第02講空間向量基本定理（秋季講義）（人教A版2019選擇性）（原卷版）

第02講空間向量基本定理【人教A版2019】模塊一模塊一空間向量基本定理1．空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我們把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量．2．用基底表示向量的步驟:(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底．(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡，最后求出結(jié)果．(3)下結(jié)論：利用空間的一個(gè)基底{，，}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有，，，不能含有其他形式的向量．3．空間向量的正交分解(1)單位正交基底如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)向量的正交分解由空間向量基本定理可知，對(duì)空間任一向量a，均可以分解為三個(gè)向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像這樣把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．【題型1用空間基底表示向量】【例1.1】（2324高一下·安徽·階段練習(xí)）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC,△ABC重心為點(diǎn)G，棱B1C1A．?13aC．16a?【例1.2】（2324高二上·安徽宣城·期末）在三棱柱ABC?A1B1C1中，E,F分別是BC,CCA．13AB?C．?23AB【變式1.1】（2324高二上·陜西寶雞·期末）如圖，在四面體OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)M、N分別在線段OA、BC上，且2OM=MA，A．?13aC．13a?【變式1.2】（2324高三上·山東臨沂·期末）正方體ABCD?A1B1C1D1中，M是棱CC1的中點(diǎn)．記AB1=a，A．14a+C．14a+【題型2由空間向量基本定理求參數(shù)】【例2.1】（2324高二上·河南南陽·期末）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，A1A．1 B．43 C．32 【例2.2】（2324高二下·甘肅蘭州·期末）已知矩形ABCD,P為平面ABCD外一點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)M,N滿足PM=12PC，PN=23A．?1 B．1 C．?12 【變式2.1】（2324高二上·廣東江門·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐O?ABC中，點(diǎn)G為底面△ABC的重心，點(diǎn)M是線段OG上靠近點(diǎn)G的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)M的平面分別交棱OA，OB，OC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若OD=kOA，OE=mOB，OF=nA．133 B．23 C．32【變式2.2】（2324高二下·江蘇南通·期末）已知P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，M是BC的中點(diǎn)，若AM=xPA+yA．x+y+z=0 B．x+y+z=1C．x?y?z=1 D．x?y?z=?1【題型3正交分解】【例3.1】（2324高二上·河北·期中）已知BD⊥平面ABC，AB⊥BC，BD=1，AB=2，BC=3，則空間的一個(gè)單位正交基底可以為（

）A．13BC,C．BC,BD,【例3.2】（2324高二上·河南洛陽·階段練習(xí)）已知a,b,c是空間的一個(gè)單位正交基底，向量p=a+2b+3A．32,?12,3 B．?3【變式3.1】（2324高二上·江西撫州·期末）已知a,b,c是空間的一個(gè)基底，a+b,a?b,c是空間的另一個(gè)基底，一向量A．4,0,3 B．3,1,3 C．1,2,3 D．2,1,3【變式3.2】（2324高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知a,b,c是空間的一組單位正交基底，若向量p在基底a,b,c下用有序?qū)崝?shù)組表示為A．34623,C．31414,模塊二模塊二用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題1．證明平行、共線、共面問題(1)對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.(2)如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.2．求夾角、證明垂直問題(1)θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.3．求距離(長度)問題eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．4．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:(1)平行和點(diǎn)共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點(diǎn)線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題；(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；(3)幾何中求距離(長度)都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，用向量的數(shù)量積可以求得．【注】用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量.(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.【題型4證明平行、共線、共面問題】【例4.1】（2324高二上·上?！ふn后作業(yè)）四棱柱ABCD?A′B′C′D′的六個(gè)面都是平行四邊形，點(diǎn)M在對(duì)角線A′(1)設(shè)向量AB=a，AD=b，AA′=c，用a、(2)求證：M、N、D′【例4.2】（2324高二上·福建廈門·階段練習(xí)）已知a,b,c是空間的一個(gè)基底，且OA=3(1)求證：A，B，C，D四點(diǎn)共面；(2)OA,OB,【變式4.1】（2324高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）在正四棱錐P?ABCD中，點(diǎn)M,N,S分別是棱PA,PB,PC上的點(diǎn)，且PM=xPA,(1)若x=1,y=12，且PD//平面MNS(2)若x=23,y=12，且點(diǎn)D∈【變式4.2】（2324高二·全國·課后作業(yè)）已知e1,e2,e3為空間的一個(gè)基底，且OP(1)判斷P,A,B,C四點(diǎn)是否共面；(2)能否以O(shè)A,OB,【題型5幾何中的求夾角、證明垂直問題】【例5.1】（2324高二下·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖所示，平行六面體ABCD?A1B(1)用向量AB,AD,AA(2)求cosB【例5.2】（2324高二·全國·隨堂練習(xí)）已知在空間四邊形ABCD中，DA⊥BC，DB⊥AC，求證：DC⊥AB．【變式5.1】（2324高二上·山東聊城·階段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正四面體OABC中，M，N分別是邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在MN上，且MG=2GN，設(shè)OA=a，OB=(1)試用向量a，b，c表示向量OG；(2)求cos<【變式5.2】（2324高二下·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖，在底面ABCD為菱形的平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，

(1)求證：D，(2)當(dāng)AA1AB(3)若AB=AA1=1，且A【題型6幾何中的求距離(長度)問題】【例6.1】（2324高二上·山東·階段練習(xí)）如圖，空間四邊形OABC中，OA=2，OB=3，OC=4，且OA,OB,OC任意兩個(gè)之間的夾角均為60°，OM=2MA，

A．693 B．753 C．2【例6.2】（2324高二上·吉林·階段練習(xí)）在三棱臺(tái)ABC?A1B1C1中，AA1=AB=AC=2A1B1=2，cos∠BAA1=cosA．1794 B．1784 C．1798【變式6.1】（2324高二上·上?！て谀┤鐖D所示，在四棱錐M?ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱AM的長為2，且AM和AB,AD的夾角都是60°，N是CM的中點(diǎn)，設(shè)a=AB，b=AD，c=AM，試以a，b，【變式6.2】（2324高二上·浙江·期中）如圖，空間四邊形OABC中，OA=OB=OC=2，∠AOC=∠BOC=π2，∠AOB=π3，點(diǎn)M,N分別在OA,BC上，且

(1)以O(shè)A,OB,(2)求MN的長度.【題型7空間向量基本定理與其他知識(shí)綜合】【例7.1】（2324高二上·江西·階段練習(xí)）中國古代數(shù)學(xué)瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“芻童”的幾何體，該幾何體是上下兩個(gè)底面平行，且均為矩形的六面體.現(xiàn)有一“芻童”ABCD?A1B1C1D1，如圖所示.AB=AA1=4，A1B1=AD=2，AA．82+5 B．18 C．8【例7.2】（2324高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1的體積為V，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在平面ACCA．V28 B．V21 C．3V28【變式7.1】（2324高二上·江西新余·期末）已知點(diǎn)D在△ABC確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，正實(shí)數(shù)x，y滿足OD=3OC?xOA?yA．1+2 B．32+2 C．【變式7.2】（2425高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知空間向量OA、OB、OC都是單位向量，且OA⊥OB，OA⊥OC，OB與OC的夾角為60°，若P為空間任意一點(diǎn)，且OP=1一、單選題1．（2324高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知a,b,A．a(chǎn)+b,C．2a+b2．（2324高一下·重慶·期末）如圖，在三棱錐P?ABC中，PM=2MC,N為BC的中點(diǎn)，設(shè)AB=a,ACA．13a+C．12a?3．（2324高二下·遼寧·階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中，不正確的命題是（

）A．若兩條不同直線l，m的方向向量為v1，v2B．若OA,OB,OC是空間向量的一組基底，且OD=13OA+C．若a,b,D．若空間向量a，b，c共面，則存在不全為0的實(shí)數(shù)x，y，z使x4．（2324高二下·江蘇常州·期中）如圖，在平行六面體ABCD?A'B'C'D'中，A．98+562 B．C．89+562 D．5．（2324高二上·貴州黔東南·期末）如圖，在三棱錐P?ABC中，點(diǎn)D滿足PB=4PD,CD=xA．12 B．32 C．2 6．（2324高二下·江蘇宿遷·期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，側(cè)面A1ADD1是正方形，且∠A1AB=120°，∠DAB=60°A．3714 B．64 C．77．（2425高二上·上?！ふn后作業(yè)）如圖，在四面體OABC中，BM=12BC，MN=12NO，AP=34A．23 B．32 C．438．（2324高二上·湖北·開學(xué)考試）在四面體ABCD中（如圖），平面ABD⊥平面ACD，△ABD是等邊三角形，AD=CD，AD⊥CD，M為AB的中點(diǎn)，N在側(cè)面BCD上（包含邊界），若MN=xAB+yAC+z

A．若x=12，則MN∥平面ACD B．若z=0C．當(dāng)MN最小時(shí)，x=14 D．當(dāng)MN二、多選題9．（2324高二下·甘肅蘭州·期中）已知空間向量a，b，c不共面，則以下每組向量能做基底的是（

）A．a(chǎn)，b?a，a+b B．a(chǎn)C．a(chǎn)，b?c，a+c D．c10．（2024·山東淄博·二模）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是π3，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若AB=a，ADA．CM=?12C．BD1=11．（2324高二上·安徽滁州·期中）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=2，∠DAB=∠A．若點(diǎn)Q在平面A1B1C1D1C．當(dāng)p=12時(shí)，三棱錐Q?ABD的體積為928 D．當(dāng)m+n=1三、填空題12．（2425高二上·上海·單元測試）如圖，在三棱錐S?ABC中，點(diǎn)E、F分別是SA、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在EF上，且滿足EGGF=12，若SA=a，SB

13．（2024高二·全國·專題練習(xí)）平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，∠BAD=∠BA14．（2324高一下·吉林通化·期末）如圖，在正四面體ABCD中，AB=3,E,F分別在棱AD,BC上，且BF=2CF,AD=3AE，若EF=xAB+yAC+zAD，則x+y+z=

四、解答題15．（2324高二下·甘肅蘭州·期中）如圖所示，平行六面體ABCD?A1B(1)用向量AB,AD,AA(2)求直線BD1與直線16．（2324高二下·甘肅蘭州·期中）已知正四面體OABC的棱長為2，點(diǎn)G是△OBC的重心，點(diǎn)M是線段AG的中點(diǎn)，設(shè)OA=a，OB=(1)用a，b，c表示OM，并求出OM；(2)求證：OM⊥BC.17．（2324高二下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，三棱錐的棱長都相等，記OA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)E(1)若D是棱AB的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A），