2021年中考數(shù)學(xué)第三輪壓軸題強(qiáng)化訓(xùn)練：三角形 專題復(fù)習(xí)（含答案）

2021年中考數(shù)學(xué)第三輪壓軸題強(qiáng)化訓(xùn)練：三角形專題復(fù)習(xí)

1、如圖，AABC中,AB=AC=1,ZBAC=45°,Z\AEF是由AABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)得到的，連接BE、CF相交于點(diǎn)D.

(1)求證：BE=CF；

(2)當(dāng)四邊形ACDE為菱形時(shí)，求BD的長.

2、如圖，在Rtz\ABC中，ZC=90°,BD是△ABC的一條角平分線.點(diǎn)0、E、F

分別在BD、BC、AC上，且四邊形0ECF是正方形.

(1)求證：點(diǎn)0在NBAC的平分線上；

(2)若AC=5,BC=12,求0E的長.

3、如圖，4ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,分別以AB,AC為直角邊向外

作等腰直角AABD和等腰直角AACE,G為BD的中點(diǎn)，連接CG,BE,CD,BE與

CD交于點(diǎn)F.

(1)判斷四邊形ACGD的形狀，并說明理由.

(2)求證：BE=CD,BE±CD.

4、如圖1,在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AB的

垂線，過點(diǎn)F作CD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G,連接AG、BG、CG、DG,且NAGD=

ZBGC.

(1)求證:AD=BC；

(2)求證：△AGDS^EGF；

(3)如圖2,若AD、BC所在直線互相垂直，求包的值.

EF

圖1圖2

5、如圖，是一副學(xué)生用的三角板，在AABC中，ZC=90°,ZA=60°,ZB=30°；

在△ABC中,NG=90°,ZA,=45°,ZB,=45°,且AB=CB.若將邊AC與邊

CA重合，其中點(diǎn)4與點(diǎn)C重合.將三角板ABG繞點(diǎn)C(AD按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，

旋轉(zhuǎn)過的角為a,旋轉(zhuǎn)過程中邊A￡與邊AB的交點(diǎn)為M,設(shè)AC=a.

(1)計(jì)算AC的長；

(2)當(dāng)a=30。時(shí),證明:BC〃AB；

(3)若a=^+?，當(dāng)a=45°時(shí)，計(jì)算兩個(gè)三角板重疊部分圖形的面積；

(4)當(dāng)a=60°時(shí)，用含a的代數(shù)式表示兩個(gè)三角板重疊部分圖形的面積.

(參考數(shù)據(jù)：sinl5°=———,cosl5°=近日四，tanl5°=2-5/3,sin75°=

44

粕+近,cos75°=粕tan750=2+?)

44

6、如圖，兩個(gè)全等的aABC和4DFE重疊在一起，固定aABC,將4DEF進(jìn)行如

下變換：

（1）如圖1,aDEF沿直線CB向右平移（即點(diǎn)F在線段CB上移動(dòng)），連接AF、

AD、BD.請直接寫出S△械與S四邊形AFBD的關(guān)系；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)F平移到線段BC的中點(diǎn)時(shí)，若四邊形AFBD為正方形，那么

△ABC應(yīng)滿足什么條件？請給出證明；

（3）在（2）的條件下，將4DEF沿DF折疊，點(diǎn)E落在FA的延長線上的點(diǎn)G處,

連接CG,請你在圖3的位置畫出圖形，并求出sin/CGF的值.

圖1圖2圖3

7、如圖1,在aABC中，ZACB=90°,AC=BC,ZEAC=90°，點(diǎn)M為射線AE上任

意一點(diǎn)（不與A重合），連接CM,將線段CM繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到

線段CN,直線NB分別交直線CM、射線AE于點(diǎn)F、D.

（1）直接寫出NNDE的度數(shù)；

（2）如圖2、圖3,當(dāng)NEAC為銳角或鈍角時(shí)，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是

否發(fā)生變化？如果不變，選取其中一種情況加以證明；如果變化，請說明理由；

（3）如圖4,若NEAC=15°,NACM=60°,直線CM與AB交于G,BD=包，1

2

其他條件不變，求線段AM的長.

圖3圖4

8、我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“稱為中垂三角形”，例如圖1,圖2,

圖3中，AF,BE是AABC的中線，AF1BE,垂足為P,像△ABC這樣的三角形均

稱為''中垂三角形”,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.

特例探索_

(1)如圖1,當(dāng)NABE=45°,c=2血時(shí)，a=,b=.

如圖2,當(dāng)NABE=30°,c=4時(shí)，a=,b=.

歸納證明

(2)請你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果，猜想a?,b\c2三者之間的關(guān)系，用等式表

示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式.

拓展應(yīng)用

(3)如圖4,在口ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別是AD,BC,CD的中點(diǎn),BE±EG,AD=2

9、如圖1,在RtaABC中，ZB=90°,BC=2AB=8,點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的

中點(diǎn)，連接DE,將AEDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a.

(1)問題發(fā)現(xiàn)

①當(dāng)a=0。時(shí)，嶇；②當(dāng)a=180°時(shí)，幽

BD-BD

(2)拓展探究

試判斷：當(dāng)0°Wa<360°時(shí)，色的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證

BD

明.

(3)問題解決

當(dāng)AEDC旋轉(zhuǎn)至A,D,E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段BD的長.

10、已知點(diǎn)P是線段AB上與點(diǎn)A不重合的一點(diǎn)，且AP<PB.AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)角a(0°<a<90°)得到AP”BP繞點(diǎn)B順時(shí)針也旋轉(zhuǎn)角a得到BP?，連接

PPi、PP2.

(1)如圖1,當(dāng)a=90°時(shí),求NPFB的度數(shù)；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)2在APi的延長線上時(shí)，求證：△PzPFsaPzPA；

(3)如圖3,過BP的中點(diǎn)E作1」BP,過BP?的中點(diǎn)F作b_LBP”L與上交于

點(diǎn)Q,連接PQ,求證：PiP±PQ.

11、兩個(gè)三角板ABC,DEF,按如圖所示的位置擺放，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，邊AB與

邊DE在同一條直線上(假設(shè)圖形中所有的點(diǎn)，線都在同一平面內(nèi)).其中，NC=

ZDEF=90°,ZABC=ZF=30°,AC=DE=6cm.現(xiàn)固定三角板DEF,將三角板ABC

沿射線DE方向平移，當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)三角板平移的距離為x

(cm),兩個(gè)三角板重疊部分的面積為y(cm2).

(1)當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時(shí)，x=cm；

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)設(shè)邊BC的中點(diǎn)為點(diǎn)M,邊DF的中點(diǎn)為點(diǎn)N.直接寫出在三角板平移過程中，

點(diǎn)M與點(diǎn)N之間距離的最小值.

12、已知NMAN=135°,正方形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn).

(1)當(dāng)正方形ABCD旋轉(zhuǎn)到NMAN的外部(頂點(diǎn)A除外)時(shí)，AM,AN分別與正方

形ABCD的邊CB,CD的延長線交于點(diǎn)M,N,連接MN.

①如圖1,若BM=DN,則線段MN與BM+DN之間的數(shù)量關(guān)系是；

②如圖2,若BMWDN,請判斷①中的數(shù)量關(guān)系是否仍成立？若成立，請給予證明；

若不成立，請說明理由；

(2)如圖3,當(dāng)正方形ABCD旋轉(zhuǎn)到NMAN的內(nèi)部(頂點(diǎn)A除外)時(shí)，AM,AN分

別與直線BD交于點(diǎn)M,N,探究：以線段BM,MN,DN的長度為三邊長的三角形

是何種三角形，并說明理由.

13、已知：AABC是等腰三角形，動(dòng)點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角

邊作等腰三角形PCQ,其中NPCQ=90°,探究并解決下列問題：

（1）如圖①，若點(diǎn)P在線段AB上，且AC=l+b，PA=&,則：

①線段PB=,PC=；

②猜想：PA?,PB?,PQ1'‘三者之間的數(shù)量關(guān)系為—；

（2）如圖②，若點(diǎn)P在AB的延長線上，在（1）中所猜想的結(jié)論仍然成立，請

你利用圖②給出證明過程；

（3）若動(dòng)點(diǎn)P滿足電工，求其的值.（提示：請利用備用圖進(jìn)行探求）

PB3AC

參考答案

2021年中考數(shù)學(xué)第三輪壓軸題強(qiáng)化訓(xùn)練：三角形專題復(fù)習(xí)

1、如圖，ZSABC中,AB=AC=1,ZBAC=45°,z^AEF是由aABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)得到的，連接BE、CF相交于點(diǎn)D.

(1)求證：BE=CF；

(2)當(dāng)四邊形ACDE為菱形時(shí)，求BD的長.

(1)證明：???△AEF是由aABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的，

.*.AE=AB,AF=AC,NEAF=NBAC,

二ZEAF+ZBAF=ZBAC+ZBAF,即NEAB=NFAC,

VAB=AC,

；.AE=AF,

AAEB可由AAFC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，

，BE=CF；

(2)解：?.?四邊形ACDE為菱形,AB=AC=L

/.DE=AE=AC=AB=1,AC/7DE,

AZAEB=ZABE,ZABE=ZBAC=45°,

/.ZAEB=ZABE=45°,

/.△ABE為等腰直角三角形，

.-.BE=V2AC=V2?

.\BD=BE-DE=V2-1.

2、如圖，在Rt/XABC中，ZC=90°,BD是AABC的一條角平分線.點(diǎn)0、E、F

分別在BD、BC、AC±,且四邊形OECF是正方形.

(1)求證：點(diǎn)0在NBAC的平分線上；

(2)若AC=5,BC=12,求0E的長.

解答：(1)證明：過點(diǎn)0作OM_LAB,

VBD是NABC的一條角平分線，

.\OE=OM,

???四邊形OECF是正方形，

.\OE=OF,

/.OF=OM,

AAO是NBAC的角平分線，即點(diǎn)0在NBAC的平分線上;

(2)解：?.?在RtAABC中，AC=5,BC=12,

*',AB=VAC2+BC2=V52+122=13'

設(shè)OE=CF=x,BE=BM=y,AM=AF=z,

'x+y=12

?'-5y+z=13，

x+z=5

'x=2

解得：＜y=10，

z=3

.*.0E=2.

3、如圖，△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,分別以AB,AC為直角邊向外

作等腰直角AABD和等腰直角AACE,G為BD的中點(diǎn)，連接CG,BE,CD,BE與

CD交于點(diǎn)F.

(1)判斷四邊形ACGD的形狀，并說明理由.

(2)求證：BE=CD,BE±CD.

解答：(1)解：:△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,

，AB=MBC,

VAABD和4ACE均為等腰直角三角形，

.\BD=V2AB=BCV2X&XBC=2BC,

?.?G為BD的中點(diǎn)，

/.BG=1BD=BC,

2

/.△CBG為等腰直角三角形，

AZCGB=45°,

VZADB=45°,

AD〃CG,

VZABD=45°,ZABC=45°

AZCBD=90°,

VZACB=90°,

AZCBD+ZACB=180°,

；.AC〃BD,

四邊形ACGD為平行四邊形；

(2)證明：VZEAB=ZEAC+ZCAB=900+45°=135°,

ZCAD=ZDAB+ZBAC=90°+45°=135°,

...ZEAB=ZCAD,

在aDAC與ABAE中，

'AD=AB

<ZCAD=ZEAB，

AC=AE

/.△DAC^ABAE,

.\BE=CD；

VZEAC=ZBCA=90°,EA=AC=BC,

...四邊形ABCE為平行四邊形，

/.CE=AB=AD,

在ABCE與ACAD中，

'BC=AC

<NBCE=/CAD=135°，

,EC=DA

.,.△BCE^ACAD,

/.ZCBE=ZACD,

VZACD+ZBCD=90°,

/.ZCBE+ZBCD=90°,

：.ZCFB=90°,

即BE±CD.

4、如圖1,在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AB的

垂線，過點(diǎn)F作CD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G,連接AG、BG、CG、DG,且NAGD=

ZBGC.

(1)求證:AD=BC；

(2)求證：AAGD^AEGF；

(3)如圖2,若AD、BC所在直線互相垂直，求位的值.

EF

圖1圖2

解答(1)證明：YGE是AB的垂直平分線，

；.GA=GB,

同理：GD=GC,

在4AGD和aBGC中，

'GA=GB

<ZAGD=ZBGC，

GD=GC

.,.△AGD^ABGC(SAS),

.*.AD=BC；

(2)證明：VZAGD=ZBGC,

，ZAGB=ZDGC,

在AAGB和△DGC中，皇理，

GDGC

/.△AGB^ADGC,

?EGGA

?.而F

又；ZAGE=ZDGF,

/.ZAGD=ZEGF,

.,.△AGD^AEGF；

(3)解：延長AD交GB于點(diǎn)M,交BC的延長線于點(diǎn)H,如圖所示:

則AH1BH,

VAAGD^ABGC,

ZGAD=ZGBC,

在4GAM和△HBM中，ZGAD=ZGBC,ZGMA=ZHMB,

AZAGB=ZAHB=90°,

.,.ZAGE=^ZAGB=45°，

2

?AGr-

??瓦3，

XVAAGD^AEGF,

5、如圖，是一副學(xué)生用的三角板，在aABC中，ZC=90°,ZA=60°,ZB=30°；

在△AB。中，NC=90°,ZA,=45°,NB尸45°，且AB=CB.若將邊AC與邊

CA重合，其中點(diǎn)A與點(diǎn)C重合.將三角板ABG繞點(diǎn)C（AJ按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，

旋轉(zhuǎn)過的角為a,旋轉(zhuǎn)過程中邊A￡與邊AB的交點(diǎn)為M,設(shè)AC=a.

（1）計(jì)算AC的長；

（2）當(dāng)a=30°時(shí)，證明：BC〃AB；

（3）若a=^+?,當(dāng)a=45°時(shí)，計(jì)算兩個(gè)三角板重疊部分圖形的面積；

（4）當(dāng)a=60°時(shí)，用含a的代數(shù)式表示兩個(gè)三角板重疊部分圖形的面積.

（參考數(shù)據(jù)：sinl5°,cosl5°=退士返，tanl5°=2-/，sin75°=

_44

厲近,cos75°=混一"tan75°=2+73）

44

由特殊銳角三角函數(shù)可知：空=tan30。=立，

BC3

.,.BC=V3a.

?*-BIC=>/3a

在RtZXABC，NB尸N45°，

.AjCja

??----~.

BjC2

AC尸斗xV3

(2)VZACM=30°，ZA=60°，

ZBMC=90°.

ZCFZBMC.

，BC〃AB.

（3）如下圖：

由（1）可知：AQ=^=乎X（V6+V2）=3+V3

...△ABC的面積=￡BICI?CIAI=￡（3+73）2=6+3V3

?.,/ABC產(chǎn)45°,ZABC=30°

，NMBG=15°

在RtZ\BCM中，CM=BCtanl5°=（3+逐）（2-加）=3-丑，

.,?RSBCM的面積寺凸￡號(hào)（3+?）（3-心）=3.

...兩個(gè)三角板重疊部分圖形的面積=4人3￡的面積-△BCM的面積=3?+3.

（4）由（1）可知：BC=V3a,AC=^a，

.,.C1F=A,C1*tan30°=西，

2___

/.SA4c育=工人IC1.C1F=」又近

'△A￡F2"卜1…2224

VZMCA=60°,ZA=60°,

二ZAMC=60°

.*.MC=AC=MA=a.

，GM=CA-MO遮一2

2

VZMCA=60°,

AZC,A1B=30°,

,

..ZC1MD=ZB+ZC1AIB=60°

在RtZ\DCM中，由特殊銳角三角函數(shù)可知：GD=GM?tan60°=2①二結(jié)a,

2

?-1cn^/22

??oS^DC］獷工￡MGD=-aO'

-

兩個(gè)三角板重疊部分圖形的面積=S.AcFSADCM建工加=哼第-也產(chǎn)

-2V3O2

2

6、如圖，兩個(gè)全等的aABC和aDFE重疊在一起，固定aABC,將aDEF進(jìn)行如

下變換：

（1）如圖1,4DEF沿直線CB向右平移（即點(diǎn)F在線段CB上移動(dòng)），連接AF、

AD、BD.請直接寫出S△械與S四邊形AFBD的關(guān)系；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)F平移到線段BC的中點(diǎn)時(shí)，若四邊形AFBD為正方形，那么

△ABC應(yīng)滿足什么條件？請給出證明；

（3）在（2）的條件下，將4DEF沿DF折疊，點(diǎn)E落在FA的延長線上的點(diǎn)G處,

連接CG,請你在圖3的位置畫出圖形，并求出sin/CGF的值.

圖1圖2圖3

解：（1）SAABC=S四邊形AFBD，

理由：由題意可得：AD〃EC,

則SAADF=SAABD?

故SAACF=SAADF=SAAB?>

則S&\BC=SHia?AFBD；

（2）ZSABC為等腰直角三角形，即：AB=AC,ZBAC=90°,

理由如下：?.￥為BC的中點(diǎn)，

.\CF=BF,

VCF=AD,

.?.AD=BF,

又?；AD〃BF,

???四邊形AFBD為平行四邊形，

VAB=AC,F為BC的中點(diǎn),

AAF1BC,

平行四邊形AFBD為矩形，

VZBAC=90°,F為BC的中點(diǎn)，

.,.AF=-1BC=BF,

2

，四邊形AFBD為正方形；

(3)如圖3所示：

由(2)知，AABC為等腰直角三角形，AF1BC,

設(shè)CF=k,則GF=EF=CB=2k,

由勾股定理得：CG=^k,

7、如圖1,在aABC中，ZACB=90°,AC=BC,ZEAC=90°，點(diǎn)M為射線AE上任

意一點(diǎn)(不與A重合)，連接CM,將線段CM繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到

線段CN,直線NB分別交直線CM、射線AE于點(diǎn)F、D.

(1)直接寫出NNDE的度數(shù)；

(2)如圖2、圖3,當(dāng)NEAC為銳角或鈍角時(shí)，其他條件不變，(1)中的結(jié)論是

否發(fā)生變化？如果不變，選取其中一種情況加以證明；如果變化，請說明理由；

(3)如圖4,若NEAC=15°,/ACM=60°,直線CM與AB交于G,BD=-十后,

2

其他條件不變，求線段AM的長.

圖1圖2

解:(1)VZACB=90°,ZMCN=90°,

...ZACM=ZBCN,

在aMAC和ANBC中，

"AC=BC

<NACM=NBCN，

,MC=NC

.,.△MAC^ANBC,

AZNBC=ZMAC=90°,

又?.?NACB=90°,ZEAC=90°,

ZNDE=90°；

(2)不變，

在△MAC絲ANBC中，

rAC=BC

<NACM=NBCN，

,MC=NC

.,.△MAC絲△NBC,

，ZN=ZAMC,

又；ZMFD=ZNFC,

ZMDF=ZFCN=90°,即NNDE=90°；

(3)作GK_LBC于K,

VZEAC=15°,

.,.ZBAD=30°,

VZACM=60°,

：.ZGCB=30°,

/.ZAGC=ZABC+ZGCB=75°,

ZAMG=75°,

/.AM=AG,

VAMAC^ANBC,

ZMAC=ZNBC,

.,.ZBDA=ZBCA=90°,

?/BD=76jV2,

2

?**

AC=BC=，^+1,

設(shè)BK=a,則GK=a,CK=?a,

a=l,

，KB=KG=1,BG=圾，

AG=y[^>,

AM=

8、我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“稱為中垂三角形”，例如圖1,圖2,

圖3中，AF,BE是aABC的中線，AF±BE,垂足為P,像aABC這樣的三角形均

稱為“中垂三角形"，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.

特例探索___

(1)如圖1,當(dāng)NABE=45°,c=2圾時(shí)，a=2如，b=2如.

如圖2,當(dāng)NABE=30°,c=4時(shí)，a=2m,b=2j7.

歸納證明

(2)請你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果，猜想a?,b\c?三者之間的關(guān)系，用等式表

示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式.

拓展應(yīng)用

(3)如圖4,在口ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別是AD,BC,CD的中點(diǎn),BE±EG,AD=2

解：⑴VAH1BE,ZABE=45°,

...AP=BP=Y^AB=2,

2

VAF,BE是AABC的中線,

，EF〃AB,EF=/AB=M，

/.ZPFE=ZPEF=45O,

.\PE=PF=1,

在RtAFPB和RtAPEA中，

AE=BF=1]2+22=遙,

.,.AC=BC=2旄，

*'?a=b=2,\/5，

如圖2,連接EF,

同理可得：EF=1X4=2,

2

VEF/7AB,

.,.△PEF-AABP,

.PF_PE_EF_1

""AP'PB'AB^

在RtAABP中，

AB=4,ZABP=30°,

，AP=2,PB=2?,

.,.PF=1,PE=V3，

在RtAAPE和RtABPF中，

AE=V7，BF=V13>

,a=2,13,b=2

故答案另：2泥，2加，2yfi3,2^/7；

(2)猜想:a2+b2=5c2,

如圖3連接EF,

設(shè)NABP=a,

.*.AP=csina,PB=ccosa,

由(1)同理可得，PF」PA二csin」,PE=1pB=cc°sa,

2222

222

22222Q222C2sinq22

AE=AP+PE=csina+c,BF=PB+PF=+ccosa,

44

222222

()=c2sin2a+cC(^a,(>|)=csi^Q+c2cos2a,

222222

----S-+-^=csina+cWa+C鼠in-+ccosa,

4444

.,.a2+b2=5c2；

（3）如圖4,連接AC,EF交于H,AC與BE交于點(diǎn)Q,設(shè)BE與AF的交點(diǎn)為P,

?.?點(diǎn)E、G分別是AD,CD的中點(diǎn)，

，EF〃AC,

VBE±EG,

/.BE±AC,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

，AD〃BC,AD=BC=2泥，

.,.ZEAH=ZFCH,

VE,F分別是AD,BC的中點(diǎn)，

...AE=1AD,BF=1BC,

22

.,.AE=BF=CF=1AD=V3，

VAE/7BF,

，四邊形ABFE是平行四邊形，

，EF=AB=3,AP=PF,

在aAEH和△CFH中，

'/EAH=/FCH

<NAHE=NFHC，

AEXF

/.△AEH^ACFH,

.?.EH=FH,

AEH,AH分別是AAFE的中線,

由（2）的結(jié)論得：AF2+EF2=5AE2,

.*.AF2=5（^y2-EF2=16,

/.AF=4.

9、如圖1,在RSABC中,ZB=90°，BC=2AB=8,點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的

中點(diǎn)，連接DE,將AEDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a.

備用圖

圖1圖2

(1)問題發(fā)現(xiàn)__

①當(dāng)a=0。時(shí)，地=近；②當(dāng)a=180°時(shí)，坐近.

BD-2-BD-2-

(2)拓展探究

試判斷：當(dāng)0。WaV360°時(shí)，區(qū)的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證

明.

(3)問題解決

當(dāng)AEDC旋轉(zhuǎn)至A,D,E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段BD的長.

解：(1)①當(dāng)a=0°時(shí)，

,.?RtZ\ABC中,ZB=90°,

*#,AC=VAB2+BC2=72+82=4V5,

?.?點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，

，AE=4后2=2遙，BD=84-2=4,

?AE275娓

"BD=4=2'

②如圖1,圖1

當(dāng)a=180°時(shí)，

可得AB〃DE,

..ACBC

AE

AE

BDBC82

故答案為：近、立

22

(2)如圖2,

當(dāng)0°Wa<360°時(shí)，色的大小沒有變化,

BD

VZECD=ZACB,

ZECA=ZDCB,

又??EC_AC_V^

■前=BC=2，

/.△ECA^ADCB,

.AEECV5

??麗=DC=2?

(3)①如圖3,

VAC=4V5，CD=4,CD±AD,

AD=7AC2-CD2=V(475)2-42=780-16=8'

VAD=BC,AB=DC,ZB=90°,

四邊形ABCD是矩形，

.?.BD=AC=4詆.

②如圖4,連接BD,過點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q,過點(diǎn)B作AC的垂線交AC

于點(diǎn)P,

圖4,

?.?AC=4旄，CD=4,CD1AD,

*#-AD=7AC2-CD2=7(W5)2-42=780-16=8'

在aABC和ACDA中，

'AB=CD

<BC=DA

AC=CA

；.BP=DQ,BP〃DQ,PQ±DQ,

...四邊形BDQP為矩形，

.\BD=PQ=AC-AP-CQ

=4^5-

VsV5

=12泥

5

綜上所述，BD的長為4泥或里

5

10、已知點(diǎn)P是線段AB上與點(diǎn)A不重合的一點(diǎn)，且APVPB.AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)角a(0°VaW90°)得到AP,,BP繞點(diǎn)B順時(shí)針也旋轉(zhuǎn)角a得到BP2,連接

PPi、PP2

(1)如圖1,當(dāng)a=90。時(shí)，求NPFPz的度數(shù)；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P?在APi的延長線上時(shí)，求證：△PRPs/^BPA；

(3)如圖3,過BP的中點(diǎn)E作1」BP,過BP?的中點(diǎn)F作k，BP2，L與b交于

點(diǎn)Q,連接PQ,求證：PiP±PQ.

解答:(1)解:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AP=AP“BP=BP2.

a=90°,

,APAP,和aPEPz均為等腰直角三角形，

...NAPP產(chǎn)NBPP2=45°,

.,.ZPIPP2=180°-ZAPP,-ZBPP2=90°；

(2)證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知APAPi和aPBE均為頂角為a的等腰三角形,

.?.NAPP產(chǎn)/BPP”=90°-—,

2

...NPFP2=180°-(ZAPPi+ZBPP)=180°-2(90°--)=a,

22

在4PP2Pl和APzPA中，ZP,PP2=ZPAP2=a,

又：NPP2P產(chǎn)NAP2P,

...zWiPsZ^PA.

(3)證明：如圖，連接QB.

??T”［分別為PB,RB的中垂線，

...EBJBP,FB=ABP.

222

又BP=BP2>

/.EB=FB.

在RtAQBE和RtAQBF中，

(EB=FB,

|QB=QB，

ARtAQBE^RtAQBF,

，ZQBE=ZQBF=1ZPBP2=—,

22

由中垂線性質(zhì)得：QP=QB,

/.ZQPB=ZQBE=—,

2

由(2)知NAPPi=90°-―,

2

ZP,PQ=180°-ZAPP,-ZQPB=180°(90°)--=90°,

22

即P,P±PQ.

H＞兩個(gè)三角板ABC,DEF,按如圖所示的位置擺放，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，邊AB與

邊DE在同一條直線上(假設(shè)圖形中所有的點(diǎn)，線都在同一平面內(nèi)).其中，ZC=

ZDEF=90°,ZABC=ZF=30°,AC=DE=6cm.現(xiàn)固定三角板DEF,將三角板ABC

沿射線DE方向平移，當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)三角板平移的距離為x

(cm),兩個(gè)三角板重疊部分的面積為y(cm?).

(1)當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時(shí)，x=15cm；

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)設(shè)邊BC的中點(diǎn)為點(diǎn)M,邊DF的中點(diǎn)為點(diǎn)N.直接寫出在三角板平移過程中，

點(diǎn)M與點(diǎn)N之間距離的最小值.

解：(1)如圖1所示：作CGLAB于G點(diǎn).,

在RtZ\ABC中，由AC=6,ZABC=30,得

tan30

在Rt^BCG中,BG=BC*cos30°=9.

四邊形CGEH是矩形，

CH=GE=BG+BE=9+6=15cm,

故答案為：15；

(2)①當(dāng)0WxV6時(shí),如圖2所示.，

ZGDB=60°,ZGBD=30°,DB=x,得

DG」x,BG=^X,重疊部分的面積為y=3DG?BG」xLx在X=Y^2

2222228

②當(dāng)6<xV12時(shí)，如圖3所示.，

BD=x,DG=—x,BG=—x,BE=x-6,EH=，^(x-6).

223

重疊部分的面積為y=SABlx；-SABE"=2DG?BG-ABE,EH,

22

即y=Ax-xX^x--(x-6)—(x-6)

22223

化簡，得y=-立x?+2正x-6^3；

24

③當(dāng)12VxW15時(shí)，如圖4所示.，_

AC=6,BC=6?,BD=x,BE=(x-6),EG=—(x-6),

3

重疊部分的面積為y=SAABc-SABK：4AC-BC-IBE-EG,

22

即y=-lx6X65/3--(X-6)樂x-6)，

22

化簡，得y=18?12x+36)=-&2+2^+12^；

66

尊2(o<<)

ox6

6

~^|X2+2V3X-V3(6<X<12)

綜上所述：y=

一^^J+2?x+l2V5(124x415)

0

(3)如圖5所示作NG±DE于G點(diǎn).

(4),點(diǎn)M在NG上時(shí)MN最短,

NG是4DEF的中位線,

NG=aEF=373.

MB哆B=3b，NB=30。，

MG=%1B="，

22__

MN農(nóng)產(chǎn)3&-萼=萼?

圖4圖5

12、已知NMAN=135°,正方形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn).

(1)當(dāng)正方形ABCD旋轉(zhuǎn)到NMAN的外部(頂點(diǎn)A除外)時(shí)，AM,AN分別與正方

形ABCD的邊CB,CD的延長線交于點(diǎn)M,N,連接MN.

①如圖1,若BM=DN,則線段MN與BM+DN之間的數(shù)量關(guān)系是MN=BM+DN；

②如圖2,若BMWDN,請判斷①中的數(shù)量關(guān)系是否仍成立？若成立，請給予證明；

若不成立，請說明理由；

(2)如圖3,當(dāng)正方形ABCD旋轉(zhuǎn)到NMAN的內(nèi)部(頂點(diǎn)A除外)時(shí)，AM,AN分

別與直線BD交于點(diǎn)M,N,探究：以線段BM,MN,DN的長度為三邊長的三角形

是何種三角形，并說明理由.

解：(1)①如圖1,若BM=DN,則線段MN與BM+DN之間的數(shù)量關(guān)系是MN=BM+DN.理

由如下：

在4ADN與AABM中，

'AD=AB

,ZADN=ZABM=906，

DN=BM

.,.△ADN^AABM(SAS),

，AN=AM,ZNAD=ZMAB,

VZMAN=135°,ZBAD=90°,

AZNAD=ZMAB=1(360°-135°-90°)=67.5°,

2

作AE_LMN于E,則MN=2NE,ZNAE=AZMAN=67.5°.

2

在AADN與AAEN中，

'NADN=NAEN=9O°

,NNAD=NNAE=67.5°，

AN=AN

AAADN^AAEN(AAS),

，DN=EN,

VBM=DN,MN=2EN,

.,.MN=BM+DN.

故答案為MN=BM+DN；

②如圖2,若BMWDN,①中的數(shù)量關(guān)系仍成立.理由如下：

延長NC到點(diǎn)P,使DP=BM,連結(jié)AP.

二?四邊形ABCD是正方形，

，AB=AD,ZABM=ZADC=90°.

在aABM與4ADP中，

fAB=AD

,NABM=NADP=90°，

BM=DP

/.△ABM^AADP(SAS),

；.AM=AP,Z1=Z2=Z3,

VZ1+Z4=9O°,

AZ3+Z4=90°,

VZMAN=135°,

：.ZPAN=3600-ZMAN-(Z3+Z4)=360°-135°-90°=135°.

在AANM與aANP中，

'AM=AP

</MAN=/PAN=135°，

AN=AN

/.△ANM^AANP(SAS),

AMN-PN,

：PN=DP+DN=BM+DN,

，MN=BM+DN；

(2)如圖3,以線段BM,MN,DN的長度為三邊長的三角形是直角三角形.理由

如下：

?.?四邊形ABCD是正方形，

/.ZBDA=ZDBA=45O,

AZMDA=ZNBA=135°.

VZ1+Z2=45°,Z2+Z3=45°,

/.Z1=Z3.

在AANB與aMAD中，

fZABN=ZMDA=135°

IZ1=Z3'

.".△ANB^AMAD,

???B-N-_--A-B,

ADMD

.?.AB2=BN?MD,

VAB=^DB,

2

/.BN?MD=(匹B)=1BD2,

22

.*.BD2=2BN*MD,

二MD2+2MD?BD+BD2+BD2+2BD?BN+BN2=MD2+BD2+BN2+2MD?BD+2BD?BN+2BN?MD,

:.(MD+BD)2+(BD+BN)2=(DM+BD+BN)2,

即MB2+DN2=MN2