2021年中考數(shù)學(xué)第三輪壓軸題強(qiáng)化訓(xùn)練:三角形 專題復(fù)習(xí)(含答案)_第1頁
2021年中考數(shù)學(xué)第三輪壓軸題強(qiáng)化訓(xùn)練:三角形 專題復(fù)習(xí)(含答案)_第2頁
2021年中考數(shù)學(xué)第三輪壓軸題強(qiáng)化訓(xùn)練:三角形 專題復(fù)習(xí)(含答案)_第3頁
2021年中考數(shù)學(xué)第三輪壓軸題強(qiáng)化訓(xùn)練:三角形 專題復(fù)習(xí)(含答案)_第4頁
2021年中考數(shù)學(xué)第三輪壓軸題強(qiáng)化訓(xùn)練:三角形 專題復(fù)習(xí)(含答案)_第5頁
已閱讀5頁,還剩24頁未讀, 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡介

2021年中考數(shù)學(xué)第三輪壓軸題強(qiáng)化訓(xùn)練:三角形專題復(fù)習(xí)

1、如圖,AABC中,AB=AC=1,ZBAC=45°,Z\AEF是由AABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)得到的,連接BE、CF相交于點(diǎn)D.

(1)求證:BE=CF;

(2)當(dāng)四邊形ACDE為菱形時(shí),求BD的長.

2、如圖,在Rtz\ABC中,ZC=90°,BD是△ABC的一條角平分線.點(diǎn)0、E、F

分別在BD、BC、AC上,且四邊形0ECF是正方形.

(1)求證:點(diǎn)0在NBAC的平分線上;

(2)若AC=5,BC=12,求0E的長.

3、如圖,4ABC是等腰直角三角形,ZACB=90°,分別以AB,AC為直角邊向外

作等腰直角AABD和等腰直角AACE,G為BD的中點(diǎn),連接CG,BE,CD,BE與

CD交于點(diǎn)F.

(1)判斷四邊形ACGD的形狀,并說明理由.

(2)求證:BE=CD,BE±CD.

4、如圖1,在四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn),過點(diǎn)E作AB的

垂線,過點(diǎn)F作CD的垂線,兩垂線交于點(diǎn)G,連接AG、BG、CG、DG,且NAGD=

ZBGC.

(1)求證:AD=BC;

(2)求證:△AGDS^EGF;

(3)如圖2,若AD、BC所在直線互相垂直,求包的值.

EF

圖1圖2

5、如圖,是一副學(xué)生用的三角板,在AABC中,ZC=90°,ZA=60°,ZB=30°;

在△ABC中,NG=90°,ZA,=45°,ZB,=45°,且AB=CB.若將邊AC與邊

CA重合,其中點(diǎn)4與點(diǎn)C重合.將三角板ABG繞點(diǎn)C(AD按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),

旋轉(zhuǎn)過的角為a,旋轉(zhuǎn)過程中邊A£與邊AB的交點(diǎn)為M,設(shè)AC=a.

(1)計(jì)算AC的長;

(2)當(dāng)a=30。時(shí),證明:BC〃AB;

(3)若a=^+?,當(dāng)a=45°時(shí),計(jì)算兩個(gè)三角板重疊部分圖形的面積;

(4)當(dāng)a=60°時(shí),用含a的代數(shù)式表示兩個(gè)三角板重疊部分圖形的面積.

(參考數(shù)據(jù):sinl5°=———,cosl5°=近日四,tanl5°=2-5/3,sin75°=

44

粕+近,cos75°=粕tan750=2+?)

44

6、如圖,兩個(gè)全等的aABC和4DFE重疊在一起,固定aABC,將4DEF進(jìn)行如

下變換:

(1)如圖1,aDEF沿直線CB向右平移(即點(diǎn)F在線段CB上移動(dòng)),連接AF、

AD、BD.請直接寫出S△械與S四邊形AFBD的關(guān)系;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)F平移到線段BC的中點(diǎn)時(shí),若四邊形AFBD為正方形,那么

△ABC應(yīng)滿足什么條件?請給出證明;

(3)在(2)的條件下,將4DEF沿DF折疊,點(diǎn)E落在FA的延長線上的點(diǎn)G處,

連接CG,請你在圖3的位置畫出圖形,并求出sin/CGF的值.

圖1圖2圖3

7、如圖1,在aABC中,ZACB=90°,AC=BC,ZEAC=90°,點(diǎn)M為射線AE上任

意一點(diǎn)(不與A重合),連接CM,將線段CM繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到

線段CN,直線NB分別交直線CM、射線AE于點(diǎn)F、D.

(1)直接寫出NNDE的度數(shù);

(2)如圖2、圖3,當(dāng)NEAC為銳角或鈍角時(shí),其他條件不變,(1)中的結(jié)論是

否發(fā)生變化?如果不變,選取其中一種情況加以證明;如果變化,請說明理由;

(3)如圖4,若NEAC=15°,NACM=60°,直線CM與AB交于G,BD=包,1

2

其他條件不變,求線段AM的長.

圖3圖4

8、我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“稱為中垂三角形”,例如圖1,圖2,

圖3中,AF,BE是AABC的中線,AF1BE,垂足為P,像△ABC這樣的三角形均

稱為''中垂三角形”,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.

特例探索_

(1)如圖1,當(dāng)NABE=45°,c=2血時(shí),a=,b=.

如圖2,當(dāng)NABE=30°,c=4時(shí),a=,b=.

歸納證明

(2)請你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果,猜想a?,b\c2三者之間的關(guān)系,用等式表

示出來,并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式.

拓展應(yīng)用

(3)如圖4,在口ABCD中,點(diǎn)E、F、G分別是AD,BC,CD的中點(diǎn),BE±EG,AD=2

9、如圖1,在RtaABC中,ZB=90°,BC=2AB=8,點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的

中點(diǎn),連接DE,將AEDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為a.

(1)問題發(fā)現(xiàn)

①當(dāng)a=0。時(shí),嶇;②當(dāng)a=180°時(shí),幽

BD-BD

(2)拓展探究

試判斷:當(dāng)0°Wa<360°時(shí),色的大小有無變化?請僅就圖2的情形給出證

BD

明.

(3)問題解決

當(dāng)AEDC旋轉(zhuǎn)至A,D,E三點(diǎn)共線時(shí),直接寫出線段BD的長.

10、已知點(diǎn)P是線段AB上與點(diǎn)A不重合的一點(diǎn),且AP<PB.AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)角a(0°<a<90°)得到AP”BP繞點(diǎn)B順時(shí)針也旋轉(zhuǎn)角a得到BP?,連接

PPi、PP2.

(1)如圖1,當(dāng)a=90°時(shí),求NPFB的度數(shù);

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)2在APi的延長線上時(shí),求證:△PzPFsaPzPA;

(3)如圖3,過BP的中點(diǎn)E作1」BP,過BP?的中點(diǎn)F作b_LBP”L與上交于

點(diǎn)Q,連接PQ,求證:PiP±PQ.

11、兩個(gè)三角板ABC,DEF,按如圖所示的位置擺放,點(diǎn)B與點(diǎn)D重合,邊AB與

邊DE在同一條直線上(假設(shè)圖形中所有的點(diǎn),線都在同一平面內(nèi)).其中,NC=

ZDEF=90°,ZABC=ZF=30°,AC=DE=6cm.現(xiàn)固定三角板DEF,將三角板ABC

沿射線DE方向平移,當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)三角板平移的距離為x

(cm),兩個(gè)三角板重疊部分的面積為y(cm2).

(1)當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時(shí),x=cm;

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出自變量x的取值范圍;

(3)設(shè)邊BC的中點(diǎn)為點(diǎn)M,邊DF的中點(diǎn)為點(diǎn)N.直接寫出在三角板平移過程中,

點(diǎn)M與點(diǎn)N之間距離的最小值.

12、已知NMAN=135°,正方形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn).

(1)當(dāng)正方形ABCD旋轉(zhuǎn)到NMAN的外部(頂點(diǎn)A除外)時(shí),AM,AN分別與正方

形ABCD的邊CB,CD的延長線交于點(diǎn)M,N,連接MN.

①如圖1,若BM=DN,則線段MN與BM+DN之間的數(shù)量關(guān)系是;

②如圖2,若BMWDN,請判斷①中的數(shù)量關(guān)系是否仍成立?若成立,請給予證明;

若不成立,請說明理由;

(2)如圖3,當(dāng)正方形ABCD旋轉(zhuǎn)到NMAN的內(nèi)部(頂點(diǎn)A除外)時(shí),AM,AN分

別與直線BD交于點(diǎn)M,N,探究:以線段BM,MN,DN的長度為三邊長的三角形

是何種三角形,并說明理由.

13、已知:AABC是等腰三角形,動(dòng)點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線上,以PC為直角

邊作等腰三角形PCQ,其中NPCQ=90°,探究并解決下列問題:

(1)如圖①,若點(diǎn)P在線段AB上,且AC=l+b,PA=&,則:

①線段PB=,PC=;

②猜想:PA?,PB?,PQ1'‘三者之間的數(shù)量關(guān)系為—;

(2)如圖②,若點(diǎn)P在AB的延長線上,在(1)中所猜想的結(jié)論仍然成立,請

你利用圖②給出證明過程;

(3)若動(dòng)點(diǎn)P滿足電工,求其的值.(提示:請利用備用圖進(jìn)行探求)

PB3AC

參考答案

2021年中考數(shù)學(xué)第三輪壓軸題強(qiáng)化訓(xùn)練:三角形專題復(fù)習(xí)

1、如圖,ZSABC中,AB=AC=1,ZBAC=45°,z^AEF是由aABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)得到的,連接BE、CF相交于點(diǎn)D.

(1)求證:BE=CF;

(2)當(dāng)四邊形ACDE為菱形時(shí),求BD的長.

(1)證明:???△AEF是由aABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的,

.*.AE=AB,AF=AC,NEAF=NBAC,

二ZEAF+ZBAF=ZBAC+ZBAF,即NEAB=NFAC,

VAB=AC,

;.AE=AF,

AAEB可由AAFC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到,

,BE=CF;

(2)解:?.?四邊形ACDE為菱形,AB=AC=L

/.DE=AE=AC=AB=1,AC/7DE,

AZAEB=ZABE,ZABE=ZBAC=45°,

/.ZAEB=ZABE=45°,

/.△ABE為等腰直角三角形,

.-.BE=V2AC=V2?

.\BD=BE-DE=V2-1.

2、如圖,在Rt/XABC中,ZC=90°,BD是AABC的一條角平分線.點(diǎn)0、E、F

分別在BD、BC、AC±,且四邊形OECF是正方形.

(1)求證:點(diǎn)0在NBAC的平分線上;

(2)若AC=5,BC=12,求0E的長.

解答:(1)證明:過點(diǎn)0作OM_LAB,

VBD是NABC的一條角平分線,

.\OE=OM,

???四邊形OECF是正方形,

.\OE=OF,

/.OF=OM,

AAO是NBAC的角平分線,即點(diǎn)0在NBAC的平分線上;

(2)解:?.?在RtAABC中,AC=5,BC=12,

*',AB=VAC2+BC2=V52+122=13'

設(shè)OE=CF=x,BE=BM=y,AM=AF=z,

'x+y=12

?'-5y+z=13,

x+z=5

'x=2

解得:<y=10,

z=3

.*.0E=2.

3、如圖,△ABC是等腰直角三角形,ZACB=90°,分別以AB,AC為直角邊向外

作等腰直角AABD和等腰直角AACE,G為BD的中點(diǎn),連接CG,BE,CD,BE與

CD交于點(diǎn)F.

(1)判斷四邊形ACGD的形狀,并說明理由.

(2)求證:BE=CD,BE±CD.

解答:(1)解::△ABC是等腰直角三角形,ZACB=90°,

,AB=MBC,

VAABD和4ACE均為等腰直角三角形,

.\BD=V2AB=BCV2X&XBC=2BC,

?.?G為BD的中點(diǎn),

/.BG=1BD=BC,

2

/.△CBG為等腰直角三角形,

AZCGB=45°,

VZADB=45°,

AD〃CG,

VZABD=45°,ZABC=45°

AZCBD=90°,

VZACB=90°,

AZCBD+ZACB=180°,

;.AC〃BD,

四邊形ACGD為平行四邊形;

(2)證明:VZEAB=ZEAC+ZCAB=900+45°=135°,

ZCAD=ZDAB+ZBAC=90°+45°=135°,

...ZEAB=ZCAD,

在aDAC與ABAE中,

'AD=AB

<ZCAD=ZEAB,

AC=AE

/.△DAC^ABAE,

.\BE=CD;

VZEAC=ZBCA=90°,EA=AC=BC,

...四邊形ABCE為平行四邊形,

/.CE=AB=AD,

在ABCE與ACAD中,

'BC=AC

<NBCE=/CAD=135°,

,EC=DA

.,.△BCE^ACAD,

/.ZCBE=ZACD,

VZACD+ZBCD=90°,

/.ZCBE+ZBCD=90°,

:.ZCFB=90°,

即BE±CD.

4、如圖1,在四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn),過點(diǎn)E作AB的

垂線,過點(diǎn)F作CD的垂線,兩垂線交于點(diǎn)G,連接AG、BG、CG、DG,且NAGD=

ZBGC.

(1)求證:AD=BC;

(2)求證:AAGD^AEGF;

(3)如圖2,若AD、BC所在直線互相垂直,求位的值.

EF

圖1圖2

解答(1)證明:YGE是AB的垂直平分線,

;.GA=GB,

同理:GD=GC,

在4AGD和aBGC中,

'GA=GB

<ZAGD=ZBGC,

GD=GC

.,.△AGD^ABGC(SAS),

.*.AD=BC;

(2)證明:VZAGD=ZBGC,

,ZAGB=ZDGC,

在AAGB和△DGC中,皇理,

GDGC

/.△AGB^ADGC,

?EGGA

?.而F

又;ZAGE=ZDGF,

/.ZAGD=ZEGF,

.,.△AGD^AEGF;

(3)解:延長AD交GB于點(diǎn)M,交BC的延長線于點(diǎn)H,如圖所示:

則AH1BH,

VAAGD^ABGC,

ZGAD=ZGBC,

在4GAM和△HBM中,ZGAD=ZGBC,ZGMA=ZHMB,

AZAGB=ZAHB=90°,

.,.ZAGE=^ZAGB=45°,

2

?AGr-

??瓦3,

XVAAGD^AEGF,

5、如圖,是一副學(xué)生用的三角板,在aABC中,ZC=90°,ZA=60°,ZB=30°;

在△AB。中,NC=90°,ZA,=45°,NB尸45°,且AB=CB.若將邊AC與邊

CA重合,其中點(diǎn)A與點(diǎn)C重合.將三角板ABG繞點(diǎn)C(AJ按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),

旋轉(zhuǎn)過的角為a,旋轉(zhuǎn)過程中邊A£與邊AB的交點(diǎn)為M,設(shè)AC=a.

(1)計(jì)算AC的長;

(2)當(dāng)a=30°時(shí),證明:BC〃AB;

(3)若a=^+?,當(dāng)a=45°時(shí),計(jì)算兩個(gè)三角板重疊部分圖形的面積;

(4)當(dāng)a=60°時(shí),用含a的代數(shù)式表示兩個(gè)三角板重疊部分圖形的面積.

(參考數(shù)據(jù):sinl5°,cosl5°=退士返,tanl5°=2-/,sin75°=

_44

厲近,cos75°=混一"tan75°=2+73)

44

由特殊銳角三角函數(shù)可知:空=tan30。=立,

BC3

.,.BC=V3a.

?*-BIC=>/3a

在RtZXABC,NB尸N45°,

.AjCja

??----~.

BjC2

AC尸斗xV3

(2)VZACM=30°,ZA=60°,

ZBMC=90°.

ZCFZBMC.

,BC〃AB.

(3)如下圖:

由(1)可知:AQ=^=乎X(V6+V2)=3+V3

...△ABC的面積=£BICI?CIAI=£(3+73)2=6+3V3

?.,/ABC產(chǎn)45°,ZABC=30°

,NMBG=15°

在RtZ\BCM中,CM=BCtanl5°=(3+逐)(2-加)=3-丑,

.,?RSBCM的面積寺凸£號(hào)(3+?)(3-心)=3.

...兩個(gè)三角板重疊部分圖形的面積=4人3£的面積-△BCM的面積=3?+3.

(4)由(1)可知:BC=V3a,AC=^a,

.,.C1F=A,C1*tan30°=西,

2___

/.SA4c育=工人IC1.C1F=」又近

'△A£F2"卜1…2224

VZMCA=60°,ZA=60°,

二ZAMC=60°

.*.MC=AC=MA=a.

,GM=CA-MO遮一2

2

VZMCA=60°,

AZC,A1B=30°,

,

..ZC1MD=ZB+ZC1AIB=60°

在RtZ\DCM中,由特殊銳角三角函數(shù)可知:GD=GM?tan60°=2①二結(jié)a,

2

?-1cn^/22

??oS^DC]獷工£MGD=-aO'

-

兩個(gè)三角板重疊部分圖形的面積=S.AcFSADCM建工加=哼第-也產(chǎn)

-2V3O2

2

6、如圖,兩個(gè)全等的aABC和aDFE重疊在一起,固定aABC,將aDEF進(jìn)行如

下變換:

(1)如圖1,4DEF沿直線CB向右平移(即點(diǎn)F在線段CB上移動(dòng)),連接AF、

AD、BD.請直接寫出S△械與S四邊形AFBD的關(guān)系;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)F平移到線段BC的中點(diǎn)時(shí),若四邊形AFBD為正方形,那么

△ABC應(yīng)滿足什么條件?請給出證明;

(3)在(2)的條件下,將4DEF沿DF折疊,點(diǎn)E落在FA的延長線上的點(diǎn)G處,

連接CG,請你在圖3的位置畫出圖形,并求出sin/CGF的值.

圖1圖2圖3

解:(1)SAABC=S四邊形AFBD,

理由:由題意可得:AD〃EC,

則SAADF=SAABD?

故SAACF=SAADF=SAAB?>

則S&\BC=SHia?AFBD;

(2)ZSABC為等腰直角三角形,即:AB=AC,ZBAC=90°,

理由如下:?.¥為BC的中點(diǎn),

.\CF=BF,

VCF=AD,

.?.AD=BF,

又?;AD〃BF,

???四邊形AFBD為平行四邊形,

VAB=AC,F為BC的中點(diǎn),

AAF1BC,

平行四邊形AFBD為矩形,

VZBAC=90°,F為BC的中點(diǎn),

.,.AF=-1BC=BF,

2

,四邊形AFBD為正方形;

(3)如圖3所示:

由(2)知,AABC為等腰直角三角形,AF1BC,

設(shè)CF=k,則GF=EF=CB=2k,

由勾股定理得:CG=^k,

7、如圖1,在aABC中,ZACB=90°,AC=BC,ZEAC=90°,點(diǎn)M為射線AE上任

意一點(diǎn)(不與A重合),連接CM,將線段CM繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到

線段CN,直線NB分別交直線CM、射線AE于點(diǎn)F、D.

(1)直接寫出NNDE的度數(shù);

(2)如圖2、圖3,當(dāng)NEAC為銳角或鈍角時(shí),其他條件不變,(1)中的結(jié)論是

否發(fā)生變化?如果不變,選取其中一種情況加以證明;如果變化,請說明理由;

(3)如圖4,若NEAC=15°,/ACM=60°,直線CM與AB交于G,BD=-十后,

2

其他條件不變,求線段AM的長.

圖1圖2

解:(1)VZACB=90°,ZMCN=90°,

...ZACM=ZBCN,

在aMAC和ANBC中,

"AC=BC

<NACM=NBCN,

,MC=NC

.,.△MAC^ANBC,

AZNBC=ZMAC=90°,

又?.?NACB=90°,ZEAC=90°,

ZNDE=90°;

(2)不變,

在△MAC絲ANBC中,

rAC=BC

<NACM=NBCN,

,MC=NC

.,.△MAC絲△NBC,

,ZN=ZAMC,

又;ZMFD=ZNFC,

ZMDF=ZFCN=90°,即NNDE=90°;

(3)作GK_LBC于K,

VZEAC=15°,

.,.ZBAD=30°,

VZACM=60°,

:.ZGCB=30°,

/.ZAGC=ZABC+ZGCB=75°,

ZAMG=75°,

/.AM=AG,

VAMAC^ANBC,

ZMAC=ZNBC,

.,.ZBDA=ZBCA=90°,

?/BD=76jV2,

2

?**

AC=BC=,^+1,

設(shè)BK=a,則GK=a,CK=?a,

a=l,

,KB=KG=1,BG=圾,

AG=y[^>,

AM=

8、我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“稱為中垂三角形”,例如圖1,圖2,

圖3中,AF,BE是aABC的中線,AF±BE,垂足為P,像aABC這樣的三角形均

稱為“中垂三角形",設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.

特例探索___

(1)如圖1,當(dāng)NABE=45°,c=2圾時(shí),a=2如,b=2如.

如圖2,當(dāng)NABE=30°,c=4時(shí),a=2m,b=2j7.

歸納證明

(2)請你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果,猜想a?,b\c?三者之間的關(guān)系,用等式表

示出來,并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式.

拓展應(yīng)用

(3)如圖4,在口ABCD中,點(diǎn)E、F、G分別是AD,BC,CD的中點(diǎn),BE±EG,AD=2

解:⑴VAH1BE,ZABE=45°,

...AP=BP=Y^AB=2,

2

VAF,BE是AABC的中線,

,EF〃AB,EF=/AB=M,

/.ZPFE=ZPEF=45O,

.\PE=PF=1,

在RtAFPB和RtAPEA中,

AE=BF=1]2+22=遙,

.,.AC=BC=2旄,

*'?a=b=2,\/5,

如圖2,連接EF,

同理可得:EF=1X4=2,

2

VEF/7AB,

.,.△PEF-AABP,

.PF_PE_EF_1

""AP'PB'AB^

在RtAABP中,

AB=4,ZABP=30°,

,AP=2,PB=2?,

.,.PF=1,PE=V3,

在RtAAPE和RtABPF中,

AE=V7,BF=V13>

,a=2,13,b=2

故答案另:2泥,2加,2yfi3,2^/7;

(2)猜想:a2+b2=5c2,

如圖3連接EF,

設(shè)NABP=a,

.*.AP=csina,PB=ccosa,

由(1)同理可得,PF」PA二csin」,PE=1pB=cc°sa,

2222

222

22222Q222C2sinq22

AE=AP+PE=csina+c,BF=PB+PF=+ccosa,

44

222222

()=c2sin2a+cC(^a,(>|)=csi^Q+c2cos2a,

222222

----S-+-^=csina+cWa+C鼠in-+ccosa,

4444

.,.a2+b2=5c2;

(3)如圖4,連接AC,EF交于H,AC與BE交于點(diǎn)Q,設(shè)BE與AF的交點(diǎn)為P,

?.?點(diǎn)E、G分別是AD,CD的中點(diǎn),

,EF〃AC,

VBE±EG,

/.BE±AC,

???四邊形ABCD是平行四邊形,

,AD〃BC,AD=BC=2泥,

.,.ZEAH=ZFCH,

VE,F分別是AD,BC的中點(diǎn),

...AE=1AD,BF=1BC,

22

.,.AE=BF=CF=1AD=V3,

VAE/7BF,

,四邊形ABFE是平行四邊形,

,EF=AB=3,AP=PF,

在aAEH和△CFH中,

'/EAH=/FCH

<NAHE=NFHC,

AEXF

/.△AEH^ACFH,

.?.EH=FH,

AEH,AH分別是AAFE的中線,

由(2)的結(jié)論得:AF2+EF2=5AE2,

.*.AF2=5(^y2-EF2=16,

/.AF=4.

9、如圖1,在RSABC中,ZB=90°,BC=2AB=8,點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的

中點(diǎn),連接DE,將AEDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為a.

備用圖

圖1圖2

(1)問題發(fā)現(xiàn)__

①當(dāng)a=0。時(shí),地=近;②當(dāng)a=180°時(shí),坐近.

BD-2-BD-2-

(2)拓展探究

試判斷:當(dāng)0。WaV360°時(shí),區(qū)的大小有無變化?請僅就圖2的情形給出證

明.

(3)問題解決

當(dāng)AEDC旋轉(zhuǎn)至A,D,E三點(diǎn)共線時(shí),直接寫出線段BD的長.

解:(1)①當(dāng)a=0°時(shí),

,.?RtZ\ABC中,ZB=90°,

*#,AC=VAB2+BC2=72+82=4V5,

?.?點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn),

,AE=4后2=2遙,BD=84-2=4,

?AE275娓

"BD=4=2'

②如圖1,圖1

當(dāng)a=180°時(shí),

可得AB〃DE,

..ACBC

AE

AE

BDBC82

故答案為:近、立

22

(2)如圖2,

當(dāng)0°Wa<360°時(shí),色的大小沒有變化,

BD

VZECD=ZACB,

ZECA=ZDCB,

又??EC_AC_V^

■前=BC=2,

/.△ECA^ADCB,

.AEECV5

??麗=DC=2?

(3)①如圖3,

VAC=4V5,CD=4,CD±AD,

AD=7AC2-CD2=V(475)2-42=780-16=8'

VAD=BC,AB=DC,ZB=90°,

四邊形ABCD是矩形,

.?.BD=AC=4詆.

②如圖4,連接BD,過點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q,過點(diǎn)B作AC的垂線交AC

于點(diǎn)P,

圖4,

?.?AC=4旄,CD=4,CD1AD,

*#-AD=7AC2-CD2=7(W5)2-42=780-16=8'

在aABC和ACDA中,

'AB=CD

<BC=DA

AC=CA

;.BP=DQ,BP〃DQ,PQ±DQ,

...四邊形BDQP為矩形,

.\BD=PQ=AC-AP-CQ

=4^5-

VsV5

=12泥

5

綜上所述,BD的長為4泥或里

5

10、已知點(diǎn)P是線段AB上與點(diǎn)A不重合的一點(diǎn),且APVPB.AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)角a(0°VaW90°)得到AP,,BP繞點(diǎn)B順時(shí)針也旋轉(zhuǎn)角a得到BP2,連接

PPi、PP2

(1)如圖1,當(dāng)a=90。時(shí),求NPFPz的度數(shù);

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P?在APi的延長線上時(shí),求證:△PRPs/^BPA;

(3)如圖3,過BP的中點(diǎn)E作1」BP,過BP?的中點(diǎn)F作k,BP2,L與b交于

點(diǎn)Q,連接PQ,求證:PiP±PQ.

解答:(1)解:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:AP=AP“BP=BP2.

a=90°,

,APAP,和aPEPz均為等腰直角三角形,

...NAPP產(chǎn)NBPP2=45°,

.,.ZPIPP2=180°-ZAPP,-ZBPP2=90°;

(2)證明:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知APAPi和aPBE均為頂角為a的等腰三角形,

.?.NAPP產(chǎn)/BPP”=90°-—,

2

...NPFP2=180°-(ZAPPi+ZBPP)=180°-2(90°--)=a,

22

在4PP2Pl和APzPA中,ZP,PP2=ZPAP2=a,

又:NPP2P產(chǎn)NAP2P,

...zWiPsZ^PA.

(3)證明:如圖,連接QB.

??T”[分別為PB,RB的中垂線,

...EBJBP,FB=ABP.

222

又BP=BP2>

/.EB=FB.

在RtAQBE和RtAQBF中,

(EB=FB,

|QB=QB,

ARtAQBE^RtAQBF,

,ZQBE=ZQBF=1ZPBP2=—,

22

由中垂線性質(zhì)得:QP=QB,

/.ZQPB=ZQBE=—,

2

由(2)知NAPPi=90°-―,

2

ZP,PQ=180°-ZAPP,-ZQPB=180°(90°)--=90°,

22

即P,P±PQ.

H>兩個(gè)三角板ABC,DEF,按如圖所示的位置擺放,點(diǎn)B與點(diǎn)D重合,邊AB與

邊DE在同一條直線上(假設(shè)圖形中所有的點(diǎn),線都在同一平面內(nèi)).其中,ZC=

ZDEF=90°,ZABC=ZF=30°,AC=DE=6cm.現(xiàn)固定三角板DEF,將三角板ABC

沿射線DE方向平移,當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)三角板平移的距離為x

(cm),兩個(gè)三角板重疊部分的面積為y(cm?).

(1)當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時(shí),x=15cm;

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出自變量x的取值范圍;

(3)設(shè)邊BC的中點(diǎn)為點(diǎn)M,邊DF的中點(diǎn)為點(diǎn)N.直接寫出在三角板平移過程中,

點(diǎn)M與點(diǎn)N之間距離的最小值.

解:(1)如圖1所示:作CGLAB于G點(diǎn).,

在RtZ\ABC中,由AC=6,ZABC=30,得

tan30

在Rt^BCG中,BG=BC*cos30°=9.

四邊形CGEH是矩形,

CH=GE=BG+BE=9+6=15cm,

故答案為:15;

(2)①當(dāng)0WxV6時(shí),如圖2所示.,

ZGDB=60°,ZGBD=30°,DB=x,得

DG」x,BG=^X,重疊部分的面積為y=3DG?BG」xLx在X=Y^2

2222228

②當(dāng)6<xV12時(shí),如圖3所示.,

BD=x,DG=—x,BG=—x,BE=x-6,EH=,^(x-6).

223

重疊部分的面積為y=SABlx;-SABE"=2DG?BG-ABE,EH,

22

即y=Ax-xX^x--(x-6)—(x-6)

22223

化簡,得y=-立x?+2正x-6^3;

24

③當(dāng)12VxW15時(shí),如圖4所示.,_

AC=6,BC=6?,BD=x,BE=(x-6),EG=—(x-6),

3

重疊部分的面積為y=SAABc-SABK:4AC-BC-IBE-EG,

22

即y=-lx6X65/3--(X-6)樂x-6),

22

化簡,得y=18?12x+36)=-&2+2^+12^;

66

尊2(o<<)

ox6

6

~^|X2+2V3X-V3(6<X<12)

綜上所述:y=

一^^J+2?x+l2V5(124x415)

0

(3)如圖5所示作NG±DE于G點(diǎn).

(4),點(diǎn)M在NG上時(shí)MN最短,

NG是4DEF的中位線,

NG=aEF=373.

MB哆B=3b,NB=30。,

MG=%1B=",

22__

MN農(nóng)產(chǎn)3&-萼=萼?

圖4圖5

12、已知NMAN=135°,正方形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn).

(1)當(dāng)正方形ABCD旋轉(zhuǎn)到NMAN的外部(頂點(diǎn)A除外)時(shí),AM,AN分別與正方

形ABCD的邊CB,CD的延長線交于點(diǎn)M,N,連接MN.

①如圖1,若BM=DN,則線段MN與BM+DN之間的數(shù)量關(guān)系是MN=BM+DN;

②如圖2,若BMWDN,請判斷①中的數(shù)量關(guān)系是否仍成立?若成立,請給予證明;

若不成立,請說明理由;

(2)如圖3,當(dāng)正方形ABCD旋轉(zhuǎn)到NMAN的內(nèi)部(頂點(diǎn)A除外)時(shí),AM,AN分

別與直線BD交于點(diǎn)M,N,探究:以線段BM,MN,DN的長度為三邊長的三角形

是何種三角形,并說明理由.

解:(1)①如圖1,若BM=DN,則線段MN與BM+DN之間的數(shù)量關(guān)系是MN=BM+DN.理

由如下:

在4ADN與AABM中,

'AD=AB

,ZADN=ZABM=906,

DN=BM

.,.△ADN^AABM(SAS),

,AN=AM,ZNAD=ZMAB,

VZMAN=135°,ZBAD=90°,

AZNAD=ZMAB=1(360°-135°-90°)=67.5°,

2

作AE_LMN于E,則MN=2NE,ZNAE=AZMAN=67.5°.

2

在AADN與AAEN中,

'NADN=NAEN=9O°

,NNAD=NNAE=67.5°,

AN=AN

AAADN^AAEN(AAS),

,DN=EN,

VBM=DN,MN=2EN,

.,.MN=BM+DN.

故答案為MN=BM+DN;

②如圖2,若BMWDN,①中的數(shù)量關(guān)系仍成立.理由如下:

延長NC到點(diǎn)P,使DP=BM,連結(jié)AP.

二?四邊形ABCD是正方形,

,AB=AD,ZABM=ZADC=90°.

在aABM與4ADP中,

fAB=AD

,NABM=NADP=90°,

BM=DP

/.△ABM^AADP(SAS),

;.AM=AP,Z1=Z2=Z3,

VZ1+Z4=9O°,

AZ3+Z4=90°,

VZMAN=135°,

:.ZPAN=3600-ZMAN-(Z3+Z4)=360°-135°-90°=135°.

在AANM與aANP中,

'AM=AP

</MAN=/PAN=135°,

AN=AN

/.△ANM^AANP(SAS),

AMN-PN,

:PN=DP+DN=BM+DN,

,MN=BM+DN;

(2)如圖3,以線段BM,MN,DN的長度為三邊長的三角形是直角三角形.理由

如下:

?.?四邊形ABCD是正方形,

/.ZBDA=ZDBA=45O,

AZMDA=ZNBA=135°.

VZ1+Z2=45°,Z2+Z3=45°,

/.Z1=Z3.

在AANB與aMAD中,

fZABN=ZMDA=135°

IZ1=Z3'

.".△ANB^AMAD,

???B-N-_--A-B,

ADMD

.?.AB2=BN?MD,

VAB=^DB,

2

/.BN?MD=(匹B)=1BD2,

22

.*.BD2=2BN*MD,

二MD2+2MD?BD+BD2+BD2+2BD?BN+BN2=MD2+BD2+BN2+2MD?BD+2BD?BN+2BN?MD,

:.(MD+BD)2+(BD+BN)2=(DM+BD+BN)2,

即MB2+DN2=MN2

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論