2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章不等式推理與證明第五節(jié)直接證明與間接證明教師文檔教案文北師大版

PAGE第五節(jié)干脆證明與間接證明授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第116頁[基礎(chǔ)梳理]1．干脆證明內(nèi)容綜合法分析法定義從已知條件動(dòng)身，經(jīng)過逐步的推理，最終達(dá)到待證結(jié)論的方法，是一種從緣由推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法從待證結(jié)論動(dòng)身，一步一步尋求結(jié)論成立的充分條件，最終達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí)的方法，是一種從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的緣由的思維方法特點(diǎn)從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，事實(shí)上是要找尋它的必要條件從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，事實(shí)上是要找尋它的充分條件2.間接證明——反證法要證明某一結(jié)論Q是正確的，但不干脆證明，而是先去假設(shè)Q不成立(即Q的反面非Q是正確的)，經(jīng)過正確的推理，最終得出沖突，因此說明非Q是錯(cuò)誤的，從而斷定結(jié)論Q是正確的，這種證明方法叫作反證法．[四基自測(cè)]1．(基礎(chǔ)點(diǎn)：綜合法)命題“對(duì)隨意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的證明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”過程應(yīng)用了()A．分析法B．綜合法C．綜合法、分析法綜合運(yùn)用D．間接證明法答案：B2．(基礎(chǔ)點(diǎn)：分析法)要證a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a(chǎn)2＋b2－1－eq\f(a4＋b4,2)≤0C.eq\f(（a＋b）2,2)－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0答案：D3．(易錯(cuò)點(diǎn)：反證法)用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”，假設(shè)正確的是()A．假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都不大于60°B．假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都大于60°C．假設(shè)三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°D．假設(shè)三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°答案：B4．(基礎(chǔ)點(diǎn)：反證法)用反證法證明“假如a>b，那么eq\r(3,a)>eq\r(3,b)”，假設(shè)內(nèi)容為________．答案：eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第116頁考點(diǎn)一綜合法挖掘綜合法的思維過程/互動(dòng)探究[例](1)已知a，b，c為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3).[證明]由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3)，當(dāng)且僅當(dāng)“a＝b＝c”時(shí)等號(hào)成立．(2)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.①求證：a，b，c成等差數(shù)列；②若C＝eq\f(2π,3)，求證：5a＝3b.[證明]①由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因?yàn)閟inB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，得a＋c＝2b，即a，b，c成等差數(shù)列．②由C＝eq\f(2π,3)，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以5a＝3b.[破題技法]1.解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往要先作語言的轉(zhuǎn)換，文字語言與符號(hào)語言、符號(hào)語言與圖形語言等，從條件入手結(jié)合演繹推理證出結(jié)論．2．推理方式(1)綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)推斷(命題)動(dòng)身，經(jīng)過一系列中間推理，最終導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實(shí)性．(2)綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理．考點(diǎn)二分析法挖掘分析法的操作過程/互動(dòng)探究[例]a＞0，證明eq\r(a)＋eq\r(a＋2)＜2eq\r(a＋1).[證明]因?yàn)閍＞0，eq\r(a)＋eq\r(a＋2)＞0，2eq\r(a＋1)＞0，所以要證eq\r(a)＋eq\r(a＋2)＜2eq\r(a＋1)，只需證(eq\r(a)＋eq\r(a＋2))2＜(2eq\r(a＋1))2，即證2a＋2＋2eq\r(a（a＋2）)＜4(a＋1)，只需證eq\r(a（a＋2）)＜a＋1，即證a(a＋2)＜(a＋1)2，即證0＜1，而0＜1明顯成立，所以原不等式成立．[破題技法]分析法的思路“執(zhí)果索因”，逐步找尋結(jié)論成立的充分條件，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”或本身已經(jīng)成立的定理、性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等．考點(diǎn)三反證法挖掘反證法的思維/互動(dòng)探究[例](2024·杭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a>1)．(1)證明：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)；(2)用反證法證明方程f(x)＝0沒有負(fù)數(shù)根．[證明](1)設(shè)u(x)＝ax，v(x)＝eq\f(x－2,x＋1).∵a＞1，∴u(x)＝ax在(－1，＋∞)上為增函數(shù)，要證明f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)，只需證v(x)＝eq\f(x－2,x＋1)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．設(shè)x1，x2∈(－1，＋∞)且x1＜x2，即證v(x2)－v(x1)＞0.由v(x2)－v(x1)＝eq\f(x2－2,x2＋1)－eq\f(x1－2,x1＋1)＝eq\f(（x2－2）（x1＋1）－（x1－2）（x2＋1）,（x1＋1）（x2＋1）)＝eq\f(3（x2－x1）,（x1＋1）（x2＋1）)>0成立．∴f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．(2)假設(shè)存在x0<0(x0≠－1)滿意f(x0)＝0，則ax0＝－eq\f(x0－2,x0＋1).∵a>1，∴0<ax0<1，∴0<－eq\f(x0－2,x0＋1)<1，即eq\f(1,2)<x0<2，與假設(shè)x0<0相沖突，故方程f(x)＝0沒有負(fù)數(shù)根．[破題技