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文檔簡(jiǎn)介
專題17圖形的相似
一.考向分析
相似多邊形的性質(zhì)是中考考查的熱點(diǎn),其中以相似多邊形的相似比、面積比、周長(zhǎng)比的關(guān)
系考查較多.相似三角形的判定、性質(zhì)及應(yīng)用是考查的重點(diǎn),常與方程、圓、四邊形、三角函
數(shù)等相結(jié)合,進(jìn)行有關(guān)計(jì)算或證明
二、思維導(dǎo)圖
相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等
相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例
相{歸角形的對(duì)應(yīng)高線的唾于榴以比
相似三角形的對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比
相似三角形的性質(zhì)
相似二角形的對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比
相似三角形的局長(zhǎng)唔丁相似比
相似三角形的面枳比等于相似比的平方
科以二角形具有傳遞性
定義形狀相同、對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的圖形
比例兩小值相郛式子
相似形狀相同
對(duì)應(yīng)角相等
性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例
相似三角形面積比是對(duì)應(yīng)邊比值的平方
周良比等于對(duì)山邊之比
相似三角形的定義
相似二角形的定義、表小方法、相似比表示方法
相似比
兩邊對(duì)應(yīng)成比例滅角相等
昔通二角形二?寸曲成比例
相似三角形的判定兩角對(duì)應(yīng)相等
具備普通三角形的判定方法
直角三角形
T直角邊與斜邊對(duì)應(yīng)成比例
三、最新考綱
1.了解比例線段的有關(guān)概念及其性質(zhì),并會(huì)用比例的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的問題.
2.了解相似多邊形,相似三角形的概念,掌握其性質(zhì)和判定并會(huì)運(yùn)用.
3.了解位似變換和位似圖形的概念,掌握并運(yùn)用其性質(zhì).
四.考點(diǎn)強(qiáng)化
【考點(diǎn)總結(jié)】一、比例線段
1.比例線段的定義:
在四條線段小b,c,d中,如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比,即色=£(或。:力=。:④,那
bd
么這四條線段小b,c,4叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段.
2.比例線段的性質(zhì):
(1)基本性質(zhì):*=*^ad=bc;
人.1...ac,、a+bc+d
(2)口比性質(zhì):石=產(chǎn)丁=??;
(3)等比性質(zhì):
c加八.,,,,八、力一4+^+…+^a
醬=1=i=GS+d+…+*°),那么…+〃=分
3.黃金分割:
點(diǎn)C把線段A8分成兩條線段AC和8C如果骼=衰,則線段4B被點(diǎn)。黃金分割,點(diǎn)C叫線段4B的黃
金分割點(diǎn),AC與AB的比叫做黃金比.
【考點(diǎn)總結(jié)】二、相似多邊形
1.定義:
對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比,相似比為1
的兩個(gè)多邊形全等.
2.性質(zhì):
(1)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例;
(2)相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比;
(3)相似多邊形面積的比等于相似比的平方.
【考點(diǎn)總結(jié)】三、相似三角形
1.定義:
各角對(duì)應(yīng)相等,各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.
2.判定:
(1)平行于三角形一邊的宜線和其他兩邊(或兩邊延長(zhǎng)線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似;
(2)兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似;
(3)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似;
(4)三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似;
(5)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,兩直角三角形相似.
3.性質(zhì):
(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例;
⑵相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比;
(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比:
(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方
【考點(diǎn)總結(jié)】四、圖形的位似
1.定義:
如果兩個(gè)圖形僅是相似圖形,而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn),那么這兩個(gè)圖形叫位似圖形.這
個(gè)點(diǎn)叫做位似中心,這時(shí)的相似比稱為位似比.
2.性質(zhì):
位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比.
3.畫位似圖形的步驟
(1)確定位似中心點(diǎn);
(2)連接圖形各頂點(diǎn)與位似中心的線段(或延長(zhǎng)線);
⑶按位似比進(jìn)行取點(diǎn);
(4)順次連接各點(diǎn),所得的圖形就是所求醫(yī)形.
五.新題解析
一、單選題
1.(2021?河南許昌市?九年級(jí)一模)如圖,已知直線a〃方〃c,若AB=9,8c=6,=10,則OE的長(zhǎng)為
()
A.4B.5C.6D.7
【答案】B
【分析】
DEAB
直接根據(jù)平行線分線段成比例定理得到言7=然后根據(jù)比例的性質(zhì)可計(jì)算出OE的長(zhǎng)?
DFAC
【詳解】
解:*:a!Ibl!c,
,DEABDE9
??---=,即—=----,
DFAC109+6
DE=6.
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行線分線段成比例,熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
2.(2021?湖北黃岡市.九年級(jí)一模)如圖,EMBC為直角三角形,ZC=90°,BC=2cm,ZA=3O°,
四邊形OE/G為矩形,DE=2&m,EF=6cm,且點(diǎn)C、B、E、尸在同一條直線上,點(diǎn)8與點(diǎn)£
重合.RtZXABC以每秒1cm的速度沿矩形OERG的邊E尸向右平移,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)尸重合時(shí)停止.設(shè)
RtZ\A8C與矩形OEFG的重疊部分的面積為jcn?,運(yùn)動(dòng)時(shí)間期.能反映yen?與鄧之間函數(shù)關(guān)系的大
致圖象是()
CB(E)
【答案】A
【分析】
由勾股定埋求出AA、AC的長(zhǎng),進(jìn)一步求出△AAC’的面積,根據(jù)移動(dòng)特點(diǎn)有二種情況,分別求出每種情況y
與X的關(guān)系式,利用關(guān)系式的特點(diǎn)(是一次函數(shù)還是二次函數(shù))就能選出答案.
【詳解】
解:已知NC=90。,BC=2cm,ZA=30°,
:.AB=4,
由勾股定理得:AC=25
???四邊形DEFG為矩形,ZC=90°,
:?DE=GF=2?NC=NDEF=90。,
??.AC//DE,
此題有三種情況:(1)當(dāng)0<x<2時(shí),48交OE于“,
如圖
??,DE//AC,
.EHBE
'AC-BC
BP—r=—,
2g2
解得:EH=瓜,
2
所以j=—.5/3x?x=—x?
22
..6、(、
?a=——>(),
2
???拋物線開口向上;
所以所選答案。錯(cuò)誤,答案。錯(cuò)誤,
(2)當(dāng)2<x<6時(shí),如圖,
區(qū)
ECBF
此時(shí)y=;x2x2g=2百
(3)當(dāng)6<xW8時(shí),如圖,設(shè)口A8C的面積是S1,口8\活的面積是“,
"I------
ECFB
BF=x-6,與(I)類同,同法可求或=后一66,
??y=4-s2,
=^x2x2>/3--^x(x-6)x(>/3x-6\/3)
L
=———x2+—16\/3.
2
???3<o,
2
,拋物線開口向下,
所以答案A正確,答案8錯(cuò)誤,
故選:A.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了一次函數(shù),二次函數(shù)的性質(zhì)三角形的面積公式等知識(shí)點(diǎn),解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)移動(dòng)規(guī)律
把問題分成三種情況,并能求出每種情況的),與x的關(guān)系式.
3.(2021?河南九年級(jí)二模)如圖是與□力8c位似的三角形的幾種畫法,其中正確的有()
①②③④
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
【答案】D
【分析】
根據(jù)位似圖形的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】
解:由位似圖形的畫法可得:4個(gè)圖形都是口ABC的位似圖形.
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了位似變換,正確把握位似圖形的定義是解題關(guān)鍵.
4.(2021?上海金山區(qū)?九年級(jí)一模)如圖,已知點(diǎn)。、E分別在AA8C的邊A8、AC上,DE/IBC,AD=2,
80=3,BC=a,那么而等于()
2222
A.一&B.——aC.-G.D.——a
3355
【答案】D
【分析】
先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求出DE與BC的數(shù)量關(guān)系,再根據(jù)向量的定義即可求出防的值.
【詳解】
解:VDEHBC,
DEAD
VAD=2,BD=3,
DE2
BC2+3
???DE=-BC.
5
,-BC=a^
.-2-
??ED=--^-
故選D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),以及向量的定義,向量用有向線段來表示,有向線段長(zhǎng)度表示向量
的大小,有向線段的方向表示向量的方向.
5.(2021?上海九年級(jí)專題練習(xí))如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)。,空=段,由此
OBOC
推得的正確結(jié)論是()
0
B
OAABOAAD八OBABABAD
A-----=------B-----=------C-----=------D-----=------
ODCD?OCBCODCD,CDBC
【答案】A
【分析】
根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.
【詳解】
解:?;NAOB與NDOC是對(duì)頂角
.\ZAOB=ZDOC
又?---=----'
OBOC
AAAOB^ADOC,
.OA_AB
*OD-CD'
故選:A
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
6.(2021?上海徐匯區(qū)?九年級(jí)一模)下列說法中,正確的是()
A.兩個(gè)矩形必相似B.兩個(gè)含45。角的等腰三角形必相似
C.兩個(gè)菱形必相似D.兩個(gè)含30。角的直角三角形必相似
【答案】D
【分析】
根據(jù)相似多邊形、相似三角形的判定逐項(xiàng)判斷即可得.
【詳解】
A、兩個(gè)矩形的對(duì)應(yīng)角相等,但對(duì)應(yīng)邊不一定成比例,則不一定相似,此項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、如果一個(gè)等腰三角形的頂角是45。,另一等腰三角形的底角是45。,則不相似,此項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、兩個(gè)菱形的對(duì)應(yīng)邊成比例,但四個(gè)內(nèi)角不一定對(duì)應(yīng)相等,則不一定相似,此項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、兩個(gè)含30。角的直角三角形必相似,此項(xiàng)正確;
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似多邊形、相似三角形的判定,熟練掌握相似圖形的判定方法是解題關(guān)鍵.
7.(2021?上海長(zhǎng)寧區(qū)?九年級(jí)一模)如圖,己知在」ABC中,點(diǎn)。、點(diǎn)E是邊BC上的兩點(diǎn),連接AD、AE,
且4D=AE,如果…ABEsUcsA,那么下列等式錯(cuò)誤的是()
A.AB2=BE*BCB.CD*AB=AD*AC
C.A*=CD?BED.AB?AC=BE*CD
【答案】D
【分析】
根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)對(duì)每?個(gè)選項(xiàng)一一證明即可.
【詳解】
解:7UABE<^UCBA,
ABBE
J—=—,ZBAE=ZC,/AEB=/CAB,
BCAB
???AB2=8E?BC,(故選項(xiàng)A正確)
':AD=AEf
/.ZADE=NAED,
:.ZADE=^CAB,
又???/C=NC,
:.UCDA^UCAB,
.CDAD
??,
ACAB
:.CD*AB=AD?AC,(故選項(xiàng)B正確)
VZADE=ZAED,NBAE=NC,
??.口4B£s口CA。,
.AEBE
"而一而‘
:?AE?AD=CABE,
又???4)=4E,
??*爐=。及?8E,(故選項(xiàng)C正確)
?I/ADE=NAEOV90。,
,ZADB=ZAEC>90°,
:.AB>AD,AOAE,
???MAOAE2,
即ABMOCDBE,(故選項(xiàng)D錯(cuò)誤)
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì),熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.
8.(2021?上海長(zhǎng)寧區(qū)?九年級(jí)一模)下列命題中,說法正確的是()
A.四條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)四邊形相似
B.四個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形相似
C.兩邊對(duì)應(yīng)成比例且有一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似
D.斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似
【答案】D
【分析】
根據(jù)三角形相似和相似多邊形的判定解答.
【詳解】
A、四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,四條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)四邊形相似,原命題是假命題;
B、四個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等,四條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)四邊形相似,原命題是假命題;
C、兩邊對(duì)應(yīng)成比例且其夾角相等的兩個(gè)三角形相似,原命題是假命題;
D、斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似,是真命題:
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了命題與定理的知識(shí),解題的關(guān)鍵是了解三角形相似和相似多邊形,難度不大.
9.(2021.上海楊浦區(qū)?九年級(jí)一模)在梯形48C。中,AD//BC,對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)0,下列說
法中,錯(cuò)誤的是()
ccODSMOD°A5AM4。
A.=S△吩B.--------c.---------D.A--------
口4BOC口ABOC0^A3C
【答案】c
【分析】
根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及等積法可直接進(jìn)行排除選項(xiàng).
【詳解】
解.:如圖所示:
VAD^BC,
sAZ)
=,
AAAOD^ACOB,SABC=ST^~~RT故D正確,
.OAOD
,'OC~'OB
S4耳OD_
故錯(cuò)誤;
^~OCT,c
■:S^ABC=SyjAOB+S'OBC,S^DBC~S、00c+S708c,
*?*SgoB=^ADOC,A正確:
S、AOB
*^=不OA,即=OD故B正確;
)△BOC,△BOCU”
故選c.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定,熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定及等積法是解題的關(guān)鍵.
10.(2021?上海楊浦區(qū)?九年級(jí)一模)在口48c中,點(diǎn)。、E分別在邊A3、AC上,下列條件中,能判定
DE//BC的是()
ADDEADAE「DBAEADAE
A.-----=------B.-----=------C-----=------D.=
ABBCDBEC,ECADACAB
【答案】A
【分析】
根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例,兩直線平行,可得出答案.
【詳解】
ADDE
A、=—,可證明DE〃BC,故本選項(xiàng)正確;
ABBC
AD?AE
B>---,不可證明DE〃BC,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
DB,EC
C、==不可證明DE〃BC,故本選項(xiàng)不正確;
ECAD
AT)AU
D、r7=r不可證明DE〃BC,故本選項(xiàng)不正確.
ACAB
故選A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行線分線段成比例,對(duì)應(yīng)線段成比例,兩直線平行.
11.(2021?上海青浦區(qū)?九年級(jí)一模)如圖,已知5D與CE相交于點(diǎn)A,行C,如果AD=2,AB=3,
AC=6,那么AE等于()
C.4D.9
【答案】C
【分析】
根據(jù)平行線分線段成比例即可得到結(jié)論.
【詳解】
解:VED/7BC,
.ABAC
??而一瓦’
36
M即一=,
2AE
/.AE=4,
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行線分線段成比例的運(yùn)用,注意:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線),
所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
12.(2021?上海黃浦區(qū)?九年級(jí)一模)如圖,在直角梯形A8C。中,AB//CD,ZBAD=90°,對(duì)角線的
交點(diǎn)為點(diǎn)O.如果梯形A8CD的兩底邊長(zhǎng)不變,而腰長(zhǎng)發(fā)生變化,那么下列量中不變的是()
A.點(diǎn)O到邊A3的距離B.點(diǎn)。到邊的距離
C.點(diǎn)O到邊CO的距離D.點(diǎn)O到邊QA的距離
【答案】D
【分析】
變化后的梯形為ABC'。',對(duì)角線的交點(diǎn)為O',連接。0',利用平行證出AABOs/XCDO,△ABO'
△C'D'O列出比例式即可證出照=給,從而證出OO'//DDf,然后根據(jù)平行線之間的距離處處相等
即可證出結(jié)論.
【詳解】
解:如下圖所示,變化后的梯形為ABC'。',對(duì)角線的交點(diǎn)為O',連接O。'
由題意易知:CD=CD
VAB-7CD,\B//CD
AAABO^ACDO,△/\CD'O)
.ABBOA8B0’
'''CD~~DO''CD,~~^O,
.BOBO'
*DO-
,Off//DD'
根據(jù)平行線之間的距離處處相等,可得點(diǎn)O和點(diǎn)。'到DA的距離相等,點(diǎn)O和點(diǎn)。'到AB、BC、CD的距
離不一定相等
:.不變量是點(diǎn)O到邊DA的距離
故選D.
【點(diǎn)睛】
此題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)和平行線之間的距離,找出相似三角形并證出OO'〃。。是解題關(guān)
鍵.
13.(2021?上海黃浦區(qū)?九年級(jí)一模)已知□A8c與口。石尸相似,又NA=40。,ZB=60°,那么NO不
可能是()
A.40°B.60°C.80°D.100°
【答案】D
【分析】
利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出NC,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和對(duì)應(yīng)情況分類討論即可得出ND可能
的度數(shù),從而作出判斷.
【詳解】
解::□ABC中,ZA=40°,ZB=60°
;?ZC=1?0u—ZA—ZB=80u
???□ABC與DOE尸相似
???ND二NA=40。或ND=NB=60?;騈D=NC=80°
???ND不可能是100°
故選:D.
【點(diǎn)睛】
此題考查的是相似三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分類討論是解題關(guān)鍵.
14.(2021?上海浦東新區(qū)?九年級(jí)一模)如圖,在.ABC中,點(diǎn)D、F是邊AB上的點(diǎn),點(diǎn)E是邊AC上的點(diǎn),
如果/ACD=NB,DE//BC,EF//CD,下列結(jié)論不成立的是()
E
BC
A.AE2=AFAD
B.AC2=AD-AB
C.AF2=AEAC
D.AD2=AFAB
【答案】C
【分析】
根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)以及平行線分線段成比例對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)證明即可.
【詳解】
解:VDE//BC,EF//CD,
AZADE=ZB,ZACD=ZAEF,
又Y/ACD=NB,
/.ZADE=ZAEF,
VZADE=ZAEF,ZA=ZA,
???UAEFSUADE,
.AE_AD
??第一罰’
2
-AF=AFADf故選項(xiàng)A正確;
VZACD=ZB,ZA=ZA,
.*.□ACD^DABC,
.ACAD
**AB-AC?
AAC2=ADAB故選項(xiàng)B正確;
VDE//BC,
.AEAD
一就一瓦‘
VEF//CD,
?AEAF
??就一而‘
AFAD
,——=——,
ADAB
AAD2=AFAB故選項(xiàng)D正確;
VEF//CD,
?AE_AF
..-----=------,
ACAD
??.4/?AC=A七?A。,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤,
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行線分線段成比例以及相似三角形的判定及性質(zhì),熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解決
本題的關(guān)鍵.
15.(2021?上海浦東新區(qū)?九年級(jí)一模)A、B兩地的實(shí)際距離AB=250米,如果畫在地圖上的距離AE=5
厘米,那么地圖上的距離與實(shí)際距離的比為()
A.1:500B.1:5(X)0C.500:1D.5000:1
【答案】B
【分析】
地圖上距離與實(shí)際距離的比就是在地圖上的距離A9與實(shí)際距離AB的比值.
【詳解】
解:???250米=25000cm,
AB:AB=5:25000=1:5000.
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了比例尺,掌握比例尺的計(jì)算方法,注意在求比的過程中,單位要統(tǒng)一.
16.(2021?上海靜安區(qū)?九年級(jí)一模)在△ABC中,點(diǎn)D、E分別在邊BA、CA的延長(zhǎng)線上,下列比例式中
能判定DE〃BC的為()
BCAB?ACAB-ACAB八ACBD
A-----=------B-----=-----C-----=-----D-----=-----
DEADADAECEBD'ABCE
【答案】C
【分析】
根據(jù)平行線分線段成比例定理、平行線的判定定理判斷即可.
【詳解】
解:當(dāng)£9=空時(shí),不能判定DE〃BC,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;
DEAD
AR
把二絲時(shí),不能判定DE〃BC,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;
ADAE
ACAR
——二——時(shí),DE〃BC,C選項(xiàng)正確;
CEBD
4£二處時(shí),不能判定DE〃BC,D選項(xiàng)錯(cuò)誤;
ABCE
故選:c.
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行線分線段成比例定理、平行線的判定定理,掌握相關(guān)的判定定理是解題的關(guān)鍵.
17.(2021?上海寶山區(qū)?九年級(jí)一模)如圖,AB//DE,BC//DF,已知A尸:”=相:〃,BC=a,那么
CE等于().
amanaman
A.—B.—C.--------D.-------
nmm+nm+n
【答案】D
【分析】
AF
先證明:四邊形OEB廠是平行四邊形,可得。尸=BE,利用二機(jī):〃,再求解一=-----,再
ABm+n
證明匚AO/利用相似二角形的性質(zhì)求解8E,再利用線段的和差可得答案.
【詳解】
解:???AB//DE,BC//DF,
四邊形OEBF是平行四邊形,
:.DF=BE,
,/AF:FB=m\n,
AFm
?'.-----=---------,
ABm+n
???DFHBC,
:DADF^QACB
.AFDFAD
???AB//DE,
_B_E___A_D____m__
BCACm+n
???BC=a,
m+n
mana
CE=a-------=------
m+nm+n
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì),比例的基本性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),掌握以上知識(shí)是解
題的關(guān)鍵.
18.(2021.上海崇明區(qū).九年級(jí)一模)已知線段。、b、C、d的長(zhǎng)度滿足等式M=cd,如果某班四位學(xué)生
分別將該等式改寫成了如下四個(gè)比例式,那么其中錯(cuò)誤的是()
acadhdbc
A.—=—B.—=—C.—=—D.—=—
bdcbcada
【答案】A
【分析】
根據(jù)比例的兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積逐項(xiàng)排查即可.
【詳解】
解:A.由?=$可得bc=ad,故A選項(xiàng)符合題意;
ba
ZJd
B.由一=/可得ab二cd,故B選項(xiàng)不符合題意;
cb
k
C.由一=一可得ab=cd,故C選項(xiàng)不符合題意;
ca
bc
D.由7=一可得ab=cd,故D選項(xiàng)不符合題意.
故答案為A.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了比例的基本性質(zhì),即掌握兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積成為解答本題的關(guān)鍵.
19.(2021?上海九年級(jí)一模)如圖,在口4區(qū)。中,點(diǎn)。在邊A8上,DE^BC,DF//AC,聯(lián)結(jié)BE,BE
與DF相交于點(diǎn)G,則下列結(jié)論一定正確的是()
ADDEAEBFBDBFDGBF
A---=---B---=---C---=----
DBBC?ACBC?ADDE~GF~~FC
【答案】C
【分析】
根據(jù)相似三角形的判定和平行線分線段成比例進(jìn)行判斷即可.
【詳解】
解:VDE//BC,DF〃AC,
???四邊形DFCE是平行四邊形,
ADE=CF,DF=CE,
VDE/7BC,DF/7AC,
.??△ADEs/XABC,ABFD^ABAC,
ADDE
.故21錯(cuò)誤;
ABBC
AEADCF,AECF
即一=,故B錯(cuò)誤;
AC-AB-BC'ACBC
BDBF_BF
VDF.7AC,???一故C正確;
ADCFDE
DGDE_CF
???DE〃BC,J——故D錯(cuò)誤,
GF~~BF~BF
故選:c.
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例、平行四邊形的判定與性質(zhì),熟練掌握相似三
角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例是解答的關(guān)鍵.
二、填空題
20.(2021?西安市第二十三中學(xué)九年級(jí)一模)如圖,菱形A8C。的邊長(zhǎng)為12,ZABC=60°,連接AC,
EF1AC,垂足為“,分別交A。,AB,CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,M,F.若A£:F8=1:2,則CH的長(zhǎng)為
【答案】10
【分析】
連接BD,交ACJ?點(diǎn)O,根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定易知口ABC是等邊T角形,進(jìn)而可得
A\4AE\
AC=AB=\2,根據(jù)相似三角形的判定易證匚AEMs口5/M,繼而可知王7=須7=;,根據(jù)平行線的
BMBF2
AIJA\41
判定可得E/3/8O,繼而可知說=前=/,繼而根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解.
【詳解】
如圖,連接80,交AC于點(diǎn)0.
???四邁形A6CO是菱形,
AB=BC.
VZ>4BC=60o,
???口83c是等邊三角形,
JAC=AB=\2.
??,AD!IBC,
:-LAEM^BFM,
.AM_AE
VEFlAC,BD1AC
:.EF//BD,
.AH_AM\
.AH1
"7F-3,
-:0A=0C,
.AH_1
*,AC-6f
:.CH=-AC=-x\2=\0.
66
【點(diǎn)睛】
本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì),平行線的判定及其性質(zhì),
解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn),做輔助線構(gòu)造有關(guān)的線段關(guān)系.
21.(2021?河南許昌市?九年級(jí)一模)若一一=:,則的值為____.
a+b3a
【答案】2
【分析】
由題意,計(jì)算得到2〃=b,即可求出答案.
【詳解】
3a=a+b,
2a=b,
?.?—b=z9;
a
故答案為:2.
【點(diǎn)睛】
本題考宣了比例的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是正確得到2a=b.
22.(2021?云南九年級(jí)一模)如圖,有一正方形A8CO,邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E是邊CO上的中點(diǎn),對(duì)角線上
有一動(dòng)點(diǎn)F,當(dāng)頂點(diǎn)為A、B、F的三角形與頂點(diǎn)為D、E、F的三角形相似時(shí),3尸的值為.
BC
【答案】2夜或畢.
【分析】
分口48斤一FOE和匚A5戶s[]EO尸兩種情形求解即可.
【詳解】
依題意可得:BD=dA^+Alf="2+4?=4夜,
設(shè)8F=x,則有。產(chǎn)=4&—x:
①當(dāng)口48戶s□尸。E時(shí),(如圖1)
②當(dāng)口48尸sQEDb時(shí),(如圖2)
由空二匹得拽==2,
BFBAx4
解得:x=逑;
3
綜上所述,8尸的值為2后或半.
故答案為:2&或辿?
3
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形背景下的三角形相似,熟練掌握三角形相似的判定定理,靈活運(yùn)用分類思想求解是解題
的關(guān)鍵.
23.(2021?陜西九年級(jí)零模)如圖,在正方形ABC。中,AB=4,點(diǎn)”在C。上,且C"=l,點(diǎn)E繞點(diǎn)
B旋轉(zhuǎn),且8E=1,同時(shí)在CE上方作正方形EFGC,則線段產(chǎn)H的最小值是?
【答案】5-&
【分析】
連接CF,AC,證明AA尸C[]Z\3EC,從而根據(jù)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F是以點(diǎn)A為圓心,人尸=應(yīng)為
半徑的圓上運(yùn)動(dòng),當(dāng)A,P,H二點(diǎn)共線時(shí),HI有最小值.
【詳解】
連接CF,AC,
???四邊形ABCD,EFGC都是正方形,
.?.CD=AB=4,AC=6BC,FC=>fiEC,
???CH=[,
:.DH=CD-CH=3.
ACPCI—
4=4=垃NFCA=/ECB,
BCEC
/\AFC□△3EC,
EB
???點(diǎn)E是以點(diǎn)B為圓心,BE=1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),
工點(diǎn)F是以點(diǎn)A為圓心,AF=42為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),
當(dāng)A,F,H三點(diǎn)共線時(shí),F(xiàn)H有最小值,
此時(shí)hti=JAP2+DH?=5,
:.FH=5-yf2,
故答案為:5—\/2.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),相似三角形的判定及性質(zhì),找到點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.
24.(2021?上海金山區(qū)?九年級(jí)一模)如圖,在DABC。中,點(diǎn)E在邊3c上,OE交對(duì)角線4C于尸,若
CE=2BE,A48C的面積等于15,那么AFEC的面積等于.
【答案】4
【分析】
由□ABCQ可得AD=BC、AD〃BC,由CE=28E可得AD=BC=3BE,過F作FN_LBC、FM_LAD4ibABC的
MN5
高為MN,AAFD的高為FM,再說明△ADF<^ACEF和△ENF^ADMF進(jìn)而得到----二一,進(jìn)而求得△AFD
FM3
的面積,最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得△EFC的面積即可.
【詳解】
解:9:oABCD
???AD=BC、AD//BC
???CE=2BE
:.AD=BC=CE+BE=3BE
如圖:過F作FN_LBC交BC于N,交AD于M,
VADZ/BC,
AFM1AD,
△ADF0°ACEF,△ENFSADMF
.EFEC_2FN_EF_2
'~FM~~DF~3
.MN_5
VAD=BC
¥=:,即七&=?!,解得%硝=9
JARC3133
?.ShFD_9
,即解得S&CEF=4
?qSCEF
JCEFEC;
故填:4.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì),掌握相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解答本題的關(guān)
鍵.
三、解答題
25.(2021?哈爾濱市蕭紅中學(xué)九年級(jí)一?!臣褐?,口力3。內(nèi)接于圓。過點(diǎn)C作A8的垂線,垂足為點(diǎn)E,
交圓。于點(diǎn)。.
(1)如圖1,連接OB,求證:ZACD=ZCBO;
(2)如圖2,過點(diǎn)。作A8的垂線,垂足為G,交BC于凡若FG=AG,求證AB=CD:
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接。尸交A8于點(diǎn)M,過點(diǎn)B作。戶的垂線交CO于點(diǎn)N,垂足為從
連接M/V,若NNMF=2/NBA,FO=3,求MN的長(zhǎng).
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)MN=M
【分析】
(1)連接OC,由題意易得N8OC=2NA,40cB=4OBC,NAEC=90°,則有N4+NACE=90。,
由三角形內(nèi)角和定理得N80C+2NC80=180。,然后問題可求證;
(2)連接AO,由題意易得口尸GB是等腰直角三角形,△CE8是等腰直角三角形,進(jìn)而可得CE=8E,
AE=DE,然后問題可證;
(3)延長(zhǎng)NM、FG交于點(diǎn)R,連接切?,過點(diǎn)R作AT_LC。于丁,設(shè)N(Z>'x=,則有NA3N=NCOb=%,
2x=^CDF+ZDNM,進(jìn)而可得UNTR-BEN,則EN=RT=EG,然后可設(shè)=則
AE=ED=EG=NE=m,連接ON,可證四邊形ENOG是正方形,口0£加8口人7M,由相似三角形的
性質(zhì)及勾股定理可求解.
【詳解】
證明:(1)連接OC,如圖所示:
圖1
???OC=OB,
工/OCB=/OBC,
?:CD1AB,
???ZAEC=900,
???4+NA"=90。,
??,Z.BOC=2NA,
???在△CO5中,ZBOC+2ZCBO=180°.
/.2ZA+2ZCBO=180°,即NA+NCBO=90。,
???幺CD=NCBO:
(2)連接AO,如圖所示:
c
E\G/D
XxI)
D
圖2
??,FG1AB,
?,.AG=BG,
FG=AG,
:.FG=BG,
???□FG8是等腰直角三角形,
???NFBG=NGFB=45。,
???CD1AB,
:.CD//FG,
/.NDCB=NGFB=45°,
???△CE8是等腰直角三角形,
CE=BE?
???ZDCB=ZDAB=45°,
???ZDAE=ZADE=45°,
AE=DE,
???AB=AE+BE,CD=CE+BE,
:.AB=DC,
(3)延長(zhǎng)NM、FG交于點(diǎn)、R,連接如圖所示:
設(shè)/CDF=x,
???AB±CD,BN1,DF,
???/DEM=/BHM=90°,
':NEMD=4BMH,
,4ABN=4CDF=x,
???4NMF=2/NBA,/NMF=NCDF+ZDNM,
:.2x=/CDF+/DNM,
???/DNM=x=ZCDF,
???MN=DM,
???EN=ED,
同理可得:FM=RM,
MG上FR,
FG-RG=BG,
NGRB=NGBR,
過點(diǎn)R作R7_LC£>于。如圖所示:
???/MRG=4ABN=x,
???/NRB=NNBR,
:.NR=BN.
???/BEN=/NTR=90。,
?:ZTNR=^ABN=x,
:?DNTR且BENCAAS),
/.EN=RT=EG,
設(shè)AE=〃i,則AE=ED=EG=NE=m,
°:AG=BG=2m,
AB=4m,
*/AB=CD,
CD=4m,
CN=2m,
???CN=DN,
連接ON,如圖所示:
TR
???ONJ,CD,
???/ONE=/NEG=ZOGE=90°,
??.四邊形ENOG是正方形,
???OG=EN=m,
*.*FG-BG-2m,
OF=OG=nt,
???OF=3,
/.m=3,
???DE//FG,
:,1DEM^FGM,
DEEM,即葭器」
FGMG6MG2
■:EM+MG=3,
:.EM=\,
由勾股定理得:MN=1EN2+EM2?
【點(diǎn)睛】
本題主要考查圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定,熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判
定是解題的關(guān)鍵.
26.(2021?安徽九年級(jí)一模)如圖,AB是等腰直角三角形ABC的斜邊,若點(diǎn)M在邊AC上,點(diǎn)N在邊BC
上,沿直線MN將△MCN翻折,使點(diǎn)C落在邊48上,設(shè)其落點(diǎn)為P.
(1)求證:AM=PN;
PACM
(2)當(dāng)點(diǎn)尸是邊AB的中點(diǎn)時(shí),求證:—
PBCN
PACM
(3)當(dāng)點(diǎn)尸不是邊A8的中點(diǎn)時(shí),麗=而■是否仍然成立?請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)成立,理由見解析.
【分析】
(1)連接PC,根據(jù)折疊的性質(zhì)得MN是PC的垂直平分線,證明AM=PM=3AC即可得到結(jié)論;
(2)易證得△CMNs^CAB,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,證得二-二==1,繼而可得比例式
CNBC
PA_CM
~PB~~CN'
(3)首先連接PC,則MN_LPC,過點(diǎn)P作PE_LAC于點(diǎn)E,易證得△AEPsZ\ACB,△MCN^APEC,
PACM
然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,證得石=7獷成
1JL/V
【詳解】
解:(1)連接PC,如圖1,
「△ABC是等腰直角三角形,ZC=90°
AZA=ZB=45°
AMC=NC
〈MN是折痕,
,MN垂直平分PC,MN//AB,MC=PM=PN
ACPIAB,ZMPC=ZMCP=45°
:.ZMPA=45°
???ZMPA=ZA
??.AM;PM
AAM=PN
(2)如圖1,
〈MN是折痕,
???MN垂直平分PC,
VAC=BC,AP=BE,
PA
ACPIAB,—=1,
PB
,MN〃AB,
AACMN^ACAB,
CMAC.
..-----==1,
CNBC
.PA_CM
'~PB~~CN''
PACM
(3)當(dāng)點(diǎn)P不是邊AB的中點(diǎn)時(shí),=——仍然成立.
PBCN
理由:如圖(2),連接PC,則MN_LPC,
A/
E/:\
/、、:
APB
圖2
過點(diǎn)P作PE_LAC于點(diǎn)E,
VZACB=90°,NA是公共角,
AAAEP^AACB,
.PA_AE
"TB~~EC,
VAC=BC,
.\ZA=ZB=45°,ZAPE=ZB=45°,
.*.AE=EP,
VZMCN=90°,CP_LMN,
AZECP=ZMNC,
AAMCN^APEC,
.CMCN
'~PE~~ECy
.CMPEAE
,~CN~~EC~~EC,
.PACM
''~PB~~CN'
【點(diǎn)睛】
此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、折
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