基本不等式-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)金典同步精講精練精講（人教A版2019必修第一冊(cè)）（解析版）

【概述】

基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式.其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)

小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù).公式為：—>VabbNO),變形為abW(豆也)2或者

22

22日.常常用于求最值和值域.

1、求最值

例1：求下列函數(shù)的值域.

(1))=3x2+表(2)

解：⑴k3x2+專22yl3x=*=乖二值域?yàn)閇比,田)

<2)當(dāng)x>0時(shí)，y=x+;X>2\/yx-;X=2;

當(dāng)x<0時(shí)，3=x+1=-(-x-)--2

，值域?yàn)?-8,-2]U[2,*oo)

2,利用基本不等式證明不等式

例2：已知a、b、c&RT,且a+6+c=l。求證：]一“

分析：不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個(gè)2'連乘，又

二1上=區(qū)返,可由此變形入手。

aaaa

...UD-...1,\-ab+c、2癡1,2yfac1?、2A/^

解：?Q\b\ceR>〃+b+c=lo—1=---=----2----01可理一一1N---->——12----。

aaaabbcc

上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得

-1>2咨率.2產(chǎn)=8。當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=，寸取等號(hào)。

而題精講

【例題1】（2021?東湖區(qū)校級(jí)開學(xué)）下列各題中結(jié)論正確的是（)

A.當(dāng)x>l時(shí)，X+L..21

B.當(dāng)x>0時(shí)，\[x..2

X\[x

C.當(dāng)%>2時(shí),\fx+.2A/5D.當(dāng)0<x<l時(shí)，X+-..2

X

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，以及函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

【解答】解：當(dāng)x>0時(shí)，x+L.2、1工=2,當(dāng)且僅當(dāng)》=,，即x=l時(shí)等號(hào)成立,

X\XX

?.,%〉。且1,

...X+，的最小值為2不成立，故4、。錯(cuò);

X

1

當(dāng)x>0時(shí),Vx>0,+..2當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí),等號(hào)成立,故8正確;

忑

2

當(dāng)x>2時(shí),=2夜，因此當(dāng)石=時(shí)，即x=2時(shí)有最小值，而x>2,

忑

故C錯(cuò)誤,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式的公式，以及函數(shù)的單調(diào)性，需要學(xué)生較強(qiáng)的綜合能力,

屬于中檔題.

【例題2】（2021春?秦淮區(qū)月考）《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)

問題，這種方法是后西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或

定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.下圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)作的弦

圖，弦圖由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.若直角三角形的

直角邊長分別為。和〃，則該圖形可以完成的無字證明為（）

B.a2+b2..2ab(a>0,b>0)

__)a+b,，一八、

C.——j-(tz>0,Z?>0)D..----(a>(),/?>0)

—+—

ab

【分析】斜邊即大正方形的邊長為大正方形面積。2+〃，而大正方形面積大于

等于四個(gè)直角三角形的面積和，可求.

【解答】解：因?yàn)橹苯侨切蔚闹苯沁呴L分別為a和6,

所以斜邊即大正方形的邊長為+萬,大正方形面積.2+〃，

由題意得。2+比.4X，H=2M,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào)，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用圖形證明不等式，屬于基礎(chǔ)題.

【例題3】（多選）（2021秋?長安區(qū)校級(jí)月考）以下結(jié)論正確的是（）

A.%24—.2

X：

B.J-+3+J的最小值為2

C.若/+2/?=1,則二+J..3+2友

D.右a+b=1,則—4—..4

ab

【分析】利用基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：對(duì)于A，4+3..2人，=2,當(dāng)且僅當(dāng)父=1時(shí)等號(hào)成立，故A正確,

對(duì)于3,&+3+-J..2」&+3?=2,當(dāng)且僅當(dāng)Jx?+3=1時(shí)等號(hào)成立,但

Vx2+3

6+3..6=1,故N錯(cuò)誤,

對(duì)于C,1+3=(4+4)(/+2^)=3+岑+￡..3+2夜，當(dāng)且僅當(dāng)。2=血-1,

序=三旦時(shí)等號(hào)成立，故。正確，

2

對(duì)于。，當(dāng)a>0,b>0,a+h=l時(shí)，—+—=（—+—）（a+/?）=2+—+—..4,但a+Z?=l,

ababba

不一定a>0,b>0,故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

【例題4】（多選）（2021春?定州市期中）設(shè)正實(shí)數(shù)。，人滿足a+b=l,則（）

A.（rh+tra..）-B.」一+——

a+2b2a+b3

C.a2+b2..^-D.1

24

【分析】（1）先因式分解油（a+份，再利用a+b=l,可得原式="，再用均值不等式求解

即可;

（2）先用。+6=1對(duì)式子化簡為」一+」_,然后把已知變形為匕（1+4）+（1+勿］=1,再

\+a\+h3

變形求解即可；

（3）由匕土..（土心）2容易求解；

22

（4）/+R=（〃+3（/—必+/）再變形后用均值不等式求解即可.

【解答】解：因?yàn)閍+b=l,^VXc^b+ab2=ab(a+b)=ab,

又以,,（土也）2=_L,當(dāng)且僅當(dāng)〃=b=2■時(shí)取”=“，所以A錯(cuò)誤.

242

因?yàn)镼+Z?二],所以------1------=-----------1----------=-----1----,

a+2h2a+h(a+h)+h〃+(〃+/?)\+b1+Q

(l+a)+(l+6)=3,所以§[(l+a)+(l+?]=l,

所以土+出常+出+長次+“）+"創(chuàng)

1.1+/?1+。、1.

=一(2+----+----)..-(2+2

3\+a\+h3V1+/71+Q3

當(dāng)且僅當(dāng)。=b=4時(shí)取“=“，故B正確.

2

4-+3,6!+1

因?yàn)閍+bi=l,所KC以.fl------..（----b-）2=一，

224

所以儲(chǔ)+比.!，當(dāng)且僅當(dāng)=J時(shí)取"=%故C正確.

22

因?yàn)椤?8=1,所以+戶=（々+與（〃2一"+吩）=。2—ab+b2

=(a+與2-346=1—3ab..1—3(^1^)2=；,

當(dāng)且僅當(dāng)“=/?=■!■時(shí)取"=“，故O正確.

2

故選：BCD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

舉一反三

【變式1】(2021?湖南模擬)設(shè)正實(shí)數(shù)。、〃滿足a+b=l,則下列說法錯(cuò)誤的是()

A.，石有最大值,11

B.------1----有--最小值3

2a+2h2a+b

C./+從有最小值,D.6+%有最大值血

2

【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：由題意可知，正實(shí)數(shù)。、〃滿足a+b=l,

由基本不等式可得質(zhì)等4當(dāng)且僅當(dāng)”匕，等號(hào)成立，故A選項(xiàng)正確,

由基本不等式可得—+」一=-(3?+36)(「一+」一),

a+2b2a+b3a+2b2a+b

=l[(a+2fe)+(2a+Z7)]-(—L---L-)=l(2+2a+ha+2b、1小_\a+2b2a+bx4

+-----+------)...—(2+21------------)=-

3a+2b2a+b3a+2b2a+b3、2a+ba+2b3

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立，故3選項(xiàng)錯(cuò)誤，

2

a2+h2=(a+h)2-2ah..(a+b)2-2x(-^-i-^)2=(〃+/)=[,

222

當(dāng)且僅當(dāng)〃=6=工時(shí).，等號(hào)成立，故C選項(xiàng)正確，

2

{\[a+\/b)2=。+匕+2x[ab?2(a+%)=2,

則4a+6,也，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí);等號(hào)成立，故。選項(xiàng)正確.

2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題.

【變式2】(2021?湖南模擬)數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫做Pro(加w%,也稱之

為無字證明，一般是指僅用圖象語言而無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題，由于這

種證明方法的特殊性，無字證明被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅.現(xiàn)有如圖所示圖形,

在等腰直角三角形AABC中，點(diǎn)O為斜邊他的中點(diǎn)，點(diǎn)O為斜邊Afi上異于頂點(diǎn)的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)=BD=b,則該圖形可以完成的無字證明為（）

B.義之,，而(〃>0力>0)

a+b

D.a2+b2..2\[ab(a>0,/;>0)

【分析】由已知圖形先求出OC,CD,然后結(jié)合OC,,CD即可判斷.

【解答】解：由題意得AB=AD+BD=a+b,CO=；（a+勿，

OD=OB-DB=-（a+b）-b=-（a-b）,

22

22{a+ba+，r

RtAOCD中，CD=OC+OD-=^.+"匚=',

442

因?yàn)镺C,8，

所以;（a+垃，產(chǎn)產(chǎn),當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào)，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

【變式3]（多選）（2021秋?深圳月考）設(shè)a,be/?且而＞0,則下列不等式正確的是（

）

A.a2+b2..2abB.a+b..2箍C.-+D.-+-..2

abyjabab

【分析】作差可知A正確，由基本不等式可知。正確；舉例說明8、。錯(cuò)誤即可.

【解答】解：???。2+萬一皿=3一力2.0,

/.a2+b2..2ab，故A正確;

當(dāng)a=/?=—1時(shí)，〃+/?=—2,2\[ab=2,

故3錯(cuò)誤;

11c

當(dāng)。=。二一1時(shí)，—I—=-2，=2,

ab元

故C錯(cuò)誤;

/八ba,、

ab

故2+2.2,（當(dāng)且僅當(dāng)2=q,即時(shí)，等號(hào)成立），

abab

故。正確；

故選：AD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作差法及基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

【變式4]（多選）（2021春?濟(jì)寧期末）若。，6均為正數(shù)，且a+2b=1,則下列結(jié)論

正確的是（）

A.岫的最大值為2B.1+2的最小值為9

8ab

c.層的最小值為-_LD./+匕2的最小值為1

35

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：“，〃均為正數(shù)，且。+?=1,

二由基本不等式可得，1=a+2b.石，解得她,L當(dāng)且僅當(dāng)“=2/?=L即a=1,b=—

8224

時(shí)等號(hào)成立，故A選項(xiàng)正確，

12122b2a12bla出口/口小2。2a1

（—i—）=（-i—）（6r4-2b）=1H---1----1-4..5+2J-------=9,當(dāng)且僅當(dāng)——=——，即nna=/?=一

ababab\abab3

時(shí)等號(hào)成立，故3選項(xiàng)正確，

卜=1-2b>0

[b>0

0<b<-,

2

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，a2+b2=（\-2b）2+b2=5b2-4b+l..^,故。選項(xiàng)正確，

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，a2-b2=（\-2b）2-b2=3b2-4b+\>--,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式的公式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

【變式5]（多選）（2021春?渝中區(qū)校級(jí)期末）已知正數(shù)。，人滿足a+功=1,則（

）

A.必有最大值1B.2有最小值8

8ab

C.工+夕有最小值4D.有最小值！

ba5

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)是否正確，綜合可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,a-2b^^^-)2=-^ab當(dāng)且僅當(dāng)〃=2，b時(shí)取等號(hào)，則A正確；

24824

對(duì)于8,L+l=(a+2b)(-+-)=—+—+5.A+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，8錯(cuò)

ababab3

誤；

對(duì)于C,-+-=2+-+-..2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)〃=匕=，時(shí)取等號(hào)，則C正確；

baba3

71I1

對(duì)于。，a2+/?2=(1-2b)2+b2=5b2-4b+\=5(b--)2+-(0</?<-),故最小值為g,則。

正確；

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意基本不等式成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.

【變式6](多選)(2021春?濱州期末)設(shè)正實(shí)數(shù)"，”滿足加+〃=2,則下列說法中

正確的是()

A.2m-">-B.的最大值為1

4

C.而+冊(cè)的最小值為2D.加+〃2的最小值為2

【分析】由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)變形，結(jié)論分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【解答】解：因?yàn)椤?>0,n>0,m+n=2,

可得〃<2,可得1—〃>—1,

所以2""=22-""=4'~">4'=-,故A正確；

4

由，〃口,("'+與=],當(dāng)且僅當(dāng)加="=1時(shí)”7〃取得最大值1,故8正確；

2

(y/m+y/n)2=m+n+2\[mn=2+2+m+n=4,當(dāng)且僅當(dāng)，〃=〃=1時(shí)取等號(hào)，故

詬+〃?2即最大值為2,故C錯(cuò)誤；

m2+n2=(m+n)2—2mn=4-2/7???..4?2x(WZ^W)2=2,當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=〃=1時(shí)取等號(hào)，此處取

得最小值2,故O正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式及結(jié)論的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

【變式7](多選)(2021?5月份模擬)若正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=2,則下列說法正確

的是()

A.昉的最大值為1B.6+正的最大值為2

C.Y+從的最小值為1D.2/+4的最小值為§

3

[分析]由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【解答】解：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a,6滿足a+A=2,

由基本不等式她，(土3)2=1,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=1時(shí)取等號(hào)，A正確；

2

因?yàn)?6+O,,2(a+力=4,當(dāng)且僅當(dāng)。=5=1時(shí)取等號(hào)，即&+揚(yáng)的最大值2,3正確；

因?yàn)?(/+b2)..(a+b)2=4,

所以/+從..2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=l時(shí)取等號(hào)，C錯(cuò)誤；

2a2+b2=2a2+(2-4=3/-4a+4,ae(0,2),

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)a=2時(shí)，取得最小值號(hào)，。正確.

33

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式及相關(guān)結(jié)論的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是公式的靈活應(yīng)用，屬

于中檔題.

【變式8](多選)(2021?三模擬)已知a,b為正數(shù)，/+從=4,則()

A.ab的最大值為2B.二+*4■的最小值為1

a1h22

C.a的最大值為還D.1+J?的最小值為0

2ab

【分析】利用基本不等式逐項(xiàng)求解即可得解.

【解答】解：因?yàn)閍,b為正數(shù)，a2+b2=4..2ah,可得",,2,當(dāng)且僅當(dāng)。=人=夜時(shí)取等

號(hào)，所以A正確；

由于4+1=幺坐=3..1,當(dāng)且僅當(dāng)〃=匕=&時(shí)取等號(hào)，所以8不正確；

aZ?a”

因?yàn)?-"2)二空出，所以〃+八,20,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=夜時(shí)取等號(hào)，所以C不正確；

22

因?yàn)閐+[)2='T+4+2..1+1=2,所以4+L.啦，當(dāng)且僅當(dāng)a=6=夜時(shí)取等號(hào)，所

aba2b2abab

以。正確；

故選：AD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式及其應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

知識(shí)點(diǎn)精析

3、基本不等式與恒成立問題

10

例3:已知x>0j>0且上+乙=1,求使不等式x+)后力恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。

xy

刖八,c八19,x+y9x+9y,10y9x,

解：令x+y=k,x>0j>0,—+—=1,/.-----+--------=1.-+—+—=1

xykxkykkxky

in3

.J-—>2-o：.k>16,we(-oc,16]

kk

例題精講

【例題1】（2021?相城區(qū)校級(jí)開學(xué)）設(shè)〃、人是正實(shí)數(shù)，以下不等式恒成立的為（）

A.疝32

B.ab+—>9

a+bab

C.a2+b2>4ab-3h2D.a>\a-h\-b

【分析】可以帶特殊值判斷選項(xiàng)錯(cuò)誤.

【解答】解：令a=b=l,則A錯(cuò)；

令a=l,b=42,則8錯(cuò)；

令a=5,b=4,則C錯(cuò)；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式，可以借助特殊值，單調(diào)性等方法，屬于基礎(chǔ)題.

【例題2】（2021春?阜新期末）已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+=0,若x+y..〃?恒成

立，則實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為（）

A.5B.7C.8D.9

【分析】先利用“1”的代換以及基本不等式求解最值，從而得到用的取值范圍，即可得到

答案.

【解答】解：因?yàn)閤+4y—刊=0,即±+'=1,

xy

因?yàn)閤>0,y>0,

則X+y=（%+）,）（'+1）="+土+5..2,但三+5=9,

xyxy'%y

當(dāng)且僅當(dāng)”=二，即x=2y時(shí)取等號(hào)，

所以x+y的最小值為9,

因?yàn)閤+y..〃7恒成立，

故，%,9,則實(shí)數(shù)，”的最大值為9.故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式恒成立問題，基本不等式求解最值的應(yīng)用，要掌握不等式恒成立

問題的一般求解方法：參變量分離法、數(shù)形結(jié)合法、最值法等，屬于中檔題.

【例題3】（多選）（2021?南平模擬）已知a>0,b>0,a2+b2-ab=2,則下列不等

式恒成立的是（）

A.—+—,,5/2B.ab?2C.a+b?2>/2D.a2+Z?2..4

ab

【分析】由已知基本基本不等式及相應(yīng)結(jié)論，分別判斷各選項(xiàng)即可.

【解答】解；對(duì)于A,B,由a>0,h>0,利用基本不等式/+尻.2。。，

可得用+2..2必，解得ab?2,

X-+-...-nL（當(dāng)且僅當(dāng)夜時(shí)，等號(hào)成立），而曲,2,

aby/ab

所以」=..血，所以工+L.近，故3正確，A錯(cuò)誤：

yjabab

對(duì)于C,由a>0,b>0,利用基本不等式如也匚，

4

變形/+爐一況,=2,得（a+4—2=3岫，3（”份二（當(dāng)且僅當(dāng)a=6=0時(shí)，等號(hào)成立），

4

解得3+力2,,8,即0+瓦2夜,故C正確;

2?2

對(duì)于。，由a>0,b>0,利用基本不等式，族，色之，

2

化簡/+戶一必=2,得/+〃_2=地，"（當(dāng)且僅當(dāng)“=》=及時(shí)，等號(hào)成立），

2

解得/+也,4,故。錯(cuò)誤；

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式，考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題.

舉一反三

【變式1](2021春?鄭州期末)已知若一+-恒成立，則機(jī)的

a-bb—ca—c

最大值為()

A.3B.4C.8D.9

|4,72

[分析]由a>b>c,知a-b>0,b-c>0,a-c>0,由------+--------------，得

a-bb-ca-c

1A1A

機(jī),(a-c)(——+——)，求出(a-c)(——+——)的最小值，可解決此題.

a-bb-ca-bb-c

【解答】解：由知a-b>0,b-c>0,<7-c>0,

小14m413,xz14、

LU-----1-----…；----，行nt),(a—c)(------1-----),

a-bb-ca-ca-bb-c

1414

又?.,a-c=a-b+b—c,(a-c)(----4-----)=[(a-h)+(/?-c)](----+----)]

a-bb-ca-bb-c

=5+%二包+"￡..5+2、四亙?nèi)?9,當(dāng)且僅當(dāng)曳蟲包=三，

b-ca-bVb-ca-bb-ca-b

i4

即6-c=2(。一加時(shí)，(a-c)(——+——)取得最小值9,

a-bb-c

肛,9，，機(jī)的最大值為9.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用基本不等式求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.

知識(shí)點(diǎn)精析

技巧一：湊項(xiàng)

例1：已知x<2,求函數(shù)Y=4X-2+---的最大值。

4,4x-5

解：因4x-5<0,所以首先要?調(diào)整不號(hào)，又(4x-2).」一不是常數(shù)，所以對(duì)4x-2要進(jìn)行拆、濠

4x-5

VX<7，.-.5-4x>0，V=4X-2+---=-；5-4x+—-—：+34-2+3=1

4，4x-5I5-4xJ

當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=[,即x=l時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x=l時(shí)，=1o

【點(diǎn)評(píng)】本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值.

技巧二：湊系數(shù)

例2：當(dāng)0<x<4時(shí)，求y=x(8-2x)的最大值.

【解析】由0<x<4知，8-2x>0,利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)

式子積的形式，但其和不是定值.注意到2x+(8-2x)=8為定值，故只需將y=x(8-2x)湊上一

個(gè)系數(shù)即可.

尸x(8-2x)=-1-[2%?(8-2x)(,2x+：-2x)2=8

當(dāng)2x=8-2x,即x=2時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x=2時(shí)，y=x(8-x2)的最大值為8.

【評(píng)注】本題無法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求

最大值.

技巧三：分離

例3：求-2+72+1°?>-1)的值域.

x+1

解：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有(x+1)的項(xiàng)，再將其分離.

X2+7X+10(x+1產(chǎn)+5(x+1)+4—(x+i)+_4_+5,

x+1x+1x+1

當(dāng)x>-1,即x+1>0時(shí)，J(x+1)x—+5=9(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取"=”號(hào))

知識(shí)點(diǎn)精析

技巧四：換元

對(duì)于上面例3,可先換元，令f=x+l,化簡原式在分離求最值.

技巧五：結(jié)合函數(shù)f(x)=萬+且的單調(diào)性.

X

例4:求函數(shù))，=答二的值域。

d+4

解：令々+4=32),則),=±￡=正77+餐==r+422)

"+4Jx2+4t

因，>0/；=1,但，=；解得，=±1不在區(qū)間［2,+8),故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。

因?yàn)?口+1在區(qū)間［L+8)單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間［2,+8)為單調(diào)遞增函數(shù)，故yN：。

所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?g,+oc］。

技巧六：整體代換

1Q.,

例5：已知x>0,y>0,且一+―=1,求x+y的最小值。

xy

錯(cuò)解：vx>0,y>0,且=ix+jFL2故=12。

錯(cuò)因：解法中兩次連用基本不等式，在X+),22歷等號(hào)成立條件是x=y,在<L+2N2區(qū)等號(hào)成立條

xy\xy

1o

件是±=乙即N=9x,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用基本不等式處理問題時(shí)，列出等

xy

號(hào)成立條件是解題的必要步驟，而且是檢蛉轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。

Io(19'v9Y

正解：vx>0,j>0,—*—=BAX+y=(x+y)----'=----^7026+10=16

xy\xyjxy

VQy19

當(dāng)且僅當(dāng)匕=*時(shí)，上式等號(hào)成立，又一+—=1,可得x=4j=12時(shí)，(x+>-r=16。

xyxyac

【點(diǎn)評(píng)】多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò).

技巧七：取平方

,（遹：的題精講

71

【例題1】（2021?重慶開學(xué)）已知。>0,〃>0,且。+匕=2,則4+L的最小值是（

a2b

）

99

A.1B.2C.-D.-

42

【分析】由已知結(jié)合基本不等式即可求解最值.

【解答】解：b>09且。+。=2,

211，、,21、1小1給a、1/5i9

?--+—=-z(^+&)(-+—)=-(2+-+—+—)--57(-+2)=7

a2b2a2b22a2b224

當(dāng)且僅當(dāng)竺=幺，即a=3,〃=2時(shí)取等號(hào),

a2b33

故2+_L的最小值是2,

a2b4

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4

【例題2】（2021秋?漢中月考）若〃>0,匕>0且2々+人=4,則3的最小值為（）

ab

A.2B.-C.4D.-

24

【分析】由基本不等式可得4=2a+4.2同，從而求最小值.

【解答】解：?.?4=2a+b..2缶K,

（當(dāng)且僅當(dāng)為=》，々=1,力=2時(shí)，等號(hào)成立）

0<ab,,2，

故土.2,

ab

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的應(yīng)用及不等式的轉(zhuǎn)化，是基礎(chǔ)題.

【例題3]（2021?青羊區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知x>0,y>0,K2x+8y=xy,則x+y的最

小值是（）

A.10B.15C.18D.23

【分析】由題意化簡可得曰+工=1,再化簡x+y=(x+y)(§+2)=呢+立+10,從而利用

xyxyxy

基本不等式求最值.

2Q

【解答】解：，y>0,2x+Sy=xy,/.一+—=1,

y%

x+y=(x4-y)(—i—)―—―H-----F10..2jl6+10=18，

xyxy

(當(dāng)且僅當(dāng)肛=在，即x=12,y=6時(shí)，等號(hào)成立)

xy

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，同時(shí)考查了整體思想的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

【例題4】(2021秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考)若x>0,y>0且x+y=孫，則??二匚+工L的

x-1y-\

最小值為()

A.3B.-+y/6C.3+V6D.3+2應(yīng)

2

【分析】先把x+y=個(gè)轉(zhuǎn)化為,+工=1,再將上+工2=2x+y,根據(jù)基本不等式即可

xyx-1y-l

求出.

【解答】解：,/x>0,y>0S.x+y=xy>

11?

二.—I—=],

%y

上+立涉士2孫-2y=_2x+y..=2x+y=(2x+y)d+A=3+生+2..3+2廬上=3+2及

x-\y-\(x-l)(y-1)xy-x-y+\xyyx\)x

當(dāng)且僅當(dāng)在=2,即x=l+』2,y=l+點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，

yx2

故上+工匕的最小值為3+2&,

x-\y-l

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式求最值的問題，考查了學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

【例題5】(2021春?永豐縣校級(jí)期末)函數(shù)/(%)=土上四(x>l)的最小值為()

x-\

A.2GB.3+273C.2+2V2D.5

【分析】先利用換元法變形，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.

【解答】解：設(shè)x-l=r,貝ijx=，+l,(r>0),

.rXx2+X+1(t4-1)24-(Z4-1)+13./□IQ

..j(x)=------------=------------------------=f+—+3..2y3+3,

x-1tt

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),

二函數(shù)f（x）的最小值為26+3,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

【例題6]（2021春?沈陽期末）若正數(shù)x,y滿足x+3y=5A>r當(dāng)3x+4y取得最小值

時(shí)，x+4y的值為（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】根據(jù)條件得至$+3】，結(jié)合基本不等式，利用1的代換求出小今取得最小

值，再得到x+4y的值.

13

【解答】解：,.?x+3y=5孫，x>0,y>0,/.—+—=1,

5y5x

13

3x+4y=（3九+4^）（—十片）

jyjx

3x9412y130l3x12y「

5y555x5\5y5x

當(dāng)且僅當(dāng)包=包，即x=2y=l時(shí)取等號(hào)，

5y5x

，x+4y的值為3.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用基本不等式求最值，利用1的代換是解決本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.

【例題7】（多選）（2021?三元區(qū)校級(jí)模擬）已知x,y>0,x+2y+xy-6=0（）

A.孫的最大值為2B.x+2y的最小值為4

C.x+y的最小值為3D.x+y的最小值為40-3

【分析】根據(jù)x+2y+初一6=0可得》+2丫=6-町\.275^（當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)等號(hào)成立）,

令向=f（r>0）,則『+2"-6,,0,求出，的取值范圍即可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)基本不等式

可得x+2y..2,2xy,則”+燧町，,所以+"）...孫，又孫=6-（x+2y）,

28

所以.（二2,）：6-Q+2>）,即（x+2y）2+8（x+2），）-48..0,求出x+2y的取值范圍即可判

8

斷3選項(xiàng)；x+y=m,則m>0，所以y=m-x,故x+2y+xy-6=Q可化為

x+2（m-x）+x（<m-x）-6=09整理后求出m的取值范圍即可判斷C、O選項(xiàng).

【解答】解：由x+2y+q-6=0,得x+2y=6-0.2"短（當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)等號(hào)成立），

令而=?，>0),則『+2萬—6,,0,解得0<4,0.

所以7^,0，即初,2.所以冷的最大值為2,A正確.

由基本不等式得x+2y..2^^,則大+2)..12封，所以(1+2))孫,又x+2y+孫一6=0,

28

得x+2y=6-封，即xy=6-(x+2y),

所以-----..6—(x+2y),所以(無+2yy+8(x+2y)-48..0,解得x+2y..4或x+2%—12

8

(舍去)，當(dāng)且僅當(dāng)x=2、y=l時(shí)等號(hào)成立，

則x+2y的最小值為4,B正確.

令x+y=m,則m>0,所以y=m—x,故x+2y+xy-6=0可化為

x+2(/n-x)+x(rn-x)-6=0,整理得4之+(]-加)1+6-2，〃=0,

由△..()，得(1一根)2—4x(6-2a)..O,即m2+66一23..0,解得九.4夜一3或〃?,，一4及一3(舍

去)，故C錯(cuò)誤，。正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式的運(yùn)用，考查推理和運(yùn)算求解能力，涉及邏輯推理、數(shù)學(xué)

運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

71

【例題8】(2021?北侖區(qū)校級(jí)開學(xué))若x>0,y>0,且±+'=1,當(dāng)且僅當(dāng)」=4，

xy

y=時(shí)，x+2y取得最小值.

【分析】利用“乘1法”，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)可求得答案.

【解答】解：?.?x>0,y>0,且±+!=1,

“y

/.X+2y=(x+2y)(-+—)=4+—+—..4+2/-?—=8,

xyxy\xy

當(dāng)且僅當(dāng)"=/時(shí)x+2y取得最小值，

%y

,21

由一+—=1,2ny=x,

xy

得x=4,y=2,

故答案為：4：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

17

【例題9】(2021?成都開學(xué))已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=2,則上+4的最小值為

3+2夜

~~2—1

【分析】根據(jù)題意構(gòu)造，再使用均值不等式，可以得出結(jié)果.

【解答】解