèn)1詳解】設(shè)以獲勝、以獲勝的事件分別為,依題意要想獲勝,必須從第一局開(kāi)始連勝局,;要想獲勝,則前局只能勝局,且第局勝利,故概率;【小問(wèn)2詳解】設(shè)前兩局雙方戰(zhàn)成后勝,勝的事件分別為.若勝,則可能連勝局,或者局只勝場(chǎng),第局勝,故概率;由于兩人比賽沒(méi)有和局,獲勝的概率為,則獲勝的概率為,若勝,則可能連勝局,或者局只勝場(chǎng),第局勝,故概率.故獎(jiǎng)金應(yīng)分給元,分給元.19、(1)(2)【解析】(1)運(yùn)用橢圓的離心率公式,結(jié)合橢圓的定義可得在橢圓上,代入橢圓方程,求出,,即可求橢圓的方程;(2)設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線和橢圓方程,利用根與系數(shù)之間的關(guān)系、以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】依題意得,點(diǎn),滿足,可得在橢圓上,可得:,且,解得,,所以橢圓的方程為;【小問(wèn)2詳解】設(shè),,,,,,當(dāng)時(shí),,此時(shí)A,B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),則重心為,由得:,則,此時(shí)與橢圓不會(huì)有兩交點(diǎn),故不合題意,故;聯(lián)立與橢圓方程,可得,可得,化為,,,①,設(shè)的重心,由,可得②由重心公式可得,代入②式,整理可得可得③①式代入③式并整理得,則,,令,則,可得,,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程以及直線和橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,利用消元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程形式是解決本題的關(guān)鍵.20、(1);(2)1.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合列式計(jì)算得解.(2)設(shè)出直線l的方程,與橢圓C的方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理結(jié)合均值不等式計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】橢圓C的半焦距為c,離心率,因過(guò)且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為1,將代入橢圓C方程得:,即,則有,解得,所以橢圓C的方程為.【小問(wèn)2詳解】由(1)知,,依題意,直線l的斜率不為0,則設(shè)直線l的方程為,,,由消去x并整理得:,,,的面積,,設(shè),,,,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)取得“=”,于是得,,所以面積的最大值為1.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí),要注意:(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件,明確確定直線、橢圓的條件;(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力,重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題21、(1);(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,根據(jù)題意可得出關(guān)于的方程,求出的值,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求得,利用裂項(xiàng)相消法求出,即可證得結(jié)論成立.【小問(wèn)1詳解】解:設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,由題意可得,即,整理可得,,解得,因此,.【小問(wèn)2詳解】證明:,因此,,故原不等式得證.22、(1)證明見(jiàn)解析:(2)【解析】(1)代入,求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性,再的最小值即可證明.(2),若函數(shù)在上存
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