2024學(xué)年重慶市重點中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷及答案解析

學(xué)年重慶市重點中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.）1.已知直線過點且與直線平行，則直線一般式方程為（）A. B.C. D.2.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（）A.（4，0，3） B.（4，0，3} C.（2，2，-1） D.（2，2，-1）3.如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，若，則等于（）A. B.C. D.4.已知空間三點O(0，0，0)，A(1，，2)，B(，-1，2)，則以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A.8 B.4 C. D.5.已知，，，直線l過點B，且與線段AP相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（）A.或 B.C或 D.或6.在棱長為的正四面體中，，，則（）A B. C. D.7.如圖所示，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，棱長為1，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且BE＝CF＝a(0<a<1)，則D′E與B′F的位置關(guān)系是（）A.平行 B.垂直 C.相交 D.與a值有關(guān)8.已知二面角C-AB-D的大小為120°，CA⊥AB，DB⊥AB，AB=BD=4，AC=2，M，N分別為直線BC，AD上兩個動點，則最小值為（）A. B. C. D.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.直線，則（）A.點在上 B.的傾斜角為C.的圖象不過第一象限 D.的方向向量為10.下列結(jié)論正確的是（）A.兩個不同的平面的法向量分別是，則B.直線的方向向量，平面的法向量，則C.若，則點在平面內(nèi)D.若是空間的一組基底，則向量也是空間一組基底11.如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，分別是線段中點，是線段上的一個動點（含端點），則下列說法正確的是（）A.存在點，使得B.存在點，使得異面直線與所成的角為C.三棱錐體積的最大值是D.當(dāng)點自向處運動時，二面角的平面角先變小后變大三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知點，則直線的傾斜角是______．13.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是矩形，，，點是的中點，點為線段上靠近的三等分點，則點到直線的距離為______．14.如圖，在中，，過的中點的動直線與線段交于點，將沿直線向上翻折至，使得點在平面內(nèi)的射影落在線段上，則斜線與平面所成角的正弦值的最大值為________．四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）15.已知直線過點.（1）若直線與垂直，求直線的方程；（2）若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.16.已知空間中三點，，．（1）若，，三點共線，求的值；（2）若，的夾角是鈍角，求的取值范圍．17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，且，，已知側(cè)棱平面ABCD，設(shè)點E為棱PD的中點．（1）證明：平面ABP；（2）若，求點P到平面BCE的距離．18.如圖1，在中，，，分別為邊，的中點，且，將沿折起到的位置，使，如圖2，連接，.（1）求證：平面；（2）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值；（3）線段上一動點滿足，判斷是否存在，使二面角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.19.人臉識別是基于人的臉部特征進行身份識別的一種生物識別技術(shù)．主要應(yīng)用距離測試樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有3種．設(shè)，，則歐幾里得距離；曼哈頓距離，余弦距離，其中（為坐標(biāo)原點）．（1）若，，求，之間的曼哈頓距離和余弦距離；（2）若點，，求的最大值；（3）已知點，是直線上兩動點，問是否存在直線使得，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程，若不存在，請說明理由．2024學(xué)年重慶市重點中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.）1.已知直線過點且與直線平行，則直線的一般式方程為（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解.【詳解】直線的斜截式方程為，則其斜率為，因為直線過點，且與直線平行，所以，則直線的點斜式方程為，即為．故選：B.2.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（）A.（4，0，3） B.（4，0，3} C.（2，2，-1） D.（2，2，-1）【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量在向量上投影向量的概念求解即可.【詳解】向量在向量上的投影向量為，故選：C3.如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，若，則等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算即可得到答案.【詳解】因為為與的交點，所以.故選：D.4.已知空間三點O(0，0，0)，A(1，，2)，B(，-1，2)，則以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A.8 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出OA，OB的長度和夾角，再用面積公式求出的面積進而求得四邊形的面積.【詳解】因為O(0，0，0)，A(1，，2)，B(，-1，2)，所以，，，所以，以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形的面積為.故選：D.5.已知，，，直線l過點B，且與線段AP相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（）A.或 B.C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得到，求出，得到答案.【詳解】如圖所示：由題意得，所求直線l的斜率k滿足，即且，所以．故選：B．6.在棱長為的正四面體中，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將用、、表示，利用空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得.【詳解】因為，所以，，又因為，則，所以，，所以，，由空間向量的數(shù)量積可得，因此，.故選：B.7.如圖所示，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，棱長為1，E，F(xiàn)分別是BC，CD上點，且BE＝CF＝a(0<a<1)，則D′E與B′F的位置關(guān)系是（）A.平行 B.垂直 C.相交 D.與a值有關(guān)【答案】B【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，利用向量的乘積計算出，即可求解【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，故選：B【點睛】本題考查空間向量的垂直的定義，屬于基礎(chǔ)題8.已知二面角C-AB-D的大小為120°，CA⊥AB，DB⊥AB，AB=BD=4，AC=2，M，N分別為直線BC，AD上兩個動點，則最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將二面角放到長方體中，根據(jù)二面角的定義得到，根據(jù)幾何知識得到最小值為異面直線，的距離，然后將異面直線，的距離轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，即點到平面的距離，最后利用等體積求點到平面的距離即可.【詳解】如圖，將二面角放到長方體中，取，過點作面交面于點，由題意可知，，所以為二面角的平面角，即，因為，分別為直線，上的兩個動點，所以最小值為異面直線，的距離，由題意知，，所以四邊形為平行四邊形，，因為平面，平面，所以∥平面，則異面直線，的距離可轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，即點到平面的距離，設(shè)點到平面的距離為，則，，在直角三角形中，，，所以，，，，直角梯形中，，，，因為，，所以，，，，.故選：D.【點睛】方法點睛：求異面直線距離的方法：（1）找出異面直線的公垂線，然后求距離；（2）轉(zhuǎn)化為過直線甲且與直線乙平行的平面與直線乙的距離.二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.直線，則（）A.點在上 B.的傾斜角為C.的圖象不過第一象限 D.的方向向量為【答案】BC【解析】【分析】利用點與直線的位置關(guān)系可判斷A選項；求出直線的斜率，可得出直線的傾斜角，可判斷B選項；作出直線的圖象可判斷C選項；求出直線的方向向量，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，，所以，點不在上，A錯；對于B選項，直線的斜率為，故的傾斜角為，B對；對于C選項，直線交軸于點，交軸于點，如下圖所示：由圖可知，直線不過第一象限，C對；對于D選項，直線的一個方向向量為，而向量與這里不共線，D錯.故選：BC.10.下列結(jié)論正確的是（）A.兩個不同的平面的法向量分別是，則B.直線的方向向量，平面的法向量，則C.若，則點在平面內(nèi)D.若是空間的一組基底，則向量也是空間一組基底【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)平面向量的法向量垂直判斷A，根據(jù)直線與平面的關(guān)系判斷B，根據(jù)空間中共面基本定理判斷C，由空間向量基本定理判斷D.【詳解】因為，所以，故A正確；因為直線的方向向量，平面的法向量，不能確定直線是否在平面內(nèi)，故B不正確；因為，所以，，共面，即點在平面內(nèi)，故C正確；若是空間的一組基底，則對空間任意一個向量，存在唯一的實數(shù)組，使得，于是，所以也是空間一組基底，故D正確.故選：ACD.11.如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，分別是線段的中點，是線段上的一個動點（含端點），則下列說法正確的是（）A.存在點，使得B.存在點，使得異面直線與所成的角為C.三棱錐體積的最大值是D.當(dāng)點自向處運動時，二面角的平面角先變小后變大【答案】ACD【解析】【分析】以A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，向量法證明線線垂直判斷A選項；向量法求異面直線所成的角判斷選項B；由，求體積最大值判斷C選項；向量法求二面角余弦值的變化情況判斷選項D.【詳解】平面，四邊形是正方形，以A為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由，；對于A，假設(shè)存在點，使得，則，又，，解得：，即點與重合時，，A選項正確；對于B，假設(shè)存在點，使得異面直線與所成的角為，，，方程無解；不存在點，使得異面直線與所成的角為，B選項錯誤；對于C，連接；設(shè)，，當(dāng)，即點與點重合時，取得最大值2；又點到平面的距離，，C選項正確；對于D，由上分析知：，若是面的法向量，則，令，則，而面的法向量，所以，令，則，而，由從到的過程，由小變大，則由大變小，即由小變大，所以先變大，后變小，由圖知：二面角恒為銳角，故二面角先變小后變大，D選項正確.故選：ACD.三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知點，則直線的傾斜角是______．【答案】【分析】根據(jù)已知兩點的坐標(biāo)求得直線的斜率，即可求得答案.【詳解】由于，故直線的斜率為，因為直線的傾斜角范圍為，故直線傾斜角是，故答案為：13.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是矩形，，，點是的中點，點為線段上靠近的三等分點，則點到直線的距離為______．【答案】3【分析】說明兩兩垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點坐標(biāo)，根據(jù)空間距離的向量求法，即可求得答案.【詳解】取的中點為，連接，因為為的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又底面是矩形，點是的中點，的中點為，所以，以點為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由，得，所以，點為線段上靠近的三等分點，則，則，所以，，則，，因此點到直線的距離，故答案為：314.如圖，在中，，過的中點的動直線與線段交于點，將沿直線向上翻折至，使得點在平面內(nèi)的射影落在線段上，則斜線與平面所成角的正弦值的最大值為________．【答案】【解析】【分析】首先求出中邊，角的正弦與余弦值，以底面點為空間原點建系（如圖1），設(shè)點，由，得，求出坐標(biāo)，由得出滿足的關(guān)系式，從而可得的范圍也即的范圍，翻折過程中可得，設(shè)，，由向量的數(shù)量積為0從而得出關(guān)于的表達(dá)式，求得的范圍，再由線面角的正弦值得出結(jié)論．【詳解】中，根據(jù)余弦定理，，根據(jù)正弦定理，得，由知，則，如圖1，以底面點為空間原點建系，根據(jù)底面幾何關(guān)系，得點，設(shè)點，點的投影在軸上，即，由，根據(jù)兩點間距離公式，可得，整理為．圖1圖2如圖2，在翻折過程中，作于點，則，并且平面，所以平面平面，所以，即，其中．又動點在線段上，設(shè)，所以，且．由，得，又因為，對應(yīng)的的取值為，即，由已知斜線與平面所成角是，所以．故斜線與平面所成角的正弦值的最大值為．故答案為：．四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）15.已知直線過點.（1）若直線與垂直，求直線的方程；（2）若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由垂直斜率關(guān)系求得直線的斜率，再由點斜式寫出方程；（2）分別討論截距為0、不為0，其中不為0時可設(shè)為，代入點P，即可求得參數(shù)m【小問1詳解】直線的斜率為，則直線的斜率為，則直線的方程為，即；【小問2詳解】當(dāng)截距為0時，直線的方程為；當(dāng)截距不為0時，直線設(shè)為，代入解得，故直線的方程為.綜上，直線的方程為或16.已知空間中三點，，．（1）若，，三點共線，求的值；（2）若，的夾角是鈍角，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）且不同時成立.【解析】【分析】（1）由向量的坐標(biāo)表示確定、，再由三點共線，存在使，進而求出m、n，即可得結(jié)果.（2）由向量夾角的坐標(biāo)表示求，再根據(jù)鈍角可得，討論的情況，即可求范圍.【小問1詳解】由題設(shè)，，又，，三點共線，所以存在使，即，可得，所以.【小問2詳解】由，由（1）知：當(dāng)時，有；而，又，的夾角是鈍角，所以，可得；綜上，且不同時成立.17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，且，，已知側(cè)棱平面ABCD，設(shè)點E為棱PD的中點．（1）證明：平面ABP；（2）若，求點P到平面BCE的距離．【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）設(shè)為的中點,連接,，利用中位線的性質(zhì)證明四邊形是平行四邊形，則可得平面.（2）點為坐標(biāo)原點建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用點到平面的距離公式即可.【小問1詳解】設(shè)為的中點，連接,，是的中點，，,且，，四邊形是平行四邊形，，又平面平面平面.【小問2詳解】由于側(cè)棱平面，面，，，則以點為坐標(biāo)原點,以,,所在的直線為軸,軸,軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系,，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量,則有，即，令,則，點到平面的距離.18.如圖1，在中，，，分別為邊，的中點，且，將沿折起到的位置，使，如圖2，連接，.（1）求證：平面；（2）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值；（3）線段上一動點滿足，判斷是否存在，使二面角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）由中位線和垂直關(guān)系得到，，從而得到線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，求出線面角的正弦值；（3）求出兩平面的法向量，根據(jù)二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案.【小問1詳解】因為，分別為，的中點，所以.因為，所以，所以.又，，平面，所以平面.【小問2詳解】因為，，，所以，，兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，依題意有A0,0,0，，，D0,1,0，，，則，，，.設(shè)平面的法向量，則有令，得，，所以是平面的一個法向量.因為，所以直線與平面所成角的正弦值為.【小問3詳解】假設(shè)存在