相似三角形的應用-2022年中考數(shù)學題源解密(解析版)

專題16相似三角形的應用

考向1相似三角形在實際生活中的應用

局題呈現(xiàn)

【母題來源】（2021?浙江紹興）

【母題題文】如圖，樹AB在路燈。的照射下形成投影4C,已知路燈高產(chǎn)。=5加，樹影AC=3w,樹AB與

路燈。的水平距離AP=45w,則樹的高度AB長是（）

A.2mB.3mC.D.

23

【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：,：AB//OP,

.?.△CABs△CP。，

.ABAC

??"二■'，

P0PC

?AB3

??"-二，，

53+4.5

."8=2（m）,

故選：A.

【母題來源】（2021?浙江金華）

【母題題文】如圖1是一種利用鏡面反射，放大微小變化的裝置.木條BC上的點P處安裝一平面鏡，BC

與刻度尺邊MN的交點為。，從4點發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P反射后，在腦V上形成一個光點E.已知A8

LBC,MNJLBC,AB=6.5,BP=4,PD=S.

（1）ED的長為.

（2）將木條8C繞點B按順時針方向旋轉一定角度得到BC'（如圖2）,點P的對應點為P',BC

與MN的交點為。'，從A點發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡P'反射后，在MN上的光點為E'.若。￡>'=5,

則EE'的長為.

M-Mr

圖1圖2

【分析】(1)由題意可得，△ABPSAEQP,則3殳=及，進而可得出OE的長；

DEPD

(2)過點E'作/E'FG=NE'D'F,過點E'作E'GLBC'于點G,易得△48P's匕￡FP',

由此可得一些一=駕二，在中，由勾股定理可求出3。'的長，可求出/B。'。的正切值，

E'FP'F

設P'尸的長，分別表示E'尸和E'D'及尸G和G。'的長，再根據(jù)8。'=13,可建立等式，可得結

論.

【解答】解：(1)如圖，由題意可得，NAPB=NEPD,ZB=ZEDP=90°,

：.AABPs^EDP,

.AB=BP

"DEPD"

VAB=6.5,BP=4,PD=8,

?.?.6’.5-_—4,

DE8

：.DE=13i

故答案為：13.

(2)如圖2,過點E'作/E'FD'=/E'D'F,過點E'作E'G1.BC'于點G,

圖2

：.E'F=E'D',FG=GD',

,:AB〃MN,

：.^ABD'+ZE'D'8=180°,

/.AABD'+/E'FG=180°,

■:NE'FB+ZE'FG=180°,

：.ZABP'=NE'FP',

又NAP'B=NE'P'F,

：./\ABP's△戌FP',

.AB_BP’即6.5_4

"FTP'F''E'FFT，

設P'F=4，n,則E'F=65m,

：.E'D'=6.5，〃，

在中，AHDD'=90°,DD'=5,Bl)=BP+PD=\2,

由勾股定理可得，BD'=13,

：.cosZBD'。=三

13

在RtZ\E'GD'中，cosZBD'D=-^-_=_L,

E'D'13

:.GD'=2.5切，

:.FG=GD'=2.5/n,

,:BP'+P'F+FG+GD'=13,

.'.4+4m+2.5m+2.5m=13,解得m=1,

：.E'D'=6.5,

：.EE'=DE+DD'-D'E'=13+5-6.5=11.5.

故答案為：11.5.

【母題來源】(2021?浙江湖州)

【母題題文】已知在平面直角坐標系xOy中，點A是反比例函數(shù)>=工(x>0)圖象上的一個動點，連結

X

AO,AO的延長線交反比例函數(shù)y=Ka>0,x<0)的圖象于點8,過點A作AELy軸于點￡

圖1圖2

（1）如圖1,過點B作軸，于點F,連接EF.

①若％=1,求證：四邊形AEFO是平行四邊形：

②連結BE,若k=4,求△BOE的面積.

（2）如圖2,過點E作砂〃AB,交反比例函數(shù)y=K（后>0,x<0）的圖象于點P,連結OP.試探究：

X

對于確定的實數(shù)2,動點A在運動過程中，△POE的面積是否會發(fā)生變化？請說明理由.

【分析】（1）①設點A的坐標為（“，上），則當點k=l時，點B的坐標為（-a,-1）,得出AE

aa

=OF,AE//OF,由平行四邊形的判定可得出結論；

Sn

②過點B作BOLy軸于點如圖1,證明△AEOS/^B。。，由相似三角形的性質(zhì)得出二杷°=（更1）2,

^ABDOBO

則可得出答案；

（2）過點尸作P，J_x軸于點“，PE與x軸交于點G,設點4的坐標為（a,-1），點P的坐標為"，

a

區(qū)），則AE=“，OE=上，尸”=-上，證明△AEOSZ^G，P,由相似三角形的性質(zhì)得出幽圖L,解方

babGHPH

程得出且二由三角形面積公式可得出答案.

a2

【解答】（1）①證明：設點A的坐標為（a,-1）,則當點左=1時，點8的坐標為（-“，-1）,

aa

：.AE=OF=a,

軸，

S.AE//OF,

四邊形AEF。是平行四邊形；

②解：過點B作軸于點O,如圖1,

圖1

軸，

C.AE//BD,

△AEOS^BDO,

...也些=（9）2,

^ABDOBO

工

當人=4時，2=（空1）2,

2VB0）

B心」

B02

：?SABOE=2S/\AOE=1:

（2）不改變.

理由如卜：

過點P作PH±X軸于點H,PE與X軸交于點G,

?.?四邊形AEGO是平行四邊形,

：.ZEAO=ZEGO,AE=OG,

'：ZEGO=ZPGH,

：.ZEAO=ZPGH,

又?：NPHG=NAEO,

AAEO^AGWP,

.AEEO

??—T

GHPH

,:GH=OH?OG=-b?a,

工

.aa

?.-二一,

-b-a上

"b-

(_L)23_QO,

aa

解得回=-l土五函,

a2

?：a,b異號,k>0,

?.?—b—=---l----V---l-+--4---k-f

a2____

1+1+4k

：.S^POE^—XOEX(-b)x—X(~b)=--j-x—=^.

22a2a4

...時于確定的實數(shù)k,動點A在運動過程中，△POE的面積不會發(fā)生變化.

府題解密

【試題分析】這些問題考察了相似三角形在實際生活中的應用，以及相似三角形與函數(shù)的結合問題；

【命題意圖】相似三角形的應用主要是通過將生活中的實物數(shù)學化，通過圖形的相似來解決一些簡單的實

際問題；而相似圖形與函數(shù)的結合問題則是函數(shù)圖象性質(zhì)與相似三角形性質(zhì)的結合考察，通常難度較大；

【命題方向】浙江中考中，相似圖形的簡單應用通常以選擇或填空題的簡單問題出現(xiàn)，多考察相似中的A

字圖、8字圖等簡單相似模型，一般難度不大；而相似圖形與函數(shù)的結合問題則多為選擇填空的壓軸問題，

或者解答題的壓軸問題，難度一般較大，屬于中考中的重點考題形式。

【得分要點】

相似三角形在實際生活中的應用：

（-）建模思想：建立相似三角形的模型

（二）常見題目類型：

1.利用投影、平行線、標桿等構造相似三角形求解

2.測量底部可以到達的物體的高度

3.測量底部不可以到達的物體的高度

4.測量河的寬度

考向2相似多邊形與位似圖形

畫題呈現(xiàn)

【母題來源】（2021?浙江嘉興）

【母題題文】如圖，在直角坐標系中，AABC與△OOE是位似圖形，則它們位似中心的坐標是

【分析】根據(jù)圖示，對應點所在的直線都經(jīng)過同一點，該點就是位似中心.

點G（4,2）即為所求的位似中心.

故答案是：（4,2）.

【母題來源】（2021?浙江溫州）

【母題題文】如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，。是位似中心，位似比為2：3,點A,8的對應點分別

為點A',B'.若AB=6,貝ijA'B'的長為（）

甲乙

A.8B.9C.10D.15

【分析】根據(jù)位似圖形的概念列出比例式，代入計算即可.

【解答】解：：圖形甲與圖形乙是位似圖形，位似比為2：3,AB=6,

:蛆—=2,即―—二2,

A'B'3NB'3

解得，A'B'=9,

故選：B.

府題解密

【試題分析】以上題都考察了圖形的位似；

【命題意圖】通過簡單題目的考察，了解考生對圖形的位似以及其基本性質(zhì)的掌握情況；

【命題方向】圖形的位似在浙江中考中占比并不多，目基本只考察位似的定義及基本性質(zhì)，并要求會利用

位似解決一些簡單的實際問題即可。所以其難度并不大。

【得分要點】

位似圖形滿足的條件：

①所有經(jīng)過對應點的直線都相交于同一點（該點叫做位似中心）；

②這個交點到兩個對應點的距離之比都相等（這個比值叫做位似比）

1.（2021?溫州模擬）如圖，在正六邊形桌面中心正上方有一盞吊燈，在燈光下，桌面在水平地面的投影

是一個面積為空區(qū)力的正六邊形，已知桌子的高度為0.75m桌面邊長為1〃?，則吊燈距地面的高度為

8

（）

C.2.35/nD.2.4"?

【分析】首先根據(jù)正六邊形的面積可得正六邊形的邊長，進而可通過構造相似三角形，由相似三角形性

質(zhì)求出.

【解答】解：設正六邊形的邊長是X”?,

貝！I,

22

解得x=1.5,

如圖，

依題意知￡>F=FE=0.5米，bG=0.75米，CG=0.75米，

'：DE//BC,

：./\FAE^/\GAC,

?.?AF二EF，

AGGC

即AF=CL5

''AF+0.750.75'

解得：4—=1.5,

；.4G=1.5+0.75=2.25(m),

答:吊燈距地面的高度為2.25m.

故選：A.

2.(2021?溫州模擬)如圖，在4義7的方格中，點A,B,C,。在格點上，線段CD是由線段AB位似放

D-----------------------------------------

A.點PiB.點尸2C.點為D.點24

【分析】延長CA、DB交于點Pi，根據(jù)位似中心的概念得到答案.

【解答】解：延長C4、DB交于點Pi，

則點P1為位似中心，

故選：A.

3.（2021?嘉興二模）如圖，在直角坐標系中，△A8C的頂點B的坐標為（-1,1）,現(xiàn)以坐標原點。為

位似中心，作與△A8C的位似比為2的位似圖形△48C,則8'的坐標為（）

C營,.或（，￡）D.（4,.或（冬壬

【分析】根據(jù)以原點為位似中心的對應點的坐標關系，把B點的橫縱坐標都乘以2或-2得到u的坐標.

33

【解答】解：?.?位似中心為坐標原點，作與AABC的位似比為2的位似圖形△ABC,

3

而B的坐標為（-1,1）,

的坐標為（-2,2）或（2,-2.）.

3333

故選：C.

4.（2021?嘉善縣一模）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1,0）,點。的坐標為（3,0）,

若AABC與是位似圖形，則空■的值是（）

DF

2334

【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到AC〃。凡

【解答】解：：點A的坐標為（1,0）,點。的坐標為（3,0）,

：.OA=l,OD=3,即處=工，

0D3

VA/IBC與ADEF是位似圖形，

J.AC//DF,

：./\OAC^/\ODF,

.AC=0A=A

"DF0D可

故選：B.

5.（2021?嘉祥縣一模）如圖，△￡）￡：產(chǎn)和aABC是位似圖形，點。是位似中心，點。，E,尸分別是04

OB,OC的中點.若△￡>￡：5的面積為S,周長為/,則下列說法正確的是（）

A.△ABC的面積為2sB.△ABC的面積為揚

C.△ABC的周長為2/D.ZVIBC的周長為

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到DF=1AC,根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得到「s△ABC,根據(jù)相似三

2

角形的性質(zhì)計算，得到答案.

【解答】解：..?點。，尸分別是。4,0c的中點，

：.DF=.^AC,

2

：△￡）￡：/和△ABC是位似圖形，

.?.△OEFS/VIBC,且相似比為工，

2

?.?△。石尸的面積為5,周長為/,

...△ABC的面積為4S,周長為2/,

；.C選項說法正確，

故選：C.

6.（2021?柯橋區(qū)模擬）如圖，ZVIBO縮小后變?yōu)閍A'B'O,其中A、8的對應點分別為A',夕，A

',B'均在圖中格點上，若線段A3上有一點尸Cm,〃），則點P在A'B'上的對應點P'的坐標為

J'4

【分析】根據(jù)A，8兩點坐標以及對應點A',8'點的坐標得出坐標變化規(guī)律，進而得出尸的坐標.

【解答】解：:△AB?？s小后變?yōu)锳A'B'0,其中A、8的對應點分別為A'、B'點A、8、A'、8

'均在圖中在格點上，

即A點坐標為：（4,6）,8點坐標為：（6,2）,A'點坐標為：（2,3）,8,點坐標為：（3,1）,

線段4B上有一點PCm,”），則點P在A'夕上的對應點P'的坐標為：（川，工_）.

22

故選：C.

7.（2021?瑞安市一模）數(shù)學興趣小組計劃測量公路上路燈的高度AB,準備了標桿CQ,EF及皮尺,按如

圖豎直放置標桿。與EF.已知CZ）=EF=2米，。/=2米，在路燈的照射下，標桿C。的頂端C在所

上留下的影子為G,標桿EF在地面上的影子是尸〃，測得尸G=0.5米，b"=4米，則路燈的高度A8=

______米.

A

卜、

2'、、'、、、

___________''、、

BD2FH

【分析】延長CG交F”于M,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可.

【解答】解：如圖，延長CG交FH于M,

A

限、

、'：：'、、、

'￥、、個

2'''、、、、、

___________戰(zhàn)5''、、

BD2FMH

'：ZGMF=ZCMD,ZGFM=ZCDM=90Q,

：.AGFMs叢CDM,

-GF_FM

"CD'DM"

設尸M為a米，則〃=Ca+2)X&A,

2

解得：4=2,

3

設BD—x米，AB—y米，

同理可得，XCMDSXAMB、

.CDABEFAB

,?而領‘雨隨’

3

yqx+2

整理得：，

"+3

解得：XF,

1y=5

經(jīng)檢驗［'=4是分式方程組的解，

Iy=5

.'.AB=5米.

故答案為：5.

8.（2021?嘉興一模）如圖，四邊形AEFH與四邊形A8C。是位似圖形，位似比為2,且四邊形ABCD的

3

面積為900cm2,則四邊形AEFH的面積為.

【分析】根據(jù)位似圖形的面積比等于位似比的平方即可求出四邊形4￡萬”的面積.

【解答】解：：四邊形4E尸”與四邊形ABCO是位似圖形，位似比為2,

3

?'?5四邊形AEPH：S四邊形ABCD=4：9,

?/四邊形ABCD的面積為900tvn2,

四邊形AEFH的面積=4（）0a〃2,

故答案是：400cm2.

9.（2021?越秀區(qū)校級二模）在直角坐標系中，△OAB的頂點為。（0,0）,A（4,3）,8（3,0）.以

點。為位似中心，作與△OAB的位似比為上的位似圖形△OCD,則點C坐標為

3

【分析】利用以原點為位似中心的對應點的坐標特征，把A點的橫縱坐標乘以上或-上得到C點坐標.

33

【解答】解：,以點O為位似中心，作與△0A8的位似比為的位似圖形△OCO,

3

而A（4,3）,

：.C（AX4,-1X3）或（-LX4,-AX3）,

3333

即C（芻，1）或（-生-1）.

33

故答案為C（生1）或（-生-1）.

33

10.（2021?越秀區(qū)二模）如圖，△ABC與△￡）￡：尸位似，點。為位似中心，OA^AD,則△ABC與△DEF

【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到凡根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出細?，根據(jù)相似三角形的

DE

面積比等于相似比的平方計算即可.

【解答】解：：△A8C與△DEF位似，

AAABC^ADEF,AB//DE,

：./\OAB^^ODE,

?旭=空=工

"DEODT

...△48C與△DEF的面積比=（A）2=_1,

24

故答案為：1：4.

11.（2021?永嘉縣校級模擬）已知一塊等腰三角鐵板廢料如圖所示，其中AB=AC=50c/n,BC=60cm,現(xiàn)

要用這塊廢料裁一塊正方形。EFG鐵板，使它的一邊。E落在△ABC的一腰上，頂點尸、G分別落在另

一腰A8和BC上，求；

(1)等腰三角形ABC的面積

(2)正方形OEFG的邊長.

【分析】(1)過A