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文檔簡介
【概述】
基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式.其可表述為:兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)
小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù).公式為:—>VabbNO),變形為abW(豆也)2或者
22
22日.常常用于求最值和值域.
1、求最值
例1:求下列函數(shù)的值域.
(1))=3x2+表(2)
解:⑴k3x2+專22yl3x=*=乖二值域?yàn)閇比,田)
<2)當(dāng)x>0時(shí),y=x+;X>2\/yx-;X=2;
當(dāng)x<0時(shí),3=x+1=-(-x-)--2
,值域?yàn)?-8,-2]U[2,*oo)
2,利用基本不等式證明不等式
例2:已知a、b、c&RT,且a+6+c=l。求證:]一“
分析:不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個(gè)2'連乘,又
二1上=區(qū)返,可由此變形入手。
aaaa
...UD-...1,\-ab+c、2癡1,2yfac1?、2A/^
解:?Q\b\ceR>〃+b+c=lo—1=---=----2----01可理一一1N---->——12----。
aaaabbcc
上述三個(gè)不等式兩邊均為正,分別相乘,得
-1>2咨率.2產(chǎn)=8。當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=,寸取等號(hào)。
而題精講
【例題1】(2021?東湖區(qū)校級(jí)開學(xué))下列各題中結(jié)論正確的是()
A.當(dāng)x>l時(shí),X+L..21
B.當(dāng)x>0時(shí),\[x..2
X\[x
C.當(dāng)%>2時(shí),\fx+.2A/5D.當(dāng)0<x<l時(shí),X+-..2
X
【分析】根據(jù)已知條件,結(jié)合基本不等式的公式,以及函數(shù)的單調(diào)性,即可求解.
【解答】解:當(dāng)x>0時(shí),x+L.2、1工=2,當(dāng)且僅當(dāng)》=,,即x=l時(shí)等號(hào)成立,
X\XX
?.,%〉。且1,
...X+,的最小值為2不成立,故4、。錯(cuò);
X
1
當(dāng)x>0時(shí),Vx>0,+..2當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí),等號(hào)成立,故8正確;
忑
2
當(dāng)x>2時(shí),=2夜,因此當(dāng)石=時(shí),即x=2時(shí)有最小值,而x>2,
忑
故C錯(cuò)誤,
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式的公式,以及函數(shù)的單調(diào)性,需要學(xué)生較強(qiáng)的綜合能力,
屬于中檔題.
【例題2】(2021春?秦淮區(qū)月考)《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)
問題,這種方法是后西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù),通過這一原理,很多的代數(shù)公理或
定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明,也稱之為無字證明.下圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)作的弦
圖,弦圖由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.若直角三角形的
直角邊長分別為。和〃,則該圖形可以完成的無字證明為()
B.a2+b2..2ab(a>0,b>0)
__)a+b,,一八、
C.——j-(tz>0,Z?>0)D..----(a>(),/?>0)
—+—
ab
【分析】斜邊即大正方形的邊長為大正方形面積。2+〃,而大正方形面積大于
等于四個(gè)直角三角形的面積和,可求.
【解答】解:因?yàn)橹苯侨切蔚闹苯沁呴L分別為a和6,
所以斜邊即大正方形的邊長為+萬,大正方形面積.2+〃,
由題意得。2+比.4X,H=2M,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào),
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用圖形證明不等式,屬于基礎(chǔ)題.
【例題3】(多選)(2021秋?長安區(qū)校級(jí)月考)以下結(jié)論正確的是()
A.%24—.2
X:
B.J-+3+J的最小值為2
C.若/+2/?=1,則二+J..3+2友
D.右a+b=1,則—4—..4
ab
【分析】利用基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.
【解答】解:對(duì)于A,4+3..2人,=2,當(dāng)且僅當(dāng)父=1時(shí)等號(hào)成立,故A正確,
對(duì)于3,&+3+-J..2」&+3?=2,當(dāng)且僅當(dāng)Jx?+3=1時(shí)等號(hào)成立,但
Vx2+3
6+3..6=1,故N錯(cuò)誤,
對(duì)于C,1+3=(4+4)(/+2^)=3+岑+£..3+2夜,當(dāng)且僅當(dāng)。2=血-1,
序=三旦時(shí)等號(hào)成立,故。正確,
2
對(duì)于。,當(dāng)a>0,b>0,a+h=l時(shí),—+—=(—+—)(a+/?)=2+—+—..4,但a+Z?=l,
ababba
不一定a>0,b>0,故。錯(cuò)誤.
故選:AC.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
【例題4】(多選)(2021春?定州市期中)設(shè)正實(shí)數(shù)。,人滿足a+b=l,則()
A.(rh+tra..)-B.」一+——
a+2b2a+b3
C.a2+b2..^-D.1
24
【分析】(1)先因式分解油(a+份,再利用a+b=l,可得原式=",再用均值不等式求解
即可;
(2)先用。+6=1對(duì)式子化簡為」一+」_,然后把已知變形為匕(1+4)+(1+勿]=1,再
\+a\+h3
變形求解即可;
(3)由匕土..(土心)2容易求解;
22
(4)/+R=(〃+3(/—必+/)再變形后用均值不等式求解即可.
【解答】解:因?yàn)閍+b=l,^VXc^b+ab2=ab(a+b)=ab,
又以,,(土也)2=_L,當(dāng)且僅當(dāng)〃=b=2■時(shí)取”=“,所以A錯(cuò)誤.
242
因?yàn)镼+Z?二],所以------1------=-----------1----------=-----1----,
a+2h2a+h(a+h)+h〃+(〃+/?)\+b1+Q
(l+a)+(l+6)=3,所以§[(l+a)+(l+?]=l,
所以土+出常+出+長次+“)+"創(chuàng)
1.1+/?1+。、1.
=一(2+----+----)..-(2+2
3\+a\+h3V1+/71+Q3
當(dāng)且僅當(dāng)。=b=4時(shí)取“=“,故B正確.
2
4-+3,6!+1
因?yàn)閍+bi=l,所KC以.fl------..(----b-)2=一,
224
所以儲(chǔ)+比.!,當(dāng)且僅當(dāng)=J時(shí)取"=%故C正確.
22
因?yàn)椤?8=1,所以+戶=(々+與(〃2一"+吩)=。2—ab+b2
=(a+與2-346=1—3ab..1—3(^1^)2=;,
當(dāng)且僅當(dāng)“=/?=■!■時(shí)取"=“,故O正確.
2
故選:BCD.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.
舉一反三
【變式1】(2021?湖南模擬)設(shè)正實(shí)數(shù)。、〃滿足a+b=l,則下列說法錯(cuò)誤的是()
A.,石有最大值,11
B.------1----有--最小值3
2a+2h2a+b
C./+從有最小值,D.6+%有最大值血
2
【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可求解.
【解答】解:由題意可知,正實(shí)數(shù)。、〃滿足a+b=l,
由基本不等式可得質(zhì)等4當(dāng)且僅當(dāng)”匕,等號(hào)成立,故A選項(xiàng)正確,
由基本不等式可得—+」一=-(3?+36)(「一+」一),
a+2b2a+b3a+2b2a+b
=l[(a+2fe)+(2a+Z7)]-(—L---L-)=l(2+2a+ha+2b、1小_\a+2b2a+bx4
+-----+------)...—(2+21------------)=-
3a+2b2a+b3a+2b2a+b3、2a+ba+2b3
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立,故3選項(xiàng)錯(cuò)誤,
2
a2+h2=(a+h)2-2ah..(a+b)2-2x(-^-i-^)2=(〃+/)=[,
222
當(dāng)且僅當(dāng)〃=6=工時(shí).,等號(hào)成立,故C選項(xiàng)正確,
2
{\[a+\/b)2=。+匕+2x[ab?2(a+%)=2,
則4a+6,也,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí);等號(hào)成立,故。選項(xiàng)正確.
2
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì),需要學(xué)生熟練掌握公式,屬于基礎(chǔ)題.
【變式2】(2021?湖南模擬)數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫做Pro(加w%,也稱之
為無字證明,一般是指僅用圖象語言而無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題,由于這
種證明方法的特殊性,無字證明被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅.現(xiàn)有如圖所示圖形,
在等腰直角三角形AABC中,點(diǎn)O為斜邊他的中點(diǎn),點(diǎn)O為斜邊Afi上異于頂點(diǎn)的一
個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)=BD=b,則該圖形可以完成的無字證明為()
B.義之,,而(〃>0力>0)
a+b
D.a2+b2..2\[ab(a>0,/;>0)
【分析】由已知圖形先求出OC,CD,然后結(jié)合OC,,CD即可判斷.
【解答】解:由題意得AB=AD+BD=a+b,CO=;(a+勿,
OD=OB-DB=-(a+b)-b=-(a-b),
22
22{a+ba+,r
RtAOCD中,CD=OC+OD-=^.+"匚=',
442
因?yàn)镺C,8,
所以;(a+垃,產(chǎn)產(chǎn),當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào),
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
【變式3](多選)(2021秋?深圳月考)設(shè)a,be/?且而>0,則下列不等式正確的是(
)
A.a2+b2..2abB.a+b..2箍C.-+D.-+-..2
abyjabab
【分析】作差可知A正確,由基本不等式可知。正確;舉例說明8、。錯(cuò)誤即可.
【解答】解:???。2+萬一皿=3一力2.0,
/.a2+b2..2ab,故A正確;
當(dāng)a=/?=—1時(shí),〃+/?=—2,2\[ab=2,
故3錯(cuò)誤;
11c
當(dāng)。=。二一1時(shí),—I—=-2,=2,
ab元
故C錯(cuò)誤;
/八ba,、
ab
故2+2.2,(當(dāng)且僅當(dāng)2=q,即時(shí),等號(hào)成立),
abab
故。正確;
故選:AD.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作差法及基本不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
【變式4](多選)(2021春?濟(jì)寧期末)若。,6均為正數(shù),且a+2b=1,則下列結(jié)論
正確的是()
A.岫的最大值為2B.1+2的最小值為9
8ab
c.層的最小值為-_LD./+匕2的最小值為1
35
【分析】根據(jù)已知條件,結(jié)合基本不等式的公式,以及二次函數(shù)的性質(zhì),即可求解.
【解答】解:“,〃均為正數(shù),且。+?=1,
二由基本不等式可得,1=a+2b.石,解得她,L當(dāng)且僅當(dāng)“=2/?=L即a=1,b=—
8224
時(shí)等號(hào)成立,故A選項(xiàng)正確,
12122b2a12bla出口/口小2。2a1
(—i—)=(-i—)(6r4-2b)=1H---1----1-4..5+2J-------=9,當(dāng)且僅當(dāng)——=——,即nna=/?=一
ababab\abab3
時(shí)等號(hào)成立,故3選項(xiàng)正確,
卜=1-2b>0
[b>0
0<b<-,
2
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知,a2+b2=(\-2b)2+b2=5b2-4b+l..^,故。選項(xiàng)正確,
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),a2-b2=(\-2b)2-b2=3b2-4b+\>--,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選:ABD.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式的公式,以及二次函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.
【變式5](多選)(2021春?渝中區(qū)校級(jí)期末)已知正數(shù)。,人滿足a+功=1,則(
)
A.必有最大值1B.2有最小值8
8ab
C.工+夕有最小值4D.有最小值!
ba5
【分析】根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng)是否正確,綜合可得答案.
【解答】解:根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng):
對(duì)于A,a-2b^^^-)2=-^ab當(dāng)且僅當(dāng)〃=2,b時(shí)取等號(hào),則A正確;
24824
對(duì)于8,L+l=(a+2b)(-+-)=—+—+5.A+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),8錯(cuò)
ababab3
誤;
對(duì)于C,-+-=2+-+-..2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)〃=匕=,時(shí)取等號(hào),則C正確;
baba3
71I1
對(duì)于。,a2+/?2=(1-2b)2+b2=5b2-4b+\=5(b--)2+-(0</?<-),故最小值為g,則。
正確;
故選:ACD.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用,注意基本不等式成立的條件,屬于基礎(chǔ)題.
【變式6](多選)(2021春?濱州期末)設(shè)正實(shí)數(shù)",”滿足加+〃=2,則下列說法中
正確的是()
A.2m-">-B.的最大值為1
4
C.而+冊(cè)的最小值為2D.加+〃2的最小值為2
【分析】由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)變形,結(jié)論分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.
【解答】解:因?yàn)椤?>0,n>0,m+n=2,
可得〃<2,可得1—〃>—1,
所以2""=22-""=4'~">4'=-,故A正確;
4
由,〃口,("'+與=],當(dāng)且僅當(dāng)加="=1時(shí)”7〃取得最大值1,故8正確;
2
(y/m+y/n)2=m+n+2\[mn=2+2+m+n=4,當(dāng)且僅當(dāng),〃=〃=1時(shí)取等號(hào),故
詬+〃?2即最大值為2,故C錯(cuò)誤;
m2+n2=(m+n)2—2mn=4-2/7???..4?2x(WZ^W)2=2,當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=〃=1時(shí)取等號(hào),此處取
得最小值2,故O正確.
故選:ABD.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式及結(jié)論的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
【變式7](多選)(2021?5月份模擬)若正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=2,則下列說法正確
的是()
A.昉的最大值為1B.6+正的最大值為2
C.Y+從的最小值為1D.2/+4的最小值為§
3
[分析]由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.
【解答】解:因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a,6滿足a+A=2,
由基本不等式她,(土3)2=1,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=1時(shí)取等號(hào),A正確;
2
因?yàn)?6+O,,2(a+力=4,當(dāng)且僅當(dāng)。=5=1時(shí)取等號(hào),即&+揚(yáng)的最大值2,3正確;
因?yàn)?(/+b2)..(a+b)2=4,
所以/+從..2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=l時(shí)取等號(hào),C錯(cuò)誤;
2a2+b2=2a2+(2-4=3/-4a+4,ae(0,2),
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)a=2時(shí),取得最小值號(hào),。正確.
33
故選:ABD.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式及相關(guān)結(jié)論的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是公式的靈活應(yīng)用,屬
于中檔題.
【變式8](多選)(2021?三模擬)已知a,b為正數(shù),/+從=4,則()
A.ab的最大值為2B.二+*4■的最小值為1
a1h22
C.a的最大值為還D.1+J?的最小值為0
2ab
【分析】利用基本不等式逐項(xiàng)求解即可得解.
【解答】解:因?yàn)閍,b為正數(shù),a2+b2=4..2ah,可得",,2,當(dāng)且僅當(dāng)。=人=夜時(shí)取等
號(hào),所以A正確;
由于4+1=幺坐=3..1,當(dāng)且僅當(dāng)〃=匕=&時(shí)取等號(hào),所以8不正確;
aZ?a”
因?yàn)?-"2)二空出,所以〃+八,20,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=夜時(shí)取等號(hào),所以C不正確;
22
因?yàn)閐+[)2='T+4+2..1+1=2,所以4+L.啦,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=夜時(shí)取等號(hào),所
aba2b2abab
以。正確;
故選:AD.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式及其應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.
知識(shí)點(diǎn)精析
3、基本不等式與恒成立問題
10
例3:已知x>0j>0且上+乙=1,求使不等式x+)后力恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。
xy
刖八,c八19,x+y9x+9y,10y9x,
解:令x+y=k,x>0j>0,—+—=1,/.-----+--------=1.-+—+—=1
xykxkykkxky
in3
.J-—>2-o:.k>16,we(-oc,16]
kk
例題精講
【例題1】(2021?相城區(qū)校級(jí)開學(xué))設(shè)〃、人是正實(shí)數(shù),以下不等式恒成立的為()
A.疝32
B.ab+—>9
a+bab
C.a2+b2>4ab-3h2D.a>\a-h\-b
【分析】可以帶特殊值判斷選項(xiàng)錯(cuò)誤.
【解答】解:令a=b=l,則A錯(cuò);
令a=l,b=42,則8錯(cuò);
令a=5,b=4,則C錯(cuò);
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式,可以借助特殊值,單調(diào)性等方法,屬于基礎(chǔ)題.
【例題2】(2021春?阜新期末)已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+=0,若x+y..〃?恒成
立,則實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為()
A.5B.7C.8D.9
【分析】先利用“1”的代換以及基本不等式求解最值,從而得到用的取值范圍,即可得到
答案.
【解答】解:因?yàn)閤+4y—刊=0,即±+'=1,
xy
因?yàn)閤>0,y>0,
則X+y=(%+),)('+1)="+土+5..2,但三+5=9,
xyxy'%y
當(dāng)且僅當(dāng)”=二,即x=2y時(shí)取等號(hào),
所以x+y的最小值為9,
因?yàn)閤+y..〃7恒成立,
故,%,9,則實(shí)數(shù),”的最大值為9.故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式恒成立問題,基本不等式求解最值的應(yīng)用,要掌握不等式恒成立
問題的一般求解方法:參變量分離法、數(shù)形結(jié)合法、最值法等,屬于中檔題.
【例題3】(多選)(2021?南平模擬)已知a>0,b>0,a2+b2-ab=2,則下列不等
式恒成立的是()
A.—+—,,5/2B.ab?2C.a+b?2>/2D.a2+Z?2..4
ab
【分析】由已知基本基本不等式及相應(yīng)結(jié)論,分別判斷各選項(xiàng)即可.
【解答】解;對(duì)于A,B,由a>0,h>0,利用基本不等式/+尻.2。。,
可得用+2..2必,解得ab?2,
X-+-...-nL(當(dāng)且僅當(dāng)夜時(shí),等號(hào)成立),而曲,2,
aby/ab
所以」=..血,所以工+L.近,故3正確,A錯(cuò)誤:
yjabab
對(duì)于C,由a>0,b>0,利用基本不等式如也匚,
4
變形/+爐一況,=2,得(a+4—2=3岫,3(”份二(當(dāng)且僅當(dāng)a=6=0時(shí),等號(hào)成立),
4
解得3+力2,,8,即0+瓦2夜,故C正確;
2?2
對(duì)于。,由a>0,b>0,利用基本不等式,族,色之,
2
化簡/+戶一必=2,得/+〃_2=地,"(當(dāng)且僅當(dāng)“=》=及時(shí),等號(hào)成立),
2
解得/+也,4,故。錯(cuò)誤;
故選:BC.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式,考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬基礎(chǔ)題.
舉一反三
【變式1](2021春?鄭州期末)已知若一+-恒成立,則機(jī)的
a-bb—ca—c
最大值為()
A.3B.4C.8D.9
|4,72
[分析]由a>b>c,知a-b>0,b-c>0,a-c>0,由------+--------------,得
a-bb-ca-c
1A1A
機(jī),(a-c)(——+——),求出(a-c)(——+——)的最小值,可解決此題.
a-bb-ca-bb-c
【解答】解:由知a-b>0,b-c>0,<7-c>0,
小14m413,xz14、
LU-----1-----…;----,行nt),(a—c)(------1-----),
a-bb-ca-ca-bb-c
1414
又?.,a-c=a-b+b—c,(a-c)(----4-----)=[(a-h)+(/?-c)](----+----)]
a-bb-ca-bb-c
=5+%二包+"£..5+2、四亙?nèi)?9,當(dāng)且僅當(dāng)曳蟲包=三,
b-ca-bVb-ca-bb-ca-b
i4
即6-c=2(。一加時(shí),(a-c)(——+——)取得最小值9,
a-bb-c
肛,9,,機(jī)的最大值為9.
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用基本不等式求最值,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.
知識(shí)點(diǎn)精析
技巧一:湊項(xiàng)
例1:已知x<2,求函數(shù)Y=4X-2+---的最大值。
4,4x-5
解:因4x-5<0,所以首先要?調(diào)整不號(hào),又(4x-2).」一不是常數(shù),所以對(duì)4x-2要進(jìn)行拆、濠
4x-5
VX<7,.-.5-4x>0,V=4X-2+---=-;5-4x+—-—:+34-2+3=1
4,4x-5I5-4xJ
當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=[,即x=l時(shí),上式等號(hào)成立,故當(dāng)x=l時(shí),=1o
【點(diǎn)評(píng)】本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào),又要配湊項(xiàng)的系數(shù),使其積為定值.
技巧二:湊系數(shù)
例2:當(dāng)0<x<4時(shí),求y=x(8-2x)的最大值.
【解析】由0<x<4知,8-2x>0,利用基本不等式求最值,必須和為定值或積為定值,此題為兩個(gè)
式子積的形式,但其和不是定值.注意到2x+(8-2x)=8為定值,故只需將y=x(8-2x)湊上一
個(gè)系數(shù)即可.
尸x(8-2x)=-1-[2%?(8-2x)(,2x+:-2x)2=8
當(dāng)2x=8-2x,即x=2時(shí)取等號(hào),當(dāng)x=2時(shí),y=x(8-x2)的最大值為8.
【評(píng)注】本題無法直接運(yùn)用基本不等式求解,但湊系數(shù)后可得到和為定值,從而可利用基本不等式求
最大值.
技巧三:分離
例3:求-2+72+1°?>-1)的值域.
x+1
解:本題看似無法運(yùn)用基本不等式,不妨將分子配方湊出含有(x+1)的項(xiàng),再將其分離.
X2+7X+10(x+1產(chǎn)+5(x+1)+4—(x+i)+_4_+5,
x+1x+1x+1
當(dāng)x>-1,即x+1>0時(shí),J(x+1)x—+5=9(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取"=”號(hào))
知識(shí)點(diǎn)精析
技巧四:換元
對(duì)于上面例3,可先換元,令f=x+l,化簡原式在分離求最值.
技巧五:結(jié)合函數(shù)f(x)=萬+且的單調(diào)性.
X
例4:求函數(shù)),=答二的值域。
d+4
解:令々+4=32),則),=±£=正77+餐==r+422)
"+4Jx2+4t
因,>0/;=1,但,=;解得,=±1不在區(qū)間[2,+8),故等號(hào)不成立,考慮單調(diào)性。
因?yàn)?口+1在區(qū)間[L+8)單調(diào)遞增,所以在其子區(qū)間[2,+8)為單調(diào)遞增函數(shù),故yN:。
所以,所求函數(shù)的值域?yàn)?g,+oc]。
技巧六:整體代換
1Q.,
例5:已知x>0,y>0,且一+―=1,求x+y的最小值。
xy
錯(cuò)解:vx>0,y>0,且=ix+jFL2故=12。
錯(cuò)因:解法中兩次連用基本不等式,在X+),22歷等號(hào)成立條件是x=y,在<L+2N2區(qū)等號(hào)成立條
xy\xy
1o
件是±=乙即N=9x,取等號(hào)的條件的不一致,產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此,在利用基本不等式處理問題時(shí),列出等
xy
號(hào)成立條件是解題的必要步驟,而且是檢蛉轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。
Io(19'v9Y
正解:vx>0,j>0,—*—=BAX+y=(x+y)----'=----^7026+10=16
xy\xyjxy
VQy19
當(dāng)且僅當(dāng)匕=*時(shí),上式等號(hào)成立,又一+—=1,可得x=4j=12時(shí),(x+>-r=16。
xyxyac
【點(diǎn)評(píng)】多次連用最值定理求最值時(shí),要注意取等號(hào)的條件的一致性,否則就會(huì)出錯(cuò).
技巧七:取平方
,(遹:的題精講
71
【例題1】(2021?重慶開學(xué))已知。>0,〃>0,且。+匕=2,則4+L的最小值是(
a2b
)
99
A.1B.2C.-D.-
42
【分析】由已知結(jié)合基本不等式即可求解最值.
【解答】解:b>09且。+。=2,
211,、,21、1小1給a、1/5i9
?--+—=-z(^+&)(-+—)=-(2+-+—+—)--57(-+2)=7
a2b2a2b22a2b224
當(dāng)且僅當(dāng)竺=幺,即a=3,〃=2時(shí)取等號(hào),
a2b33
故2+_L的最小值是2,
a2b4
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
4
【例題2】(2021秋?漢中月考)若〃>0,匕>0且2々+人=4,則3的最小值為()
ab
A.2B.-C.4D.-
24
【分析】由基本不等式可得4=2a+4.2同,從而求最小值.
【解答】解:?.?4=2a+b..2缶K,
(當(dāng)且僅當(dāng)為=》,々=1,力=2時(shí),等號(hào)成立)
0<ab,,2,
故土.2,
ab
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的應(yīng)用及不等式的轉(zhuǎn)化,是基礎(chǔ)題.
【例題3](2021?青羊區(qū)校級(jí)開學(xué))已知x>0,y>0,K2x+8y=xy,則x+y的最
小值是()
A.10B.15C.18D.23
【分析】由題意化簡可得曰+工=1,再化簡x+y=(x+y)(§+2)=呢+立+10,從而利用
xyxyxy
基本不等式求最值.
2Q
【解答】解:,y>0,2x+Sy=xy,/.一+—=1,
y%
x+y=(x4-y)(—i—)―—―H-----F10..2jl6+10=18,
xyxy
(當(dāng)且僅當(dāng)肛=在,即x=12,y=6時(shí),等號(hào)成立)
xy
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的應(yīng)用,同時(shí)考查了整體思想的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.
【例題4】(2021秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考)若x>0,y>0且x+y=孫,則??二匚+工L的
x-1y-\
最小值為()
A.3B.-+y/6C.3+V6D.3+2應(yīng)
2
【分析】先把x+y=個(gè)轉(zhuǎn)化為,+工=1,再將上+工2=2x+y,根據(jù)基本不等式即可
xyx-1y-l
求出.
【解答】解:,/x>0,y>0S.x+y=xy>
11?
二.—I—=],
%y
上+立涉士2孫-2y=_2x+y..=2x+y=(2x+y)d+A=3+生+2..3+2廬上=3+2及
x-\y-\(x-l)(y-1)xy-x-y+\xyyx\)x
當(dāng)且僅當(dāng)在=2,即x=l+』2,y=l+點(diǎn)時(shí)取等號(hào),
yx2
故上+工匕的最小值為3+2&,
x-\y-l
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式求最值的問題,考查了學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.
【例題5】(2021春?永豐縣校級(jí)期末)函數(shù)/(%)=土上四(x>l)的最小值為()
x-\
A.2GB.3+273C.2+2V2D.5
【分析】先利用換元法變形,再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.
【解答】解:設(shè)x-l=r,貝ijx=,+l,(r>0),
.rXx2+X+1(t4-1)24-(Z4-1)+13./□IQ
..j(x)=------------=------------------------=f+—+3..2y3+3,
x-1tt
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),
二函數(shù)f(x)的最小值為26+3,
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
【例題6](2021春?沈陽期末)若正數(shù)x,y滿足x+3y=5A>r當(dāng)3x+4y取得最小值
時(shí),x+4y的值為()
A.2B.3C.4D.5
【分析】根據(jù)條件得至$+3】,結(jié)合基本不等式,利用1的代換求出小今取得最小
值,再得到x+4y的值.
13
【解答】解:,.?x+3y=5孫,x>0,y>0,/.—+—=1,
5y5x
13
3x+4y=(3九+4^)(—十片)
jyjx
3x9412y130l3x12y「
5y555x5\5y5x
當(dāng)且僅當(dāng)包=包,即x=2y=l時(shí)取等號(hào),
5y5x
,x+4y的值為3.
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用基本不等式求最值,利用1的代換是解決本題的關(guān)鍵,屬基礎(chǔ)題.
【例題7】(多選)(2021?三元區(qū)校級(jí)模擬)已知x,y>0,x+2y+xy-6=0()
A.孫的最大值為2B.x+2y的最小值為4
C.x+y的最小值為3D.x+y的最小值為40-3
【分析】根據(jù)x+2y+初一6=0可得》+2丫=6-町\.275^(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)等號(hào)成立),
令向=f(r>0),則『+2"-6,,0,求出,的取值范圍即可判斷A選項(xiàng);根據(jù)基本不等式
可得x+2y..2,2xy,則”+燧町,,所以+")...孫,又孫=6-(x+2y),
28
所以.(二2,):6-Q+2>),即(x+2y)2+8(x+2),)-48..0,求出x+2y的取值范圍即可判
8
斷3選項(xiàng);x+y=m,則m>0,所以y=m-x,故x+2y+xy-6=Q可化為
x+2(m-x)+x(<m-x)-6=09整理后求出m的取值范圍即可判斷C、O選項(xiàng).
【解答】解:由x+2y+q-6=0,得x+2y=6-0.2"短(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)等號(hào)成立),
令而=?,>0),則『+2萬—6,,0,解得0<4,0.
所以7^,0,即初,2.所以冷的最大值為2,A正確.
由基本不等式得x+2y..2^^,則大+2)..12封,所以(1+2))孫,又x+2y+孫一6=0,
28
得x+2y=6-封,即xy=6-(x+2y),
所以-----..6—(x+2y),所以(無+2yy+8(x+2y)-48..0,解得x+2y..4或x+2%—12
8
(舍去),當(dāng)且僅當(dāng)x=2、y=l時(shí)等號(hào)成立,
則x+2y的最小值為4,B正確.
令x+y=m,則m>0,所以y=m—x,故x+2y+xy-6=0可化為
x+2(/n-x)+x(rn-x)-6=0,整理得4之+(]-加)1+6-2,〃=0,
由△..(),得(1一根)2—4x(6-2a)..O,即m2+66一23..0,解得九.4夜一3或〃?,,一4及一3(舍
去),故C錯(cuò)誤,。正確.
故選:ABD.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式的運(yùn)用,考查推理和運(yùn)算求解能力,涉及邏輯推理、數(shù)學(xué)
運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),屬于中檔題.
71
【例題8】(2021?北侖區(qū)校級(jí)開學(xué))若x>0,y>0,且±+'=1,當(dāng)且僅當(dāng)」=4,
xy
y=時(shí),x+2y取得最小值.
【分析】利用“乘1法”,結(jié)合基本不等式的性質(zhì)可求得答案.
【解答】解:?.?x>0,y>0,且±+!=1,
“y
/.X+2y=(x+2y)(-+—)=4+—+—..4+2/-?—=8,
xyxy\xy
當(dāng)且僅當(dāng)"=/時(shí)x+2y取得最小值,
%y
,21
由一+—=1,2ny=x,
xy
得x=4,y=2,
故答案為:4:2.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.
17
【例題9】(2021?成都開學(xué))已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=2,則上+4的最小值為
3+2夜
~~2—1
【分析】根據(jù)題意構(gòu)造,再使用均值不等式,可以得出結(jié)果.
【解答】解
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