數(shù)學(xué)自我小測：球的性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自我小測第一課時1設(shè)M、N是球O半徑OP上的兩點，且NP＝MN＝OM，分別過N、M、O作垂直于OP的平面,截球面得三個圓，則這三個圓的面積之比為（)A．3∶5∶6B．3∶6∶8C．5∶7∶92長方體ABCD—A1B1C1D1的8個頂點在同一個球面上，且AB＝2，AD＝eq\r（3），AA1＝1,則頂點A、B間的球面距離是（）A．2eq\r（2)πB.eq\r(2)πC.eq\f(\r(2)π，2）D.eq\f(\r（2）π,4)3已知地球的半徑為R，甲、乙兩地都在0°經(jīng)線上，且甲在赤道上，若甲、乙兩地的球面距離為eq\f(π,4)R,則乙地在的緯線是（）A．北緯45°B．南緯45°C．北緯45°或南緯45°D．北緯90°4(2008高考江西卷，理10）連結(jié)球面上兩點的線段稱為球的弦．半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長度分別等于2eq\r(7）、4eq\r(3）,M、N分別為AB、CD的中點，每條弦的兩端都在球面上運動，有下列四個命題：①弦AB、CD可能相交于點M；②弦AB、CD可能相交于點N；③MN的最大值為5；④MN的最小值為1.其中真命題的個數(shù)為()A．1B．2C．35半徑為12的球面上P、Q、R三點,每兩點間的球面距離均為6π，則球心到過P、Q、R的三點的截面的距離是（)A．6eq\r(2)B．6eq\r(6）C．4eq\r(6）D．4eq\r（3）6已知點A、B、C、D在同一個球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝6,AC＝2eq\r（13），AD＝8，則B、C兩點間的球面距離是__________．7如圖所示，一個半徑為eq\r(21）的球O中有一個各棱長都相等的內(nèi)接正三棱柱ABC—A1B1C1，則這個正三棱柱的棱長是________．8如圖，正四面體的四個頂點都在半徑為3的一個球面上，求這個正四面體的高．9A、B、C是半徑為1的球面上三點，B、C兩點間的球面距離為eq\f（π,3）,點A與B、C兩點間的球面距離都為eq\f（π,2),球心為O,求：（1)∠BOC、∠AOB、∠AOC的大??；（2)球心到截面ABC的距離．10設(shè)球O的半徑是1，A、B、C是球面上三點，已知A到B、C兩點的球面距離都是eq\f(π,2)，且二面角BOAC的大小為eq\f(π，3)，求從A點沿球面經(jīng)過B、C兩點再回到A點的最短距離．第二課時1一個正方體與一個球表面積相等，那么它們的體積比是()A.eq\f(\r（6π),6)B.eq\f（\r(2),2)C。eq\f（\r（2π)，2)D.eq\f（3\r（π）,2π)2用與球心距離為1的平面去截球,所得的截面面積為π，則球的體積為（）A.eq\f(8π，3）B.eq\f(8\r(2)π，3）C．8eq\r（2）πD。eq\f（32π,3)3設(shè)A、B、C、D是球面上的四個點，且在同一平面內(nèi)，AB＝BC＝CD＝DA＝3，球心到該平面的距離是球半徑的一半,則球的體積是(）A．8eq\r(6)πB．64eq\r(6)πC．24eq\r（2)πD．72eq\r（2)π4一個正方體的各頂點均在同一球的球面上,若該球的體積為4eq\r（3）π，則該正方體的表面積為__________．5在體積為4eq\r(3)π的球的表面上有A、B、C三點，AB＝1,BC＝eq\r(2），A、C兩點的球面距離為eq\f（\r（3）π，3)，則球心到平面ABC的距離為__________．6如圖，已知球O的面上四點A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝eq\r（3)，則球O的體積等于__________．7設(shè)OA是球O的半徑，M是OA的中點,過M且與OA成45°角的平面截球O的表面得到圓C，若圓C的面積等于eq\f（7π,4),則球O的表面積等于__________．8已知底面邊長為2的正四棱柱內(nèi)接于半徑為2的球，求正四棱柱的體積．9已知圓錐內(nèi)切球的面積等于底面積與側(cè)面積和的一半，求母線與底面夾角的正弦值．10過半徑為R的球面上一點作三條兩兩垂直的弦MA、MB、MC，求證：MA2＋MB2＋MC2為定值．

參考答案第一課時1解析：作出球的軸截面圖如右圖．設(shè)球的半徑為3R，則MM′＝eq\r（9R2－R2)＝eq\r（8)R，NN′＝eq\r（9R2－4R2)＝eq\r（5)R。∴所截三個圓的面積之比為：[π·（eq\r（5)R)2]∶［π·(eq\r（8)R）2］∶［π·（3R）2]＝5∶8∶9.答案:D2解析：如圖，由題意知球心O為長方體的體對角線BD1的中點．又|BD1|＝eq\r（12＋22＋\r（3)2）＝2eq\r（2)，∴長方體外接球半徑為eq\r(2)。∴｜OA|＝｜OB|＝eq\r(2）。又|AB｜＝2,∴|OA|2＋|OB｜2＝｜AB|2.∴∠AOB＝eq\f(π，2).∴A、B間的球面距離為eq\f(π,2）·eq\r(2）＝eq\f(\r(2）π，2).答案：C3解析：甲、乙兩地所對的“球心角”為eq\f(180°，4)＝45°.∴乙在北緯45°或南緯45°的緯線上．答案：C4解析：①③④為真命題，②為假命題．答案：C5解析：如圖．設(shè)兩點間的大圓圓弧所對的圓心角為α，則α·r＝l，即α＝eq\f(l，r)＝eq\f（6π，12）＝eq\f(π，2)。又OP＝OQ＝OR＝12，PO⊥QO,PO⊥OR，OQ⊥OR，則PO⊥平面QOR，且PQ＝QR＝PR＝12eq\r（2).設(shè)點O到平面PRQ的距離為h.因為VO—PQR＝VP-ROQ，所以eq\f（1,3)S△PQR·h＝eq\f(1,3）S△OQR·PO。解得h＝4eq\r(3)。答案：D6解析：如圖所示，由條件可知AC⊥CD,以AD為球的定弦，分別連結(jié)球面上的B、C兩點，均有AB⊥BD，AC⊥CD。由此可知AD為該球的直徑,設(shè)AD的中點為O,則O為球心，連接OB、OC，由AB＝6,AD＝8，AC＝2eq\r(13）得球的半徑OB＝OC＝OA＝OD＝4，BC＝4，所以球心角∠BOC＝eq\f（π，3）.所以B、C兩點間的球面距離為eq\f（4π，3）。答案:eq\f(4π,3）7解析：設(shè)△A1B1C1的外接圓的圓心為O1，半徑為r，連結(jié)OC1、OO1、O1C設(shè)棱長為a，eq\f（a，\f（\r(3）,2))＝2r,r＝eq\f（a,\r(3))。在Rt△OO1C1中，OC1＝R,OO1＝eq\f(a,2）,O1C1＝r，∴R2＝r2＋OOeq\o\al（2，1)?！?1＝eq\f（a2，3）＋eq\f(a2，4）?！郺2＝36?！郺＝6.答案：68解：設(shè)正四面體的棱長為x,△ABC的中心為H,球心為O.在Rt△AHO中,OH2＝OA2－AH2＝32－(eq\f（\r（3）,3）x)2，又在Rt△AHS中,SH2＝SA2－AH2，∴SH2＝x2－(eq\f（\r（3）,3）x）2＝eq\f(2，3)x2,SH＝eq\r（\f（2，3）)x,OH＝eq\r(\f(2，3））x－3?！?eq\r（\f(2，3))x－3）2＋(eq\f(\r(3）,3）x）2＝9。則x＝2eq\r（6).∴正四面體的高為eq\r(SA2－AH2)＝eq\r(2\r(6）2－\f(2，3）×\f(\r（3），2)×2\r(6）2）＝4，即正四面體的高為4。9解：（1）∠BOC＝eq\f(\f(π,3),1)＝eq\f（π，3)，∠AOB＝eq\f(\f（π,2),1)＝eq\f(π，2)，∠AOC＝eq\f（\f(π,2)，1）＝eq\f（π,2).(2）連結(jié)OA、OB、OC、AB、AC、BC得三棱錐O—ABC，設(shè)OH⊥平面ABC于H，則h＝OH為球心到截面ABC的距離．由OA⊥OB，OA⊥OC得OA⊥平面OBC,VO—ABC＝eq\f(1，3）·1·S△OBC＝eq\f（1，3）×eq\f（\r(3)，4）＝eq\f(\r（3）,12）。又VO—ABC＝eq\f（1,3)·h·S△ABC＝eq\f（1,3)·h·eq\f（1,2）·eq\f(\r(7),2)，∴eq\r（3）＝eq\r（7)h，即h＝eq\f(\r（21）,7）。10解：如圖所示，因為A到B、C兩點的球面距離都是eq\f(π，2）,又球的半徑為1，所以∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,2），即AO⊥OB,AO⊥OC.所以∠BOC即為二面角BOAC的平面角,即∠BOC＝eq\f（π,3）.所以B、C兩點間的球面距離為eq\f（π，3）。從而從A點沿球面經(jīng)過B、C兩點再回到A點的最短距離是eq\f(π,2)＋eq\f(π，2)＋eq\f（π，3)＝eq\f(4π,3).第二課時1答案:A2解析：截面面積為π,則該小圓的半徑為1，設(shè)球的半徑為R,則R2＝12＋12＝2,∴R＝eq\r（2），V＝eq\f（4π,3)R3＝eq\f(8\r（2)π，3).答案:B3解析:A、B、C、D所在平面截球面得一圓，且A、B、C、D內(nèi)接于該圓．由AB＝BC＝CD＝DA可知四邊形ABCD為邊長是3的正方形．故該圓半徑r＝eq\f(3，2）eq\r(2）.設(shè)該圓圓心為O1，球心為O，球半徑為R,則在Rt△OO1A中，OA2＝OOeq\o\al(2,1)＋O1A2,即R2＝（eq\f(R,2））2＋(eq\f（3,2)eq\r（2)）2，于是R＝eq\r(6)。于是，球體積V＝eq\f（4,3）πR3＝eq\f(4,3)π·6eq\r(6）＝8eq\r（6）π。答案:A4解析：設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為r，則2r＝eq\r（3）a,∴a＝eq\f(2,3）eq\r（3)r?！遝q\f(4，3）πr3＝4eq\r(3）π,∴r＝eq\r(3)?！郺＝2?！嗾襟w的表面積為6a2＝24.答案：245解析：設(shè)球的半徑為R,則eq\f（4π,3）R3＝4eq\r(3）π,∴R＝eq\r(3）.設(shè)球心為O,則∠AOC＝eq\f（π，3)，∴AC＝eq\r（3).∵AB＝1，BC＝eq\r（2)，∴∠ABC＝90°。∴球心到平面ABC的距離為eq\r(\r(3)2－\f(\r(3),2）2）＝eq\f(3，2）.答案：eq\f(3,2）6解析：球O即棱長為eq\r（3）的正方體的外接球,其半徑r＝eq\f(\r(\r(3）2＋\r(3)2＋\r(3）2）,2）＝eq\f（3,2）。V＝eq\f(4π，3）r3＝eq\f（9π,2).答案：eq\f（9π，2）7解析：如圖所示,設(shè)球半徑為R,球心O到截面圓的距離為d，在Rt△ONB中，d2＝R2－BN2。①又∵π·BN2＝eq\f(7π,4）,∴BN2＝eq\f(7,4）.在△ONM中，d＝OM·sin45°＝eq\f(R，2)·eq\f（\r(2），2）,②將②代入①得eq\f（R2,8)＝R2－eq\f（7,4）,∴R2＝2.∴S球＝4πR2＝8π.答案：8π8解：設(shè)正四棱柱的高為h,則其對角線長為eq\r（22＋22＋h2)?！哒睦庵鶅?nèi)接于球，∴正四棱柱的對角線長等于球的直徑．∴eq\r（22＋22＋h2）＝2×2?！鄅＝2eq\r(2)?！郪正四棱柱＝22·2eq\r(2）＝8eq\r(2)，即正四棱柱的體積為8eq\r(2).9解：圓錐的軸截面是等腰三角形，球的大圓O恰是△ABC的內(nèi)切圓，設(shè)圓錐的母線為l,底面半徑為r，球半徑為R，母線和底面夾角為2θ，則r＝Rcotθ，l＝eq\f(r，cos2θ）＝eq\f(Rcotθ，cos2θ）。則有4πR2＝eq\f(1，2)［πRcotθ（Rcotθ＋eq\f（Rcotθ，cos2θ))］,化簡整理，得(3cos2θ－2）2＝0，∴cos2θ＝eq\f（2，3），sin2θ＝eq\f（1，3).∴sin2θ＝2sinθ·cosθ