備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練專題18平面向量(選填壓軸題)(學(xué)生版+解析)

6．（23-24高一下·上海奉賢·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，為平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記，，.(1)若，，求與夾角的余弦值；(2)若，求的取值范圍；(3)若點(diǎn)，且滿足，求的最小值.二、向量數(shù)量積（定值，最值，范圍）1．（23-24高一下·北京懷柔·期末）已知向量，向量，且，點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期末）在中，，，，為邊上兩點(diǎn)，且，則的最小值為.3．（23-24高一下·廣西來賓·期末）等邊的邊長為6，設(shè)其內(nèi)心為，若平面內(nèi)的點(diǎn)滿足，則的最小值為．4．（23-24高一下·重慶·期中）已知等腰直角的斜邊長為2，其所在平面上兩動(dòng)點(diǎn)滿足，若，則的最大值為.5．（23-24高一下·天津·期末）如圖，梯形且，，則，在線段BC上，則的取值范圍為.6．（23-24高一下·浙江·期中）在銳角中，，且的面積為3，過分別作于，于，則.三、向量夾角（定值，最值，范圍）1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知中，，且為的外心．若在上的投影向量為，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知向量、，滿足，，若對(duì)任意模為2的向量，均有，則向量、夾角的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知與為相反向量，若，，則，夾角的余弦的最小值為．4．（2024·湖南懷化·三模）若是兩個(gè)非零向量，且則與的夾角的取值范圍是.5．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知，與的夾角為.若與的夾角銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、向量的其它問題1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知中，，且為的外心．若在上的投影向量為，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知向量、，滿足，，若對(duì)任意模為2的向量，均有，則向量、夾角的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知與為相反向量，若，，則，夾角的余弦的最小值為．4．（2024·湖南懷化·三模）若是兩個(gè)非零向量，且則與的夾角的取值范圍是.5．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知，與的夾角為.若與的夾角銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.專題18平面向量（選填壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u一、向量模問題（定值，最值，范圍） 1二、向量數(shù)量積（定值，最值，范圍） 8三、向量夾角（定值，最值，范圍） 14四、向量的其它問題 18一、向量模問題（定值，最值，范圍）1．（23-24高一下·福建廈門·期末）向量滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，可得，求出，設(shè)過的圓，求出半徑，設(shè)，求出、可得答案.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?設(shè)過的圓，半徑為，則，，所以，又，所以，且垂直平分，設(shè)，則，，所以，則的最大值為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是借助圖形找到之間的關(guān)系.2．（23-24高一下·四川內(nèi)江·期末）已知向量，向量的模長均為2，且.若向量，且，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意首先得，然后，結(jié)合約束條件可得，進(jìn)一步利用三角換元、三角函數(shù)性質(zhì)以及三角恒等變換即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，向量的模長均為2，且，所以，解得，不妨設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，整理得，設(shè)，所以，其中，所以，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述，的最大值是.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于適當(dāng)轉(zhuǎn)換約束條件得出，結(jié)合向量的模長公式即可求解.3．（23-24高一下·河南三門峽·期末）已知在上的投影向量為，則的取值范圍為．【答案】【分析】給已知等式兩邊平方化簡可求出和，然后根據(jù)投影向量的計(jì)算公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，，所以，，所以，，因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所以，所以，因?yàn)椋院蜑榉橇阆蛄?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以所以，所以，即，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算律，考查數(shù)量積的幾何意義，解題的關(guān)鍵是對(duì)已知等式兩邊平方化簡后，兩式相結(jié)合求出的范圍，考查計(jì)算能力，屬于較難題.4．（23-24高二下·重慶·期中）已知平面非零向量滿足:，且與的夾角為，則在所有的情況中，的最小值為．【答案】2【分析】建立如圖平面直角坐標(biāo)系，設(shè)．根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得，進(jìn)而或，分類討論結(jié)合向量的線性運(yùn)算，即可求解.【詳解】令．建立如圖平面直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)．，，則，．．由，得或，根據(jù)對(duì)稱性，只研究的情況，因?yàn)椋蟮淖钚≈?，只需求，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，的最小值為2.故答案為：2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是先確定出或，分情況討論，求得.5．（23-24高一下·四川·期中）已知O是內(nèi)一點(diǎn)，OA=OB=OC，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，M是PC的中點(diǎn)．(1)判斷△ABC的形狀，并求△ABC的面積；(2)求的最大值．【答案】(1)正三角形，面積為(2)【分析】（1）根據(jù)題設(shè)判斷為正三角形,再利用求出的邊長即得；（2）由題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建系，根據(jù)判斷軌跡，并設(shè)點(diǎn)，將表示成關(guān)于的三角函數(shù)，結(jié)合圖象即可求得其最大值.【詳解】（1）由題意，因?yàn)镺A=OB=OC，即點(diǎn)O是的外心．又

OB⊥AC．同理，可得OA⊥BC，OC⊥AB，即說明點(diǎn)O是的垂心，

所以的外心與垂心重合，表明是正三角形，O是的中心．因?yàn)?解得由正弦定理，,解得，故的面積為.（2）如圖，取點(diǎn)A為原點(diǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，建立平面直角坐標(biāo)系，則有．由動(dòng)點(diǎn)P滿足可得點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓,故可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，又因點(diǎn)M是PC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，故，因，則得,故當(dāng)，即時(shí)，取得最大值1，故的最大值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查平面向量在判斷三角形形狀、求向量模長上的應(yīng)用，屬于難題.解題的關(guān)鍵在于運(yùn)用向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算化簡等式，進(jìn)而判斷三角形形狀；對(duì)于動(dòng)點(diǎn)軌跡的問題，一般建系后，利用幾何意義，設(shè)參數(shù)得點(diǎn)坐標(biāo)，將相關(guān)向量用參數(shù)表示求解.6．（23-24高一下·上海奉賢·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，為平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記，，.(1)若，，求與夾角的余弦值；(2)若，求的取值范圍；(3)若點(diǎn)，且滿足，求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直接使用數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示即可求出夾角余弦值；（2）設(shè)，并由條件證明，進(jìn)而得到，再驗(yàn)證對(duì)任意的都存在滿足的即可；（3）設(shè)，，然后直接計(jì)算可知條件等價(jià)于，再使用不等式證明，最后給出取到等號(hào)的例子即可.【詳解】（1）由于，，故.（2）設(shè)，，由于，，故，.由，知.所以，得.對(duì)，令，則此時(shí)，.所以的取值范圍是.（3）設(shè)，.由于，，，故.從而，這表明條件等價(jià)于.而在的條件下，我們有（這一步使用了不等式，其中），所以.而當(dāng)，時(shí)，有，且.所以的最小值是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決的方法即是盡量借助于向量坐標(biāo)計(jì)算，沒有坐標(biāo)的，可選設(shè)基向量，運(yùn)用平面向量基本定理進(jìn)行表達(dá)解決，有時(shí)還需利用函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式輔助解決.二、向量數(shù)量積（定值，最值，范圍）1．（23-24高一下·北京懷柔·期末）已知向量，向量，且，點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得為等邊三角形，則或，設(shè)，然后分兩種情況，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算構(gòu)造函數(shù)模型，通過函數(shù)思想求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以為等邊三角形，因?yàn)?，所以或，設(shè)，當(dāng)時(shí)，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)時(shí)，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以綜上，的取值范圍是.故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出的坐標(biāo)，然后用坐標(biāo)計(jì)算數(shù)量積，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.2．（23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期末）在中，，，，為邊上兩點(diǎn)，且，則的最小值為.【答案】【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則及基本不等式求解數(shù)量積的最小值即可.【詳解】如圖所示，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，射線為非負(fù)軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則，，，設(shè)，不妨假設(shè)D在E的左側(cè)，則由知，，據(jù)此有：，，則.因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義.具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用.3．（23-24高一下·廣西來賓·期末）等邊的邊長為6，設(shè)其內(nèi)心為，若平面內(nèi)的點(diǎn)滿足，則的最小值為．【答案】【分析】依題先算出三角形的內(nèi)切圓半徑和外接圓半徑，由可知點(diǎn)的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，作圖并化簡，利用三角形中線性質(zhì)將其化成取最小值問題，結(jié)合圖形使兩向量反向共線即得.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則由可得，，因等邊的內(nèi)心為，則也為的中心，由正弦定理，，可得.又，故在以為圓心，1為半徑的圓上，且的軌跡在三角形內(nèi)部，如上圖所示，.由，若是中點(diǎn)，則，綜上，.要使值最小，須使最小，即需，反向共線，由，可得，此時(shí)，．故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查向量的數(shù)量積的范圍問題，屬于難題.解題的關(guān)鍵在于結(jié)合點(diǎn)的軌跡特征，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將所求數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用兩向量反向共線時(shí)數(shù)量積最小即得.4．（23-24高一下·重慶·期中）已知等腰直角的斜邊長為2，其所在平面上兩動(dòng)點(diǎn)滿足，若，則的最大值為.【答案】/【分析】將已知化為，可判斷點(diǎn)在內(nèi)部及其邊界上，記點(diǎn)為的中點(diǎn)，將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合圖形求的最大值即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，整理得，即，因?yàn)椋?，所以，點(diǎn)在內(nèi)部及其邊界上，記點(diǎn)為的中點(diǎn)，易知，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，取得最大值1，則，又，所以，所以當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)距離最大時(shí)，取得最大值，因?yàn)椋渣c(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，且或或三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，所以的最大值為故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答關(guān)鍵在于對(duì)已知條件得轉(zhuǎn)化，根據(jù)平面向量基本定理判斷點(diǎn)位置，然后作出圖形，結(jié)合判斷的最大距離即可得解.5．（23-24高一下·天津·期末）如圖，梯形且，，則，在線段BC上，則的取值范圍為.【答案】【分析】選一組基向量，分別表示、，由求得與的夾角即；過點(diǎn)作，以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，分別寫出的坐標(biāo)，進(jìn)而得到的坐標(biāo)，設(shè)，分別寫出、的坐標(biāo)，將轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次函數(shù)，求得取值范圍.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，即，解得，因?yàn)?，所以；過點(diǎn)作，垂足為，以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，在中，，，所以，，所以，所以，則，因?yàn)樵诰€段BC上，設(shè)，從而，，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的取值范圍為.故答案為：；.6．（23-24高一下·浙江·期中）在銳角中，，且的面積為3，過分別作于，于，則.【答案】【分析】由求出，求出，根據(jù)求出，再由可得答案.【詳解】因?yàn)橹袨殇J角三角形，所以分別在之間，因?yàn)?，，，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用三角形面積公式，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求解，考查整體與部分的思想.三、向量夾角（定值，最值，范圍）1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知中，，且為的外心．若在上的投影向量為，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意B，O，C三點(diǎn)共線．因?yàn)闉榈耐庑?，即有，所以為直角三角形，利用向量得投影結(jié)合圖形即可得解.【詳解】因?yàn)?，則，所以，即B，O，C三點(diǎn)共線．因?yàn)闉榈耐庑?，即有，所以為直角三角形，因此，為斜邊的中點(diǎn)．因?yàn)?，所以為銳角．如圖，過點(diǎn)作，垂足為．因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所以，所以在上的投影向量為．又因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，故的取值范圍為．故選：A．2．（23-24高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知向量、，滿足，，若對(duì)任意模為2的向量，均有，則向量、夾角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量不等式得到，平方得到，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到得到答案.【詳解】解：由，，若對(duì)任意模為2的向量，均有可得：可得:,平方得到，即故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了向量夾角的計(jì)算，利用向量三角不等式的關(guān)系進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.3．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知與為相反向量，若，，則，夾角的余弦的最小值為．【答案】-1【分析】先根據(jù)向量模長相關(guān)不等式得到，解出，設(shè)，，夾角為，將兩邊平方，得到，結(jié)合，求出，得到答案.【詳解】，故，因?yàn)?，所以，又，所以，解得：，不妨設(shè)，，夾角為，則，兩邊平方得：，即，解得：，因?yàn)?，所以，故，夾角的余弦的最小值為-1.故答案為：-14．（2024·湖南懷化·三模）若是兩個(gè)非零向量，且則與的夾角的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)，則，令，以為鄰邊作平行四邊形，則平行四邊形為菱形，得到，得出與的夾角為，在中，由余弦定理求得的范圍，得到的范圍，進(jìn)而求得與的夾角的范圍，得到答案.【詳解】如圖所示，因?yàn)?，不妨設(shè)，則，令，以為鄰邊作平行四邊形，則平行四邊形為菱形，所以為等腰三角形，所以，且，由題意，可得與的夾角，即為與的夾角，等于，在中，由余弦定理可得，解得，又由，可得，所以，因?yàn)椋?，即，所以，即向量與的夾角的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩個(gè)向量的加法、減法的幾何意義，以及余弦定理和不等式的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，著重考查數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力.5．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知，與的夾角為.若與的夾角銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】先求得，根據(jù)，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算公式進(jìn)行化簡，解不等式求得的取值范圍，排除與共線時(shí)的值，由此求得的取值范圍.【詳解】由題意可知.又∵，∴與的夾角為銳角，∴.∵，∴.解得或.當(dāng)時(shí)，與共線，其夾角不為銳角，故的取值范圍是.故填：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查向量共線，考查向量的夾角等知識(shí)，考查一元二次不等式的解法，屬于中檔題.在求解時(shí)，常因忽略“與共線”的情形致誤，出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是誤認(rèn)為與為銳角等價(jià).四、向量的其它問題1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知中，，且為的外心．若在上的投影向量為，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意B，O，C三點(diǎn)共線．因?yàn)闉榈耐庑?，即有，所以為直角三角形，利用向量得投影結(jié)合圖形即可得解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，即B，O，C三點(diǎn)共線．因?yàn)闉榈耐庑?，即有，所以為直角三角形，因此，為斜邊的中點(diǎn)．因?yàn)?，?/p>