數(shù)學(xué)學(xué)案：第一講二平行線分線段成比例定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精二平行線分線段成比例定理1．掌握平行線分線段成比例定理及其推論．2．能利用平行線分線段成比例定理及推論解決有關(guān)問(wèn)題．1．平行線分線段成比例定理文字語(yǔ)言三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段______符號(hào)語(yǔ)言a∥b∥c,直線m分別與a，b，c相交于點(diǎn)A,B，C，直線n分別與a，b，c相交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，則eq\f(AB，BC）＝____圖形語(yǔ)言作用證明分別在兩條直線上的線段成比例（1)定理的條件與平行線等分線段定理的條件相同,它需要a，b,c互相平行,構(gòu)成一組平行線，m與n可以平行，也可以相交，但它們必須與已知的平行線a，b,c相交,即被平行線a，b，c所截．平行線的條數(shù)還可以更多．（2)定理的結(jié)論還有eq\f（AB,AC）＝eq\f（DE，DF），eq\f(CB,CA）＝eq\f（FE,FD)等．可以歸納為eq\f(上，全)＝eq\f(上,全），eq\f（下，全）＝eq\f(下,全)等，便于記憶．（3)當(dāng)截得的對(duì)應(yīng)線段成比例,且比值為1時(shí),則截得的線段相等，因此平行線分線段成比例定理是平行線等分線段定理的擴(kuò)充，而平行線等分線段定理是平行線分線段成比例定理的特例；平行線等分線段定理是證明線段相等的依據(jù)，而平行線分線段成比例定理是證明線段成比例的途徑．【做一做1】如圖所示，a∥b∥c，AB＝2,BC＝3，則eq\f(A1B1，B1C1)等于(）A．eq\f(3，2)B．eq\f（2,3）C．eq\f（2,5)D．eq\f(3，5)2．推論文字語(yǔ)言平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段______符號(hào)語(yǔ)言直線DE分別與△ABC的兩邊AB，AC所在直線交于D，E,且DE∥BC，則eq\f（AD，DB)＝____圖形語(yǔ)言作用證明三角形中的線段成比例【做一做2－1】如圖所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝3，BD＝1,則eq\f（AE,AC）等于(）A．1B．3C．eq\f（4，3）D．eq\f（3，4)【做一做2－2】如圖，AB∥CD，AC，BD相交于O點(diǎn)，BO＝7，DO＝3，AC＝25,則AO的長(zhǎng)為（）A．10B．12。5C．15D．17。5答案：1．成比例eq\f(DE，EF)【做一做1】B∵a∥b∥c，∴eq\f（A1B1，B1C1)＝eq\f(AB,BC）＝eq\f（2，3）。2．成比例eq\f(AE，EC）【做一做2－1】D∵DE∥BC，∴eq\f（AE，AC)＝eq\f(AD,AB）＝eq\f(AD，AD＋BD)＝eq\f（3，3＋1）＝eq\f（3，4).【做一做2－2】D∵AB∥CD,∴eq\f(AO,OC）＝eq\f（BO,OD)＝eq\f（7,3)，∴eq\f(AO，AC）＝eq\f（7，10)，∴AO＝eq\f(7,10)AC＝eq\f（7，10）×25＝eq\f(35,2）＝17。5.比例的概念及有關(guān)性質(zhì)剖析：(1）線段的比：用同一個(gè)長(zhǎng)度單位去量?jī)蓷l線段，所得的長(zhǎng)度比叫做這兩條線段的比．(2)比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比,那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線段．(3)比例的有關(guān)概念：已知四條線段a，b，c，d，如果eq\f（a,b）＝eq\f(c，d）或a∶b＝c∶d，那么線段a，d叫做比例外項(xiàng)，線段b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng)，線段d叫做線段a，b，c的第四比例項(xiàng)．若eq\f（a,b）＝eq\f(b,c）或b2＝ac，那么線段b叫做線段a，c的比例中項(xiàng)．（4)比例的性質(zhì)：①基本性質(zhì)：a∶b＝c∶d?ad＝bc。②合比性質(zhì)：如果eq\f（a,b)＝eq\f(c，d)，那么eq\f(a＋b,b)＝eq\f（c＋d，d）.③等比性質(zhì)：如果eq\f(a，b)＝eq\f（c,d)＝…＝eq\f(m,n)(b＋d＋…＋n≠0），那么eq\f（a＋c＋…＋m，b＋d＋…＋n）＝eq\f（a，b).(5)線段的比與比例線段是既有區(qū)別又有聯(lián)系的兩個(gè)概念．線段的比是對(duì)兩條線段而言的，而比例線段是對(duì)四條線段而言的．線段的比有順序性，a∶b與b∶a通常是不相等的；比例線段也有順序性，如線段a,b，c，d成比例，與線段a，c，b,d成比例不同．題型一證明線段成比例【例題1】如圖，AD為△ABC的中線，在AB上取點(diǎn)E，AC上取點(diǎn)F,使AE＝AF,求證：eq\f（EP，F(xiàn)P）＝eq\f（AC，AB）.分析：在這道題目中所證的比例組合都沒(méi)有直接的聯(lián)系，可以考慮把比例轉(zhuǎn)移,過(guò)點(diǎn)C作CM∥EF，交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N，且BC的中點(diǎn)為D,可以考慮補(bǔ)出一個(gè)平行四邊形來(lái)求解．反思：(1)比例線段常由平行線產(chǎn)生，因而研究比例線段問(wèn)題應(yīng)注意平行線的應(yīng)用，在沒(méi)有平行線時(shí)，可以添加平行線來(lái)促成比例線段的產(chǎn)生．(2)利用平行線來(lái)轉(zhuǎn)移比例是常用的證題技巧，當(dāng)題中沒(méi)有平行線而有必要轉(zhuǎn)移比例時(shí),也常添加輔助平行線，從而達(dá)到轉(zhuǎn)移比例的目的，如本題中,eq\f（EP,FP）＝eq\f（MN，CN）＝eq\f(AM，GC）＝eq\f（AC,AB）。題型二證明線段相等【例題2】如圖,在△ABC中,E為中線AD上的一點(diǎn)，eq\f（DE,AE）＝eq\f（1，2)，連接BE并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)F，求證：AF＝CF.分析:切入點(diǎn)是條件eq\f（DE，AE）＝eq\f(1，2)的應(yīng)用，通過(guò)作平行線，證明eq\f（x,AF)＝eq\f（x,FC）,其中x是某條線段．題型三證明線段倒數(shù)和的等式【例題3】如圖，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，連接AD,BC交于點(diǎn)E，EF⊥BD于F，求證：eq\f(1,AB）＋eq\f(1,CD）＝eq\f（1,EF）。分析:轉(zhuǎn)化為證明eq\f(EF，AB)＋eq\f(EF，CD)＝1。由于AB∥EF∥CD，將eq\f（EF，AB)與eq\f（EF，CD)化歸為同一直線BD上的線段比就可證得．反思：證明有關(guān)線段倒數(shù)和的等式時(shí)，常用的方法是先將其變形為線段比的和為定值的形式，然后化歸為同一直線上的線段比．題型四計(jì)算線段長(zhǎng)度的比值【例題4】如圖，M是ABCD的邊AB的中點(diǎn)，直線l過(guò)M分別交AD,AC于E，F(xiàn),交CB的延長(zhǎng)線于N，若AE＝2，AD＝6.求AF∶AC的值．分析:?eq\x（AE＝BN）?eq\x(AF∶AC的值）反思:運(yùn)用平行線分線段成比例定理及推論來(lái)計(jì)算比值，應(yīng)分清相關(guān)三角形中的平行線段及所截的邊，并注意在求解過(guò)程中運(yùn)用比例的等比性質(zhì)、合比性質(zhì)等．答案：【例題1】證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM∥EF,交AB于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N.∵AE＝AF，∴AM＝AC?！逜D為△ABC的中線，∴BD＝CD。延長(zhǎng)AD到G,使得DG＝AD，連接BG，CG，則四邊形ABGC為平行四邊形．∴AB＝GC.∵CM∥EF，∴，∴。又AB∥GC，AM＝AC，GC＝AB,∴?！唷！纠}2】證明：過(guò)點(diǎn)D作DH∥AC，交BF于點(diǎn)H，如圖所示．∵D是BC的中點(diǎn),∴.∵,∴.又∵DH∥AF,∴.∴，∴AF＝CF?！纠}3】證明：∵AB⊥BD，CD⊥BD,EF⊥BD,∴AB∥EF∥CD，∴eq\f(EF，AB)＝eq\f（DF,BD）,eq\f（EF，CD）＝eq\f(BF，BD），∴eq\f（EF，AB)＋eq\f（EF,CD）＝eq\f（DF,BD）＋eq\f（BF，BD）＝eq\f（DF＋BF,BD）＝eq\f（BD,BD）＝1，∴eq\f（1，AB）＋eq\f(1,CD)＝eq\f（1,EF）。【例題4】解：∵AD∥BC，∴eq\f(AF，F(xiàn)C)＝eq\f（AE,NC）,∴eq\f（AF,AF＋FC)＝eq\f（AE，AE＋NC）,即eq\f（AF,AC）＝eq\f(AE,AE＋NC）.∵eq\f（AE，BN)＝eq\f（AM，MB)＝1，∴AE＝BN?！鄀q\f（AF,AC）＝eq\f（AE，AE＋BN＋BC）＝eq\f（AE,2AE＋BC).∵AE＝2,BC＝AD＝6，∴eq\f（AF，AC）＝eq\f（2,2×2＋6）＝eq\f(1,5）,即AF∶AC＝1∶5.1（2011·廣東汕頭二模)如圖，在四邊形ABCD中，EF∥BC，F(xiàn)G∥AD，則eq\f(EF,BC)＋eq\f(FG，AD)＝__________。2（2011·廣東廣州二模)在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且EF∥AD，若eq\f(AE，EB）＝eq\f（3,4），則EF的長(zhǎng)為_(kāi)_________．3如圖,在梯形ABCD中,AB∥DC，一條直線平行于兩底，且順次交AD,BD，AC，BC于E,F，G，H。求證：EF＝GH。4如圖所示,已知直線FD和△ABC的BC邊交于點(diǎn)D，與AC邊交于點(diǎn)E，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,且BD＝DC,求證：AE·FB＝EC·FA．5如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF經(jīng)過(guò)梯形對(duì)角線的交點(diǎn)O，且EF∥AD．(1）求證：OE＝OF；(2）求證:eq\f(1,AD)＋eq\f(1，BC）＝eq\f(2，EF)。答案：1．1∵EF∥BC，∴eq\f(EF，BC）＝eq\f（AF,AC）。∵FG∥AD,∴eq\f(FG,AD）＝eq\f（CF,CA),∴eq\f（EF,BC）＋eq\f（FG,AD)＝eq\f(AF,AC）＋eq\f（CF,CA）＝eq\f(AF＋FC,AC）＝eq\f（AC，AC)＝1。2．eq\f（23,7)如圖所示，連接AC交EF于G，由于EF∥AD,AD∥BC，則EG∥BC，所以。又，則,又BC＝5,則EG＝·BC＝；同理可得GF＝，所以EF＝EG+GF＝.3．分析:轉(zhuǎn)化為證明eq\f（EF,AB)＝eq\f（GH，AB).證明：因?yàn)镋F∥AB，所以eq\f（EF,AB)＝eq\f（DE,DA).因?yàn)镚H∥AB,所以eq\f(GH,AB）＝eq\f（CH，CB）。因?yàn)镈C∥EH∥AB，所以eq\f（DE,DA）＝eq\f(CH,CB)。所以eq\f（EF,AB）＝eq\f(GH,AB),即EF＝GH。4．分析:本題只需證eq\f(AE，EC）＝eq\f（FA,FB）即可．由于eq\f（AE，EC）與eq\f（FA,FB）沒(méi)有直接關(guān)系，必須尋找過(guò)渡比將它們聯(lián)系起來(lái)，因此考慮添加平行線構(gòu)造過(guò)渡比．證明:過(guò)點(diǎn)A作AG∥BC，交DF于點(diǎn)G,如圖所示．∵AG∥BD,∴。又∵BD＝DC，∴.∵AG∥DC,∴.∴，即AE·FB＝EC·FA。5．分析：（1)轉(zhuǎn)化為證明eq\f(OE，BC)＝eq\f（OF，BC）；(2）轉(zhuǎn)化為證明eq\f(EF，AD）＋eq\f（EF,BC)＝2，即eq\f（OE,AD）＋eq\f（OE，BC)＝1.證明：因?yàn)镋F∥AD,AD∥BC,所以EF∥AD∥BC.(1)因?yàn)镋F∥BC,所以eq\f（OE，BC)＝eq\f(AE,AB）,eq\f（OF，BC)＝eq\f(DF，DC）.因?yàn)镋F∥AD∥BC，所以eq\f（AE，AB)＝eq\f(DF,DC）。所以eq\f(OE，BC）＝eq\f(OF,BC）,即OE＝OF.（2)因?yàn)镺E∥A