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文檔簡介

專題16相似三角形的應用

考向1相似三角形在實際生活中的應用

局題呈現(xiàn)

【母題來源】(2021?浙江紹興)

【母題題文】如圖,樹AB在路燈。的照射下形成投影4C,已知路燈高產(chǎn)。=5加,樹影AC=3w,樹AB與

路燈。的水平距離AP=45w,則樹的高度AB長是()

A.2mB.3mC.D.

23

【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【解答】解:,:AB//OP,

.?.△CABs△CP。,

.ABAC

??"二■',

P0PC

?AB3

??"-二,,

53+4.5

."8=2(m),

故選:A.

【母題來源】(2021?浙江金華)

【母題題文】如圖1是一種利用鏡面反射,放大微小變化的裝置.木條BC上的點P處安裝一平面鏡,BC

與刻度尺邊MN的交點為。,從4點發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P反射后,在腦V上形成一個光點E.已知A8

LBC,MNJLBC,AB=6.5,BP=4,PD=S.

(1)ED的長為.

(2)將木條8C繞點B按順時針方向旋轉一定角度得到BC'(如圖2),點P的對應點為P',BC

與MN的交點為。',從A點發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P'反射后,在MN上的光點為E'.若。£>'=5,

則EE'的長為.

M-Mr

圖1圖2

【分析】(1)由題意可得,△ABPSAEQP,則3殳=及,進而可得出OE的長;

DEPD

(2)過點E'作/E'FG=NE'D'F,過點E'作E'GLBC'于點G,易得△48P's匕£FP',

由此可得一些一=駕二,在中,由勾股定理可求出3。'的長,可求出/B。'。的正切值,

E'FP'F

設P'尸的長,分別表示E'尸和E'D'及尸G和G。'的長,再根據(jù)8。'=13,可建立等式,可得結

論.

【解答】解:(1)如圖,由題意可得,NAPB=NEPD,ZB=ZEDP=90°,

:.AABPs^EDP,

.AB=BP

"DEPD"

VAB=6.5,BP=4,PD=8,

?.?.6’.5-_—4,

DE8

:.DE=13i

故答案為:13.

(2)如圖2,過點E'作/E'FD'=/E'D'F,過點E'作E'G1.BC'于點G,

圖2

:.E'F=E'D',FG=GD',

,:AB〃MN,

:.^ABD'+ZE'D'8=180°,

/.AABD'+/E'FG=180°,

■:NE'FB+ZE'FG=180°,

:.ZABP'=NE'FP',

又NAP'B=NE'P'F,

:./\ABP's△戌FP',

.AB_BP’即6.5_4

"FTP'F''E'FFT,

設P'F=4,n,則E'F=65m,

:.E'D'=6.5,〃,

在中,AHDD'=90°,DD'=5,Bl)=BP+PD=\2,

由勾股定理可得,BD'=13,

:.cosZBD'。=三

13

在RtZ\E'GD'中,cosZBD'D=-^-_=_L,

E'D'13

:.GD'=2.5切,

:.FG=GD'=2.5/n,

,:BP'+P'F+FG+GD'=13,

.'.4+4m+2.5m+2.5m=13,解得m=1,

:.E'D'=6.5,

:.EE'=DE+DD'-D'E'=13+5-6.5=11.5.

故答案為:11.5.

【母題來源】(2021?浙江湖州)

【母題題文】已知在平面直角坐標系xOy中,點A是反比例函數(shù)>=工(x>0)圖象上的一個動點,連結

X

AO,AO的延長線交反比例函數(shù)y=Ka>0,x<0)的圖象于點8,過點A作AELy軸于點£

圖1圖2

(1)如圖1,過點B作軸,于點F,連接EF.

①若%=1,求證:四邊形AEFO是平行四邊形:

②連結BE,若k=4,求△BOE的面積.

(2)如圖2,過點E作砂〃AB,交反比例函數(shù)y=K(后>0,x<0)的圖象于點P,連結OP.試探究:

X

對于確定的實數(shù)2,動點A在運動過程中,△POE的面積是否會發(fā)生變化?請說明理由.

【分析】(1)①設點A的坐標為(“,上),則當點k=l時,點B的坐標為(-a,-1),得出AE

aa

=OF,AE//OF,由平行四邊形的判定可得出結論;

Sn

②過點B作BOLy軸于點如圖1,證明△AEOS/^B。。,由相似三角形的性質(zhì)得出二杷°=(更1)2,

^ABDOBO

則可得出答案;

(2)過點尸作P,J_x軸于點“,PE與x軸交于點G,設點4的坐標為(a,-1),點P的坐標為",

a

區(qū)),則AE=“,OE=上,尸”=-上,證明△AEOSZ^G,P,由相似三角形的性質(zhì)得出幽圖L,解方

babGHPH

程得出且二由三角形面積公式可得出答案.

a2

【解答】(1)①證明:設點A的坐標為(a,-1),則當點左=1時,點8的坐標為(-“,-1),

aa

:.AE=OF=a,

軸,

S.AE//OF,

四邊形AEF。是平行四邊形;

②解:過點B作軸于點O,如圖1,

圖1

軸,

C.AE//BD,

△AEOS^BDO,

...也些=(9)2,

^ABDOBO

當人=4時,2=(空1)2,

2VB0)

B心」

B02

:?SABOE=2S/\AOE=1:

(2)不改變.

理由如卜:

過點P作PH±X軸于點H,PE與X軸交于點G,

?.?四邊形AEGO是平行四邊形,

:.ZEAO=ZEGO,AE=OG,

':ZEGO=ZPGH,

:.ZEAO=ZPGH,

又?:NPHG=NAEO,

AAEO^AGWP,

.AEEO

??—T

GHPH

,:GH=OH?OG=-b?a,

.aa

?.-二一,

-b-a上

"b-

(_L)23_QO,

aa

解得回=-l土五函,

a2

?:a,b異號,k>0,

?.?—b—=---l----V---l-+--4---k-f

a2____

1+1+4k

:.S^POE^—XOEX(-b)x—X(~b)=--j-x—=^.

22a2a4

...時于確定的實數(shù)k,動點A在運動過程中,△POE的面積不會發(fā)生變化.

府題解密

【試題分析】這些問題考察了相似三角形在實際生活中的應用,以及相似三角形與函數(shù)的結合問題;

【命題意圖】相似三角形的應用主要是通過將生活中的實物數(shù)學化,通過圖形的相似來解決一些簡單的實

際問題;而相似圖形與函數(shù)的結合問題則是函數(shù)圖象性質(zhì)與相似三角形性質(zhì)的結合考察,通常難度較大;

【命題方向】浙江中考中,相似圖形的簡單應用通常以選擇或填空題的簡單問題出現(xiàn),多考察相似中的A

字圖、8字圖等簡單相似模型,一般難度不大;而相似圖形與函數(shù)的結合問題則多為選擇填空的壓軸問題,

或者解答題的壓軸問題,難度一般較大,屬于中考中的重點考題形式。

【得分要點】

相似三角形在實際生活中的應用:

(-)建模思想:建立相似三角形的模型

(二)常見題目類型:

1.利用投影、平行線、標桿等構造相似三角形求解

2.測量底部可以到達的物體的高度

3.測量底部不可以到達的物體的高度

4.測量河的寬度

考向2相似多邊形與位似圖形

畫題呈現(xiàn)

【母題來源】(2021?浙江嘉興)

【母題題文】如圖,在直角坐標系中,AABC與△OOE是位似圖形,則它們位似中心的坐標是

【分析】根據(jù)圖示,對應點所在的直線都經(jīng)過同一點,該點就是位似中心.

點G(4,2)即為所求的位似中心.

故答案是:(4,2).

【母題來源】(2021?浙江溫州)

【母題題文】如圖,圖形甲與圖形乙是位似圖形,。是位似中心,位似比為2:3,點A,8的對應點分別

為點A',B'.若AB=6,貝ijA'B'的長為()

甲乙

A.8B.9C.10D.15

【分析】根據(jù)位似圖形的概念列出比例式,代入計算即可.

【解答】解::圖形甲與圖形乙是位似圖形,位似比為2:3,AB=6,

:蛆—=2,即―—二2,

A'B'3NB'3

解得,A'B'=9,

故選:B.

府題解密

【試題分析】以上題都考察了圖形的位似;

【命題意圖】通過簡單題目的考察,了解考生對圖形的位似以及其基本性質(zhì)的掌握情況;

【命題方向】圖形的位似在浙江中考中占比并不多,目基本只考察位似的定義及基本性質(zhì),并要求會利用

位似解決一些簡單的實際問題即可。所以其難度并不大。

【得分要點】

位似圖形滿足的條件:

①所有經(jīng)過對應點的直線都相交于同一點(該點叫做位似中心);

②這個交點到兩個對應點的距離之比都相等(這個比值叫做位似比)

1.(2021?溫州模擬)如圖,在正六邊形桌面中心正上方有一盞吊燈,在燈光下,桌面在水平地面的投影

是一個面積為空區(qū)力的正六邊形,已知桌子的高度為0.75m桌面邊長為1〃?,則吊燈距地面的高度為

8

()

C.2.35/nD.2.4"?

【分析】首先根據(jù)正六邊形的面積可得正六邊形的邊長,進而可通過構造相似三角形,由相似三角形性

質(zhì)求出.

【解答】解:設正六邊形的邊長是X”?,

貝!I,

22

解得x=1.5,

如圖,

依題意知£>F=FE=0.5米,bG=0.75米,CG=0.75米,

':DE//BC,

:./\FAE^/\GAC,

?.?AF二EF,

AGGC

即AF=CL5

''AF+0.750.75'

解得:4—=1.5,

;.4G=1.5+0.75=2.25(m),

答:吊燈距地面的高度為2.25m.

故選:A.

2.(2021?溫州模擬)如圖,在4義7的方格中,點A,B,C,。在格點上,線段CD是由線段AB位似放

D-----------------------------------------

A.點PiB.點尸2C.點為D.點24

【分析】延長CA、DB交于點Pi,根據(jù)位似中心的概念得到答案.

【解答】解:延長C4、DB交于點Pi,

則點P1為位似中心,

故選:A.

3.(2021?嘉興二模)如圖,在直角坐標系中,△A8C的頂點B的坐標為(-1,1),現(xiàn)以坐標原點。為

位似中心,作與△A8C的位似比為2的位似圖形△48C,則8'的坐標為()

C營,.或(,£)D.(4,.或(冬壬

【分析】根據(jù)以原點為位似中心的對應點的坐標關系,把B點的橫縱坐標都乘以2或-2得到u的坐標.

33

【解答】解:?.?位似中心為坐標原點,作與AABC的位似比為2的位似圖形△ABC,

3

而B的坐標為(-1,1),

的坐標為(-2,2)或(2,-2.).

3333

故選:C.

4.(2021?嘉善縣一模)如圖,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(1,0),點。的坐標為(3,0),

若AABC與是位似圖形,則空■的值是()

DF

2334

【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到AC〃。凡

【解答】解::點A的坐標為(1,0),點。的坐標為(3,0),

:.OA=l,OD=3,即處=工,

0D3

VA/IBC與ADEF是位似圖形,

J.AC//DF,

:./\OAC^/\ODF,

.AC=0A=A

"DF0D可

故選:B.

5.(2021?嘉祥縣一模)如圖,△£)£:產(chǎn)和aABC是位似圖形,點。是位似中心,點。,E,尸分別是04

OB,OC的中點.若△£>£:5的面積為S,周長為/,則下列說法正確的是()

A.△ABC的面積為2sB.△ABC的面積為揚

C.△ABC的周長為2/D.ZVIBC的周長為

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到DF=1AC,根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得到「s△ABC,根據(jù)相似三

2

角形的性質(zhì)計算,得到答案.

【解答】解:..?點。,尸分別是。4,0c的中點,

:.DF=.^AC,

2

:△£)£:/和△ABC是位似圖形,

.?.△OEFS/VIBC,且相似比為工,

2

?.?△。石尸的面積為5,周長為/,

...△ABC的面積為4S,周長為2/,

;.C選項說法正確,

故選:C.

6.(2021?柯橋區(qū)模擬)如圖,ZVIBO縮小后變?yōu)閍A'B'O,其中A、8的對應點分別為A',夕,A

',B'均在圖中格點上,若線段A3上有一點尸Cm,〃),則點P在A'B'上的對應點P'的坐標為

J'4

【分析】根據(jù)A,8兩點坐標以及對應點A',8'點的坐標得出坐標變化規(guī)律,進而得出尸的坐標.

【解答】解::△AB??s小后變?yōu)锳A'B'0,其中A、8的對應點分別為A'、B'點A、8、A'、8

'均在圖中在格點上,

即A點坐標為:(4,6),8點坐標為:(6,2),A'點坐標為:(2,3),8,點坐標為:(3,1),

線段4B上有一點PCm,”),則點P在A'夕上的對應點P'的坐標為:(川,工_).

22

故選:C.

7.(2021?瑞安市一模)數(shù)學興趣小組計劃測量公路上路燈的高度AB,準備了標桿CQ,EF及皮尺,按如

圖豎直放置標桿。與EF.已知CZ)=EF=2米,。/=2米,在路燈的照射下,標桿C。的頂端C在所

上留下的影子為G,標桿EF在地面上的影子是尸〃,測得尸G=0.5米,b"=4米,則路燈的高度A8=

______米.

A

卜、

2'、、'、、、

___________''、、

BD2FH

【分析】延長CG交F”于M,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可.

【解答】解:如圖,延長CG交FH于M,

A

限、

、'::'、、、

'¥、、個

2'''、、、、、

___________戰(zhàn)5''、、

BD2FMH

':ZGMF=ZCMD,ZGFM=ZCDM=90Q,

:.AGFMs叢CDM,

-GF_FM

"CD'DM"

設尸M為a米,則〃=Ca+2)X&A,

2

解得:4=2,

3

設BD—x米,AB—y米,

同理可得,XCMDSXAMB、

.CDABEFAB

,?而領‘雨隨’

3

yqx+2

整理得:,

"+3

解得:XF,

1y=5

經(jīng)檢驗['=4是分式方程組的解,

Iy=5

.'.AB=5米.

故答案為:5.

8.(2021?嘉興一模)如圖,四邊形AEFH與四邊形A8C。是位似圖形,位似比為2,且四邊形ABCD的

3

面積為900cm2,則四邊形AEFH的面積為.

【分析】根據(jù)位似圖形的面積比等于位似比的平方即可求出四邊形4£萬”的面積.

【解答】解::四邊形4E尸”與四邊形ABCO是位似圖形,位似比為2,

3

?'?5四邊形AEPH:S四邊形ABCD=4:9,

?/四邊形ABCD的面積為900tvn2,

四邊形AEFH的面積=4()0a〃2,

故答案是:400cm2.

9.(2021?越秀區(qū)校級二模)在直角坐標系中,△OAB的頂點為。(0,0),A(4,3),8(3,0).以

點。為位似中心,作與△OAB的位似比為上的位似圖形△OCD,則點C坐標為

3

【分析】利用以原點為位似中心的對應點的坐標特征,把A點的橫縱坐標乘以上或-上得到C點坐標.

33

【解答】解:,以點O為位似中心,作與△0A8的位似比為的位似圖形△OCO,

3

而A(4,3),

:.C(AX4,-1X3)或(-LX4,-AX3),

3333

即C(芻,1)或(-生-1).

33

故答案為C(生1)或(-生-1).

33

10.(2021?越秀區(qū)二模)如圖,△ABC與△£)£:尸位似,點。為位似中心,OA^AD,則△ABC與△DEF

【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到凡根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出細?,根據(jù)相似三角形的

DE

面積比等于相似比的平方計算即可.

【解答】解::△A8C與△DEF位似,

AAABC^ADEF,AB//DE,

:./\OAB^^ODE,

?旭=空=工

"DEODT

...△48C與△DEF的面積比=(A)2=_1,

24

故答案為:1:4.

11.(2021?永嘉縣校級模擬)已知一塊等腰三角鐵板廢料如圖所示,其中AB=AC=50c/n,BC=60cm,現(xiàn)

要用這塊廢料裁一塊正方形。EFG鐵板,使它的一邊。E落在△ABC的一腰上,頂點尸、G分別落在另

一腰A8和BC上,求;

(1)等腰三角形ABC的面積

(2)正方形OEFG的邊長.

【分析】(1)過A

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