圖形的相似(考點(diǎn)強(qiáng)化)(解析版)

專題17圖形的相似

一.考向分析

相似多邊形的性質(zhì)是中考考查的熱點(diǎn)，其中以相似多邊形的相似比、面積比、周長(zhǎng)比的關(guān)

系考查較多.相似三角形的判定、性質(zhì)及應(yīng)用是考查的重點(diǎn)，常與方程、圓、四邊形、三角函

數(shù)等相結(jié)合，進(jìn)行有關(guān)計(jì)算或證明

二、思維導(dǎo)圖

相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等

相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例

相｛歸角形的對(duì)應(yīng)高線的唾于榴以比

相似三角形的對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比

相似三角形的性質(zhì)

相似二角形的對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比

相似三角形的局長(zhǎng)唔丁相似比

相似三角形的面枳比等于相似比的平方

科以二角形具有傳遞性

定義形狀相同、對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的圖形

比例兩小值相郛式子

相似形狀相同

對(duì)應(yīng)角相等

性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例

相似三角形面積比是對(duì)應(yīng)邊比值的平方

周良比等于對(duì)山邊之比

相似三角形的定義

相似二角形的定義、表小方法、相似比表示方法

相似比

兩邊對(duì)應(yīng)成比例滅角相等

昔通二角形二?寸曲成比例

相似三角形的判定兩角對(duì)應(yīng)相等

具備普通三角形的判定方法

直角三角形

T直角邊與斜邊對(duì)應(yīng)成比例

三、最新考綱

1.了解比例線段的有關(guān)概念及其性質(zhì)，并會(huì)用比例的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的問題.

2.了解相似多邊形，相似三角形的概念，掌握其性質(zhì)和判定并會(huì)運(yùn)用.

3.了解位似變換和位似圖形的概念，掌握并運(yùn)用其性質(zhì).

四.考點(diǎn)強(qiáng)化

【考點(diǎn)總結(jié)】一、比例線段

1.比例線段的定義：

在四條線段小b,c,d中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，即色=￡(或。：力=。：④，那

bd

么這四條線段小b,c,4叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.

2.比例線段的性質(zhì)：

(1)基本性質(zhì)：*=*^ad=bc；

人.1...ac,、a+bc+d

(2)口比性質(zhì)：石=產(chǎn)丁=??；

(3)等比性質(zhì)：

c加八.,,,,八、力一4+^+…+^a

醬=1=i=GS+d+…+*°)，那么…+〃=分

3.黃金分割：

點(diǎn)C把線段A8分成兩條線段AC和8C如果骼=衰，則線段4B被點(diǎn)。黃金分割，點(diǎn)C叫線段4B的黃

金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比.

【考點(diǎn)總結(jié)】二、相似多邊形

1.定義：

對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比，相似比為1

的兩個(gè)多邊形全等.

2.性質(zhì)：

(1)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；

(2)相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比；

(3)相似多邊形面積的比等于相似比的平方.

【考點(diǎn)總結(jié)】三、相似三角形

1.定義：

各角對(duì)應(yīng)相等，各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.

2.判定：

(1)平行于三角形一邊的宜線和其他兩邊(或兩邊延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

(2)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；

(3)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；

(4)三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；

(5)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似.

3.性質(zhì)：

(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例；

⑵相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；

(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比：

(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方

【考點(diǎn)總結(jié)】四、圖形的位似

1.定義：

如果兩個(gè)圖形僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，那么這兩個(gè)圖形叫位似圖形.這

個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比稱為位似比.

2.性質(zhì)：

位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比.

3.畫位似圖形的步驟

(1)確定位似中心點(diǎn);

(2)連接圖形各頂點(diǎn)與位似中心的線段(或延長(zhǎng)線)；

⑶按位似比進(jìn)行取點(diǎn)；

(4)順次連接各點(diǎn)，所得的圖形就是所求醫(yī)形.

五.新題解析

一、單選題

1.(2021?河南許昌市?九年級(jí)一模)如圖，已知直線a〃方〃c,若AB=9,8c=6,=10,則OE的長(zhǎng)為

()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】

DEAB

直接根據(jù)平行線分線段成比例定理得到言7=然后根據(jù)比例的性質(zhì)可計(jì)算出OE的長(zhǎng)?

DFAC

【詳解】

解：*:a!Ibl!c,

,DEABDE9

??---=,即—=----,

DFAC109+6

DE=6.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線分線段成比例，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?湖北黃岡市.九年級(jí)一模）如圖，EMBC為直角三角形，ZC=90°,BC=2cm,ZA=3O°,

四邊形OE/G為矩形，DE=2&m，EF=6cm,且點(diǎn)C、B、E、尸在同一條直線上，點(diǎn)8與點(diǎn)￡

重合.RtZXABC以每秒1cm的速度沿矩形OERG的邊E尸向右平移，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)尸重合時(shí)停止.設(shè)

RtZ\A8C與矩形OEFG的重疊部分的面積為jcn?,運(yùn)動(dòng)時(shí)間期.能反映yen?與鄧之間函數(shù)關(guān)系的大

致圖象是（）

CB(E)

【答案】A

【分析】

由勾股定埋求出AA、AC的長(zhǎng)，進(jìn)一步求出△AAC’的面積，根據(jù)移動(dòng)特點(diǎn)有二種情況，分別求出每種情況y

與X的關(guān)系式，利用關(guān)系式的特點(diǎn)（是一次函數(shù)還是二次函數(shù)）就能選出答案.

【詳解】

解：已知NC=90。，BC=2cm,ZA=30°,

:.AB=4,

由勾股定理得：AC=25

???四邊形DEFG為矩形，ZC=90°,

:?DE=GF=2?NC=NDEF=90。,

??.AC//DE，

此題有三種情況：（1）當(dāng)0<x<2時(shí)，48交OE于“，

如圖

??,DE//AC,

.EHBE

'AC-BC

BP—r=—,

2g2

解得：EH=瓜，

2

所以j=—.5/3x?x=—x?

22

..6、（、

?a=——>（），

2

???拋物線開口向上；

所以所選答案。錯(cuò)誤，答案。錯(cuò)誤,

(2)當(dāng)2<x<6時(shí)，如圖，

區(qū)

ECBF

此時(shí)y=；x2x2g=2百

(3)當(dāng)6<xW8時(shí)，如圖，設(shè)口A8C的面積是S1,口8\活的面積是“，

"I------

ECFB

BF=x-6,與（I）類同，同法可求或=后一66,

??y=4-s2,

=^x2x2>/3--^x（x-6）x（>/3x-6\/3）

L

=———x2+—16\/3.

2

???3<o,

2

，拋物線開口向下，

所以答案A正確，答案8錯(cuò)誤，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了一次函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)三角形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)移動(dòng)規(guī)律

把問題分成三種情況，并能求出每種情況的），與x的關(guān)系式.

3.（2021?河南九年級(jí)二模）如圖是與□力8c位似的三角形的幾種畫法，其中正確的有（）

①②③④

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】

根據(jù)位似圖形的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】

解：由位似圖形的畫法可得：4個(gè)圖形都是口ABC的位似圖形.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了位似變換，正確把握位似圖形的定義是解題關(guān)鍵.

4.（2021?上海金山區(qū)?九年級(jí)一模）如圖，已知點(diǎn)。、E分別在AA8C的邊A8、AC上，DE/IBC,AD=2,

80=3,BC=a，那么而等于（）

2222

A.一&B.——aC.-G.D.——a

3355

【答案】D

【分析】

先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求出DE與BC的數(shù)量關(guān)系，再根據(jù)向量的定義即可求出防的值.

【詳解】

解：VDEHBC,

DEAD

VAD=2,BD=3,

DE2

BC2+3

???DE=-BC.

5

,-BC=a^

.-2-

??ED=--^-

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及向量的定義，向量用有向線段來表示，有向線段長(zhǎng)度表示向量

的大小，有向線段的方向表示向量的方向.

5.（2021?上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)。，空=段，由此

OBOC

推得的正確結(jié)論是（）

0

B

OAABOAAD八OBABABAD

A-----=------B-----=------C-----=------D-----=------

ODCD?OCBCODCD,CDBC

【答案】A

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：?；NAOB與NDOC是對(duì)頂角

.\ZAOB=ZDOC

又?---=----'

OBOC

AAAOB^ADOC,

.OA_AB

*OD-CD'

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.（2021?上海徐匯區(qū)?九年級(jí)一模）下列說法中，正確的是（）

A.兩個(gè)矩形必相似B.兩個(gè)含45。角的等腰三角形必相似

C.兩個(gè)菱形必相似D.兩個(gè)含30。角的直角三角形必相似

【答案】D

【分析】

根據(jù)相似多邊形、相似三角形的判定逐項(xiàng)判斷即可得.

【詳解】

A、兩個(gè)矩形的對(duì)應(yīng)角相等，但對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，則不一定相似，此項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、如果一個(gè)等腰三角形的頂角是45。，另一等腰三角形的底角是45。，則不相似，此項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、兩個(gè)菱形的對(duì)應(yīng)邊成比例，但四個(gè)內(nèi)角不一定對(duì)應(yīng)相等，則不一定相似，此項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、兩個(gè)含30。角的直角三角形必相似，此項(xiàng)正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似多邊形、相似三角形的判定，熟練掌握相似圖形的判定方法是解題關(guān)鍵.

7.（2021?上海長(zhǎng)寧區(qū)?九年級(jí)一模）如圖，己知在」ABC中，點(diǎn)。、點(diǎn)E是邊BC上的兩點(diǎn)，連接AD、AE,

且4D=AE,如果…ABEsUcsA,那么下列等式錯(cuò)誤的是（）

A.AB2=BE*BCB.CD*AB=AD*AC

C.A*=CD?BED.AB?AC=BE*CD

【答案】D

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)對(duì)每?個(gè)選項(xiàng)一一證明即可.

【詳解】

解：7UABE<^UCBA,

ABBE

J—=—,ZBAE=ZC,/AEB=/CAB,

BCAB

???AB2=8E?BC,（故選項(xiàng)A正確）

'：AD=AEf

/.ZADE=NAED,

:.ZADE=^CAB,

又???/C=NC,

：.UCDA^UCAB,

.CDAD

??,

ACAB

:.CD*AB=AD?AC,（故選項(xiàng)B正確）

VZADE=ZAED,NBAE=NC,

??.口4B￡s口CA。，

.AEBE

"而一而‘

:?AE?AD=CABE,

又???4）=4E,

??*爐=。及?8E,（故選項(xiàng)C正確）

?I/ADE=NAEOV90。,

，ZADB=ZAEC>90°,

：.AB>AD,AOAE,

???MAOAE2,

即ABMOCDBE,（故選項(xiàng)D錯(cuò)誤）

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

8.（2021?上海長(zhǎng)寧區(qū)?九年級(jí)一模）下列命題中，說法正確的是（）

A.四條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)四邊形相似

B.四個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形相似

C.兩邊對(duì)應(yīng)成比例且有一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似

D.斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似

【答案】D

【分析】

根據(jù)三角形相似和相似多邊形的判定解答.

【詳解】

A、四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，四條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)四邊形相似，原命題是假命題；

B、四個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，四條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)四邊形相似，原命題是假命題；

C、兩邊對(duì)應(yīng)成比例且其夾角相等的兩個(gè)三角形相似，原命題是假命題；

D、斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似，是真命題：

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解三角形相似和相似多邊形，難度不大.

9.（2021.上海楊浦區(qū)?九年級(jí)一模）在梯形48C。中，AD//BC,對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)0,下列說

法中，錯(cuò)誤的是（）

ccODSMOD°A5AM4。

A.=S△吩B.--------c.---------D.A--------

口4BOC口ABOC0^A3C

【答案】c

【分析】

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及等積法可直接進(jìn)行排除選項(xiàng).

【詳解】

解.：如圖所示：

VAD^BC,

sAZ)

=,

AAAOD^ACOB,SABC=ST^~~RT故D正確，

.OAOD

,'OC~'OB

S4耳OD_

故錯(cuò)誤;

^~OCT，c

■:S^ABC=SyjAOB+S'OBC，S^DBC~S、00c+S708c,

*?*SgoB=^ADOC，A正確:

S、AOB

*^=不OA，即=OD故B正確;

)△BOC,△BOCU”

故選c.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定及等積法是解題的關(guān)鍵.

10.（2021?上海楊浦區(qū)?九年級(jí)一模）在口48c中，點(diǎn)。、E分別在邊A3、AC上，下列條件中，能判定

DE//BC的是()

ADDEADAE「DBAEADAE

A.-----=------B.-----=------C-----=------D.=

ABBCDBEC,ECADACAB

【答案】A

【分析】

根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例,兩直線平行，可得出答案.

【詳解】

ADDE

A、=—，可證明DE〃BC,故本選項(xiàng)正確；

ABBC

AD?AE

B>---，不可證明DE〃BC,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

DB,EC

C、==不可證明DE〃BC,故本選項(xiàng)不正確;

ECAD

AT）AU

D、r7=r不可證明DE〃BC,故本選項(xiàng)不正確.

ACAB

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線分線段成比例，對(duì)應(yīng)線段成比例，兩直線平行.

11.（2021?上海青浦區(qū)?九年級(jí)一模）如圖，已知5D與CE相交于點(diǎn)A,行C,如果AD=2,AB=3,

AC=6,那么AE等于（）

C.4D.9

【答案】C

【分析】

根據(jù)平行線分線段成比例即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：VED/7BC,

.ABAC

??而一瓦’

36

M即一=,

2AE

/.AE=4,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線分線段成比例的運(yùn)用，注意：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）,

所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

12.（2021?上海黃浦區(qū)?九年級(jí)一模）如圖，在直角梯形A8C。中，AB//CD,ZBAD=90°,對(duì)角線的

交點(diǎn)為點(diǎn)O.如果梯形A8CD的兩底邊長(zhǎng)不變，而腰長(zhǎng)發(fā)生變化，那么下列量中不變的是（）

A.點(diǎn)O到邊A3的距離B.點(diǎn)。到邊的距離

C.點(diǎn)O到邊CO的距離D.點(diǎn)O到邊QA的距離

【答案】D

【分析】

變化后的梯形為ABC'。'，對(duì)角線的交點(diǎn)為O',連接。0',利用平行證出AABOs/XCDO,△ABO'

△C'D'O列出比例式即可證出照=給，從而證出OO'//DDf,然后根據(jù)平行線之間的距離處處相等

即可證出結(jié)論.

【詳解】

解：如下圖所示，變化后的梯形為ABC'。'，對(duì)角線的交點(diǎn)為O',連接O。'

由題意易知：CD=CD

VAB-7CD,\B//CD

AAABO^ACDO,△/\CD'O)

.ABBOA8B0’

'''CD~~DO''CD,~~^O,

.BOBO'

*DO-

，Off//DD'

根據(jù)平行線之間的距離處處相等，可得點(diǎn)O和點(diǎn)。'到DA的距離相等，點(diǎn)O和點(diǎn)。'到AB、BC、CD的距

離不一定相等

:.不變量是點(diǎn)O到邊DA的距離

故選D.

【點(diǎn)睛】

此題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)和平行線之間的距離，找出相似三角形并證出OO'〃。。是解題關(guān)

鍵.

13.（2021?上海黃浦區(qū)?九年級(jí)一模）已知□A8c與口。石尸相似，又NA=40。，ZB=60°,那么NO不

可能是（）

A.40°B.60°C.80°D.100°

【答案】D

【分析】

利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出NC,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和對(duì)應(yīng)情況分類討論即可得出ND可能

的度數(shù)，從而作出判斷.

【詳解】

解：:□ABC中，ZA=40°,ZB=60°

；?ZC=1?0u—ZA—ZB=80u

???□ABC與DOE尸相似

???ND二NA=40。或ND=NB=60?；騈D=NC=80°

???ND不可能是100°

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題考查的是相似三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分類討論是解題關(guān)鍵.

14.（2021?上海浦東新區(qū)?九年級(jí)一模）如圖，在.ABC中，點(diǎn)D、F是邊AB上的點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上的點(diǎn)，

如果/ACD=NB,DE//BC,EF//CD,下列結(jié)論不成立的是（）

E

BC

A.AE2=AFAD

B.AC2=AD-AB

C.AF2=AEAC

D.AD2=AFAB

【答案】C

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)以及平行線分線段成比例對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)證明即可.

【詳解】

解：VDE//BC,EF//CD,

AZADE=ZB,ZACD=ZAEF,

又Y/ACD=NB,

/.ZADE=ZAEF,

VZADE=ZAEF,ZA=ZA,

???UAEFSUADE,

.AE_AD

??第一罰’

2

-AF=AFADf故選項(xiàng)A正確；

VZACD=ZB,ZA=ZA,

.*.□ACD^DABC,

.ACAD

**AB-AC?

AAC2=ADAB故選項(xiàng)B正確；

VDE//BC,

.AEAD

一就一瓦‘

VEF//CD,

?AEAF

??就一而‘

AFAD

，——=——，

ADAB

AAD2=AFAB故選項(xiàng)D正確；

VEF//CD,

?AE_AF

..-----=------，

ACAD

??.4/?AC=A七?A。，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線分線段成比例以及相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解決

本題的關(guān)鍵.

15.（2021?上海浦東新區(qū)?九年級(jí)一模）A、B兩地的實(shí)際距離AB=250米，如果畫在地圖上的距離AE=5

厘米，那么地圖上的距離與實(shí)際距離的比為（）

A.1：500B.1：5（X）0C.500：1D.5000：1

【答案】B

【分析】

地圖上距離與實(shí)際距離的比就是在地圖上的距離A9與實(shí)際距離AB的比值.

【詳解】

解：???250米=25000cm,

AB:AB=5：25000=1：5000.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了比例尺，掌握比例尺的計(jì)算方法，注意在求比的過程中，單位要統(tǒng)一.

16.（2021?上海靜安區(qū)?九年級(jí)一模）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BA、CA的延長(zhǎng)線上，下列比例式中

能判定DE〃BC的為（）

BCAB?ACAB-ACAB八ACBD

A-----=------B-----=-----C-----=-----D-----=-----

DEADADAECEBD'ABCE

【答案】C

【分析】

根據(jù)平行線分線段成比例定理、平行線的判定定理判斷即可.

【詳解】

解：當(dāng)￡9=空時(shí)，不能判定DE〃BC,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

DEAD

AR

把二絲時(shí)，不能判定DE〃BC,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

ADAE

ACAR

——二——時(shí)，DE〃BC,C選項(xiàng)正確；

CEBD

4￡二處時(shí)，不能判定DE〃BC,D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

ABCE

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線分線段成比例定理、平行線的判定定理，掌握相關(guān)的判定定理是解題的關(guān)鍵.

17.（2021?上海寶山區(qū)?九年級(jí)一模）如圖，AB//DE,BC//DF,已知A尸：”=相：〃，BC=a,那么

CE等于（）.

amanaman

A.—B.—C.--------D.-------

nmm+nm+n

【答案】D

【分析】

AF

先證明：四邊形OEB廠是平行四邊形，可得。尸=BE,利用二機(jī)：〃，再求解一=-----，再

ABm+n

證明匚AO/利用相似二角形的性質(zhì)求解8E，再利用線段的和差可得答案.

【詳解】

解：???AB//DE,BC//DF,

四邊形OEBF是平行四邊形,

:.DF=BE，

,/AF:FB=m\n，

AFm

?'.-----=---------,

ABm+n

???DFHBC,

:DADF^QACB

.AFDFAD

???AB//DE,

_B_E___A_D____m__

BCACm+n

???BC=a,

m+n

mana

CE=a-------=------

m+nm+n

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，比例的基本性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解

題的關(guān)鍵.

18.（2021.上海崇明區(qū).九年級(jí)一模）已知線段。、b、C、d的長(zhǎng)度滿足等式M=cd,如果某班四位學(xué)生

分別將該等式改寫成了如下四個(gè)比例式，那么其中錯(cuò)誤的是（）

acadhdbc

A.—=—B.—=—C.—=—D.—=—

bdcbcada

【答案】A

【分析】

根據(jù)比例的兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積逐項(xiàng)排查即可.

【詳解】

解：A.由?=$可得bc=ad,故A選項(xiàng)符合題意；

ba

ZJd

B.由一=/可得ab二cd,故B選項(xiàng)不符合題意；

cb

k

C.由一=一可得ab=cd,故C選項(xiàng)不符合題意；

ca

bc

D.由7=一可得ab=cd,故D選項(xiàng)不符合題意.

故答案為A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了比例的基本性質(zhì)，即掌握兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積成為解答本題的關(guān)鍵.

19.（2021?上海九年級(jí)一模）如圖，在口4區(qū)。中，點(diǎn)。在邊A8上，DE^BC,DF//AC,聯(lián)結(jié)BE,BE

與DF相交于點(diǎn)G,則下列結(jié)論一定正確的是（）

ADDEAEBFBDBFDGBF

A---=---B---=---C---=----

DBBC?ACBC?ADDE~GF~~FC

【答案】C

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定和平行線分線段成比例進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：VDE//BC,DF〃AC,

???四邊形DFCE是平行四邊形,

ADE=CF,DF=CE,

VDE/7BC,DF/7AC,

.??△ADEs/XABC,ABFD^ABAC,

ADDE

.故21錯(cuò)誤；

ABBC

AEADCF,AECF

即一=,故B錯(cuò)誤;

AC-AB-BC'ACBC

BDBF_BF

VDF.7AC,???一故C正確；

ADCFDE

DGDE_CF

???DE〃BC,J——故D錯(cuò)誤,

GF~~BF~BF

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例、平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三

角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例是解答的關(guān)鍵.

二、填空題

20.（2021?西安市第二十三中學(xué)九年級(jí)一模）如圖，菱形A8C。的邊長(zhǎng)為12,ZABC=60°,連接AC,

EF1AC,垂足為“，分別交A。，AB,CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,M,F.若A￡:F8=1:2,則CH的長(zhǎng)為

【答案】10

【分析】

連接BD,交ACJ?點(diǎn)O,根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定易知口ABC是等邊T角形,進(jìn)而可得

A\4AE\

AC=AB=\2,根據(jù)相似三角形的判定易證匚AEMs口5/M,繼而可知王7=須7=；，根據(jù)平行線的

BMBF2

AIJA\41

判定可得E/3/8O,繼而可知說=前=/，繼而根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

如圖，連接80,交AC于點(diǎn)0.

???四邁形A6CO是菱形，

AB=BC.

VZ>4BC=60o,

???口83c是等邊三角形，

JAC=AB=\2.

??,AD!IBC,

：-LAEM^BFM，

.AM_AE

VEFlAC,BD1AC

：.EF//BD,

.AH_AM\

.AH1

"7F-3,

-：0A=0C,

.AH_1

*,AC-6f

：.CH=-AC=-x\2=\0.

66

【點(diǎn)睛】

本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)，平行線的判定及其性質(zhì),

解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)，做輔助線構(gòu)造有關(guān)的線段關(guān)系.

21.（2021?河南許昌市?九年級(jí)一模）若一一=:，則的值為____.

a+b3a

【答案】2

【分析】

由題意，計(jì)算得到2〃=b,即可求出答案.

【詳解】

3a=a+b,

2a=b,

?.?—b=z9；

a

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題考宣了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確得到2a=b.

22.（2021?云南九年級(jí)一模）如圖，有一正方形A8CO,邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E是邊CO上的中點(diǎn)，對(duì)角線上

有一動(dòng)點(diǎn)F,當(dāng)頂點(diǎn)為A、B、F的三角形與頂點(diǎn)為D、E、F的三角形相似時(shí)，3尸的值為.

BC

【答案】2夜或畢.

【分析】

分口48斤一FOE和匚A5戶s[]EO尸兩種情形求解即可.

【詳解】

依題意可得：BD=dA^+Alf="2+4?=4夜,

設(shè)8F=x,則有。產(chǎn)=4&—x：

①當(dāng)口48戶s□尸。E時(shí)，（如圖1）

②當(dāng)口48尸sQEDb時(shí)，（如圖2）

由空二匹得拽==2,

BFBAx4

解得：x=逑；

3

綜上所述，8尸的值為2后或半.

故答案為：2&或辿?

3

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形背景下的三角形相似，熟練掌握三角形相似的判定定理，靈活運(yùn)用分類思想求解是解題

的關(guān)鍵.

23.（2021?陜西九年級(jí)零模）如圖，在正方形ABC。中，AB=4,點(diǎn)”在C。上，且C"=l,點(diǎn)E繞點(diǎn)

B旋轉(zhuǎn)，且8E=1,同時(shí)在CE上方作正方形EFGC,則線段產(chǎn)H的最小值是?

【答案】5-&

【分析】

連接CF,AC,證明AA尸C[]Z\3EC,從而根據(jù)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F是以點(diǎn)A為圓心，人尸=應(yīng)為

半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A,P,H二點(diǎn)共線時(shí)，HI有最小值.

【詳解】

連接CF,AC,

???四邊形ABCD,EFGC都是正方形，

.?.CD=AB=4,AC=6BC,FC=>fiEC，

???CH=[,

:.DH=CD-CH=3.

ACPCI—

4=4=垃NFCA=/ECB,

BCEC

/\AFC□△3EC，

EB

???點(diǎn)E是以點(diǎn)B為圓心，BE=1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

工點(diǎn)F是以點(diǎn)A為圓心，AF=42為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)A,F,H三點(diǎn)共線時(shí)，F(xiàn)H有最小值,

此時(shí)hti=JAP2+DH?=5，

:.FH=5-yf2，

故答案為：5—\/2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，找到點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.

24.（2021?上海金山區(qū)?九年級(jí)一模）如圖，在DABC。中，點(diǎn)E在邊3c上，OE交對(duì)角線4C于尸，若

CE=2BE,A48C的面積等于15,那么AFEC的面積等于.

【答案】4

【分析】

由□ABCQ可得AD=BC、AD〃BC,由CE=28E可得AD=BC=3BE,過F作FN_LBC、FM_LAD4ibABC的

MN5

高為MN,AAFD的高為FM,再說明△ADF<^ACEF和△ENF^ADMF進(jìn)而得到----二一，進(jìn)而求得△AFD

FM3

的面積，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得△EFC的面積即可.

【詳解】

解：9：oABCD

???AD=BC、AD//BC

???CE=2BE

：.AD=BC=CE+BE=3BE

如圖：過F作FN_LBC交BC于N,交AD于M,

VADZ/BC,

AFM1AD,

△ADF0°ACEF,△ENFSADMF

.EFEC_2FN_EF_2

'~FM~~DF~3

.MN_5

VAD=BC

￥=:，即七&=?!，解得%硝=9

JARC3133

?.ShFD_9

，即解得S&CEF=4

?qSCEF

JCEFEC；

故填：4.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解答本題的關(guān)

鍵.

三、解答題

25.（2021?哈爾濱市蕭紅中學(xué)九年級(jí)一?！臣褐?，口力3。內(nèi)接于圓。過點(diǎn)C作A8的垂線，垂足為點(diǎn)E,

交圓。于點(diǎn)。.

（1）如圖1,連接OB,求證：ZACD=ZCBO；

（2）如圖2,過點(diǎn)。作A8的垂線，垂足為G,交BC于凡若FG=AG,求證AB=CD：

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接。尸交A8于點(diǎn)M,過點(diǎn)B作。戶的垂線交CO于點(diǎn)N,垂足為從

連接M/V,若NNMF=2/NBA,FO=3,求MN的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）MN=M

【分析】

（1）連接OC,由題意易得N8OC=2NA,40cB=4OBC,NAEC=90°,則有N4+NACE=90。，

由三角形內(nèi)角和定理得N80C+2NC80=180。，然后問題可求證；

（2）連接AO,由題意易得口尸GB是等腰直角三角形，△CE8是等腰直角三角形，進(jìn)而可得CE=8E,

AE=DE,然后問題可證；

（3）延長(zhǎng)NM、FG交于點(diǎn)R,連接切?，過點(diǎn)R作AT_LC。于丁，設(shè)N（Z>'x=，則有NA3N=NCOb=%,

2x=^CDF+ZDNM,進(jìn)而可得UNTR-BEN,則EN=RT=EG,然后可設(shè)=則

AE=ED=EG=NE=m,連接ON,可證四邊形ENOG是正方形，口0￡加8口人7M，由相似三角形的

性質(zhì)及勾股定理可求解.

【詳解】

證明：（1）連接OC，如圖所示：

圖1

???OC=OB,

工/OCB=/OBC,

?:CD1AB,

???ZAEC=900,

???4+NA"=90。，

??,Z.BOC=2NA,

???在△CO5中，ZBOC+2ZCBO=180°.

/.2ZA+2ZCBO=180°,即NA+NCBO=90。，

???幺CD=NCBO：

（2）連接AO,如圖所示:

c

E\G/D

XxI)

D

圖2

??,FG1AB,

?，.AG=BG,

FG=AG,

：.FG=BG,

???□FG8是等腰直角三角形，

???NFBG=NGFB=45。,

???CD1AB,

:.CD//FG,

/.NDCB=NGFB=45°,

???△CE8是等腰直角三角形，

CE=BE?

???ZDCB=ZDAB=45°,

???ZDAE=ZADE=45°,

AE=DE,

???AB=AE+BE,CD=CE+BE,

：.AB=DC,

(3)延長(zhǎng)NM、FG交于點(diǎn)、R,連接如圖所示:

設(shè)/CDF=x,

???AB±CD,BN1,DF,

???/DEM=/BHM=90°,

'：NEMD=4BMH,

，4ABN=4CDF=x,

???4NMF=2/NBA,/NMF=NCDF+ZDNM,

：.2x=/CDF+/DNM,

???/DNM=x=ZCDF,

???MN=DM,

???EN=ED,

同理可得：FM=RM,

MG上FR,

FG-RG=BG,

NGRB=NGBR,

過點(diǎn)R作R7_LC￡＞于。如圖所示：

???/MRG=4ABN=x,

???/NRB=NNBR，

：.NR=BN.

???/BEN=/NTR=90。,

?:ZTNR=^ABN=x,

：?DNTR且BENCAAS),

/.EN=RT=EG,

設(shè)AE=〃i,則AE=ED=EG=NE=m,

°：AG=BG=2m,

AB=4m,

*/AB=CD,

CD=4m,

CN=2m,

???CN=DN,

連接ON,如圖所示：

TR

???ONJ,CD,

???/ONE=/NEG=ZOGE=90°,

??.四邊形ENOG是正方形，

???OG=EN=m,

*.*FG-BG-2m,

OF=OG=nt,

???OF=3,

/.m=3,

???DE//FG,

：,1DEM^FGM,

DEEM，即葭器」

FGMG6MG2

■:EM+MG=3,

:.EM=\,

由勾股定理得：MN=1EN2+EM2?

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判

定是解題的關(guān)鍵.

26.(2021?安徽九年級(jí)一模)如圖，AB是等腰直角三角形ABC的斜邊，若點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在邊BC

上，沿直線MN將△MCN翻折，使點(diǎn)C落在邊48上，設(shè)其落點(diǎn)為P.

(1)求證：AM=PN；

PACM

(2)當(dāng)點(diǎn)尸是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：—

PBCN

PACM

(3)當(dāng)點(diǎn)尸不是邊A8的中點(diǎn)時(shí)，麗=而■是否仍然成立？請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)成立，理由見解析.

【分析】

(1)連接PC,根據(jù)折疊的性質(zhì)得MN是PC的垂直平分線，證明AM=PM=3AC即可得到結(jié)論；

(2)易證得△CMNs^CAB,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得二-二==1，繼而可得比例式

CNBC

PA_CM

~PB~~CN'

(3)首先連接PC,則MN_LPC,過點(diǎn)P作PE_LAC于點(diǎn)E,易證得△AEPsZ\ACB,△MCN^APEC,

PACM

然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得石=7獷成

1JL/V

【詳解】

解：(1)連接PC,如圖1,

「△ABC是等腰直角三角形，ZC=90°

AZA=ZB=45°

AMC=NC

〈MN是折痕，

，MN垂直平分PC,MN//AB,MC=PM=PN

ACPIAB,ZMPC=ZMCP=45°

:.ZMPA=45°

???ZMPA=ZA

??.AM;PM

AAM=PN

(2)如圖1,

〈MN是折痕，

???MN垂直平分PC,

VAC=BC,AP=BE,

PA

ACPIAB,—=1,

PB

，MN〃AB,

AACMN^ACAB,

CMAC.

..-----==1,

CNBC

.PA_CM

'~PB~~CN''

PACM

(3)當(dāng)點(diǎn)P不是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，=——仍然成立.

PBCN

理由：如圖(2),連接PC,則MN_LPC,

A/

E/:\

/、、：

APB

圖2

過點(diǎn)P作PE_LAC于點(diǎn)E,

VZACB=90°,NA是公共角，

AAAEP^AACB,

.PA_AE

"TB~~EC,

VAC=BC,

.\ZA=ZB=45°,ZAPE=ZB=45°,

.*.AE=EP,

VZMCN=90°,CP_LMN,

AZECP=ZMNC,

AAMCN^APEC,

.CMCN

'~PE~~ECy

.CMPEAE

，~CN~~EC~~EC，

.PACM

''~PB~~CN'

【點(diǎn)睛】

此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、折