2024學(xué)年麗水市五校高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月聯(lián)考試卷及答案解析

學(xué)年麗水市五校高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月聯(lián)考試卷考生須知：1．本卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線過點，，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.已知直線：和直線：，則“”是“∥”的（）A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.已知，，則在方向上的投影向量的模長為（）A. B. C. D.4.圓：與圓：的公切線有且僅有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條5.如圖，在正四棱錐中，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.6.已知是直線l被橢圓所截得的線段AB的中點，則直線l的方程為（）A. B. C. D.7.已知球與正方體的各個面相切，平面截球所得的截面的面積為，則正方體棱長為（）A. B. C.1 D.28.關(guān)于橢圓有如下結(jié)論：“過橢圓上一點作該橢圓的切線，切線方程為.”設(shè)橢圓：的左焦點為F，右頂點為A，過F且垂直于x軸的直線與C的一個交點為M，過M作橢圓的切線，若切線與直線的傾斜角互補，則C的離心率為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知空間中三點，則正確的有（）A.與是共線向量 B.點關(guān)于軸的對稱點的坐標是C.與夾角的余弦值是 D.與同向的單位向量是10.已知線段是圓一條動弦，為弦的中點，，直線與直線相交于點，下列說法正確的是（）A.弦的中點軌跡是圓B.直線分別過定點和C.直線的交點在定圓上D.線段的最小值為11.已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，過橢圓C上一點P和原點O作直線l交圓O：于M，N兩點，下列結(jié)論正確的是（）A實數(shù)a越小，橢圓C越圓B.若，且，則C.當(dāng)時，過的直線交C于A，B兩點（點A在x軸的上方）且，則的斜率D.若，則非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.如圖，已知E，F(xiàn)分別為三棱錐的棱的中點，則直線與的位置關(guān)系是__________（填“平行”，“異面”，“相交”）．13.橢圓的左、右焦點分別為，點P在橢圓上，如果的中點在y軸上，那么是的________倍14.已知圓，過圓外點向圓引兩條切線，且切點分別為A，B兩點，則最小值為_____．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知焦點在軸上的橢圓過點，離心率為，（1）求橢圓方程；（2）斜率為的直線與曲線相交于點D，E，弦長，求直線的方程．16已知圓過點三個點．（1）求圓的標準方程；（2）已知，直線與圓相交于A，B兩點，求的最小值．17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為的中點．（1）證明：；（2）若四棱錐體積為1，求平面與平面夾角的余弦值．18.已知曲線是平面內(nèi)到和的距離之和為4的點的軌跡.（1）求曲線的方程；（2）過點作斜率不為0的直線交曲線于A，B兩點，交直線于點，過點作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點，直線交軸于點，求線段中點的坐標.19.如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，，（1）求證：平面（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值（3）現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼成一個新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫出的解析式．（直接寫出答案，不必說明理由2024學(xué)年麗水市五校高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月聯(lián)考試卷考生須知：1．本卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線過點，，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】先求得直線的斜率，進而求得直線的傾斜角.【詳解】直線的斜率為，對應(yīng)傾斜角為.故選：B2.已知直線：和直線：，則“”是“∥”的（）A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)直線平行求得，然后根據(jù)充分、必要條件的知識求得正確答案.【詳解】當(dāng)時，，解得或，當(dāng)時，兩直線分別為，符合題意，當(dāng)時，兩直線分別為符合題意，所以“”是“∥”的充分不必要條件故選：B3.已知，，則在方向上的投影向量的模長為（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)投影向量的知識求得正確答案.【詳解】在方向上的投影向量的模長為.故選：D4.圓：與圓：的公切線有且僅有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】B【分析】將兩圓方程化為標準方程，通過兩圓的圓心距及半徑關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系即可求解．【詳解】解：圓，則圓心，半徑，圓，則圓心，半徑，得兩圓的圓心距為：，則，得兩圓相交，得兩圓的公切線有且僅有2條．故選：B5.如圖，在正四棱錐中，為中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】建立空間直角坐標系，先利用向量法求，則得線線角.【詳解】連接交于，連接，由四棱錐是正四棱錐，則平面，且.以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由，不妨設(shè)，則，在中，，則，則，，則，由異面直線與所成角為銳角，所求余弦值為.故選：B.【點睛】6.已知是直線l被橢圓所截得的線段AB的中點，則直線l的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理用表示中點坐標，結(jié)合已知中點坐標解關(guān)于的方程可得【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時，由對稱性可知，此時直線被橢圓所截得的線段AB的中點在軸上，而已知是線段AB的中點，不在軸上，不滿足題意.故直線斜率存在，可設(shè)斜率為，則直線的方程為，即，代入橢圓的方程化簡得，所以，解得，故直線方程為，即.故選：B.7.已知球與正方體各個面相切，平面截球所得的截面的面積為，則正方體棱長為（）A. B. C.1 D.2【答案】D【分析】解法1：設(shè)正方體棱長為，利用截面圓的半徑、到平面的距離、球的半徑構(gòu)成的直角三角形可得答案；解法2：設(shè)正方體棱長為，利用的面積相等解得可得答案．【詳解】解法1：設(shè)正方體棱長為，則球的半徑為，∵平面截此球所得的截面的面積為，∴截面圓的半徑為，由題意，球心與的距離為，設(shè)到平面的距離為，是邊長為的等邊三角形，，由得，可得，，由平面，所以球心到平面的距離為，∴，∴，即正方體棱長為；解法2：設(shè)正方體棱長為，內(nèi)切球與正方體各面的切點，恰好為等邊三角形各邊的中點，截面圓為等邊三角形的內(nèi)切圓，又因為平面截此球所得的截面的面積為，所以截面圓的半徑為，，所以，整理得，故截面圓的半徑，解得，即正方體棱長為．故選：D．【點睛】關(guān)鍵點點睛：在方法1中關(guān)鍵點是根據(jù)勾股定理求出.8.關(guān)于橢圓有如下結(jié)論：“過橢圓上一點作該橢圓的切線，切線方程為.”設(shè)橢圓：的左焦點為F，右頂點為A，過F且垂直于x軸的直線與C的一個交點為M，過M作橢圓的切線，若切線與直線的傾斜角互補，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【分析】由題意可得相應(yīng)點的坐標，結(jié)合題意可得切線與直線的斜率，列式求解即可.【詳解】由題意可知：，令代入橢圓方程可得，不妨設(shè)，則切線，即，可知直線的斜率，切線的斜率，由題意可知：，即.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由根據(jù)題意可得切線，即可得切線斜率.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知空間中三點，則正確的有（）A.與是共線向量 B.點關(guān)于軸的對稱點的坐標是C.與夾角的余弦值是 D.與同向的單位向量是【答案】BCD【分析】根據(jù)向量共線、點關(guān)于坐標軸對稱、向量夾角、單位向量等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】.A選項，由于，所以與是不是共線向量，A選項錯誤.B選項，關(guān)于軸的對稱點的坐標是，即縱坐標不變，橫坐標和豎坐標相反，所以B選項正確.C選項，與夾角的余弦值是,C選項正確.D選項，與同向的單位向量是,D選項正確.故選：BCD10.已知線段是圓的一條動弦，為弦的中點，，直線與直線相交于點，下列說法正確的是（）A.弦的中點軌跡是圓B.直線分別過定點和C.直線的交點在定圓上D.線段的最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)動點軌跡、直線的定點、直線的交點、圓和圓的位置關(guān)系等知識確定正確答案.【詳解】A選項，圓的圓心為，半徑為，由于且為弦的中點，所以，所以，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，所以A選項正確.B選項，直線即，由解得，所以直線過定點.直線即，由解得，所以直線過定點，所以B選項錯誤.C選項，由于，所以，所以在以為直徑的圓上，線段的中點為，，所以在圓上，整理得，所以C選項正確.D選項，由上述分析可知，在圓上，在圓上，兩個圓的圓心分別為、，圓心距為，兩圓外離，所以的最小值為，所以D選項正確.故選：ACD11.已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，過橢圓C上一點P和原點O作直線l交圓O：于M，N兩點，下列結(jié)論正確的是（）A.實數(shù)a越小，橢圓C越圓B.若，且，則C.當(dāng)時，過的直線交C于A，B兩點（點A在x軸的上方）且，則的斜率D.若，則【答案】BD【分析】A選項，根據(jù)離心率得到越大，越大，橢圓C越扁；B選項，根據(jù)，得到，又因為，得到方程，求出，，得到離心率；C選項：設(shè)出的方程，聯(lián)立橢圓方程得到兩根之和，兩根之積，結(jié)合求出的值，從而求出直線斜率；D選項，表達出，，從而得到方程，求出，進而表達出，即可判斷D；【詳解】A選項，因為，所以，此時，故橢圓的離心率為，越大，越大，橢圓C越扁，A錯誤；B選項：因為，則，又因為，則，故，又因為，解得，，故，B正確；C選項：當(dāng)時，橢圓C：且，當(dāng)過的直線斜率為0時，此時A在軸上，不符合要求，舍去，設(shè)過的直線的方程為，因為點A在軸的上方，且，所以直線的斜率大于0，聯(lián)立得，，設(shè)，，則，，所以，解得，負值舍去，所以直線的方程的斜率為，C錯誤；D選項：設(shè)，則，所以，則，同理可得，由，得，故，則，又因為，，故，D正確；故選：BD.【點睛】橢圓的焦半徑公式：（1）橢圓上一點，其中橢圓左右焦點分別為，，則，.（2）橢圓上一點，其中橢圓上下焦點分別為，，則，.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.如圖，已知E，F(xiàn)分別為三棱錐的棱的中點，則直線與的位置關(guān)系是__________（填“平行”，“異面”，“相交”）．【答案】異面【分析】假設(shè)共面推出矛盾.【詳解】假設(shè)直線共面，平面，由，則平面，同理，平面，故共面，這與是三棱錐矛盾，故假設(shè)錯誤，故直線異面.故答案為：異面.13.橢圓的左、右焦點分別為，點P在橢圓上，如果的中點在y軸上，那么是的________倍【答案】5【分析】求出,即得解.【詳解】由題得，由題得軸，當(dāng)時，，所以,所以,所以是的5倍.故答案為：5【點睛】方法點睛：解答圓錐曲線的問題，看到焦半徑時要馬上聯(lián)想到圓錐曲線的定義解題.14.已知圓，過圓外點向圓引兩條切線，且切點分別為A，B兩點，則最小值為_____．【答案】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運算、圓切線的幾何性質(zhì)、基本不等式等知識求得正確答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為，根據(jù)切線長的知識可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以最小值為.故答案為：【點睛】本題考查了圓的幾何性質(zhì)與切線的相關(guān)知識，尤其是對圓外點向圓引切線的性質(zhì)進行分析.題目難度適中，內(nèi)容涉及向量運算、三角函數(shù)以及幾何性質(zhì)的綜合運用，具有較強的綜合性和代表性，能夠有效地考查學(xué)生對圓與直線關(guān)系的掌握情況.在解法中，通過利用向量數(shù)量積運算和圓的切線性質(zhì)，結(jié)合基本不等式，推導(dǎo)出最小值的條件.解答過程邏輯清晰，運用了圓切線長度的公式，并結(jié)合向量的相關(guān)知識來求解，使整個過程具有較強的嚴謹性和數(shù)學(xué)推理的層次感.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知焦點在軸上的橢圓過點，離心率為，（1）求橢圓的方程；（2）斜率為的直線與曲線相交于點D，E，弦長，求直線的方程．【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，進而求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)求得直線的方程.【小問1詳解】由題意得，解得，，橢圓方程為.【小問2詳解】設(shè)直線：，，聯(lián)立并整理得，，，，解得，符合，直線方程為，即．16.已知圓過點三個點．（1）求圓的標準方程；（2）已知，直線與圓相交于A，B兩點，求的最小值．【答案】（1）（2）4【分析】（1）設(shè)圓的一般式方程，將點的坐標代入計算，即可求解，然后化為標準式即可；（2）將代入直線方程，可得直線過定點，即可得到當(dāng)時，AB最小，代入計算，即可求解.【小問1詳解】設(shè)圓的方程為，代入各點得：，所求圓的一般方程為：標準方程為：.小問2詳解】把代入直線方程得：，即，令，可得，所以直線過定點．又，所以定點在圓內(nèi)，當(dāng)時，AB最小，此時，，則.17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為的中點．（1）證明：；（2）若四棱錐的體積為1，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【分析】由三垂直建立空間直角坐標系，找到點坐標后，得到向量坐標，從而求出線段長度；計算出兩個面的法向量，然后解出面面角的余弦值.【小問1詳解】因為平面，且平面，所以，又，即，以分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，由為的中點，得，，所以，所以，所以【小問2詳解】由四棱錐的體積為，梯形的面積為，所以所以，可得，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，所以設(shè)平面的一個法向量為，所以，平面與平面夾角的余弦值為．18.已知曲線是平面內(nèi)到和的距離之和為4的點的軌跡.（1）求曲線的方程；（2）過點作斜率不為0的直線交曲線于A，B兩點，交直線于點，過點作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點，直線交軸于點，求線段中點的坐標.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得曲線方程.（2）設(shè)出直線的方程并與曲線的方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系關(guān)系，求得兩點的坐標，進而求得線段中點的坐標.【小問1詳解】由橢圓定義可知軌跡為橢圓，設(shè)曲線的方程，則，，，，，曲線的方程；【小問2詳解】方法一：直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，整理得3+4k2，設(shè)Ax1,y1直線交直線于，則，所以直線的方程為，，令，解得，則，所以直線的方程為，，令，解得，則，，所以線段中點的坐標為1,0.方法二：直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，整理得，，設(shè)Ax1,y1直線交直線于，則，所以直線的方程為，，令，解得，則，同理可得，，所以線段中點的坐標為1,0.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問