魯教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第一章因式分解1因式分解課件

第一章因式分解1因式分解知識(shí)點(diǎn)1因式分解的定義基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.(教材變式·P4隨堂練習(xí)T2)(2024山東濟(jì)寧金鄉(xiāng)期末)下列各

式從左到右的變形是因式分解的是

(

)A.x2+2x+3=(x+1)2+2B.(x+y)(x-y)=x2-y2C.x2-xy+y2=(x-y)2D.2x-2y=2(x-y)D解析

A項(xiàng),等號(hào)右邊不是幾個(gè)整式乘積的形式,不是因式分

解;B項(xiàng),是多項(xiàng)式的乘法,不是因式分解;C項(xiàng),應(yīng)為x2-2xy+y2=(x

-y)2;D項(xiàng),2x-2y=2(x-y)是因式分解,故選D.2.學(xué)完因式分解后,李老師在黑板上寫下了4個(gè)等式:①15x2y=

3x·5xy;②(x+y)(x-y)=x2-y2;③x2-2x+1=(x-1)2;④x2-3x+1=x

.其中是因式分解的有

(

)A.0個(gè)

B.1個(gè)

C.2個(gè)

D.3個(gè)B解析①中等號(hào)左邊不是多項(xiàng)式;②是整式的乘法;④中等號(hào)

右邊的

不是整式;③是因式分解.故選B.知識(shí)點(diǎn)2因式分解與整式乘法的關(guān)系3.(2024山東煙臺(tái)招遠(yuǎn)期中)對(duì)于①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x-1)

=x2+2x-3從左到右的變形,表述正確的是

(

)A.都是因式分解B.都是乘法運(yùn)算C.①是乘法運(yùn)算,②是因式分解D.①是因式分解,②是乘法運(yùn)算D解析①x-3xy=x(1-3y),從左到右的變形是因式分解;②(x+3)

(x-1)=x2+2x-3,從左到右的變形是整式的乘法.故選D.4.(新獨(dú)家原創(chuàng))若多項(xiàng)式ax2+bx+c因式分解后的結(jié)果為(4x+

1)2,則a,b,c的值分別為

(

)A.16,4,1

B.16,8,1

C.4,4,1

D.4,8,1B解析∵(4x+1)2=16x2+8x+1,∴ax2+bx+c=16x2+8x+1,∴a=16,b

=8,c=1,故選B.5.(教材變式·P4習(xí)題1.1T5)如果259+517能被n整除,那么n的值

可能是

(

)A.20

B.30

C.35

D.40B解析∵259+517=518+517=517×(5+1)=517×6=516×30,∴n的值可

能是30.故選B.6.(新考向·代數(shù)推理)將圖中的一個(gè)正方形和三個(gè)長(zhǎng)方形拼

成一個(gè)大長(zhǎng)方形,根據(jù)此圖寫出一個(gè)多項(xiàng)式的因式分解:

.x2+3x+2=(x+2)(x+1)解析拼成的大長(zhǎng)方形如圖所示:

大長(zhǎng)方形的面積為x2+3x+2,還可以表示為(x+2)·(x+1),故答案

為x2+3x+2=(x+2)(x+1).7.(跨學(xué)科·物理)如圖所示,各個(gè)燈泡中的電流是相等的,且電

流I=2.2A,L1,L2,L3三個(gè)燈泡的電阻分別為19.6Ω,39.8Ω,40.6

Ω,則CD兩端的電壓為

V.(提示:總電壓等于各個(gè)燈

泡兩端的電壓的和,電壓U=IR)220解析根據(jù)題意可得,CD兩端的電壓=IR1+IR2+IR3=2.2×19.6+

2.2×39.8+2.2×40.6=2.2×(19.6+39.8+40.6)=2.2×100=220(V).8.分解因式x2+ax+b時(shí),甲看錯(cuò)了a的值,導(dǎo)致分解因式的結(jié)果

是(x-3)(x+2);乙看錯(cuò)了b的值,導(dǎo)致分解因式的結(jié)果是(x-2)(x-

3),那么a+b的值為

.-11解析∵分解因式x2+ax+b時(shí),甲看錯(cuò)了a的值,導(dǎo)致分解因式

的結(jié)果是(x-3)(x+2),且(x-3)(x+2)=x2-x-6,∴b=-6,∵乙看錯(cuò)了b的值,導(dǎo)致分解因式的結(jié)果是(x-2)·(x-3),且(x-2)

(x-3)=x2-5x+6,∴a=-5.∴a+b=-5+(-6)=-11.9.(新考向·代數(shù)推理)如圖,用一張如圖①所示的正方形紙

片、三張如圖②所示的長(zhǎng)方形紙片、兩張如圖③所示的正

方形紙片拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形(如圖④).(1)請(qǐng)用不同的式子表示圖④中大長(zhǎng)方形的面積S(寫出兩種

即可);(2)根據(jù)(1)中所得結(jié)果,寫出一個(gè)表示因式分解的等式.

圖①

圖②

圖③

圖④解析

(1)①S=x2+3xy+2y2.②S=(x+y)(x+2y).(2)x2+3xy+2y2=(x+y)(x+2y).能力提升全練10.(2022山東濟(jì)寧中考,4,★☆☆)下面各式從左到右的變形,

屬于因式分解的是

(

)A.x2-x-1=x(x-1)-1B.x2-1=(x-1)2C.x2-x-6=(x-3)(x+2)D.x(x-1)=x2-xC解析

A項(xiàng),等號(hào)右邊不是整式乘積的形式,故不是因式分解;

B項(xiàng),(x-1)2=x2-2x+1≠x2-1,變形錯(cuò)誤;D項(xiàng)是整式的乘法.故

選C.11.(2024河南駐馬店正陽(yáng)期末,9,★☆☆)若x2+mx-18能分解

為(x-9)(x+n),則m、n的值分別是

(

)A.7、2

B.-7、2

C.-7、-2

D.7、-2B解析根據(jù)題意得x2+mx-18=(x-9)(x+n)=x2+(n-9)x-9n,∴m=n

-9,-18=-9n,解得m=-7,n=2.故選B.12.(2024河北張家口宣化期末,6,★☆☆)小穎利用兩種不同

的方法計(jì)算下面圖形的面積,并據(jù)此寫出了一個(gè)因式分解的

等式,此等式是

(

)

A.a2+2ab+b2=(a+b)(a+b)B.a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)C.a2-b2=(a+b)(a-b)D.2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b)B解析根據(jù)題圖可得大長(zhǎng)方形是由2個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形,3

個(gè)長(zhǎng)為b、寬為a的長(zhǎng)方形和1個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形組成的,∴大長(zhǎng)方形的面積為a2+3ab+2b2,∵大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a+2b,寬為a+b,∴大長(zhǎng)方形的面積也可表示為(a+2b)(a+b),∴可以得到一個(gè)因式分解的等式為a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b),

故選B.13.(2024吉林長(zhǎng)春農(nóng)安期中,28,★★☆)對(duì)于任意正整數(shù)n,代

數(shù)式2n(n2+2n+1)-2n2(n+1)的值都能被4整除嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.解析都能被4整除.理由:原式=2n3+4n2+2n-2n3-2n2=2n2+2n=2n(n+1).∵n為正整

數(shù),∴n與n+1中必有一個(gè)為偶數(shù),∴2n(n+1)是4的整數(shù)倍.∴對(duì)

于任意正整數(shù)n,代數(shù)式2n(n2+2n+1)-2n2(n+1)的值都能被4整

除.方法歸納

要證明算式能被幾整除的問(wèn)題,通常是把算式轉(zhuǎn)

化為含有這個(gè)數(shù)乘積的形式.素養(yǎng)探究全練14.(運(yùn)算能力)仔細(xì)閱讀下面的例題:已知二次三項(xiàng)式x2+5x+m有一個(gè)因式是x+2,求另一個(gè)因式以

及m的值.解:設(shè)另一個(gè)因式為x+n,則x2+5x+m=(x+2)·(x+n),則x2+5x+m=x2+(n+2)x+2n,∴n+2=5,m=2n,解得n=3,m=6.∴另一個(gè)因式為x+3,m的值為6.依照以上解法解答下列問(wèn)題:(1)若二次三項(xiàng)式x2-x-12可分解為(x+3)·(x-a),則a=

;(2)若二次三項(xiàng)式2x2-bx-6可分解為(2x+3)·(x-2),則b=

;(3)已知二次三項(xiàng)式2x2-9x-k有一個(gè)因式是2x-1,求另一個(gè)因式

以及k的值.41解析

(1)∵(x+3)(x-a)=x2+(3-a)x-3a=x2-x-12,∴3-a=-1,-3a=-12,∴a=4.故答案為4.(2)∵(2x+3)(x-2)=2x2-x-6=2x2-bx-6,∴b=1.故答案為1.(3)設(shè)另一個(gè)因式為(x+n),則2x2-9x-k=(2x-1)·(x+n),∴2x2-9x-k=2x2+(2n-1)x-n,∴2n-1=-9,-k=-n,解得n=-4,k=-4,∴另一個(gè)因式為x-4,k的值為-4.15.(新考向·項(xiàng)目式學(xué)習(xí)試題)(推理能力)【活動(dòng)材料】有若

干個(gè)如圖①所示的長(zhǎng)方形和正方形硬紙片.【活動(dòng)要求】用若干個(gè)這樣的長(zhǎng)方形和正方形硬紙片拼成

一個(gè)新的長(zhǎng)方形,通過(guò)不同的方法計(jì)算面積,探求相應(yīng)的等

式.例如,由圖②我們可以得到a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)或(a+2b)

(a+b)=a2+3ab+2b2.【問(wèn)題解決】(1)選取正方形、長(zhǎng)方形硬紙片共8個(gè),拼出如圖③所示的長(zhǎng)方形,直接寫出相應(yīng)的等式:

;(2)嘗試借助拼圖的方法,把二次三項(xiàng)式2a2+3ab+b2分解因式,

并把所拼得的圖形畫在如圖