半角模型-【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案（解析版）(一)-中考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點(diǎn)資料歸納

【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案

專題02半角模型

解題策略

；花生1:JT刀形中4半角模型

如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E.F分別在邊I3C,CD上./EAF=45°,連接EF.貝h

(\)EF=BE+DFi

(2)如圖2,過點(diǎn)A作AG_￡EF于點(diǎn)G,則AG=AD；

(3)如圖3.連接BD,與AE交于點(diǎn)H.連接FH.則FH±AE.

【拓展1】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)EA分別在邊CB,DC的延長線上,NEAF=45」連接EF,則

EF=DF-BE.

【拓展2】將正方形變成一組鄰邊相等、對(duì)角互補(bǔ)的四邊形:如圖.在四邊形ABCD中,AB=AD.

NBAD+/C=180°,點(diǎn)E,F分別在邊3C,CD上,/￡八尸=：/心［).連接EF,則EF=IiE+DF.

A

E

D

F

B

、G

模型2：等腰直角三角形中的半角模型

如圖?在△ABC中,八3=AC.NBAC=90°.點(diǎn)D,E在邊HC上，且/DAE=45°.則:

(1)ABAEcz>AADEcoACDA；

(2)HD2+CEt=DE2.

經(jīng)典例題

1八zuzu?山四口市?八年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示:已知中，Z.BAC=90°,4B=AC,

在4B4C內(nèi)部作z_M4N=45°,4M、AN分別交BC于點(diǎn)M,N.

［操作］（1）將ZL4BM繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使4B邊與4C邊重合，把旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記

作點(diǎn)Q,得到4CQ,請(qǐng)?jiān)趫D中畫出/4CQ;（不寫出畫法）

［探究］（2）在（1）作圖的基礎(chǔ)上，連接NQ,求證：MN=NQ;

［拓展］（3）寫出線段BM,MN和NC之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并簡要說明理由.

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）MN2=BM2+NC2,理由見詳解.

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度進(jìn)行作圖即可：

（2）先根據(jù)SAS判定AMAN絲AQAN,進(jìn)而得出結(jié)論；

（3）再由全等三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出MN=NQ,MB=CQ,最后根據(jù)RsNCQ中的勾

股定理得出結(jié)論；

【詳解】解：（1）如圖，AACQ即為所求；

A

(2)證明：由旋轉(zhuǎn)可得，△ABMgaACQ,

；.AM=AQ,NBAM=NCAQ

VZMAN=45°,ZBAC=90°

.\ZBAM+ZNAC=45°

ZCAQ+ZNAC=45°,即ZNAQ=45°

在4MAN和^QAN中

AM=AQ

乙MAN=乙QAN,

AN=AN

.,.△MAN^AQAN（SAS）,

；.MN=NQ；

（3）MN2=BM2+NC2；

由（2）中可知，MN=NQ,MB=CQ,

又/NCQ=NNCA+ACQ=ZNCA+ZABM=450+45°=90°

在RtANCQ中，有

NQ2=CQ2+NC2,

即MN2=BM2+NC2；

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、全等三角形，以及勾股定理，解決問題的關(guān)鍵是掌握

旋轉(zhuǎn)變換思想方法在解決問題過程中的應(yīng)用.解題時(shí)注意：①旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小

（即旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等）,②任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角彼此相等（都

是旋轉(zhuǎn)角），③經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.

【例2】.（2022?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）折一折：將正方形紙片488折疊，使邊AB、AD

都落在對(duì)角線AC上，展開得折痕AE、AF,連接EF,如圖1.

(1)Z￡AF=。，寫出圖中兩個(gè)等腰三角形：(不需要添加字母)；

⑵轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的/E4F繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊8C、C￡＞于點(diǎn)P、Q,連接

PQ,如圖2.線段BP、PQ、。。之間的數(shù)量關(guān)系為；

⑶連接正方形對(duì)角線8。，若圖2中的/外。的邊AP、AQ分別交對(duì)角線8。于點(diǎn)M、點(diǎn)N,

如圖3,則穿=:

(4)剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線8。剪開，如圖4.求證：BM2+DN2=MN2.

【答案】(1)45；^AEF,△CEF,

⑵PQ=BP+DQ

⑶應(yīng)

(4)見解析

【分析】(1)利用翻折變換的性質(zhì)可得NEA尸=45。，證明△BAE嶺△D4F(ASA),推出8E

=DF,AE=AF,可得結(jié)論.

(2)結(jié)論：PQ=BP+DQ.如圖2中，延長C8到T,使得8T=力。.證明△布儂△以。

(SAS),可得結(jié)論.

(3)證明△可得絲="=夜.

(4)如圖4中，將^ACW繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABR,連接RM.證明△AMR^/XAMN

(SAS),NR8M=90。，可得結(jié)論.

(1)

解：如圖1中，

圖1

?四邊形A8CD是正方形，

：.AB=AD=BC=CD,ZBAD=90°,

，A8C,△ADC都是等腰三角形，

'：ZBAE=ZCAE,ZDAF=ZCAF,

：

.NEAF=-2(ZBAC+ZDAC)=45°,

VZBAE=Z￡>AF=22.5°,NB=ND=90。,AB=AD,

J.^BAE^ADAF(A5A),

:?BE=DF,AE=AFf

，：CB=CD,

???CE=C尸，

:.l\AEF,尸都是等腰三角形，

故答案為：45,△AEF,△EFC.

(2)

解：結(jié)論：PQ=BP+DQ.

理由：如圖2中，延長。8到7,使得BT=O0.

圖2

'：AD=AB,NADQ=NABT=90。，DQ=BT,

：.AADQ^/^ABT(SAS),

：.AT=AQfZDAQ=ZBATf

YN以。=45。，

ZPAT=ZBAP+ZBAT=ZBAP+ZDAQ=45°,

：.ZR\T^ZPAQ=45°,

"：AP=AP,

：./\PAT^/\PAQ(SAS),

：.PQ=PT,

"：PT=PB+BT^PB+DQ,

:.PQ=BP+DQ.

故答案為：PQ^BP+DQ.

(3)

圖3

?..四邊形A2C￡>是正方形，

AZABM=ZACQ=ZBAC=45°,AC=y/2AB,

"：ZBAC=ZPAQ=45°,

：.ZBAM^ZCAQ,

：./\CAQ^>/\BAM,

.CQAC后

*''BM-布-'T

故答案為：y/2-

(4)

證明：如圖4中，將△AON繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AABR,連接RM.

圖4

'：ZBAD=90°,NMAN=45。,

：.ZDAN+NBAM=45。，

'：ZDAN=ZBAR,

：.ZBAM+ZBAR^45°,

：.ZMAR=ZMAN=45°,

,:AR=AN，AM=AM,

:.XAMR^MkMN(SAS),

：.RM=MN,

'：ND=NABR=Z,

N/?BM=90。，

:.RM2=BR2+BM2,

,:DN=BR,MN=RM,

：.BM2+DN2=MN2.

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定

理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決

問題，屬于中考?jí)狠S題.

【例3】.(2022.江蘇?八年級(jí)專題練習(xí))問題情境

在等邊△ABC的兩邊A8,AC上分別有兩點(diǎn)M,N,點(diǎn)。為△ABC外一點(diǎn)，且NM￡?N=60。，

ZBZ)C=120°,BD=DC.

(圖1)(圖2)

特例探究

如圖1,當(dāng)。M=￡W時(shí)，

(1)/MDB=度；

(2)MN與BM,NC之間的數(shù)量關(guān)系為；

歸納證明

(3)如圖2,當(dāng)。時(shí)，在NC的延長線上取點(diǎn)￡,使CE=BM,連接。E,猜想MN

與3M,NC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

拓展應(yīng)用

(4)△AMN的周長與△ABC的周長的比為.

【答案】(I)30；(2)MN=BM+NC；(3)MN=BM+NC,證明見解析；(4)|

【分析】(1)先證明△是等邊三角形，則MN=DM=DN,再證明/?/△DBM經(jīng)RtADCN

(HD,得NBDM=NCDN=30。：

(2)由(1)得DM=2BM,可得結(jié)論MN=2BM=8例+NC；

歸納證明：先證△DBM4△DCE(.HL),得DM=DE,ZBDM=ZCDE,再證△MDN沿/\EDN

(SAS),得MN=NE,可得結(jié)論MN=BM+CN；

拓展應(yīng)用：

(3)首先根據(jù)題意利用SAS證明△OBM空△DCE,然后證明△MDN絲△￡：￡＞可,根據(jù)全等

三角形對(duì)應(yīng)相等通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可得到MN=BM+NC；

(4)由(3)得到MN=8M+NC,則△4MN的周長=248,△42C的周長=3AB,即可得出

結(jié)論.

【詳解】特例探究：

解：(1),:DM=DN,NMDN=60。,

是等邊三角形，

：.MN=DM=DN,

VZBDC=120°,BD=DC,

：.ZDBC=ZDCB=30°,

「△ABC是等邊三角形，

：.ZABC=ZACB=60°,

：.NDBM=NDCN=90°,

,:BD=CD,DM=DN,

；./?，△DBMgRtADCN(HL),

：.NMDB=/NQC=30。，

故答案為：30；

(2)由(1)得：DM=2BM,DM=MN,Rt&DBMSRtADCN(HL),

：.BM=CN,

：.DM=MN=2BM=BM+NC,

即MN=BM+NC；

歸納證明

(3)解：猜想：MN=BM+NC,證明如下：

ZVIBC是等邊三角形，

/ABC=NACB=60°,

VBD=CD,ZBDC=120°,

：.ZDBC=ZDCB=30°,

：.NMBD=ZNCD=90°.

：.NMBD=ECD=90°,

又.：BD=CD,BM=CE,

：./\DBM^/\DCE(SAS),

：.DM=DE,NMDB=NEDC,

?/NMDN=60。,ZBDC=120°,

；./MDB+NNDC=60。,

：.NEDN=NNDC+NEDC=/MDB+NNDC=60。,

：.NEDN=ZMDN,

又,：DN=DN,

：.4MDNmAEDN(SAS),

，MN=EN=EC+NC=BM+NC；

拓展應(yīng)用

(4)解：由(I)(2)得：MN=BM+NC,

：./XAMN的周長=AM+MN+AN=AM+BM+NC+AN=AB+AC=2AB,

?.'△ABC是等邊三角形，

：.AB=BC^AC,

.,.△ABC的周長=3AB,

的周長與△ABC的周長的比為黑=g,

故答案為：

【點(diǎn)睛】此題考查/等邊三角形的性質(zhì)的，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).

【例4】(2020?全國?九年級(jí)專題練習(xí))請(qǐng)閱讀下列材料：

已知：如圖(1)在RtAABC中，N84C=90。，AB=AC,點(diǎn)￡＞、E分別為線段BC上兩動(dòng)

點(diǎn)，若ND4￡=45。.探究線段B。、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系：

(I)猜想B。、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，直接寫出你的猜想；

(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段BC上，動(dòng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)在線段C3延長線上時(shí)，如圖(2),其它條件不

變，(1)中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說明你的猜想并給予證明；

（3）已知I：如圖（3）,等邊三角形ABC中，點(diǎn)。、E在邊AB上,且NOCE=30。，請(qǐng)你找

出一個(gè)條件，使線段。E、AD.EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂角的

度數(shù).

【答案】（1）￡>￡2=fiD2+￡C2；（2）關(guān)系式?！?=8￡>2+反；2仍然成立，詳見解析；（3）當(dāng)AO

=8E時(shí)，線段。樂AD,EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，且頂角NDFE為120。.

（分析】（1）。0=83+￡。,將&AO8沿直線A￡）對(duì)折，得△連FE,得到△AFD^/^ABD,

然后可以得到AF=A8,FD=DB,ZFAD=ZBAD,ZAFD=ZABD,再利用己知條件可以

證明△AFEZA4CE,從而可以得到/。尸￡：=乙4/。+乙4尸￡：=45。+45。=90。，根據(jù)勾股定理

即可證明猜想的結(jié)論；

（2）根據(jù)（1）的思路一樣可以解決問題；

（3）當(dāng)AC=BE時(shí)，線段￡>E、AD,EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形.如圖，與（1）類似，以

CE為一邊，作NECF=NECB,在CF上截取CF=CB,可得△CFE^△CBE,ADCF^/\DCA,

然后可以得到EF=BE.由此可以得到NQFE=N1+N2=/A+/B=12O。，這樣

就可以解決問題.

【詳解】解：（1）DE2^BD2+EC2；

證明：如圖，將△4￡>2沿直線4。對(duì)折，得△AFD,連FE,

：.^AFD^/^ABD,

：.AF=AB,FD=DB,NFAD=NBAD,NAFD=NABD,

"：ZBAC=90°,/D4E=45。

，ZBAD+ZCAE=45°,ZFAD+ZFAE^45°,

：.ZCAE^ZFAE

又AE=AE,AF=AB=AC

AAFE^AACE,

ZDFE=ZAFD+ZAFE=450+45°=90°,

.\DE2^FD2+EF2

：.D^^Biy+EC^

（2）關(guān)系式。尸二夕4+反^仍然成立.

證明：將△AOB沿直線AQ對(duì)折，得△AFD,連FE

：.AF=ABfFD=DB,

NFAD=NBAD,ZAFD=ZABD,

又??,AB=4C,

：.AF=AC,

???ZFAE=ZMD+ZDAE=ZMD+450,

ZEAC=ZBAC-ZBAE=900-CZDAE-ZDAB)=45°+ZDAB,

：.ZFAE=ZEAC,

又?.?AE=AE,

???/\AFE^/\ACE,

：?FE=EC,ZAFE=ZACE=45°,ZAFD=ZABD=180°-ZABC=135°

：.ZDFE=ZAFD-ZAFE=135°-45°=90°,

，在RSOEE中，。尸+五七2=。0,

即DE2=BD2+EG；

(3)當(dāng)AO=BE時(shí)，線段DE、AD.E5能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形.

如圖，與(2)類似，以CE為一邊,作NECF=NECB,在C尸上截取C尸=C8,

可得ACFEqACBE,△DCF^/XDCA.

：.AD=DFfEF=BE.

.,.ZDFE=Z1+Z2=ZA+ZB=12O°.

若使△。尸E為等腰三角形，只需DF=EF,即AD=8E,

???當(dāng)AO=8E時(shí)，線段。E、AD.E8能構(gòu)成?個(gè)等腰三角形，且頂角/。/石為120。.

【點(diǎn)睛】此題比較復(fù)雜，考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的

應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，此題關(guān)鍵是正確找出輔助線，通過輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題，要掌握

輔助線的作圖根據(jù).

培優(yōu)訓(xùn)練

一、解答題

1.（2022?陜西西安?七年級(jí)期末）問題背景:

如圖1,在四邊形ABCQ中AB=AD,Z.BAD=120°,乙B=^ADC=90°,E、F分別是BC,

CD上的點(diǎn)，且/E4尸=60。，探究圖中線段BE,EF,尸。之間的數(shù)量關(guān)系.小王同學(xué)探究此

問題的方法是，延長到點(diǎn)G,使。G=BE,連接AG,先證明△4BE三△4DG,再證明

LAEF^t^AGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是.

G

圖1

實(shí)際應(yīng)用:

如圖2,在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化ABCC,四周修有步行小徑，且AB=AQ,ZB

+Z￡>=180°,在小徑BC,8上各修一涼亭E,F,在涼亭E與F之間有一池塘，不能直

接到達(dá)，經(jīng)測(cè)量得NE4F=^4B/1。，BE=10米，。尸=15米，試求兩涼亭之間的距離EF.

圖2

【答案】問題背景：EF^BE+FD,實(shí)際應(yīng)用：兩涼亭之間的距離E尸為25米

【分析】（1）根據(jù)“8E絲zMOG可得BE=QG,根據(jù)△A￡WZ\AGF得EF=GF,進(jìn)而求得

結(jié)果；

（2）延長CD至H,使DH=BE,可證得△AO"絲/VIBE,進(jìn)而證得△欣H絲△E4E,進(jìn)一步

求得EF.

【詳解】解：問題背景：VZADC=90°,ZADC+ZADG=l80°,

：.ZADG=90°,

在△A8E和AADG中，

BE=DG

Z-B=Z.ADG，

AB=AD

：./\ABE^^ADG(SAS),

：.AE=AG,NBAE二NDAG,

VZEAF=60°,NBAD=120。,

???ZBAE+DAF=120°-60°=60°,

JZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=60°=ZEAF,

在△A￡77和AAGF中，

AE=AG

Z.EAF=Z.GAF，

.AF=AF

：.AAEF^AAGF(SAS),

:.EF=FG,

?；FG=DG+DF=BE+DF,

：?EF=BE+DF,

故答案為：EF=BE+DF；

實(shí)際應(yīng)用：如圖2,延長C￡＞至“，使DH=BE,連接A”,

H

VZB+ZA￡>C=180°,NAO"+NAOC=180。,

:.ZADH=ZB,

在和△ABE中，

AD=AB

Z.ADH=乙B,

.DH=BE

:、XADgMABE(SAS),

：.AE=AHfZBAE=ZDAHf

???ZEAF=^ZBAD,

2

：.ZHAF=ZDAH+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=ZEAFf

在△4￡77和△A“產(chǎn)中，

AE=AH

Z-EAF=4HAF,

AF=AF

：./\AEF^/\AGF(SAS),

：.EF=FH,

"：FH=DH+DF=BE+DF,

：.EF=BE+DF,

?.?8E=10米，。尸=15米，

.?,EF=10+15=25(米).

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是四邊形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，作輔

助線構(gòu)造全等三角形并兩次證全等是解題的關(guān)鍵.

2.(2022.河北邢臺(tái).九年級(jí)期末)學(xué)完旋轉(zhuǎn)這一章，老師給同學(xué)們出了這樣一道題：

“如圖1,在正方形ABCO中，NE4F=45。，求證：EF=BE+DF.”

小明同學(xué)的思路：?.?四邊形ABC。是正方形，...ABMAD,ZB=ZADC=90°.

把4ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△4DE，的位置，然后證明4AFE^△AFE',從而可得EF=E'F.

E'F=E'D+DF=BE+DF,從而使問題得證.

圖1圖2圖3圖4

(1)【探究】請(qǐng)你參考小明的解題思路解決下面問題：

如圖2,在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB=ZD=90°,AEAF=AD,直接寫出EF,

BE,。尸之間的數(shù)量關(guān)系.

(2)【應(yīng)用】如圖3,在四邊形ABCQ中，AB=AQ,ZB+Z￡>=180°,Z.EAF=AD,求

證：EF=BE+DF.

(3)【知識(shí)遷移】如圖4,四邊形A8PC是。。的內(nèi)接四邊形，BC是直徑，AB=AC,請(qǐng)直接

寫出PB+PC與AP的關(guān)系.

【答案】(1)8￡+。尸=￡：尸

(2)證明見解析

(3)PB+PC=>[2PA

【分析】(1)將4A8E繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于NBA/)得4ADE',證明△AEF^/\AE'F,

等量代換即得結(jié)論；

(2)將△ABE繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于NBAD,先證明/E4F=NE'4F,再證明

△AEF絲△AE'F,等量代換即得結(jié)論；

(3)將△口尸繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明P,C,

P'在同一直線上，再證明為等腰直角三角形，等量代換即得結(jié)論.

(1)

解：結(jié)論：BE+DF=EF,理由如下：

證明：將△A8E繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于NBAQ,使得AB與AO重合，點(diǎn)E轉(zhuǎn)到點(diǎn)

E，的位置，如圖所示，

可知AABE三△4DE',

:.BE=DE'.

由NA￡)C+NADE'=180^[l,C、D、E'共線,

,：Z.EAF=-^BAD,

2

ZBAF+ZDAF=ZEAF,

：.ZDAE'+ZDAF=ZEAF=Z.E'AF,

：./\AEF^AAE'F,

:.EF=E'F=BE+DF.

(2)

證明：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于NBAD,使得AB與4C重合，點(diǎn)E轉(zhuǎn)到點(diǎn)

E'的位置，如圖所示，

A

B

由旋轉(zhuǎn)可知△4BE三△ADE',

：.BE=DE',ZB=Z.ADE',Z.BAE=Z.DAE',AE=AE'.

,.,ZB+ZADC=180°,

：.^ADC+AADE'=180°,

...點(diǎn)C,D,E'在同一條直線上.

,：Z.EAF=-/.BAD,

2

/.Z.BAE+Z.DAF=-2/.BAD,

：

.Z.DAE'+Z.DAF=-2BAD,

"FAE'=-2/.BAD,

：.LEAF=Z.FAE'.

'：AF=-AF,

C.^FAE'^^FAE,

：.FE=FE',BPBE+DF=EF.

(3)

結(jié)論：PB+PC=V2PA,理由如下：

證明：將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AACP，，使得A8與AC重合，如圖所示,

由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得：ZACP'+ZACP=ISO°,

即P,C,P，在同一直線上.

：.BP=CP',AP=AP',

?；8C為直徑，

：.ZBAC=90°=ZBAP+ZPAC=ZCAP'+ZB\C=APAP',

...△PAP'為等腰直角三角形，

PP'=五PA,

即PB+PC=&PA.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)與全等三角形的綜合應(yīng)用、直徑所對(duì)的圓周角是直角、圓內(nèi)接四邊

形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).解題關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形.

3.(2021?重慶?九年級(jí)專題練習(xí))將銳角為45。的直角三角板MPN的一個(gè)銳角頂點(diǎn)戶與正方

形A8C。的頂點(diǎn)A重合，正方形A8C。固定不動(dòng)，然后將三角板繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，NMPN的

兩邊分別與正方形的邊BC、DC或其所在直線相交于點(diǎn)E、F,連接EF.

(1)在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)NMPN的兩邊分別與正方形的邊CB、OC相交時(shí)，如圖1

所示，請(qǐng)直接寫出線段BE、DF、EF滿足的數(shù)量關(guān)系:

(2)在三角板旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)NMPN的兩邊分別與正方形的邊CB、DC的延長線相交時(shí),

如圖2所示，請(qǐng)直接寫出線段BE、DF、EF滿足的數(shù)量關(guān)系；

(3)若正方形的邊長為4,在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)NMPN的一邊恰好經(jīng)過8c邊的中點(diǎn)

時(shí)，試求線段EF的長.

【答案】(1)EF=DF+BE；(2)EF=DF-BE；(3)線段EF的長為?或g.

(分析］(1)延長FD至G,使DG=BE,連接AG,先證△ABE^/XADG,再證△GAF^/\EAF

即可；

(2)在。C上截取/)H=8E,連接先證再證△/MF嶺EAF即可；

(3)分兩種情形分別求解即可解決問題.

【詳解】解：(1)結(jié)論：EF=BE+DF.

理由：延長F￡＞至G,使OG=BE,連接AG,如圖①，

圖①

???ABC。是正方形，

：.AB=AD,NABE=ADG=NDAB=90。,

：./XABE^/XADG(A4S),

：.AE=AGtZDAG=ZEAB,

VZE4F=45°,

.".ZDAF+ZEAB=45°,

.'.ZDy4F+ZDAG=45°,

：.ZGAF=ZEAF=45°f

,:AF=AF,

：./\GAF^^\EAF(A45),

:?EF=GF,

：.GF=DF+DG=DF+BE,

BP：EF=DF+BE；

(2)結(jié)論：EF=DF-BE.

理由：在。。上截取OH=8E,連接如圖②,

,

：AD=ABtZADH=ZABE=90°,

/\ADH^/\ABE(SAS),

：.AH=AEfNDAH=NEAB,

'/ZEAF=ZEAB+ZBAF=45°f

???ND4"+NBAE=45。，

：.ZHAF=450=ZEAF9

\*AF=AF,

：./\HAF^EAF(SAS),

：.HF=EFf

,:DF=DH+HF,

：.EF=DF-BE；

(3)①當(dāng)MA經(jīng)過BC的中點(diǎn)E時(shí)，同(1)作輔助線，如圖:

設(shè)/7>=x,由(1)的結(jié)論得FG=￡F=2+JGFC=4-x.

在RSEFC中,(x+2)2=(4-x)2+22,

?4

.-X=T,

3

EF=x+2=-y.

②當(dāng)MA經(jīng)過8C的中點(diǎn)G時(shí)，同(2)作輔助線，

My

1H

AD

設(shè)BE=x,由(2)的結(jié)論得EC=4+x,EF=FH,

???K為3c邊的中點(diǎn)，

：.CK=-BC=2

29

同理可證AABK紀(jì)/CK(SAS),

:?CF=AB=4,EF=FH=CF+CD?DH=8?x,

在放△EFC中，由勾股定理得到：(4+x)2+42=(8-x)2,

????!=4-，

3

上空.

33

綜上，線段EF的長為?或g.

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性

質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題，

學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

4.(2022?全國?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))綜合與實(shí)踐

(1)如圖1,在正方形A8C。中，點(diǎn)”、N分別在A。、CQ上，若NMBN=45。,則MN,

AM,CN的數(shù)量關(guān)系為

(2)如圖2,在四邊形ABC。中，BC//AD,AB=BC,N4+NC=180。，點(diǎn)〃、N分別在

A。、CD±,若/MBN^NABC,試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出

猜想，并給予證明.

(3)如圖3,在四邊形ABC。中，AB=BC,NA2C+/AOC=180。，點(diǎn)M、N分別在D4、

CD的延長線上，若NMBN=〉A(chǔ)BC,試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為.

【答案】(1)MN=AM+CN；(2)MN=AM+CN,理由見解析；(3)MN=CN-AM,理由見解析

(分析】(1)把^ABM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使AB邊與BC邊重合，則AM=CM',BM=BM',

/A=/BCAT,ZABM=ZM'BC,可得到點(diǎn)AT、C、N三點(diǎn)共線，再由/MB245。，可得

NM'BN=NMBN,從而證得△即可求解；

(2)把^A8M繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使4B邊與BC邊重合,則4M=C",8M=8W,ZA=ZBCM',

NABM=NM'BC,由/4+NC=180。，可得點(diǎn)M，、C、N三點(diǎn)共線，再由

可得到/8M從而證得△即可求解：

(3)在NC上截取CAT=AM,連接由NA8C+NADC=180。，可得再

由AB=8C,可證得△A8M絲△C8AT,從而得到AA/=CM',BM=BM',NABM=NCBM',

進(jìn)而得到再由NM8N=1/A8C,可得NMBN=NM，BN,從而得到

&NBM沿△NBM：即可求解.

【詳解】解：(1)如圖，把繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使48邊與8c邊重合，則AM=CM,

BM=BM',NA=NBCM',NABM=NM'BC,

在正方形ABCC中，ZA=ZBCD=ZABC=<)O0,AB=BC

.?./8CM'+/8CQ=180°,

，點(diǎn)”、C、N三點(diǎn)共線,

V/MBN=45°,

：./ABM+/CBN=45°,

：.NMEN=NM'BC+NCBN=NABM+/CBNU50,

即NM，BN=NMBN,

■:BN=BN,

:?△NBMQANBMl

:?MN=M'N,

■:MN=M，C+CN,

：.MN=M'C+CN=AM+CN；

(2)MN=AM+CN：理由如下：

如圖，把△4BM繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使A8邊與8c邊重合，則AM=CM，,8M=8M，,ZA=ZBCM\

VZA+ZC=180°,

.'.ZBCM,+ZBCD=180°,

，點(diǎn)M、C、N三點(diǎn)共線,

■:/MBN=+/ABC,

2

NABM+NCBN±NABC=NMBN,

2

：./CBN+/M，BC=/MBN,即NM'BN=NMBN,

■:BN=BN,

:?△NBMm△NBM\

:.MN二M'N,

■:MN;MGCN,

：.MN=M'C+CN=AM+CN；

(3)MN=CN-AM,理由如下：

如圖，在NC上截取CAT=4M,連接8AA

;在四邊形ABCO中，ZABC+ZADC=180°,

/.ZC+ZBAD=180°,

VZBAM+ZBAD=180°,

：.ZBAM=ZCf

?：AB=BC,

：.△ABM絲△C3M,

???AM=CM',BM=BW,NABM=NCBM;

'：/MBN=d/ABC,

2

：.ZMBN=-ZMAM'=ZM'BN,

2

?；BN=BN,

:ANBM@△NBM;

:?MN=M'N,

?:M，N=CN-CM',

:?MN=CN-AM.

故答案是：MN=CN-AM.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等二角形的性質(zhì)和判定，圖形的旋轉(zhuǎn)，根據(jù)題意

做適當(dāng)輔助線，得到全等三角形是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?江蘇?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD,^B=zD=90°,

E,產(chǎn)分別是邊BC,CD上的點(diǎn)，SL^EAF=^BAD.請(qǐng)直接寫出線段EF,BE,F。之間的數(shù)

量關(guān)系：;

(2)如圖②，在四邊形ABCO中，AB=AD,NB+N。=180。，E,尸分別是邊BC,C。上

的點(diǎn)，且=(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫出證明過程；

(3)在四邊形ABCC中，AB=AD,=180。，E,尸分別是邊BC,CD所在直線上

的點(diǎn)，^EAF=^BAD.請(qǐng)畫出圖形(除圖②外)，并直接寫出線段EF,BE,FD之間的

數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)EF=BE+FD；(2)成立，理由見解析；(3)圖形見解析，EF=BE-FD

【分析】(I)延長E8到G,使8G=。凡連接4G.證明△AGE和AAEF全等，則E/三GE,

則E尸=BE+￡)R證明ZMBE和△AE廠中全等，那么AG=4F,Z1=Z2,

Z1+Z3=Z2+Z3=ZEAF=|ZBAD.從而得出EF=GE；

(2)思路和作輔助線的方法同(1)；

(3)根據(jù)(1)的證法，我們可得出DF=8G,GE=EF,那么EF=GE=BE-BG=BE-DF.

【詳解】(1)延長EB至G,使BG=DF,連接4G,

,：Z.ABG=4ABC=Z.D=90°,AB=AD,

MABG/AADF,

：.AG=AF,Z1=42,

.".zl+43=42+N3=/LEAF=-2￡.BAD,

：.LGAE=LEAF.

在△G4E和△凡4E中，

AG=AF

VzG/lE=Z-EAF,

AE=AE

：.^GAE^^FAE(SAS\

：.EG=E凡

■:EG=BE+BG,

：.EF=BE+FD.

故答案為：EF=BE+FD

(2)(1)中的結(jié)論仍成立，

證明：延長CB至M,使BM=D凡

Vz/IBC4-zD=180°,zl+^ABC=180°,

zl=乙D,

在△4BM和△4DF中，

AB=AD

Z1=ZD，

BM=DF

：.AF=AM,Z2=43,

：AA

"EAF=-2BAD,

.\Z2+Z4=-2/.BAD=/LEAF,

/.Z3+Z4=4EZ尸即4MAE=LEAF,

在和△河￡■中，

-AM=AF

/MAE=AEAF,

AB=AE

：.^AME^^AFE(SAS),

：.EF=ME,即EF=BE+BM.

(3)EF=BE-FD,

證明：在BE上截取BG使BG=DF,

連接4G,

;NB+440。=180。，LADF^Z.ADC=180°,

乙B=Z.ADF,

???在△4BG和△ADF中，

AB=AD

乙48G=Z^ADF,

BG=DF

，△力"絲△ADF(SAS),

：./.BAG=Z.DAF,AG=AF.

：./-BAG+Z-EAD=^LDAF+Z-EAD=乙EAF=建BAD,

2

：.Z.GAE=LEAF.

在△4EG和△4EF中，

AG=AF

Z.GAE=Z-EAF,

AE=AE

???△4EGgUEF(S4S),

：.EG=EF,

'：EG=BE—BG,

：.EF=BE-FD.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，通過全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解

題關(guān)鍵，沒有明確的全等三角形時(shí)，要通過輔助線來構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)的全等三

角形.

6.(2021.遼寧?沈陽市南昌中學(xué)(含：西校區(qū)、光榮中學(xué))九年級(jí)階段練習(xí))如圖，菱形ABC。

與菱形EBGF的頂點(diǎn)8重合，頂點(diǎn)F在射線AC上運(yùn)動(dòng)，且/BCD=/BGF=120。，對(duì)角線

AC、80相交于點(diǎn)O.

(1)如圖1.當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí)，直接寫出黑的值為；

(2)當(dāng)頂點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到如圖2的位置時(shí)，連接CG,CG1BG,且CG=BC,試探究CG與

。尸的數(shù)量關(guān)系，說明理由，并直接寫出直線CG與。尸所夾銳角的度數(shù)；

(3)如圖3,取點(diǎn)尸為A力的中點(diǎn)，若B、E、P三點(diǎn)共線，且當(dāng)CF=2時(shí)，請(qǐng)直接寫出8P

的長.

【答案】⑴(2)=V3CG.30°；(3)3夕

【分析】(1)設(shè)菱形ABCO邊長48=2a,由菱形性質(zhì)和己知得出乙4BC=30°,/.BAO=60°,

BF^FD=^AB=^3a,再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出8/=/0=島，

AE=EF=BE=\AB=a,進(jìn)而求得空的值；

(2)菱形4BC0的邊長為2a,由△BGC是等腰直角三角形CG==&a，再已知菱形

的條件，求出△80F是等腰直角三角形，繼而得出BF=D尸=傷口，從而求出尸O=KCG,

由B、O是關(guān)于AC的軸對(duì)稱可知〃。尸="8/=15。，再由三角形外角的性質(zhì)可得直線

CG與DF所夾銳角的度數(shù)為30。；

(3)利用半角模型將ABCF逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到4B4M位置，從而得出△BNF三△BNM(SAS),

得到一個(gè)由CP、NF、AN三條線段長組成的三角形，而且有內(nèi)角為120。，從而確定三條線

段關(guān)系，再利用中位線定理和三角形相似在菱形中得出NF、AN與菱形邊長關(guān)系，求出菱形

邊長即可解答.

【詳解】解：(1)設(shè)菱形A8CD邊長4B=2a,

:在菱形ABC。中，Z.BCD=Z.BGF=120%

：.AC1BD,/.ABC=60°,/.BAD=120°,

/./.ABD=30°,/.BAO=60°,BF_FD=—AB_\[3a，

-2—

???在四邊形EBGF是菱形，LBGF=120°,BE=EF,

???(EBH=乙EFH=30°,

??.L.AFE=60°,

LAFE=Z.EAO=60°f

：.AE=EF,

：.AE=EF_BE=-AB=a,

-2

AEay[3

FD>J3a3

(2)FD=MCG，直線CG與。尸所夾銳角的度數(shù)為30。.

理由如下，如圖，連接8F,延長GC交尸。于M

設(shè)菱形ABC。的邊長為2a,

VCG1BG,且CG=BG,

。，

."GBC=NGCB-_45CG=—2BC=V2a

■:乙GBE=60°,

四邊形EBGF是菱形，乙BGF=120°,

???乙GBF=乙BFG_+乙GBE=30°,

-2

：4BF=乙GBC-乙GBF=15°,

J./.OBF=4OBC+Z.CBF=300+15°=45°,

,：AC1BD,BO=DO,

：.Z.BFO=乙OBF=45°,BF=DF,

由（2）可知：BO=V3a，

:.BF=DF=#a，

--DF=V3CG,

由8、。是關(guān)于4c的軸對(duì)稱可知，々CDF=NCBF=15。,

又:乙DCN=180°-4BCG-乙BCD=15°,

"GNF=乙CDF+乙DCN=30°,

即直線CG與。尸所夾銳角的度數(shù)為30。；

（3）BP=3夕，

過程如下：依題意，作出圖形，此時(shí)從E、P三點(diǎn)共線,

連接8F,并將線段8尸繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到8M位置，連接MG、MA,

LCBA=ZFFM=6O°,BC=BA

“BCF三〉BAM(SAS)

，AM=CF=2，4MAB=乙FCB=60°,

■:乙EBF=4乙GBE=30°,

2

LMBN=乙FBM-乙FBN=30°,

:?乙MBG=乙FBG=30°,

BNF三ABNM(SAS),

:?FN=MN

過M點(diǎn)作

?54。=60°,

：./LMAH=60°,Z.HMA=30°,

=^AM=1,MH=V3AH=W，

取O。的中點(diǎn)°,連接0尸，

，：AP=PD,

：.PQ=107l,PQ//OA,

A△BNOFBPQ,

.NOBO2OQ2

..—=—==

PQBQ3OQ3

21

：.NO=-PQ=-OA

3y3f

設(shè)菱形4BCD的邊長為2Q,則4。=CO=^AB=Q,

AN=AO-ON=a--a=-a

33f

14

MN=FN=CO+ON-CF=a+%—2=±a-2,

33

2

NH=NA+AH=-a+l,

在中，NH2+MH2=MN2,

.?.(|a+l)2+(V3)2=(^a-2)2,

解得。1=0(舍去),。2=3，

'-PQ=|-BQ=jo。=|V3a=產(chǎn)，

?.?在Rt^BPQ中，BQ2+PQ2=BP2,

:.BP=JBQ2+PQ2=(|)2+(273)2=3夕.

【點(diǎn)睛】本題是幾何旋轉(zhuǎn)綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)全等、30°直角三角形性質(zhì)

和勾股定理解三角形等，解題關(guān)鍵是利用特殊角進(jìn)行計(jì)算得出其他角度數(shù)，利用旋轉(zhuǎn)得到由

CF、NF、AN三條線段長組成的三角形，而且有內(nèi)角為120°,從而通過已知計(jì)算.

7.(2022?江蘇?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，&4=CB,CA1CB,乙ECF=45°,CD=CF,乙ACD=

乙BCF.

(1)求NACE+NBCF的度數(shù)；

(2)以E為圓心，以4E長為半徑作弧；以尸為圓心，以BF長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)G,

試探索AEFG的形狀？是銳角三形，直角三角形還是鈍角三角形？請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)45°；(2)見詳解

【分析】⑴由CA_LC8,可得N4CB=90。，再根據(jù)NECF=45。，即可得出答案；

(2)如圖，連接OE,先證明△ECF絲△￡C￡>(SAS),可得DE=EF,再證明△CAD四△CBF

(SAS),可得ZCAD=ZB,即可得出/D4E=90。，再利用SSS證明△EFG好AEDA,

即可得出答案.

【詳解】解：(1)VCA1CB,

：./ACB=90。，

/.ZACE+ZECF+4C尸=90°,

NECF=45。，

ZACE+ZBCF=900-ZECF=45°；

(2)AEFG是直角三角形，理由如下：

如圖，連接。E,

由(1)知，ZAC￡+ZBCF=45°,

?.,NACD=NBCF,

：.ZACE+ZACD=45°f即NQCE=45。，

VZECF=45°,

:?NECF=NECD,

在^ECF^IJAECD中,

CF=CD

(ECF=(ECD，

CE=CE

：./\ECF^/\ECD(SAS),

：.DE=EF,

在^。1。和4。3萬中，

(CD=CF

\z-ACD=乙BCF,

(CA=CB

：./\CAD^/\CBF(SAS),

:.AD=BF,ZCAD=ZB,

?：FG=BF,

:.FG=AD,

VZACB=90°,CA=CB,

???△ABC是等腰直角三角形，

???NCA8=N8=45。，

???ZDAE=ZCAB+ZB=90°,

在△EFG和△EDA中，

EG=EA

FG=AD,

EF=ED

：./\EFG^/\EDA(SS5),

/.ZEGF=ZEAD=90°,

???△MG是直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，全

等三角形判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，熟練運(yùn)用全等三角形

判定和性質(zhì)解決問題.

8.（2021?河南平頂山?九年級(jí)期中）（1）閱讀理解

如圖1,在正方形ABCQ中，若E,F分別是CD,8C邊上的點(diǎn)，NEAF=45。，則我們常常

會(huì)想到：把AADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到AABG.易證AAEF絲,得出線段8F,

DE,EF之間的關(guān)系為；

（2）類比探究

如圖2,在等邊AABC中，D,E為BC邊上的點(diǎn)，ZDAE=30°,BD=\,EC=2.求線段

OE的長；

（3）拓展應(yīng)用

如圖3,在AABC中，AB=AC=V^+夜，NBAC=150。，點(diǎn)力，E在8c邊上，NDAE=75。,

若。E是等腰△AQE的腰，請(qǐng)直接寫出線段8。的長.

圖1圖2圖3

【答案】(1)AAGF,EF=DE+BF-.(2)DE=V7;(3)B￡>=2或2小

【分析】(I)證明△AG尸絲△?!￡■尸(S4S),則GF=E尸，B|JGF^BG+BF^DE+BF^EF,即

可求解：

(2)證明△(SAS),則FD=DE,在FBH中,NFBH=6。。,則BH=*F

=1,尸，=84山60。=2'號(hào)=四，則=^PH2+HD2=夕=ED,即可求解；

(3)①當(dāng)￡)E=A。時(shí)，在AABC中，A8=AC=^+&,NHAC

222

=30°,由BC=^AB+AH)2+HC2得：BC=(x+旦)2+(Ax),求出2c=4+2H；在^ADE

22

中，AD=DE=a,NA￡)E=30°,同理可得：AE=^^-a,由4￥+40=8序，求出a=2,

2

即可求解；②當(dāng)。E=AE時(shí)，8。對(duì)應(yīng)①中的CE,即可求解.

【詳解】解：(1)由圖象的旋轉(zhuǎn)知，AG=AE,NDAE=NGAB,

；N8AF+NDAE=NBAD-ZEAF=45°,

：.ZGAF^ZGAB+ZBAF^ZDAE+ZBAF=90°-NEAF=45°=NEAF,

又「AGnAE,AF=AF,

：.AAGF^AAEF(SAS),

：.GF=EF,

即GF=BG+BF=DE+BF=EF,

即EF=DE+BF,

故答案為：LAGF,EF=DE+BF；

(2)將^AEC圍繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)到△AFB的位置，連接FD,

由(1)知，△AFB絲△AEC(SAS),則AF=AE,FB=EC=2,

,/ZMD=ZFAB+ZBAD=NEAC+NBAD=ABAC-ZDAE=60°-30°=/DAE,

'."AD^AD,AF^AE,

：./\AFD^/\AED(SAS),

：.FD=DE,ZABF=ZC=60°,

在ABQF中，BD=\,BF=2,ZFBD=ZABF+ZABC=60°+60°=120°,

過點(diǎn)尸作尸HJ_B。交￡)8的延長線于點(diǎn)H,則/k8，=60。，

在山△FBH中,ZFBH=60°,則沙=1,FH=8Fsin6(T=2x苧=百，

則FD=>/FH2+HD2=y[7=ED

故DE=V7：

HBDEC

圖1

(3)①當(dāng)￡>E=4￡>時(shí)，則N0AE=NOEA=75。，貝Ij/A￡)E=180°-2x75°=30°,

在等腰△ABC中，N8AC=150。，則N48C=NACB=15°,

將△AEC圍繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AA/B所