專題110線段垂直平分線（分層練習(xí)）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（北師大版）

專題1.10線段垂直平分線（分層練習(xí)）單選題1．（寧夏回族自治區(qū)吳忠市20232024學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，，的垂直平分線交于，連接，若，則（

）A． B． C． D．2．（2023上·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，，則正確的結(jié)論是（

）A．垂直平分 B．垂直平分C．與互相垂直平分 D．以上說法都正確3．（2023上·廣西貴港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點，，作直線，交于點，交于點，連接，若，，，則的周長為（

）A．28 B．22 C．19 D．154．（2023上·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）河南周口市城鄉(xiāng)一體化示范區(qū)不斷完善基礎(chǔ)服務(wù)設(shè)施，著力打造“分鐘便民服務(wù)圈”現(xiàn)在有三個小區(qū)位置呈三角形，若在該三角形區(qū)域內(nèi)建立一個便民服務(wù)中心，使其到三個小區(qū)的距離相等，則應(yīng)建在（

）A．三邊垂直平分線的交點 B．三條角平分線的交點C．三條中線的交點 D．三條高所在直線的交點5．（2023上·全國·八年級期末）如圖，在中，垂直平分，分別交、于D、E，連接，平分，交于F，若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．6．（2023上·遼寧盤錦·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，給出下面結(jié)論：①；②；③平分；④，其中正確的結(jié)論有（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④7．（2024上·吉林長春·九年級長春市實驗中學(xué)校考期末）如圖，在中，，以點為圓心，長為半徑作弧交于點，分別以點和點為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點，作直線交于點，若，則的大小是（

）A．10 B．15 C．20 D．258．（2023上·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，E為的中點，連接，，延長交的延長線于點F．若，則的長為（

）

A．0 B．6 C．7 D．99．（2024上·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）如圖，在中，，的垂直平分線交于點E，交于點D，且cm，則的長是（

）A．12cm B．6cm C．4cm D．10．（2023上·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，，，點B是線段上一動點，以為底邊作等腰三角形，則的最小值是（

）A．3 B． C． D．211．（2022上·河南南陽·八年級期末）定義：三角形三邊的垂直平分線相交于一點，這個點叫做三角形的外心．如圖，直線，，分別是邊AB，AC的垂直平分線，直線和相交于點O，點O是△ABC的外心，交BC于點M，交BC于點N，分別連結(jié)AM，AN，OA，OB，OC．若OA=6cm，△OBC的周長為22cm，則△AMN的周長等于（）cmA．8 B．10 C．12 D．1412．（2023·遼寧·模擬預(yù)測）如圖，線段，點P在線段上，且，分別以點A和點B為圓心，的長為半徑作孤，兩弧相交于點C和點D，連接，，，，則點C到邊的距離是（

）

A． B． C．4 D．3填空題13．（2023上·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，垂直平分．若，，則的長為．14．（2023上·北京海淀·八年級?？计谥校┤鐖D，，，這個圖形叫做“箏形”，數(shù)學(xué)興趣小組幾名同學(xué)探究出關(guān)于它的如下結(jié)論：

①；②；③；④.其中正確結(jié)論的序號是.15．（2021下·山東青島·七年級青島大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）如圖，在中，，，分別以點、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點、，作直線，交邊于點，連接，則的周長為．16．（2018上·廣東潮州·八年級統(tǒng)考期中）在△ABC中，∠C=90°，AB的中垂線交直線BC于D，若∠BAD﹣∠DAC=22.5°，則∠B的度數(shù)是17．（2023上·甘肅慶陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在等腰中，，平分，點C在的垂直平分線上.若的周長為，則的長為.18．（2021下·廣東深圳·七年級?？计谥校┤鐖D所示，點、點分別在等邊的內(nèi)部與外部，，，，則．

19．（2023上·江蘇·八年級姜堰區(qū)實驗初中?？贾軠y）如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點B和C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N；②作直線交于點D，連接．若，，則的長為．20．（2023上·河南信陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，的垂直平分線交于點D，的垂直平分線交于點E，若，則的周長為cm．21．（2024上·上海黃浦·八年級統(tǒng)考期末）已知等腰中，邊的垂直平分線交直線于點，若，則的度數(shù)為．22．（2023上·全國·八年級期末）如圖，是等邊邊上的中線，的垂直平分線交于點E，交于點F，若，則的長為．23．（2023上·江蘇南通·八年級南通市通州區(qū)育才中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，四邊形中，，．若點關(guān)于的對稱點恰好落在上（不與點重合），則度．

24．（2023上·四川成都·八年級成都市樹德實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，以C為圓心，為半徑畫弧，交于點D，再分別以為圓心，以大于為半徑畫弧，兩弧相交于點M，作直線交于點E．若,則的面積是．解答題25．（2023上·甘肅慶陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知是線段的垂直平分線，求證：．26．（2023下·江西宜春·七年級江西省豐城中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，AD與BC相交于點O，．求證：垂直平分．27．（2023上·寧夏石嘴山·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，是邊的垂直平分線，交于，交于，連接．（1）若，求的度數(shù)．（2）若，且的周長為，的周長為，求的長．28．（2023上·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知四邊形中，為邊上一點，連接，，．（1）用直尺和圓規(guī)完成以下基本作圖：過點作的垂線交于（保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，若，，為的角平分線．求證：．完成下列填空．證明：∵，，①____________，，為的角平分線，，②____________，，，即：③____________，∴④____________，．29．（2023上·福建廈門·八年級廈門市第十中學(xué)校考期中）直線垂直平分線段，點A是直線上的動點，連接，，以為邊作等邊三角形，使其與點在直線的兩側(cè)，與直線相交于點（點與點A不重合），連接．（1）如圖，當(dāng)時，①求證：；②在點A運(yùn)動的過程中，的度數(shù)是否會發(fā)生改變？如果會請說明理由，如果不會請求出的度數(shù)；在點A運(yùn)動的過程中，試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．30．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）已知：是的高，且．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，點為邊上一點，線段的垂直平分線交線段于點，點在線段上，連接，且，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，作交線段于點，于點，連接，若的面積為6，且，求線段的長．參考答案：1．B【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，由直角三角形的性質(zhì)可得，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解：∵，，∴，∵為的垂直平分線，∴，∴，∴，故選：．2．A【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定，熟知到線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上是解題的關(guān)鍵．解：∵，，，∴垂直平分，根據(jù)現(xiàn)有條件，無法證明垂直平分，故選A．3．B【分析】本題考查作圖基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．由尺規(guī)作圖可知，直線為線段的垂直平分線，則可得，進(jìn)而可得的周長為，即可得出答案．解：由尺規(guī)作圖可知，直線為線段的垂直平分線，，的周長為．故選：B．4．A【分析】本題考查了線段垂直平分線的實際應(yīng)用．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可確定選項，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．解：∵線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，∴便民服務(wù)中心應(yīng)建在三條邊的垂直平分線的交點處．故選：．5．C【分析】此題考查了線段垂直平分的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)等知識點，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，則，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出，接著利用三角形外角性質(zhì)計算出，所以，然后利用三角形外角性質(zhì)計算的度數(shù)．解：∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，故選：．6．D【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定定理與性質(zhì)定理，等腰三角形的性質(zhì)；由已知及線段垂直平分線的判定定理與性質(zhì)定理，可判定①②；由等腰三角形的性質(zhì)可判定③④，最后可確定答案．解：∵，∴點A、P在線段的垂直平分線上，∴是線段的垂直平分線，∴，，故①②正確；∵，，∴平分，故③正確；∵，∴，故④正確；∴四個全部正確，故選：D．7．C【分析】本題主要考查了尺規(guī)作線段垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，先根據(jù)尺規(guī)作圖可知直線是線段的垂直平分線，即，再根據(jù)“等邊對等角”得，可求，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出答案．解：根據(jù)題意可知直線是線段的垂直平分線，∴．∵，∴，∴．在中，．故選：C．8．C【分析】由“”可證，可得，，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得．解：∵E為的中點，∴，∵，∴，在與中，，∴∴，∴，∵，∴，故選：C．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，證明是本題的關(guān)鍵．9．B【分析】本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)．利用線段垂直平分線的性質(zhì)得，利用等腰三角形的性質(zhì)得到，再利用外角的性質(zhì)得，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可得的值．掌握中垂線上的點到線段兩端點的距離相等，是解題的關(guān)鍵．解：∵邊的垂直平分線交于E，交于點D，∴（線段垂直平分線的性質(zhì)），∴（等腰三角形的性質(zhì)），∴（外角的性質(zhì)），∵，∴．故選：B．10．C【分析】本題考查線段垂直平分線的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理，連接，可證明，，當(dāng)時，最小，利用等腰三角形的判定和勾股定理求解即可．得到點P的運(yùn)動路線是解答的關(guān)鍵．解：連接，由題意，，，∴垂直平分，即，∵，∴，∴點P在與成的射線上，故當(dāng)時，最小，如圖，則，∴，由勾股定理得，∴，則，即的最小值是，故選：C．11．B【分析】由線段AB的的垂直平分線的性質(zhì)得到：AM=MB，OA=OB．同理AN=CN，OA=OC．所以O(shè)B=OC=OA=6cm，所以將△AMN的周長轉(zhuǎn)化為求得線段BC的長度的問題，根據(jù)△OBC的周長的計算方法求得BC的長度即可．解：∵直線l1是AB的的垂直平分線，∴AM=MB，OA=OB．∵直線l2是AC的的垂直平分線，∴AN=CN，OA=OC．∴OB=OC=OA=6cm，△AMN的周長=AM+MN+AN=BC，∵△OBC的周長為22cm，∴BC=22（OB+OC）=2212=10（cm），∴△AMN的周長為10cm．故選：B【點撥】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．注意掌握數(shù)形結(jié)合和分類討論數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．12．A【分析】連接交于E，求出，可得的長，然后根據(jù)面積的不同求法列式求解即可．解：連接交于E，

由作圖可得垂直平分，，∴，∴，∵，，∴，設(shè)點C到邊的距離為h，∴，∴，故選：A．【點撥】本題考查了作線段垂直平分線，勾股定理，熟練掌握等面積法的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．13．6【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線短兩個端點的距離相等，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解：∵垂直平分，∴，又∵，∴，故答案為：6．14．①②③【分析】先通過“”判定兩三角形全等，再利用線段垂直平分線的判定和性質(zhì)即可得到正確結(jié)論．解：在和中，，∴，故①正確；∵，∴垂直平分，∴，，故②③正確；由已知和圖形無法判斷，故④錯誤；故答案為：①②③．【點撥】該題考查了全等三角形的判定和線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念，該題較基礎(chǔ)，考查了學(xué)生對教材基礎(chǔ)知識的理解與應(yīng)用，以及學(xué)生的推理分析的能力．15．18【分析】由題意可得MN為AB的垂直平分線，所以AD=BD，進(jìn)一步可以求出△ACD的周長.解：∵在△ABC中，分別以A、B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于M，N，作直線MN，交BC邊于D，連接AD；∴MN為AB的垂直平分線，∴AD=BD，∴△ACD的周長為：AD+DC+AC=BC+AC=11+7=18.故答案為：18.【點撥】本題主要考查的是垂直平分線的運(yùn)用，掌握垂直平分線的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.16．37.5°或67.5°．【分析】求出AD=BD,推出∠B=∠DAB，∠B+∠BAC=90°，分為兩種情況并畫出圖形后，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可.解：∵DE是AB的垂直平分線,∴AD=BD,∴∠B=∠DAB,∵∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°,分為兩種情況:①如圖1,∵∠B+∠BAC=90,∠BAD∠DAC=22.5°，∴∠B=∠DAB=∠DAC+22.5°∴∠DAC+22.5°+∠DAC+22.5°+∠DAC=90°,∠DAC=15°∴∠B=15°+22.5°=37.5°②如圖2，∵∠B+∠BAC=90°,∠BAD∠DAC=22.5°∴∠B=∠DAB=∠DAC+22.5°，∴∠DAC+22.5°+∠DAC+22.5°∠DAC=90°，∴∠DAC=45°,∴∠B=45°+22.5°=67.5°【點撥】本題考查中垂線性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，中等難度，分類討論是解題關(guān)鍵.17．8【分析】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形的周長得出，求出即可．解：∵，平分，∴，，在AE的垂直平分線上，，的周長是，，，．故答案為：8．18．/度【分析】作的垂直平分線，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．解：作的垂直平分線，

，為等腰三角形，為等邊三角形，的垂直平分線必過、兩點，，，，，，．故答案為：．【點撥】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．19．4【分析】本題考查了基本作圖作線段的垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上點到線段兩端點的距離相等．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到，求得的長，進(jìn)而可得到的長．解：由作圖知，是線段的垂直平分線，∴，∵，∴，∴，故答案為：4．20．12【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得邊相等，由結(jié)合三角形的周長公式即可得求得．解題的關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)．解：∵邊的垂直平分線交邊于點D，邊的垂直平分線交邊于點E，∴，，∵，∴的周長＝12，故答案為：12．21．或或【分析】本題主要考查了等邊對等角，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，分當(dāng)是銳角三角形時，當(dāng)是鈍角三角形時，三種情況畫出對應(yīng)的圖形，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)等邊對等角得到，再根據(jù)角度之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．解：如圖所示，當(dāng)是銳角三角形時，且點D在線段上，∵點D在線段的垂直平分線上，∴，∴，∵，∴；如圖所示，當(dāng)是銳角三角形時，且點D在線段的延長線上，∵點D在線段的垂直平分線上，∴，∴，∵，∴；如圖所示，當(dāng)是鈍角三角形時，點D在線段的延長線上，∵點D在線段的垂直平分線上，∴，∴，∴；綜上所述，的度數(shù)為或或．故答案為；或或．22．3【分析】根據(jù)等邊三角形的三線合一得出，，連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)等邊對等角得出，即可得出，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)，得出，進(jìn)而即可求解．解：∵是等邊邊上的中線，∴是上的高，是的平分線，，∴，，如圖，連接，∵是的垂直平分線，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，故答案為：3．【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．35【分析】連接，，過作于，依據(jù)，，即可得出，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余，即可得到．解：如圖，連接，，過作于，如圖所示：

點關(guān)于的對稱點恰好落在上，垂直平分，，，，，又，，，又，，故答案為：35．【點撥】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三線合一，直角三角形兩銳角互余，解決問題的關(guān)鍵是作出正確的輔助線．24．4【分析】利用基本作圖得到是的垂直平分線，得到，然后利用勾股定理求得，即可求出的面積．本題考查了勾股定理，作圖?基本作圖，熟練掌握垂直平分線的作法是解題關(guān)鍵．解：由作法得是的垂直平分線，∴，∵，，∴，在中，,∴的面積是,故答案為：4．25．見分析【分析】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，先根據(jù)是線段的垂直平分線，推出，，再證即可．解：證明：是線段的垂直平分線，，，在和中，，，．26．見分析【分析】先證明，由三角形全等的性質(zhì)得，再根據(jù)，可得結(jié)論．解：證明：在和中，，，，點在線段的垂直平分線上．又，點在線段的垂直平分線上兩點確定一條直線，垂直平分．【點撥】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．27．（1）15°；（2）【分析】本題考查中垂線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出的度數(shù)，中垂線的性質(zhì)，得到，得到，再利用，即可得解；（2）根據(jù)中垂線的性質(zhì)，得到的周長為，根據(jù)的周長為，求出的長，即可得到的長．掌握中垂線上的點到線段兩端點的距離相等，是解題的關(guān)鍵．（1）解：∵，∴，∵是邊的垂直平分線，∴，∴，∴；（2）∵，∴的周長為，∵的周長為，∴，∴．28．（1）見分析；（2）①②③④【分析】本題考查了“過直線外一點作已知直線的垂線”及全等三角形判定，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“過直線外一點作已知直線的垂線”的基本做法作圖，注意垂線是一條直線．（2）根據(jù)三角形的全等的判定定理（ASA）即可補(bǔ)充證明過程．解：（1）如圖所示：點E即為所求：作法：以點A為圓心，大于A到的距離長為半徑畫弧，交于M、N兩點，分別以這兩交點