清單08與圓有關(guān)的常見(jiàn)7種輔助線(xiàn)（7種題型解讀（27題））

清單08與圓有關(guān)的常見(jiàn)7種輔助線(xiàn)【題型匯總】【考試題型1】遇到弦時(shí),常添加弦心距解決方法：遇到弦時(shí),常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過(guò)弦的端點(diǎn)的半徑。作用：①利用垂徑定理；②圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系；③利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。1．（2023上·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）把球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF=CD=4cm，則球的半徑長(zhǎng)是（

A．1cm B．2cm C．52【答案】C【分析】本題主要考查了垂徑定理及推論、矩形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，如圖：連接OF，過(guò)O點(diǎn)作MN⊥EF、垂足為M，構(gòu)造出直角三角形，再利用垂徑定理和勾股定理求解即可．靈活運(yùn)用垂徑定理和勾股定理是解題關(guān)鍵．【詳解】解：如圖：過(guò)O點(diǎn)作MN⊥EF，垂足為M，連接OF，∵四邊形ABCD是矩形，∴EF=CD=MN=4cm設(shè)OF=xcm,則OM=在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF故選C．2．（2023上·安徽蕪湖·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)P，∠APC=30°，點(diǎn)P是OA的中點(diǎn)，且AP=2，則CD=．【答案】2【分析】本題主要考查了圓的垂徑定理，勾股定理和含30°角的直角三角形的性質(zhì)．如圖，作OH⊥CD于H，連接OC，根據(jù)垂徑定理得HC=HD，由題意得OP=2，OA=4，在Rt△OPH中，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中，利用勾股定理計(jì)算得到CH=15【詳解】解：如圖，作OH⊥CD于H，連接OC，∵OH⊥CD，∴HC=HD，則CD=2CH，∵AP=2，點(diǎn)P是OA的中點(diǎn)，∴AP=OP=2，則OA=OB=4，∴AB=8，則OC=4，∵OH⊥CD，∠APC=30°，則∠OPH=30°，∴OH=1在Rt△OHC∵OC=4，OH=1，∴CH=O∴CD=2CH=215故答案為：2153．（2023上·河南許昌·九年級(jí)統(tǒng)考期中）筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，筒車(chē)盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖1．唐代陳廷章在《水輪賦》中寫(xiě)道“水能利物，輪乃曲成”．如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長(zhǎng)為8米，若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，點(diǎn)C到弦AB所在直線(xiàn)的距離是2，則⊙O的半徑長(zhǎng)為米．【答案】5【分析】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．連接OC交AB于點(diǎn)E．利用垂徑定理得AE=4，再利用勾股定理即可求出半徑．【詳解】解：連接OC交AB于點(diǎn)E．設(shè)OA=OC=r，由題意OC⊥AB，∴AE=BE=1∵CE=2，∴OE=r-2，在Rt△AEO中，r∴r=5米，故答案為：5．4．（2023上·浙江紹興·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，一下水管道橫截面為圓形，直徑為26dm，下雨前水面寬為10dm，一場(chǎng)大雨過(guò)后，水面寬為24dm，則水位上升【答案】7或17【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，過(guò)圓心作垂直于弦的線(xiàn)段，構(gòu)造直角三角形，再分水位分別在圓心上方和下方的兩種情況去討論，垂徑定理與勾股定理結(jié)合求解即可．【詳解】解：如圖所示：OE⊥CD，由題意AB=10dm根據(jù)垂徑定理，得，DE=1∵直徑為26dm，半徑OD=OB=13∴在Rt△OED中，O∴OE=5∴在Rt△OFB中，O∴OF=12dm①當(dāng)CD在圓心下方時(shí)，EF=OF-OE=12-5=7dm②當(dāng)CD在圓心上方時(shí)，EF=OF+OE=12+5=17dm故答案為：7或17．【考試題型2】遇到有直徑時(shí),常添加（畫(huà)）直徑所對(duì)的圓周角作用：利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直角三角形。5．（2023上·湖北隨州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，則BD的度數(shù)為°．【答案】40【分析】連接AD，OD，根據(jù)AD是⊙O的直徑，可得∠ADB=90°，再根據(jù)AB=AC，∠C=70°，可得∠B的值，然后求得∠DAB，從而求出∠DOB即可．本題考察圓周角定理，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線(xiàn)，并熟知一條弧所對(duì)圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半．【詳解】解：連接AD，OD，如圖所示：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，∠C=70°，∴∠B=∠C=70°，∴∠DAB=20°，∴∠DOB=40°，∴BD的度數(shù)為40°．故答案為：40．6．（2023上·陜西延安·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)A、B、C、D均在⊙O上，AB為直徑，BC=CD．若∠A=50°，求∠B的度數(shù)．【答案】∠B=65°【分析】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，弦與圓周角的關(guān)系；根據(jù)已知可得∠BAC=12∠BAD=25°，根據(jù)【詳解】解：如圖，連接AC．∵BC=CD，∠BAD=50°，∴∠BAC=1∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠BAC=90°-25°=65°．7．（2023上·北京西城·九年級(jí)北京市第三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)H，∠A=30°，CD=23，求⊙O【答案】2【分析】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握?qǐng)A周角定理和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．連接BC，先根據(jù)垂徑定理可得CH=12CD=3，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AC=23，設(shè)⊙O的半徑的長(zhǎng)為r，則AB=2r【詳解】解：如圖，連接BC，∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，CD=23∴∠AHC=90°,CH=1∵∠A=30°，∴AC=2CH=23設(shè)⊙O的半徑的長(zhǎng)為r，則AB=2r，由圓周角定理得：∠ACB=90°，∴BC=1在Rt△ABC中，AC2解得r=2或r=-2<0（不符合題意，舍去），即⊙O的半徑的長(zhǎng)為2．8．（2023上·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．(1)求證：點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)．(2)記AE的度數(shù)為α，∠C的度數(shù)為β．探究α與β的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)β-【分析】本題考查圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A周角定理，等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形兩銳角互余是正確解答的前提．（1）根據(jù)圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)即可得出BD=CD即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理以及直角三角形兩銳角互余即可得出答案．【詳解】（1）解：證明：如圖，連接AD，∵AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在圓上，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，即ΔABC是等腰三角形，∴BD=CD，∴點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)；（2）解：β-1如圖所示，連接OE，∵AE的度數(shù)為α，∴∠AOE=α，∵OA=OE，∴∠OAE=180°-α∵AB=AC，∴∠CAD=1∵∠CAD+∠C=90°，∴45°-1∴β-1【考試題型3】遇到有切線(xiàn)時(shí)添加過(guò)切點(diǎn)的半徑（連結(jié)圓心和切點(diǎn)）作用：利用切線(xiàn)的性質(zhì)定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。9．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，CD切⊙O于B，若∠C=30°，則∠ABD的度數(shù)是．【答案】60°/60度【分析】此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，連接OB，由切線(xiàn)的性質(zhì)知△OBC是直角三角形，可求出∠COB的度數(shù)，由于∠COB是等腰△AOB的外角，由此可求出∠OBA的度數(shù)，已知∠OBA和∠ABD互余，即可得解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線(xiàn)性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)及其應(yīng)用．【詳解】如圖，連接OB，∵CD與⊙O相切于B，∴∠OBC=90°；在Rt△COB中，∠C=30°∴∠COB=90°-∠C=60°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=1∴∠ABD=90°-∠OBA=60°，故答案為：60°．10．（2023上·內(nèi)蒙古赤峰·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在⊙O中，AB切⊙O于點(diǎn)A，連接OB交⊙O于點(diǎn)C．過(guò)點(diǎn)A作AD∥OB交⊙O于點(diǎn)D，連接CD．若∠B=48°．則∠OCD為（

）A．21° B．24° C．25° D．30°【答案】A【分析】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理．連接OA，如圖，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到∠OAB=90°，則利用互余可計(jì)算出∠AOB=42°，再利用圓周角定理得到∠ADC=21°，然后根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠OCD的度數(shù)．【詳解】解：連接OA，如圖，∵AB切⊙O于點(diǎn)A，∴OA⊥AB，∴∠OAB=90°，∵∠B=48°，∴∠AOB=90°-48°=42°，∴∠ADC=1∵AD∥OB，∴∠OCD=∠ADC=21°．故選：A．11．（2023上·安徽銅陵·九年級(jí)銅陵市第十中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，⊙O與矩形ABCD的邊相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，點(diǎn)P是EFG上一點(diǎn)，則∠P的度數(shù)是（

）A．45° B．60° C．30° D．無(wú)法確定【答案】A【分析】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)以及圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．連接OE，OG．求出∠EOG【詳解】解：如圖，連接OE，OG．∵⊙O與矩形ABCD的邊相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，∴OE⊥AB，OG⊥AD，∠A=90°∴∠A=∴四邊形AEOG是矩形，∴∠EOG=90°∴∠P=12故選：A．12．（2023上·吉林·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，半圓⊙O的圓心在BC上，AC、AB分別與⊙O相切于點(diǎn)C、D，半圓⊙O交BC于另一點(diǎn)E．連接【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查圓的切線(xiàn)的性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，連接OD，證明出∠AOC=∠DEO或∠AOD=∠ODE即可利用同位角相等，兩直線(xiàn)平行，或內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行證明出結(jié)論【詳解】連接OD，∵AC、AB分別為∴AC=AD，在Rt△OAC和RtOA=OAAC=AD∴Rt△OAC∴∠AOC=∠AOD，∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∵∠COD=∠ODE+∠OED，∴∠AOC=∠OED，∴DE【考試題型4】遇到證明某一直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)時(shí)，過(guò)圓心連切點(diǎn)或作垂線(xiàn)13．（2022上·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，P是⊙O的直徑CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，∠P=30°，則當(dāng)∠ACP=（

）時(shí)，直線(xiàn)PA是⊙O的切線(xiàn)．A．20° B．30° C．15° D．25°【答案】B【分析】當(dāng)∠ACP=30°時(shí)，直線(xiàn)PA是⊙O的切線(xiàn)．連接OA．結(jié)合題意可知∠P=∠ACP=30°，從而得出∠PAC=120°．再根據(jù)OA=OC，即得出∠ACP=∠OAC=30°，從而即可求出∠OAP=∠PAC-∠OAC=90°，即證明直線(xiàn)PA是⊙O的切線(xiàn)．【詳解】解：當(dāng)∠ACP=30°時(shí)，直線(xiàn)PA是⊙O的切線(xiàn)．證明：如圖，連接OA．∵∠P=30°，∴∠PAC=120°．∵OA=OC，∴∠ACP=∠OAC=30°，∴∠OAP=∠PAC-∠OAC=90°，即OA⊥PA，∴直線(xiàn)PA是⊙O的切線(xiàn)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)的判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)．連接常用的輔助線(xiàn)是解題關(guān)鍵．14．（2023上·安徽蕪湖·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，AC是⊙O的直徑，PA相切于⊙O，點(diǎn)B是圓上一點(diǎn)，且PA=PB，連接AB，∠BAC=30°．(1)求證：PB是⊙O的切線(xiàn)．(2)若PA=4，求點(diǎn)O到弦AB的距離．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）如圖，連接OB，OP，由題意可證得△AOP≌△BOPSSS，進(jìn)而可得∠OAP=∠OBP=90°，即：OB⊥OP（2）設(shè)AB與OP交于點(diǎn)D，易知OP垂直平分AB，得AD=BD=12AB，∠ADO=90°，由題意得∠BAP=∠OAP-∠BAC=60°，可知△ABP為等腰三角形，得AB=PA=4，則AD=12AB=2，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)得【詳解】（1）證明：如圖，連接OB，OP，則OA=OB，∵PA相切于⊙O，∴∠OAP=90°，∵PA=PB，OP=OP，∴△AOP≌△BOPSSS∴∠OAP=∠OBP=90°，即：OB⊥OP，又∵點(diǎn)B是圓上一點(diǎn)，∴PB是⊙O的切線(xiàn)；（2）設(shè)AB與OP交于點(diǎn)D，∵PA=PB，OA=OB，∴OP垂直平分AB，則AD=BD=12AB由（1）可知：∠OAP=90°，∵∠BAC=30°，∴∠BAP=∠OAP-∠BAC=60°，∵PA=PB，∴△ABP為等腰三角形，∴AB=PA=4，則AD=1∵∠ADO=90°，∠BAC=30°，∴OA=2OD，由勾股定理可得：OA∴OD=3即：點(diǎn)O到弦AB的距離為23【點(diǎn)睛】此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)及判定，勾股定理，等邊三角形的判定及性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，垂直平分線(xiàn)的判定及性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．15．（2023上·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知AB為同心圓⊙O中大圓的弦，若AB=23，大圓半徑為2，小圓半徑為1．求證：AB為同心圓⊙O【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了切線(xiàn)的判定定理，解題關(guān)鍵是先過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為C，根據(jù)垂徑定理和AB的長(zhǎng)，求出AC，再根據(jù)勾股定理求出OC的長(zhǎng)，然后根據(jù)切線(xiàn)的判定定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：證明：如圖所示：過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為C，∵AB=23，大圓半徑為2∴AC=BC=12AB=在△AOC中，由勾股定理得：OC=A∴OC的長(zhǎng)等于小圓的半徑1，∴AB為同心圓⊙O中小圓的切線(xiàn)．16．（2023上·江蘇淮安·九年級(jí)?？计谥校┮阎鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5

(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖的方法，在BC上找一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心作圓，使得該圓與AB、AC兩邊都相切．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）(2)填空：⊙O的半徑=．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)3【分析】（1）作∠BAC的角平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，再以點(diǎn)D作為圓心，OC為半徑畫(huà)圓，問(wèn)題即可作答；（2）先求出CB=AB2-AC2=4，設(shè)半徑為r，根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得AC=AD=3，則有BO=BC-OC=4-r，BD=BA-AD=2【詳解】（1）如圖，

⊙O即為所做；證明：過(guò)O點(diǎn)作OD⊥AB于點(diǎn)D，如圖，

根據(jù)作圖可知：AD平分∠BAC，∵OD⊥AB，∠ACB=90°，∴AC⊥OC，AB⊥OD，∴OC=OD，∴點(diǎn)D在⊙O上，∵AB⊥OD，AC⊥OC，∴⊙O與AB、AC相切；（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5∴CB=A設(shè)半徑為r，∴OC=OD=r，∵⊙O與AB、AC相切，∴AC=AD=3，∴BO=BC-OC=4-r，BD=BA-AD=2，∵在Rt△BDO中，O∴4-r2解得：r=3∴⊙O的半徑為32故答案為：32【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線(xiàn)的判定與性質(zhì)，角平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖，角平分線(xiàn)定理，勾股定理，切線(xiàn)長(zhǎng)定理等知識(shí)，靈活利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理作圖，是解答本題的關(guān)鍵．【考試題型5】遇到兩相交切線(xiàn)時(shí)（切線(xiàn)長(zhǎng)），常連結(jié)切點(diǎn)和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點(diǎn)、連結(jié)兩切點(diǎn)。作用：據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)及其它性質(zhì)，可得到①角、線(xiàn)段的等量關(guān)系；②垂直關(guān)系；③全等、相似三角形。17．（2023上·浙江寧波·九年級(jí)寧波市第七中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，Rt△ABC中，斜邊BC=10，AC=6，內(nèi)切圓I切各邊為D，E，F(xiàn)，連結(jié)EF，作DG⊥EF交AB于G，則GDA．7 B．210 C．43 D【答案】B【分析】連結(jié)ID、IE、IF、IB，則CD=CF，AE=AD，BE=BF，AC⊥ID，AB⊥IE，由∠A=90°，BC=10，AC=6，根據(jù)勾股定理求得AB=BC2【詳解】連結(jié)ID、∵⊙I與AC、AB、∴CD=CF，∴∠ADI=∠AEI=∠BEI=90°，∵∠A=90°，∴AB=B∵∠ADI=∠AEI=∠A=90°，∴四邊形ADIE是正方形，∵AE+AD=AB+AC-（∴IE=AE=AD=2，∴BE=8-2=6，∴IB=B∵BE=BF，∴點(diǎn)B、I都在∴IB垂直平分EF，∵IB⊥EF，∴IB∥DG，∵ID∥BG，∴四邊形BIDG是平行四邊形，∴GD=IB=210故選：B．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查切線(xiàn)的性質(zhì)定理、切線(xiàn)長(zhǎng)定理、勾股定理、正方形的判定與性質(zhì)、線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．18．（2023上·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，連接AB．若AB=PB，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)（異于A

【答案】60°或120°【分析】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)及圓周角定理，分當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上時(shí)與當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上時(shí)兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)圓周角定理計(jì)算∠ACB的度數(shù)，掌握切線(xiàn)的性質(zhì)及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上時(shí)，如圖所示，連接OA、OB，

∵PA、PB分別與⊙O相切于∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵AB=PB，∴PA=PB=AB，∴∠P=60°，∴∠AOB=180°-∠P=180°-60°=120°，∴∠ACB=1②當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上時(shí)，如圖所示，連接OA，OB，同①可得∠P=60°，∠AOB=120°，

∴∠ACB=1故答案為：60°或120°．19．（2022上·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，從點(diǎn)P向⊙O引兩條切線(xiàn)PA，PB，切點(diǎn)為A，B，作直徑BC，連接AC，若∠P=60°，PB=2，則AC=．

【答案】2【分析】根據(jù)PA、PB是切線(xiàn)，∠P=60°，判斷出△ABP是正三角形，根據(jù)CB⊥BP，判斷出∠CBP=90°，進(jìn)而得出∠ABC=30°，再利用勾股定理求出【詳解】解：如圖，連接AB，

，∵PA，PB是⊙O的切線(xiàn)，∴∠OBP=90°，PA=PB，又∵∠P=60°，∴△APB是等邊三角形，∴AB=PB=2，∴∠ABC=30∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC=90∴AC=1設(shè)AC=x(x>0)，則BC=2x，∵AC∴x∴x=2即AC的長(zhǎng)度為23【點(diǎn)睛】本題主要考查的是切線(xiàn)長(zhǎng)定理、等邊三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理，掌握本題的輔助線(xiàn)作法是解題的關(guān)鍵．20．（2023上·甘肅定西·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，PA、PB是⊙O的切線(xiàn)，A、

(1)求∠APB的度數(shù)；(2)當(dāng)AP=3時(shí)，求⊙O的半徑．【答案】(1)∠APB=60°；(2)⊙O的半徑為3．【分析】本題考查了切線(xiàn)長(zhǎng)定理，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)．（1）根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角可得∠OAB=∠OBA=30°，根據(jù)圓切線(xiàn)的性質(zhì)可得∠PAO=∠PBO=90°，從而得到∠PAB=∠PBA=60°，求得△PAB是等邊三角形，據(jù)此求解即可；（2）根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理得到∠APO=∠BPO=30°，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵PA、PB是∴∠PAO=∠PBO=90°，∴∠PAB=∠PBA=60°，∴△PAB是等邊三角形，∴∠APB=60°；（2）解：連接OP，

∵PA、PB是∴OP平分∠APB，∴∠APO=∠BPO=30°，∴OP=2OA，∵AP=3，OP∴2OA2∴OA=3∴⊙O的半徑為3．【考試題型6】遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí)，連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點(diǎn)，或過(guò)內(nèi)心作三角形各邊的垂線(xiàn)段作用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得①內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線(xiàn)是三角形的角平分線(xiàn)；②內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。21．（2023上·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知：如圖，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，∠C=90°．若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半徑r；若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O

【答案】r=3；r=【分析】連接OD，OF，證明四邊形OFCD是正方形，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理得：AD=AE，CD=CF，BE=BF，求出r=CD=CF=1【詳解】解：在Rt△ABC，∠C=90°，AC=12cm，根據(jù)勾股定理得：AB=A連接OD，OF，

∵⊙O是Rt△ABC∴∠ODC=∠OFC=90°，在四邊形OFCD中，OD=OF，∠ODC=∠OFC=∠C=90°，∴四邊形OFCD是正方形；∴OD=CD，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理得：AD=AE，CD=CF，BE=BF，則CD=CF=1∴r=1若AC=b，BC=a，AB=c，由以上可得：r=1【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，切線(xiàn)長(zhǎng)定理等知識(shí)，求出r=CD=CF=122．（2023上·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，⊙O內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)分別為點(diǎn)D，點(diǎn)E，點(diǎn)F，已知AB=BC，∠B=40°，連接DE，EF，則∠DEF的度數(shù)為（）

A．40° B．55° C．65° D．70°【答案】B【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠A=70°，連接OD、OF，利用切線(xiàn)的性質(zhì)得到∠ADO=∠AFO=90°，則根據(jù)四邊形內(nèi)角和計(jì)算出∠DOF=110°，然后利用圓周角定理得到∠DEF的度數(shù)．【詳解】解：∵BA=BC，∴∠A=∠C，而∠B=40°，∴∠A=12連接OD、OF，∵O內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)分別為點(diǎn)D，點(diǎn)E，

∴OD⊥AB，OF⊥AC，∴∠ADO=∠AFO=90°，∴∠DOF=360°-2×90°-70°=110°，∴∠DEF=12故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線(xiàn)平分這個(gè)內(nèi)角．也考查了切線(xiàn)的性質(zhì)和圓周角定理．23．（2023上·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在一張Rt△ABC紙片中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，⊙O是它的內(nèi)切圓．小明用剪刀沿著⊙O的切線(xiàn)DE剪下一塊三角形ADE，則△ADE的周長(zhǎng)為（

A．19 B．17 C．22 D．20【答案】D【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，切線(xiàn)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線(xiàn)的性質(zhì)．設(shè)△ABC的內(nèi)切圓切三邊于點(diǎn)F，H，G，連接OF，OH，OG，得四邊形OHCG是正方形，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可知AF=AG，根據(jù)DE是⊙O的切線(xiàn)，可得MD=MF，EM=EG【詳解】解：如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓切三邊于點(diǎn)F、H、G，連接OF、OH、OG，∴四邊形OHCG是正方形，

由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可知AF=AG，∵DE是⊙O的切線(xiàn)，∴MD=DF，EM=EG，∵∠ACB=90°，BC=5，AC=12∴AB=A∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴內(nèi)切圓的半徑=1∴CG=2，∴AG=AC-CG=12-2=10，∴AF=AG=10，∴ΔADE的周長(zhǎng)為：AD+DE+AE=AD+DF+EG+AE=AF+AG=10+10=20故選：D．24．（2023上·廣東廣州·九年級(jí)廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）小雅同學(xué)在學(xué)習(xí)圓的基本性質(zhì)時(shí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)結(jié)論：如圖，⊙O中，OM⊥弦AB于點(diǎn)M，ON⊥弦CD于點(diǎn)N，若OM=ON，則AB=CD．

(1)請(qǐng)幫小雅證明這個(gè)結(jié)論；(2)運(yùn)用以上結(jié)論解決問(wèn)題：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O為△ABC的內(nèi)心，以O(shè)為圓心，OB為半徑的⊙O與△ABC三邊分別相交于點(diǎn)D、E、F、G．若AD=9，CF=2，求△ABC【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)40【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得出AM=12AB，CN=12CD，根據(jù)勾股定理得出AM=O（2）分別過(guò)O點(diǎn)作△ABC三邊的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)P、M、N，連接OA、OC，證明Rt△OAP≌Rt△OAN，得出AP=AN，證明Rt△OCM≌Rt△OCN，得出CM=CN，求出AD=AG=9，CE=CF=2，設(shè)BD=x，則AB=9+x，BC=2+x，【詳解】（1）證明：連接OA，OC，如圖，

∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=12AB在Rt△AOM中，AM=在Rt△CON中，CN=∵OA=OC，OM=ON，∴AM=CN，∴AB=CD；（2）解：分別過(guò)O點(diǎn)作△ABC三邊的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)P、M、N，連接OA、OC，如圖，

∵O為△ABC的內(nèi)心，∴OP=OM=ON，∴DB=BE=GF，∴DP=PB=BM=ME=FN=NG，∵OP=ONAO=AO∴Rt△OAP∴AP=AN同理可得：Rt△OCM∴CM=CN，∴AD=AG=9，CE=CF=2，設(shè)BD=x，則AB=9+x，BC=2+x，AC=11+x，∵AC∴11+x2∴x2∴x=6，負(fù)值舍去，∴△ABC的周長(zhǎng)=9+x+2+x+11+x=3x+22=40．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．【考試題型7】遇到三角形的外接圓時(shí)，連結(jié)外心和各頂點(diǎn)作用：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。25．（2022上·山東日照·九年級(jí)日照市新?tīng)I(yíng)中學(xué)校考期中）如圖，一塊等腰三角形鋼板的底邊長(zhǎng)為80cm，腰長(zhǎng)為50cm(1)求能從這塊鋼板上截得的最大圓的半徑：(2)用一個(gè)圓完整覆蓋這塊鋼板，這個(gè)圓的最小半徑是多少cm？(3)求這塊等腰三角形鋼板的內(nèi)心與外心之間距離．【答案】(1)403(2)40cm(3)25【分析】(1)由于三角形ABC是等腰三角形，過(guò)A作AD⊥BC于D，根據(jù)勾股定理得到AD=30，又從這塊鋼板上截得的最大圓就是三角形的內(nèi)切圓，根據(jù)內(nèi)切圓的圓心的性質(zhì)知道其圓心在AD上，分別連接AO、(2)由于一個(gè)圓完整覆蓋這塊鋼板，那么這個(gè)圓是三個(gè)三角形的外接圓，設(shè)覆蓋圓的半徑為R，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求解(3)根據(jù)(1)和(2)再利用線(xiàn)段之間的等量關(guān)系即可求得．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)A作AD⊥BC于D∵AB=AC=50根據(jù)等腰三角形和圓的對(duì)稱(chēng)性可得：A、O、D三點(diǎn)共線(xiàn)∴BD=CD=40，∴AD=設(shè)最大圓半徑為r，則S△ABC∴S12×80×