中考數(shù)學(xué)專題15：函數(shù)關(guān)系式的建立方法探討

[2021年中考攻略】專題15：函數(shù)關(guān)系式的建立方法探討

“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑?建立和求解模型的過程包括:

從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量

關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)

習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識?！边@是《課標(biāo)》關(guān)于模型思想的一段描述。因此，各地中考試卷都有“方程（組）、

不等式（組）、函數(shù)建模及其應(yīng)用”類問題，專題5和6已經(jīng)對方程（組）、不等式（組）的建模及其應(yīng)用

進行了探討，本專題再對函數(shù)建模及其應(yīng)用進行探討。

結(jié)合2020年全國各地中考的實例，我們從下面五方面進行函數(shù)關(guān)系式建立方法的探討：（1）應(yīng)用待

定系數(shù)建立函數(shù)關(guān)系式；（2）應(yīng)用等量關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式；（3）應(yīng)用幾何關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式；（4）應(yīng)

用分段分析建立函數(shù)關(guān)系式；（5）應(yīng)用猜想探索建立函數(shù)關(guān)系式。

一、應(yīng)用待定系數(shù)建立函數(shù)關(guān)系式：待定系數(shù)法是解決求函數(shù)解析式問題的常用方法，求函數(shù)

解析式是初中階段待定系數(shù)法的一個主要用途。這種方法適用于已知了函數(shù)類型（或函數(shù)圖象）的一類函

數(shù)建模問題。確定直線或曲線方程就是要確定方程中x的系數(shù)與常數(shù)，我們常常先設(shè)它們?yōu)槲粗獢?shù)，根

據(jù)點在曲線上，點的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，將已知的條件代入方程，求出待定的系數(shù)與常數(shù)，寫出表達式。

這是平面解析幾何的重要內(nèi)容，是求曲線方程的有效方法。初中階段主要有正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比

例函數(shù)、二次函數(shù)這幾類函數(shù)，前面三種分別可設(shè)y=kx,y=kx+b,y='的形式（其中k、b為待定系數(shù)，

x

且k-0）。而二次函數(shù)可以根據(jù)題目所給條件的不同，設(shè)成一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a、b、c為待定系數(shù)），頂點

式y(tǒng)=a（x—h）2+k（a、k、h為待定系數(shù)），交點式y(tǒng)=a（x—xi）（x—X2）（a、xi、X2為待定系數(shù)）三類形式。根據(jù)

題意（可以是語句形式，也可以是圖象形式），確定出a、b、c、k、xi、X2等待定系數(shù)，求出函數(shù)解析式。

典型例題：

例1：（2020江蘇南通3分）無論a取什么實數(shù)，點P（a—1,2a—3）都在直線1上，Q（m,n）是直線1上的

點，則（2m—n+3）2的值等于▲.

【答案】16。

【考點】待定系數(shù)法，宜線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，求代數(shù)式的值。

【分析】???由于a不論為何值此點均在直線1上，

.,.令a=0,則Pi（-1,-3）；再令a=l,則P2（0,一1）。

設(shè)直線I的解析式為y=kx+b（k和），

-k+b=-3“Jk=2

,解得O

b=-l[b=-l

直線1的解析式為：y=2x-1o

,/Q(m.n)是直線1上的點，2m—l=n,即2m—n=l。

(2m—n+3)2=(1+3)2=16?

例2：(2020山東聊城7分)如圖，直線AB與x軸交于點A(1,0),與y軸交于點B(0,-2).

(1)求直線AB的解析式；

(2)若直線AB上的點C在第一象限，且SABOC=2,求點C的坐標(biāo).

【答案】解：(1)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,

?.?直線AB過點A(1,0)、點B(0,-2),

fk+b=0“Jk=2

，解得《。

[b=-2[b=-2

,直線AB的解析式為y=2x-2。

(2)設(shè)點C的坐標(biāo)為(x,y),

VSABOC=2,/.—,2?x=2,解得x=2。

2

；.y=2x2-2=2。

.,.點C的坐標(biāo)是(2,2)。

【考點】待定系數(shù)法，直線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。

【分析】(1)設(shè)宜線AB的解析式為y=kx+b,將點A(1,0)、點B(0,-2)分別代入解析式即可組成

方程組，從而得到AB的解析式。

(2)設(shè)點C的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)三角形面積公式以及SABOC=2求出C的橫坐標(biāo)，再代入直線

即可求出y的值，從而得到其坐標(biāo)。

例3：(2020湖南岳陽8分)游泳池常需進行換水清洗，圖中的折線表示的是游泳池?fù)Q水清洗過程“排水-

-清洗--灌水“中水量y(n?)與時間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系式.

(1)根據(jù)圖中提供的信息，求整個換水清洗過程水量y(n?)與時間t(min)的函數(shù)解析式；

(2)問：排水、清洗、灌水各花多少時間？

【答案】解：（1）排水階段：設(shè)解析式為：y=kt+b,

,圖象經(jīng)過（0,1500）,（25,1000）,

b=1500k=-20

＞解得：'.??排水階段解析式為：y=-20（+1500,

25k+b=100()b=1500

清洗階段：y=0e

灌水階段：設(shè)解析式為：y=at+c,

:圖象經(jīng)過（195,1000）,（95,0）,

fI95a+c=1(X)0a=10

，解得:，灌水階段解析式為：.y=10t-950。

[95a+c=0b=-950

（2）;排水階段解析式為：y=-20t+1500,...令y=0,即0=-20t+1500,解得：t=75。

,排水時間為75分鐘。

清洗時間為:95-75=20（分鐘），

?.?根據(jù)圖象可以得出游泳池蓄水量為1500in3,

.,.1500=101-950,解得：t=245。故灌水所用時間為：245-95=150（分鐘）。

【考點】一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法，直線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。

【分析】（1）根據(jù)圖象上點的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法分別得出排水階段解析式，以及清洗階段：y=0和灌水

階段解析式即可。

（2）根據(jù)（1）中所求解析式，即可得出圖象與x軸交點坐標(biāo)，即可得出答案。

例4：（2020湖南婁底3分）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（-1,2）,則它的解析式是【】

1221

A.y=------B.y=——C.y=—D.y=—

2xxxx

【答案】B。

【考點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。

【分析】設(shè)反比例函數(shù)圖象設(shè)解析式為丫=占，

X

k9

將點(7,2)代入y=人得，k=-1x2=-2?則函數(shù)解析式為y=-4。故選B。

xx

例5：(2020江蘇連云港12分)如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,

點O為坐標(biāo)原點，點D為拋物線的頂點，點E在拋物線上，點F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF

=2,EF=3,

(1)求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式;

(2)求aABD的面積；

(3)將△AOC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。，點A對應(yīng)點為點G,問點G是否在該拋物線上？請說明理由.

【答案】解：⑴；四邊形OCEF為矩形,OF=2,EF=3,

...點C的坐標(biāo)為(0,3),點E的坐標(biāo)為(2,3).

把x=0,y=3；x=2,y=3分別代入y=—x?+bx+c,得

尸，解得已

[-4+2b+c=3[c=3

???拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-x2+2x+3。

(2)Vy=—x2+2x+3=—(x—1)2+4,

，拋物線的頂點坐標(biāo)為D(l,4)。1?△ABD中AB邊的高為4。

令y=0,得一X2+2X+3=0,解得XI=-1,X2=3。

/.AB=3—(—l)=4o

/.△ABD的面積=1x4x4=8。

2

(3)如圖，AAOC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。，CO落在CE所在的直線

上，由(1)⑵可知OA=1,OC=3,

?.?點A對應(yīng)點G的坐標(biāo)為(3,2)。

1?當(dāng)x=3時，y=—32+2x3+3=0/2,

.?.點G不在該拋物線上。

【考點】二次函數(shù)綜合題，矩形的性質(zhì)，曲線圖上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解一元二次方程，二次函數(shù)的

性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。

【分析】(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的長，先表示出C、E的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定該函

數(shù)的解析式。

(2)根據(jù)(1)的函數(shù)解析式求出A、B、D三點的坐標(biāo)，以AB為底、D點縱坐標(biāo)的絕對值為高，可

求出4ABD的面積。

(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)條件求出點A對應(yīng)點G的坐標(biāo)，然后將點G的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中宜接進行

判定即可。

例6：(2020江蘇無錫2分)若拋物線y=ax2+bx+c的頂點是A(2,1),且經(jīng)過點B(1,0),則拋物線的

函數(shù)關(guān)系式為▲.

【答案】y=-X2+4X-3。

【考點】待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。

【分析】???拋物線丫=2*2+6*+(:的頂點是A(2,1),.?.可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)2+l。

又，拋物線y=a(x-2)2+1經(jīng)過點B(1,0),/.(1,0)滿足y=a(x-2)2+1?

，將點B(1,0)代入y=a(x-2)?得，0=a(1-2)?即a=-1。

2

.?.拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-(x-2)2+1,gpy=-X+4X-3.

例7：(2020浙江寧波12分)如圖，二次函數(shù)丫=2*2+6*+?的圖象交x軸于A(-1,0),B(2,0),交y

軸于C(0,-2),過A,C畫直線.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)點P在x軸正半軸上，且PA=PC,求OP的長；

(3)點M在二次函數(shù)圖象上，以M為圓心的圓與直線AC相切，切點為H.

①若M在y軸右側(cè)，且△CHMsaAOC(點C與點A對應(yīng))，求點M的坐標(biāo)；

設(shè)該二次函數(shù)的解析式為：y=a(x+1)(x-2),

將x=0,y=-2代入，得-2=a(0+1)(0-2).解得a=l。

二拋物線的解析式為y=(x+1)(x-2),BPy=x2-x-2.

(2)設(shè)OP=x,則PC=PA=x+l,

在Rt^POC中，由勾股定理，得x2+22=(x+1)2,

33

解得,x=—,即OP=—。

22

(3)?VACHM^AAOC,/.ZMCH=ZCAO(.

(i)如圖1,當(dāng)H在點C下方時，

VZMCH=ZCAO,；.CM〃x軸，；.yM=-2。

/.x2-x-2=-2.解得xi=0(舍去)，X2=lo

AM(1,-2)o

(ii)如圖2,當(dāng)H在點C上方時，

VZMfCH=ZCAO,；.PA=PC。

由(2)得，M，為直線CP與拋物線的另一交點，

設(shè)直線CM，的解析式為y=kx-2,

把P(巳，0)的坐標(biāo)代入，得2k-2=0,解得k=2。

223

?4.

??y=-x-2o

3

4r7

由一x-2=x--x-2,解得xi=0(舍去)，X2=—o

33

此時y=-x—-2=—=

339

.710

??M(f—,—

39

使DE=±行,

②在x軸上取一點D,如圖3,過點D作DE_LAC于點E,

在RtAAOC中，AC=VAO2+CO2=V12+22^75。

ZCOA=ZDEA=90°,ZOAC=ZEAD,

.,.△AED^AAOC,

:郎嘿，即患解得AD=2。

AD(1,0)或D(-3,0)o

過點D作DM〃AC,交拋物線于M,如圖

則直線DM的解析式為：y=-2x+2或y=-2x-6。

當(dāng)-2x-6=x?-x-2時，即X2+X+4=0,方程無實數(shù)根,

當(dāng)-2x+2=x?-x-2時，即x2+x-4=0,解得x［二^―X.=。

22

.?.點M的坐標(biāo)為（二1二姮，3+歷）或（土痘，3-717）o

22

【考點】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理，平行的判定和性質(zhì)，

相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程.

【分析】（1）根據(jù)與x軸的兩個交點A、B的坐標(biāo)，故設(shè)出交點式解析式，然后把點C的坐標(biāo)代入計算求

出a的值，即可得到二次函敷解析式.

（2）設(shè)OP=x,然后表示出PC、PA的長度，在RtZiPOC中，利用勾股定理列式，然后解方程即

可.

（3）①根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等可得NMCH=NCA0,然后分⑴點H在點C下方時，利用

同位角相等，兩直線平行判定CM〃x軸，從而得到點M的縱坐標(biāo)與點C的縱坐標(biāo)相同，是-2,代入拋物

線解析式計算即可；（ii）點H在點C上方時，根據(jù)（2）的結(jié)論，點M為直線PC與拋物線的另一交點，

求出直線PC的解析式，與拋物線的解析式聯(lián)立求解即可得到點M的坐標(biāo).

②在x軸上取一點D,過點D作DE_LAC于點E,可以證明△甌和△AOC相似，根據(jù)相

似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可得到AD的長度，然后分點D在點A的左邊與右邊兩種情況求出0D

的長度，從而得到點D的坐標(biāo)，再作直線DM〃AC,然后求出直線DM的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立

求解即可得到點M的坐標(biāo).

練習(xí)題：

1.（2020上海市10分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，當(dāng)生產(chǎn)數(shù)量至少為10噸，但不超過50噸時，每噸的成本

y（萬元/噸）與生產(chǎn)數(shù)量x（噸）的函數(shù)關(guān)系式如圖所示.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

（2）當(dāng)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本為280萬元時，求該產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量.

（注：總成本=每噸的成本x生產(chǎn)數(shù)量）

2

2.（2020山東荷澤7分）如圖，一次函數(shù)y=-（x+2的圖象分別與x軸、y軸交于點A、B,以線段AB

為邊在第一象限內(nèi)作等腰RtZkABC,ZBAC=90°.求過B、C兩點直線的解析式.

3.（2020甘肅蘭州4分）近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（m）成反比例，已知400度近視眼鏡鏡片的

焦距為0.25m,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為【

A.y=以B.y=-LC.y=?D,尸一L

X4xx400x

4.（2020廣東佛山8分）（1）任選以下三個條件中的一個，求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式;

①y隨x變化的部分?jǐn)?shù)值規(guī)律如下表:

X-10123

y03430

②有序數(shù)對（一1,0）,（1,4）,（3,0）滿足y=ax2+bx+c；

③已知函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象的一部分（如圖）.

（2）直接寫出二次函數(shù)y=ax2+bx+c的三個性質(zhì).

5.(2020山東萊蕪12分)如圖，頂點坐標(biāo)為(2,—1)的拋物線y=ax2+bx+c(a#0)與y軸交于點C(0,3),

與x軸交于A、B兩點.

(1)求拋物線的表達式；

(2)設(shè)拋物線的對稱軸與直線BC交于點D,連接AC、AD,求4ACD的面積；

(3)點E為直線BC上一動點，過點E作y軸.的平行線EF,與拋物線交于點F.問是否存在點E,使

得以D、E、F為頂點的三角形與aBCO相似？若存在，求點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

6.(2020山東濰坊11分)如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A(—2,0)、B(2,0)、C(0,-1)三點，過

坐標(biāo)原點O的直線y=kx與拋物線交于M、N兩點.分別過點C、D(0,-2)作平行于x軸的直線/1、12.

(1)求拋物線對應(yīng)二次函數(shù)的解析式；

(2)求證以O(shè)N為直徑的圓與直線相切；

(3)求線段MN的長(用k表示)，并證明M、N兩點到直線12的距離之和等于線段MN的長.

二、應(yīng)用等量關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式：等量關(guān)系法，又可稱作方程轉(zhuǎn)化法，即根據(jù)等量關(guān)系列出

含有兩個未知數(shù)的等式(二元方程)，然后整理成函數(shù)形式。這種方法適用于“已知了關(guān)于變量之間的等

量關(guān)系(含公式)”類函數(shù)建模題。常用的尋找等量關(guān)系的方法有：(1)從常見的數(shù)量關(guān)系中找等量關(guān)系:

(2)從關(guān)鍵句中找等量關(guān)系；(3)從題中反映的(或隱蔽的)基本數(shù)量關(guān)系確定等量關(guān)系。(有關(guān)幾何問

題的等量關(guān)系我們在下面介紹)

典型例題：

例1.（2020寧夏區(qū)10分）某超市銷售一種新鮮“酸奶”，此“酸奶”以每瓶3元購進，5元售出.這種“酸奶”

的保質(zhì)期不超過一天，對當(dāng)天未售出的“酸奶”必須全部做銷毀處理.

（1）該超市某一天購進20瓶酸奶進行銷售.若設(shè)售出酸奶的瓶數(shù)為x（瓶），銷售酸奶的利潤為y（元）,

寫出這一天銷售酸奶的利潤y（元）與售出的瓶數(shù)x（瓶）之間的函數(shù)關(guān)系式。為確保超市在銷售這20瓶

酸奶時不虧本，當(dāng)天至少應(yīng)售出多少瓶？

（2）小明在社會調(diào)查活動中，了解到近10天當(dāng)中，該超市每天購進酸奶20瓶的銷售情況統(tǒng)計如下：

每天售出瓶數(shù)17181920

頻數(shù)1225

根據(jù)上表，求該超市這10天每天銷售酸奶的利潤的平均數(shù)；

（3）小明根據(jù)（2）中，10天酸奶的銷售情況統(tǒng)計，計算得出在近10天當(dāng)中，其實每天購進19瓶總

獲利要比每天購進20瓶總獲利還多.你認(rèn)為小明的說法有道理嗎？試通過計算說明.

【答案】解：（1）由題意知，，這一天銷售酸奶的利潤y（元）與售出的瓶數(shù)x（瓶）之間的函數(shù)關(guān)系式

為y=5x—60

當(dāng)5x—6020時，x>12,

...當(dāng)天至少應(yīng)售出12瓶酸奶超市才不虧本。

（2）在這10.天當(dāng)中，利潤為25元的有1天，30元的有2天，35元的有2天，40元的有

5天，

.,.這10天中，每天銷售酸奶的利潤的平均數(shù)為（25+30x2+35x2+40x5）+10=35.5。

（3）小明說的有道理。理由如下：

???在這10天當(dāng)中，每天購進20瓶獲利共計355元.

而每天購進19瓶銷售酸奶的利潤y（元）與售出的瓶數(shù)x（瓶）之間的函數(shù)關(guān)系式為：

y=5x-57

在10天當(dāng)中，利潤為28元的有1天，33元的有2天，38元的有7天，

總獲利為28+33x2+38x7=360355。

二小明說的有道理。

【考點】?次函數(shù)的應(yīng)用。

【分析】（1）根據(jù)此“酸奶”以每瓶3元購進，5元售出，該超市某一天購進20瓶酸奶進行銷售，即可得出

y與x的函數(shù)關(guān)系式，再利用y大于（）得出x的取值范圍。

（2）根據(jù)頻數(shù)分布表得出總數(shù)，從而得出平均數(shù)即可。

(3)利用每天購進19瓶銷售酸奶的利潤y(元)與售出的瓶數(shù)x(瓶)之間的函數(shù)關(guān)系式，得

出在10天當(dāng)中，利潤為28元的有1天，33元的有2天，8元的有7天，從而得出總利潤，比較即可得出

答案。

例2.(2020新疆區(qū)12分)庫爾勒某鄉(xiāng)A,B兩村盛產(chǎn)香梨，A村有香梨200噸，B村有香梨300噸，現(xiàn)

將這些香梨運到C,D兩個冷藏倉庫.已知C倉庫可儲存240噸，D倉庫可儲存260噸，從A村運往C,

D兩處的費用分別為每噸40元和45元；從B村運往C,D兩處的費用分別為每噸25元和32元.設(shè)從A

村運往C倉庫的香梨為x噸，A,B兩村運香梨往兩倉庫的運輸費用分別為yA元，yB元.

(1)請?zhí)顚懴卤?，并求出yA,yB與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

CD總計

AX噸200噸

B300噸

總計240噸260噸500噸

(2)當(dāng)x為何值時，.A村的運費較少？

(3)請問怎樣調(diào)運，才能使兩村的運費之和最小？求出最小值.

【答案】解：(1)填表如下：

CD總計

AX噸(200-x)噸200噸

B(240-x)噸(60+x)噸300噸

總計240噸260噸500噸

由題意得:yA=40x+45(200-x)=-5x+9000；

yB=25(240-x)+32(60+x)=7x+7920.

(2)對于yA=-5x+9000(0<x<200),

???k=-5<0,.?.此一次函數(shù)為減函數(shù)，

當(dāng)x=200噸時，yA最小，其最小值為-5x200+90(X)=8000(元)。

(3)設(shè)兩村的運費之和為W(0<x<200),

則W=yA+yB=-5x+9000+7x+7920=2x+16920,

Vk=2>0,...此一次函數(shù)為增函數(shù)，

.?.當(dāng)x=0時，W有最小值,W最小值為16920元。

按如下方案調(diào)運，兩村的運費之和最小，最小值為16920元。

cD

A0噸200噸

B40噸240噸

【考點】一次函數(shù)的應(yīng)用。

【分析】（1）由A村共有香梨200噸，從A村運往C倉庫x噸，剩下的運往D倉庫，故運往D倉庫為（200

-x）噸，由A村已經(jīng)運往C倉庫x噸，C倉庫可儲存240噸，故B村應(yīng)往C倉庫運（240-x）噸，剩下

的運往D倉庫，剩下的為300-（240-x）,化簡后即可得到B村運往D倉庫的噸數(shù)，填表即可。

由從A村運往C,D兩處的費用分別為每噸40元和45元；從B村運往C,D兩處的費用分別

為每噸25元和32元，由表格中的代數(shù)式，即可分別列出yA,yB與x之間的函數(shù)關(guān)系式。

（2）由第一問表示出的yA與x之間的函數(shù)關(guān)系式得到此函數(shù)為一次函數(shù)，根據(jù)x的系數(shù)為負(fù)數(shù)，

得到此一次函數(shù)為減函數(shù)，且0<x<200,故x取最大200時，yA有最小值，即為A村的運費較少時x的值。

（3）設(shè)兩村的運費之和為W,W=yA+yB,把第一問表示出的兩函數(shù)解析式代入，合并后得到W為

關(guān)于x的一次函數(shù)，且x的系數(shù)大于0,可得出此一次函數(shù)為增函數(shù)，可得出x=0時，W有最小值，將x=0

代入W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式中，即可求出W的最小值。

例3.（2020甘肅白銀10分）襯衫系列大都采用國家5.4標(biāo)準(zhǔn)號、型（通過抽樣分析取的平均值）.“號”

指人的身高，“型”指人的凈胸圍，碼數(shù)指襯衫的領(lǐng)圍（領(lǐng)子大?。?，單位均為：厘米.下表是男士襯衫的部

分號、型和碼數(shù)的對應(yīng)關(guān)系：

號/型170/84170/88175/92175/96180/100

碼數(shù)3839404142

（1）設(shè)男士襯衫的碼數(shù)為y,凈胸圍為x,試探索y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若某人的凈胸圍為108厘米，則該人應(yīng)買多大碼數(shù)的襯衫？

【答案】解：（1）根據(jù)表可以得到號碼每增大1，則凈胸圍增加4cm,

則y與x一定是一次函數(shù)關(guān)系，函數(shù)關(guān)系式是：x=84+4（y-38）,即丫=工*+17

4

（2）當(dāng)x=108時，y=1x108+17=44°

4

...若某人的凈胸圍為108厘米，則該人應(yīng)買44碼的襯衫。

【考點】一次函數(shù)的應(yīng)用。

【分析】（1）根據(jù)表可以得到號碼每增大1，則凈胸圍增加4cm,則y與x一定是一次函數(shù)關(guān)系，函數(shù)關(guān)

系式可以求得。

（2）把x=108代入（1）所求的函數(shù)解析式，即可求得碼數(shù)。

例4.（2020湖北荊門3分）已知：多項式x2-kx+l是一個完全平方式，則反比例函數(shù)產(chǎn)士二的解析式

X

為【】

31322

A.y=—B.y=—C.y=一或y=—D.y=一或y=----

xxxxxx

【答案】Co

【考點】完全平方式，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式。

【分析】?.?多項式x2-kx+l是一個完全平方式，...k=±2。

把1<=±2分別代入反比例函數(shù)廣匕的解析式得：丫=,或丫=-3。故選C。

XXX

例5.（2012甘肅蘭州4分）近視眼鏡的度數(shù)式度）與鏡片焦距x（m）成反比例，已知400度近視眼鏡鏡片

的焦距為0.25m,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為【】

40011001

AA.y=—Bn.y=—C.y=一D.y=——

x4xx400x

【答案】C.

【考點】根據(jù)實際問題列反比例函數(shù)關(guān)系式，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系.

【分析】設(shè)出反比例函數(shù)解析式，把（025,400）代入即可求解：

設(shè)產(chǎn)上，?.?400度近視眼鏡鏡片的焦距為0.25m,.』=0.25*400=100.

x

.100

..y=——.故選C.

X

例6.（2020北京市7分）已知二次函數(shù)丫=。+1*+2（1+2■+］在*=（"叫=2時的函數(shù)值相等。

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）若一次函數(shù)y=kx+6的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A（-3,m）,求m和k的值；

（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸交于點B,C（點B在點C的左側(cè)），將二次函數(shù)的圖象在點B,C間

的部分（含點B和點C）向左平移n（n>0）個單位后得到的圖象記為C,同時將⑵中得到的直線y=kx+6

向上平移n個單位。請結(jié)合圖象回答：當(dāng)平移后的直線與圖象G有公共點時，n的取值范圍。

【答案】解：(1)??,二次函數(shù)在x=0和x=2時的函數(shù)值相等，...二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=l。

'、看曷=1'解得［=后

13

X2+X+

二次函數(shù)解析式為y=2-2-

(2)?.?二次函數(shù)圖象經(jīng)過A(-3,m)點，

?*.m=--X(-3)2+(-3)+-1=-6,A(—3,—6)=

又?.?一次函數(shù)y=kx+6的圖象經(jīng)過A點，

二-3k+6=-6,解得k=4。

(3)由題意可知，二次函數(shù)在點B,C間的部分圖象的解析式為

y=-g(x-3)(x+l),-1WXW3,

則向左平移后得到的圖象C的解析式為y=-jx-3+n)(x+l+n),-n-lWx〈3-n。

此時一次函數(shù)y=4x+6的圖象平移后的解析式為y=4x+6+n。

???平移后的直線與圖象C有公共點，.?.兩個臨界的交點為(-n-l,0)與(3-n,0)。

???當(dāng)乂=—n—1時，0=4(—n-l)+6+n,即n=(；

當(dāng)x=3-n時，0=4（3-n）+6+n,即n=6。

.,.2<n<6

【考點】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平移的性質(zhì)。

【分析】(1)由二次函數(shù)在x=0和x=2時的函數(shù)值相等，可知二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=^=l,從

而由對稱軸公式x=-。=1可求得從而求得二次函數(shù)的解析式。

2a2

13

(2)由二次函數(shù)圖象經(jīng)過A(-3,m)點代入y=-]x2+X+]可求得m=-6,從而由一次函數(shù)

y=kx+6的圖象經(jīng)過A點，代入可求得k=4。

(3)根據(jù)平移的性質(zhì)，求得平移后的二次函數(shù)和一次函數(shù)表達式，根據(jù)平移后的直線與圖象C

有公共點，求得公共點的坐標(biāo)即可。

例7.(2020浙江嘉興、舟山12分)某汽車租賃公司擁有20輛汽車.據(jù)統(tǒng)計，當(dāng)每輛車的日租金為400

元時，可全部租出；當(dāng)每輛車的日租金每增加50元，未租出的車將增加1輛；公司平均每日的各項支出

共4800元.設(shè)公司每日租出工輛車時，日收益為y元.(日收益=日租金收入一平均每日各項支出)

(1)公司每日租出x輛車時，每輛車的日租金為元(用含x的代數(shù)式表示)；

(2)當(dāng)每日租出多少輛時，租賃公司日收益最大？最大是多少元？

(3)當(dāng)每日租出多少輛時，租賃公司的日收益不盈也不虧？

【答案】解：⑴1400-50xo

(2)根據(jù)題意得：

y=x(-50x+1400)-4800=-50x2+1400x-4800=-50(x-14)2+5000o

當(dāng)x=14時，在范圍內(nèi)，y有最大值5000。

...當(dāng)日租出14輛時，租賃公司日收益最大，最大值為5000元。

(3)要使租賃公司日收益不盈也不虧，即：y=0,即：5()(x-14)2+5000=0,

解得xi=24,xz=4,

?；x=24不合題意，舍去。

.?.當(dāng)日租出4輛時，租賃公司日收益不盈也不虧。

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值，解一元二次方程。

【分析】(1)???某汽車租賃公司擁有20輛汽車.據(jù)統(tǒng)計，當(dāng)每輛車的日租金為400元時，可全部租出，

當(dāng)每輛車的H租金每增加50元，未租出的車將增加1輛，

...當(dāng)全部未租出時，每輛租金為：400+20x50=1400元，

，公司每日租出x輛車時，每輛車的日租金為：1400-50x。

(2)根據(jù)己知得到的二次函數(shù)關(guān)系應(yīng)用二次函數(shù)的最值求得日收益的最大值即可。

(3)要使租賃公司日收益不盈也不虧，即：y=50(x-14)2+5000=0,求出x即可。

例8.（2020江蘇常州7分）某商場購進一批L型服裝（數(shù)量足夠多），進價為40元/件，以60元/件銷售,

每天銷售20件。根據(jù)市場調(diào)研，若每件每降1元，則每天銷售數(shù)量比原來多3件。現(xiàn)商場決定對L型服

裝開展降價促銷活動，每件降價x元（x為正整數(shù)）。在促銷期間，商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件

降價多少元？每天最大銷售毛利潤為多少？（注：每件服裝銷售毛利潤指每件服裝的銷售價與進貨價的差）

【答案】解：根據(jù)題意，商場每天的銷售毛利潤Z=（60—40—x）（20+3x）=-3x2+40x+400

???當(dāng)x=-a=-竺*2時，函數(shù)Z取得最大值。

2a-33

???x為正整數(shù)，且7-6*2<6±2—6,

33

.?.當(dāng)x=7時，商場每天的銷售毛利潤最大，最大銷售毛利潤為-3了+40-7+400=533。

答：商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件降價7元，每天最大銷售毛利潤為533元。

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值。

【分析】求出二次函數(shù)的最值，找出x最接近最值點的整數(shù)值即可。

例9.（2020江蘇鹽城12分）

知識遷移：當(dāng)。>0且x>0時，因為（、6—￥）2^0,所以x-2赤+處工0,從而犬+色22&（當(dāng)

yJXXX

x=4a時取等號）.記函數(shù)y=x+-（a>0,x>0）,由上述結(jié)論可知：當(dāng)x=?時，該函數(shù)有最小值為28.

X

直接應(yīng)用：已知函數(shù)y=x（x>0）與函數(shù)%=L（x〉0）,則當(dāng)x=時,弘+y,取得最小值

x

為.

變形應(yīng)用：已知函數(shù)y=x+l（x>—1）與函數(shù)%=（x+l）2+4（X>-1），求匹的最小值,并指出取得該

最小值時相應(yīng)的x的值.

實際應(yīng)用：已知某汽車的一次運輸成本包含以下三個部分：一是固定費用，共360元；二是燃油費，每

千米為L6元；三是折舊費，它與路程的平方成正比，比例系數(shù)為0.001.設(shè)該汽車一次運輸?shù)穆烦虨閤千米，

求當(dāng)x為多少時，該汽車平均每千米的運輸成本最低？最低是多少元？

【答案】解：直接應(yīng)用：1：2。

變形應(yīng)用：...&=（X+1）2+4,4

=(“+1)+在＞一1)'

yx+1

，必有最小值為2"=4。

y

當(dāng)x+l=JW,即X=1時取得該最小值。

實際應(yīng)用：設(shè)該汽車平均每千米的運輸成本為y元，則

().(X)1X2+L6X+360=0.(X)i+L6=0.001(x+T+L6,

y=

XXX

...當(dāng)x=V360000=600（千米）吐

該汽車平均每千米的運輸成本y最低，

最低成本為0.001x2,360000+1.6=2.8元。

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用，幾何不等式.

【分析】直接運用：可以直接套用題意所給的結(jié)論，即可得出結(jié)果：

?.?函數(shù)丁=x+-（a>0,x>0）,由上述結(jié)論可知：當(dāng)x=/時，該函數(shù)有最小值為

X

2后',

函數(shù)必=x（x>0）與函數(shù):乃=1（x>0）,則當(dāng)x=Ji=l時，必+為取得最小值

x

為2兇=2.

變形運用：先得出也?的表達式，然后將x+1看做一個整體，再運用所給結(jié)論即可.

乃

實際運用：設(shè)該汽車平均每千米的運輸成本為y元，則可表示出平均每千米的運輸成本，利用所

給的結(jié)論即可得出答案.

例10.（2020湖北鄂州10分）某私營服裝廠根據(jù)2019年市場分析，決定2020年調(diào)整服裝制作方案，

準(zhǔn)備

每周（按120工時計算）制作西服、休閑服、襯衣共360件，且襯衣至少60件。已知每件服裝的收入和

所需工時如下表：

服裝名稱西服休閑服襯衣

]_]_

工時/件

234

收入（百元）/件321

設(shè)每周制作西服X件，休閑服y.件，襯衣Z件。

（1）請你分別從件數(shù)和工時數(shù)兩個方面用含有x,y的代數(shù)式表示襯衣的件數(shù)z。

（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。

（3）問每周制作西服、休閑服、襯衣各多少件時，才能使總收入最高？最高總收入是多少？

【答案】解：⑴從件數(shù)方面：z=360—x-y,

i1I4

從工時數(shù)方面：由QX+,y+]Z=l20整理得：z=480—2x——y=

4

（2）由（1）得360—x—y=480—2x—§y,整理得：y=360—3x。

（3）由題意得總收入s=3x+2y+z=3x