滬科版八年級數(shù)學(xué)上冊專項素養(yǎng)綜合練(八)構(gòu)造全等三角形的方法課件

專項素養(yǎng)綜合練(八)構(gòu)造全等三角形的方法1.在△ABC中,點E在AC邊上,D是AB延長線上一點,DE交BC

于點F.若BD=CE,DF=EF,求證:∠C+∠DBF=180°.類型一作平行線法證明如圖,過點E作EG∥AB,交BC于點G,則∠FEG=∠D.在△FBD和△FGE中,

∴△FBD≌△FGE(ASA),∴∠DBF=∠EGF,BD=EG.∵BD=CE,∴EG=CE,過點E作EH

⊥BC于點H,如圖,在Rt△HGE和Rt△HCE中,

∴Rt△HGE≌Rt△HCE(HL),∴∠EGH=∠C,∵∠EGH+∠EGF=180°,∴∠C+∠DBF=180°.類型二延長構(gòu)造法2.(2024遼寧大連金州期末)如圖,AD∥BC,AE平分∠BAD,BE

平分∠ABC,點E在DC上,求證:AD+BC=AB.證明如圖,延長AE,BC交于點F,∵AD∥BC,∴∠DAE=∠F.∵AE平分∠BAD,∴∠DAF=∠

BAE,∴∠F=∠BAE.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠FBE,∵BE=BE,∴△ABE≌△FBE(AAS),∴AB=BF,AE=EF.在△ADE與△FCE中,

∴△ADE≌△FCE(ASA),∴AD=CF.∴AB=BF=BC+CF=BC+AD.類型三倍長中線法3.如圖,AD是△ABC的中線,BE交AC于點E,交AD于點F,且∠

CAD=∠AFE.求證:AC=BF.證明如圖,延長AD到點M,使AD=DM,連接BM.

∵AD是△ABC的中線,∴CD=BD.在△ADC和△MDB中,

∴△ADC≌△MDB(SAS),∴BM=AC,∠CAD=∠M,∵∠CAD=∠AFE,∠AFE=∠BFD,∴∠BFD=∠CAD=∠M.過點B作BG⊥DM于點G,如圖,

則∠BGF=∠BGM=90°.在△BGF和△BGM中,

∴△BGF≌△BGM(AAS),∴BF=BM,∴AC=BF.方法歸納

遇到三角形的中線問題,常會延長中線,使延長的線段與

原中線長度相等,構(gòu)造全等三角形,這種方法稱為倍長中線

法.倍長中線法是在證明三角形全等時常用的作輔助線的方

法,具有構(gòu)造全等三角形,平移線段等作用.用倍長中線法證

明三角形全等的過程:(1)延長已知中線到某點,使新線段(延

長的那部分線段)的長等于已知中線的長;(2)利用“SAS”證

明三角形全等.類型四截長補(bǔ)短法4.如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠B=2∠C,若AC=5,AB=3,

求BD的長.解析如圖,在AC上截取AE=AB,連接DE,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.在△ABD和△AED中,

∴△ABD≌△AED(SAS),∴∠B=∠AED,BD=DE,∵∠B=2∠C,∴∠AED=2∠C.∵∠AED=∠C+∠CDE,∴

∠CDE=∠C.過E作EF⊥BC于F,則∠EFC=∠EFD.∵EF=EF,

∴△EFD≌△EFC(AAS),∴DE=CE,∴BD=EC.∵AC=5,AB=

AE=3,∴BD=CE=AC-AE=2.方法歸納

截長補(bǔ)短法主要用來證明線段的和差問題.截長法:在較

長的線段上截取一條線段等于要