2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何第四節(jié)直線與平面平行的判定及其性質(zhì)學(xué)案理含解析

PAGE第四節(jié)直線與平面平行的判定及其性質(zhì)[最新考綱][考情分析][核心素養(yǎng)]1.理解空間直線和平面位置關(guān)系的定義.2.了解直線和平面的位置關(guān)系.3.駕馭直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，兩個(gè)平面平行的判定定理和性質(zhì)定理.1.以幾何體為載體，考查線線、線面、面面平行的證明.2.考查轉(zhuǎn)化思想、空間想象實(shí)力、邏輯思維實(shí)力及運(yùn)算實(shí)力，以多面體為載體、以解答題形式呈現(xiàn)是主要命題方式.1.直觀想象2.邏輯推理‖學(xué)問(wèn)梳理‖1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外一條直線與eq\x(1)此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)∵eq\x(2)l∥a，eq\x(3)a?α，eq\x(4)l?α，∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的eq\x(5)交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)∵eq\x(6)l∥α，eq\x(7)l?β，eq\x(8)α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條eq\x(9)相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)∵eq\x(10)a∥β，eq\x(11)b∥β，eq\x(12)a∩b＝P，eq\x(13)a?α，eq\x(14)b?α，∴α∥β性質(zhì)定理假如兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面eq\x(15)相交，那么它們的eq\x(16)交線平行∵eq\x(17)α∥β，eq\x(18)α∩γ＝a，eq\x(19)β∩γ＝b，∴a∥b?常用結(jié)論(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線平行于另一個(gè)平面．(2)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長(zhǎng)度相等．(3)經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．(4)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．(5)假如兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面相互平行．(6)假如一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行．‖基礎(chǔ)自測(cè)‖一、疑誤辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面．()(2)若一條直線平行于一個(gè)平面，則這條直線平行于這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線．()(3)假如一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．()(4)假如兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．()(5)若直線a與平面α內(nèi)多數(shù)條直線平行，則a∥α.()(6)若α∥β，直線a∥α，則a∥β.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)×二、走進(jìn)教材2．(必修2P61A1(2)改編)下列說(shuō)法中，與“直線a∥平面α”等價(jià)的是()A．直線a上有多數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)B．直線a與平面α內(nèi)的全部直線平行C．直線a與平面α內(nèi)多數(shù)條直線不相交D．直線a與平面α內(nèi)的隨意一條直線都不相交答案：D3．(必修2P61A1(1)改編)下列命題中正確的是()A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面B．若直線a和平面α滿意a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行D．若直線a，b和平面α滿意a∥b，a∥α，b?α，則b∥α答案：D三、易錯(cuò)自糾4．直線m，n均不在平面α，β內(nèi)，給出下列命題：①若m∥n，n∥α，則m∥α；②若m∥β，α∥β，則m∥α；③若m⊥n，n⊥α，則m∥α；④若m⊥β，α⊥β，則m∥α.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選D因?yàn)橹本€m，n均不在平面α，β內(nèi)，所以若m∥n，n∥α，則m∥α，①正確；若m∥β，α∥β，則m∥α，②正確；若m⊥n，n⊥α，則m∥α，③正確；若m⊥β，α⊥β，則m∥α，④正確．所以其中正確命題的個(gè)數(shù)是4.5．(2025屆福州質(zhì)檢)下列命題中，錯(cuò)誤的是()A．一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，則必與另一個(gè)平面相交B．平行于同一平面的兩個(gè)平面平行C．若直線l與平面α平行，則過(guò)平面α內(nèi)一點(diǎn)和直線l平行的直線在α內(nèi)D．若直線l不平行平面α，則在平面α內(nèi)不存在與l平行的直線解析：選D假如已知直線與另一個(gè)平面不相交，則有兩種情形：在平面內(nèi)或與平面平行，不管哪種情形都得出這條直線與第一個(gè)平面不能相交，出現(xiàn)沖突，故A正確；B是兩個(gè)平面平行的一種判定定理，故B正確；由線面平行的性質(zhì)定理知C正確；事實(shí)上，若直線l不平行平面α，可能有l(wèi)?α，則α內(nèi)有多數(shù)條直線與l平行，故D不正確．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一直線與平面平行的判定與性質(zhì))——多維探究直線與平面平行的判定與性質(zhì)是高考的考查重點(diǎn)．多考查直線與平面平行的判定、利用線面平行的性質(zhì)判定線線平行及探究存在性問(wèn)題．常見(jiàn)的命題角度有：(1)直線與平面平行的判定；(2)線線平行的判定；(3)與平行相關(guān)的探究性問(wèn)題．●命題角度一直線與平面平行的判定【例1】(2025屆濟(jì)南市高考模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F(xiàn)分別為線段AD，PB的中點(diǎn)．(1)證明：PD∥平面CEF；(2)若PE⊥平面ABCD，PE＝AB＝2，求三棱錐P－DEF的體積．[解](1)證明：如圖，連接BE，BD，BD交CE于點(diǎn)O，連接OF.∵E為線段AD的中點(diǎn)，AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，∴BC＝ED，且BC∥ED，∴四邊形BCDE為平行四邊形，∴O為BD的中點(diǎn)，又F是BP的中點(diǎn)，∴在△PBD中，OF∥PD．又OF?平面CEF，PD?平面CEF，∴PD∥平面CEF.(2)由(1)知，四邊形BCDE為平行四邊形，∴BE＝CD．∵四邊形ABCD為等腰梯形，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，∴AB＝AE＝BE，∴三角形ABE是等邊三角形，∴∠DAB＝eq\f(π,3).過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，則BH＝eq\r(3).∵PE⊥平面ABCD，PE?平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD＝AD，BH⊥AD，BH?平面ABCD，∴BH⊥平面PAD，∴點(diǎn)B到平面PAD的距離為BH＝eq\r(3).又F為線段PB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)F到平面PAD的距離h等于點(diǎn)B到平面PAD的距離的一半，即h＝eq\f(\r(3),2).又S△PDE＝eq\f(1,2)PE·DE＝2，∴V三棱錐P－DEF＝V三棱錐F－PDE＝eq\f(1,3)S△PDE×h＝eq\f(1,3)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3).?名師點(diǎn)津證明直線與平面平行的3種方法(1)定義法：一般用反證法．(2)判定定理法：關(guān)鍵是在平面內(nèi)找(或作)一條直線與已知直線平行，證明時(shí)留意用符號(hào)語(yǔ)言敘述證明過(guò)程．(3)性質(zhì)判定法：即兩平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面．●命題角度二線線平行的判定【例2】如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.[證明]如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，∴在△APC中，AP∥OM.又MO?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD．∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，且PA?平面PAHG，∴PA∥GH.?名師點(diǎn)津證明線線平行的3種判定方法(1)利用平行公理．(2)利用線面平行的性質(zhì)定理．(3)利用面面平行的性質(zhì)定理．●命題角度三與平行相關(guān)的探究性問(wèn)題【例3】(2024年全國(guó)卷Ⅲ)如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧eq\o(CD,\s\up10(︵))所在平面垂直，M是eq\o(CD,\s\up10(︵))上異于C，D的點(diǎn)．(1)證明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC∥平面PBD？說(shuō)明理由．[解](1)證明：由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD．因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，∴BC⊥CD，又BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM.因?yàn)镸為eq\o(CD,\s\up10(︵))上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC．因?yàn)镈M?平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC．(2)當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí)，MC∥平面PBD．理由如下：如圖，連接AC交BD于O.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以O(shè)為AC中點(diǎn)．連接OP，因?yàn)镻為AM中點(diǎn)，所以在△AMC中，MC∥OP.又MC?平面PBD，OP?平面PBD，所以MC∥平面PBD．?名師點(diǎn)津求解探究性問(wèn)題的類型及策略問(wèn)題類型求解策略對(duì)命題條件的探究(1)先猜后證，即先視察，嘗試給出條件再證明.(2)先通過(guò)命題成立的必要條件探究出命題成立的條件，再證明充分性.(3)將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，探究出命題成立的條件對(duì)命題結(jié)論的探究(1)探究結(jié)論是什么，常從條件動(dòng)身，探究出要求的結(jié)論是什么.(2)探究結(jié)論是否存在，常先假設(shè)結(jié)論存在，再在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行推理論證，找尋與條件相符或沖突的結(jié)論，相符則存在，沖突則不存在|跟蹤訓(xùn)練|1.在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和四邊形ACC1A1都為矩形．設(shè)D，E分別是線段BC，CC1的中點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)M，使直線DE∥平面A1MC？請(qǐng)證明你的結(jié)論．解：存在點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，使直線DE∥平面A1MC，證明如下：如圖，取線段AB的中點(diǎn)M，連接A1M，MC，A1C，AC1，設(shè)O為A1C，AC1的交點(diǎn)．由已知，得O為AC1的中點(diǎn)．連接MD，OE，則MD，OE分別為△ABC，△ACC1的中位線，所以MDeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)AC，OEeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)AC，因此MDeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))OE.連接OM，從而四邊形MDEO為平行四邊形，則DE∥MO.因?yàn)橹本€DE?平面A1MC，MO?平面A1MC，所以直線DE∥平面A1MC．即線段AB上存在一點(diǎn)M(線段AB的中點(diǎn))，使直線DE∥平面A1MC．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二\a\vs4\al(平面與平面平行的判定與性質(zhì)))【例4】如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G和H分別是CE和CF的中點(diǎn)．(1)求證：平面BDGH∥平面AEF；(2)求多面體ABCDEF的體積．[解](1)證明：在△CEF中，因?yàn)镚，H分別是CE，CF的中點(diǎn)，所以GH∥EF.又因?yàn)镚H?平面AEF，EF?平面AEF，所以GH∥平面AEF.設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OH，如圖，在△ACF中，因?yàn)镺，H分別是AC，CF的中點(diǎn)，所以O(shè)H∥AF.又因?yàn)镺H?平面AEF，AF?平面AEF，所以O(shè)H∥平面AEF.又因?yàn)镺H∩GH＝H，OH，GH?平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.(2)因?yàn)槠矫鍮DEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，AC⊥BD，所以AC⊥平面BDEF，又易知AO＝eq\r(2)，S矩形BDEF＝3×2eq\r(2)＝6eq\r(2)，所以四棱錐A－BDEF的體積V1＝eq\f(1,3)·AO·S矩形BDEF＝4.同理可得，四棱錐C－BDEF的體積V2＝4.所以多面體ABCDEF的體積V＝V1＋V2＝8.?名師點(diǎn)津判定面面平行的4種方法(1)面面平行的定義，即推斷兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)．(2)面面平行的判定定理．(3)垂直于同一條直線的兩平面平行．(4)平面平行的傳遞性，即若兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行．|跟蹤訓(xùn)練|2．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，BB1＝2BC，D，E，F(xiàn)分別是CC1，A1C1，B1C1的中點(diǎn)，G在BB1上，且BG＝3GB1.(1)求證：B1D⊥平面ABD；(2)求證：平面GEF∥平面ABD．證明：(1)如圖所示，取BB1的中點(diǎn)為M，連接MD．因?yàn)锽B1＝2BC，且四邊形BB1C1C為平行四邊形，所以四邊形CDMB和四邊形DMB1C1為菱形．故∠CDB＝∠BDM，∠MDB1＝∠B1DC1.所以∠BDM＋∠MDB1＝90°，即BD⊥B1D．又AB⊥平面BB1C1C，B1D?平面BB1C1C，所以AB⊥B1D．又AB∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD．(2)如圖，連接MC1，因?yàn)镚為MB1的中點(diǎn)，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)，所以GF∥MC1.又MBeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))C1D，所以四邊形BMC1D為平行四邊形，所以MC1∥BD．故GF∥BD．又BD?平面ABD，所以GF∥平面ABD．又EF∥A1B1，A1B1∥AB，所以EF∥AB．又AB?平面ABD，所以EF∥平面ABD．又EF∩GF＝F，故平面GEF∥平面ABD．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)\a\vs4\al(線面平行的創(chuàng)新應(yīng)用問(wèn)題))【例】(2025屆鄭州市質(zhì)檢)如圖，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AA′＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M分別是邊AA′，AB，BB′，A′B′，BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在四邊形EFGH內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，并且始終有MP∥平面ACC′A′，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為()A．2 B．2πC．2eq\r(3) D．4[解析]連接MF，F(xiàn)H，MH，因?yàn)镸，F(xiàn)