自控原理課件-第2章-自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第2章自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)而找出改善系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)性能的具體方法。自動(dòng)控制理論在方法上是先把具體的系統(tǒng)抽象成數(shù)學(xué)模型，然后以數(shù)學(xué)模型為對(duì)象，應(yīng)用控制理論所提供的方法去分析它的性能和研究改進(jìn)性能的途徑。在這個(gè)基礎(chǔ)上，應(yīng)用所得結(jié)論去指導(dǎo)對(duì)實(shí)際系統(tǒng)的分析和改進(jìn)。因此，建立數(shù)學(xué)模型是分析和研究自動(dòng)控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)。

自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，即通過(guò)決定系統(tǒng)特征的物理定律，如機(jī)械、電氣、熱力、液壓、氣動(dòng)等方面的基本定律而寫(xiě)成的，它代表系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各變量之間的相互關(guān)系，既定性又定量地描述了整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程。經(jīng)典控制理論中常用的數(shù)學(xué)模型是動(dòng)態(tài)微分方程、傳遞函數(shù)和系統(tǒng)方框圖。

2.2.1動(dòng)態(tài)微分方程

建立數(shù)學(xué)模型的目的在于確定輸出量與輸入量之間的函數(shù)關(guān)系，而描述系統(tǒng)輸出和輸入之間關(guān)系的最直接的數(shù)學(xué)方法就是列寫(xiě)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)微分方程。微分方程是連續(xù)系統(tǒng)最基本的數(shù)學(xué)模型。建立系統(tǒng)微分方程的方法有兩種：一種是機(jī)理分析法，這種方法是根據(jù)各環(huán)節(jié)所遵循的物理規(guī)律(如力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、電磁學(xué)、熱學(xué)等)來(lái)編寫(xiě)；另一種是實(shí)驗(yàn)辨識(shí)法，這種方法是根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理編寫(xiě)。在實(shí)際工作中，這兩種方法是相輔相成的。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于簡(jiǎn)單的環(huán)節(jié)或裝置，應(yīng)用機(jī)理分析法建立微分方程的一般步驟是：

①對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行定性分析，確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。

②從輸入量開(kāi)始，根據(jù)各元件或環(huán)節(jié)所遵循的物理規(guī)律，列寫(xiě)它們?cè)嫉奈⒎址匠獭?/p>

③消去中間變量，求取一個(gè)只含有系統(tǒng)輸入量和輸出量的系統(tǒng)微分方程。

多用理論推導(dǎo)；而對(duì)于復(fù)雜的裝置，往往因涉及的因素較多，而采用實(shí)驗(yàn)辨認(rèn)法。由于機(jī)理分析法是基本的、常用的方法，所以本書(shū)主要討論這種方法。下面通過(guò)幾個(gè)例子進(jìn)一步說(shuō)明建立系統(tǒng)微分方程的步驟。[例2．9]列寫(xiě)圖2．4所示示RLC串聯(lián)電路的微分方程。

解：(1)確定輸入和輸出量。網(wǎng)絡(luò)的輸入量為電壓ur(t)，輸出量為電壓uc(t)(2)根據(jù)電路理論，列出原始微分方程。④整理方程成為標(biāo)準(zhǔn)形式，即將與輸入量相關(guān)各項(xiàng)放在等號(hào)右邊，與輸出量相關(guān)各項(xiàng)放

在等號(hào)左邊，各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列，并將方程中的系數(shù)化成具有一定物理意義的表示形式。2．2．2傳遞函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型的目的是為了對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行性能分析。分析自動(dòng)控制系統(tǒng)最直接的方法是求解微分方程，求得被控量在動(dòng)態(tài)過(guò)程中的時(shí)間函數(shù)，然后根據(jù)時(shí)間函數(shù)的曲線(xiàn)對(duì)系統(tǒng)性能進(jìn)行分析。求解的方法有經(jīng)典法、拉氏變換法等。拉氏變換法是求解微分方程的簡(jiǎn)便方法，當(dāng)采用這一方法時(shí)。微分方程的求解就成為象函數(shù)的代數(shù)方程和查表求解，使計(jì)算大為簡(jiǎn)化。更重要的是，采用拉氏變換法能把以線(xiàn)性微分方程描述的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換成復(fù)數(shù)域中代數(shù)形式的數(shù)學(xué)模型——傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的性能，而且可以用來(lái)分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。經(jīng)典控制理論中應(yīng)用最廣泛的頻率特性法和根軌跡法就是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)建立起來(lái)的，傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本最重要的概念。1．傳遞函數(shù)的定義在零初始條件下，系統(tǒng)的輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比，即（2．41）2．傳遞函數(shù)的性質(zhì)①傳遞函數(shù)與微分方程具有相通性，只要把系統(tǒng)或元件微分方程中各階導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)階次的復(fù)變量s替代，就很容易求得系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)。同時(shí)，傳遞函數(shù)與微分方程具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，確定的微分方程只有惟一的傳遞函數(shù)和它對(duì)應(yīng)。②傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式，具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)。式(2．42)中，m≤n，系數(shù)均為實(shí)數(shù)，它們是由組成系統(tǒng)的元件或參數(shù)構(gòu)成，而傳遞函數(shù)完全取決于其系數(shù)，所以傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)本身內(nèi)部結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而與輸入量、擾動(dòng)量等外部因素?zé)o關(guān)，它代表了系統(tǒng)的固有特性，是一種用系統(tǒng)參數(shù)來(lái)表示輸入輸出之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，稱(chēng)為系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域模型。③傳遞函數(shù)是一種運(yùn)算函數(shù)。由傳遞函數(shù)定義式變換可得，C(s)＝R(s)G(s)，此式表明，只要已知一個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)，則對(duì)任意一個(gè)輸入量R(t)，只要用其象函數(shù)R(s)乘以G(S)，就可得輸出量的象函數(shù)C(s)，再經(jīng)拉氏逆變換，即可得輸出量c(t)。2．2．3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)—個(gè)系統(tǒng)是由許多環(huán)節(jié)組合而成的，雖然各種環(huán)節(jié)具體結(jié)構(gòu)的作用原理是多種多樣的，但是拋開(kāi)其具體結(jié)構(gòu)和物理特點(diǎn)，許多環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)特性和傳遞函數(shù)是具有共性的?，F(xiàn)按照環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的異同、歸納為幾種典型環(huán)節(jié)。掌握這些典型環(huán)節(jié)的特點(diǎn)，可以更方便地分析復(fù)雜系統(tǒng)內(nèi)部各環(huán)節(jié)間的聯(lián)系。這些典型環(huán)節(jié)是：比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)?，F(xiàn)分別介紹如下。1．比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是：輸出量與輸入量之間的關(guān)系是一種固定的比例關(guān)系，也就是輸出量能無(wú)失真、無(wú)滯后地按一定比例復(fù)現(xiàn)輸入量。在自動(dòng)控制系統(tǒng)中，若系統(tǒng)中具有兩個(gè)不同形式的儲(chǔ)能元件，而兩種元件中的能量又能相互交換，就可能在交換和儲(chǔ)存過(guò)程中出現(xiàn)振蕩，形成振蕩環(huán)節(jié)。例如，前面介紹的例2．9中的機(jī)械平移系統(tǒng)中含有儲(chǔ)存彈性勢(shì)能的彈簧和儲(chǔ)存動(dòng)能的機(jī)械負(fù)載，而這兩種能量能相互交換，所以在

時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生振蕩。同樣，例2．11中的RLC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，由于含有儲(chǔ)存磁場(chǎng)能的電感和儲(chǔ)存電場(chǎng)能的電容，而這兩種能量也能相互交換，所以在R＜2時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生振蕩。2．2．4系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖一個(gè)控制系統(tǒng)總是由很多環(huán)節(jié)組合而成的。從信號(hào)傳遞的角度去看，可以把一個(gè)系統(tǒng)分成若干個(gè)環(huán)節(jié)，每一個(gè)環(huán)節(jié)都有對(duì)應(yīng)的輸入量、輸出量以及它們的傳遞函數(shù)。為了表明每一個(gè)環(huán)節(jié)在系統(tǒng)中的作用和功能，在控制工程中常常采用結(jié)構(gòu)框圖。結(jié)構(gòu)框圖是控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的圖形表示方法，它可以形象地描述自動(dòng)控制系統(tǒng)各環(huán)節(jié)之間和各作用量之間的相互聯(lián)系，具有簡(jiǎn)明直觀、運(yùn)算方便的優(yōu)點(diǎn)，是分析控制系統(tǒng)的一種常用方法。結(jié)構(gòu)框圖由信號(hào)線(xiàn)、引出點(diǎn)、比較點(diǎn)和功能框組成，它們的形狀如圖2．20所示?，F(xiàn)分別介紹如下。1．信號(hào)線(xiàn)信號(hào)線(xiàn)是帶有箭頭的直線(xiàn)，箭頭表示信號(hào)的流向，在直線(xiàn)旁標(biāo)記信號(hào)的象函數(shù)，如圖2．20(a)所示。2．引出點(diǎn)引出點(diǎn)表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置。從同一位置引出的信號(hào)在數(shù)值和性質(zhì)上完全相同，圖2．20(b)所示。3．比較點(diǎn)

比較點(diǎn)表示多個(gè)信號(hào)在此處疊加，輸出量等于輸入量的代數(shù)和。因此在信號(hào)輸入處要標(biāo)明信號(hào)的極性，如圖2．20(c)所示。4．功能框功能框表示一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的環(huán)節(jié)對(duì)信號(hào)的影響?？蜃筮叺募^處標(biāo)以輸人量的象函數(shù)，框右邊的箭頭處標(biāo)以輸出量的象函數(shù)，框內(nèi)為這一單元的傳遞函數(shù)。輸出量等于輸入量與傳遞函數(shù)的乘積，即C(s)＝R(s)G(s)繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖時(shí)，首先對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行定性分析，確定系統(tǒng)中含有的獨(dú)立環(huán)節(jié)或單元，分別列寫(xiě)