蘇科版八年級數學上冊壓軸題攻略專題13平方根、立方根、實數壓軸題八種模型全攻略(原卷版+解析)

專題13平方根、立方根、實數壓軸題八種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一利用算術平方根的非負性解題】 1【類型二利用數軸化簡根式】 2【類型三求算術平方根的整數部分和小數部分】 4【類型四與算術平方根有關的規(guī)律探索題】 5【類型五算術平方根和立方根的綜合應用】 8【類型六實數的大小比較】 10【類型七程序設計與實數運算】 11【類型八新定義下的實數運算】 13【過關檢測】 14【典型例題】【類型一利用算術平方根的非負性解題】例題：（2023秋·北京豐臺·九年級北京豐臺二中?？奸_學考試）若，則．【變式訓練】1．（2023春·山東德州·七年級?？茧A段練習）若a，b為實數，且，則．2．（2023春·河南·七年級校聯考階段練習）已知x，y滿足，求的算術平方根．【類型二利用數軸化簡根式】例題：（2023春·云南曲靖·七年級?？计谥校┮阎cA、B、C在數軸上表示的數a、b、c的位置如圖所示：化簡：．【變式訓練】1．（2023春·湖北武漢·七年級統考期中）已知點在數軸上表示的數的位置如圖所示，化簡2．（2023秋·全國·八年級專題練習）已知實數a、b、c在數軸上對應的點的位置如圖所示，化簡：的結果為．【類型三求算術平方根的整數部分和小數部分】例題：（2023春·遼寧大連·七年級?？茧A段練習）若的整數部分為，小數部分為，則_________，_________．【變式訓練】1．（2023春·全國·七年級專題練習）的整數部分是______．小數部分是_______．2．（2023春·全國·七年級專題練習）已知a，b分別是的整數部分和小數部分，則2a﹣b的值為______．【類型四與算術平方根有關的規(guī)律探索題】例題：（2023春·江西南昌·七年級南昌二中?？计谀┯^察表格，回答問題：a…0.00010.01110010000……0.01x1yz…(1)表格中，；；(2)從表格中探究a與數位的規(guī)律，利用這個規(guī)律解決下面兩個問題：①已知，則；②已知，若，用含m的代數式表示b，則b＝；(3)試比較與a的大?。敃r，；當時，；當時，．【變式訓練】1．（2023春·吉林長春·七年級統考期末）觀察表格回答下列問題：a…0.00010.01110010000……x1y100…(1)表格中，．(2)從表格中探究a與數位之間的變化規(guī)律，并利用規(guī)律解決下面問題：①已知，則．②已知，若，則a＝．2．（2023春·廣東東莞·七年級東莞市東莞中學?？计谥校?）填空：__________，__________；__________，__________．（2）請按以上規(guī)律計算：①；②．（3）已知，，用含，的式子表示．【類型五算術平方根和立方根的綜合應用】例題：（2023春·湖北孝感·七年級統考期中）已知的平方根是，的立方根是2，是的整數部分．(1)求和的值；(2)求的算術平方根．【變式訓練】1．（2023秋·甘肅定西·七年級?？计谀┮阎膬蓚€平方根分別是，的立方根為2．(1)求的平方根；(2)若的算術平方根是3，求的立方根．2．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）已知：的立方根是3，的算術平方根是2，c的平方根是它本身．(1)求的平方根．(2)若的整數部分為m，的小數部分為n，求的值．【類型六實數的大小比較】例題：（2023春·廣東惠州·七年級統考期末）比較大?。篲_____，______；【變式訓練】1．（2023春·湖北武漢·七年級統考期末）比較實數大小：______（填“”、“”或“”）．2．（2023春·陜西西安·七年級校考階段練習）比較大?。篲____．（填寫“”、“”或“”）【類型七程序設計與實數運算】例題：（2023·陜西咸陽·二模）程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”，根據如圖的程序進行計算，當輸入的值為64時，輸出的值是__________．【變式訓練】1．（2023秋·七年級單元測試）如圖是小明用計算機設計的計算小程序，當輸入為時，輸出的值是____________2．（2023春·重慶渝北·九年級禮嘉中學校考階段練習）按如圖所示程序計算，若輸入的x為，則輸出結果為___________．【類型八新定義下的實數運算】例題：（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）規(guī)定一種運算：，其中，為實數．例如：，則的值為__________．【變式訓練】1．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）定義一種運算：對于任意實數，都有，則的值為_________．2．（2023春·湖北武漢·七年級統考期中）在正實數范圍內定義一種運算“”：當時，；當時，．則方程的解是___________．【過關檢測】一、單選題1．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）已知實數m，n滿足，則的值為（

）A．3 B．﹣3 C．0 D．12．（2023春·江西南昌·七年級?？计谥校┫铝械仁秸_的是（）A． B． C． D．3．（2023春·河南漯河·七年級統考期中）若，，，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）按一定規(guī)律排列的單項式：，第個單項式是（

）A． B． C． D．5．（2023春·湖北恩施·七年級統考期中）已知實數，若互為相反數，互為倒數，，則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題5．（2023春·安徽亳州·七年級校考期中）比較大?。海ㄌ睢?gt;”“<”或“=”）6．（2023春·內蒙古呼倫貝爾·七年級?？茧A段練習）設a是的整數部分，b是的小數部分，則，．7．（2023春·江蘇蘇州·八年級校考階段練習）有一個數值轉換器，原理如圖：

當輸入的時，輸出的y等于．8．（2023春·重慶九龍坡·七年級重慶市育才中學?？计谥校崝?，，在數軸上的對應點如圖所示，已知，化簡．9．（2023春·甘肅定西·七年級統考期中）數學小組的同學在研究數的變化規(guī)律時，得到如下的等式：，則第個等式是.10．（2023秋·四川綿陽·八年級統考開學考試）已知：，當，取不同的值時，也有不同的值，當最小時，的算術平方根為．三、解答題11．（2023春·安徽池州·七年級統考期中）已知的立方根是，，是的算術平方根．(1)求，，的值；(2)求的平方根．12．（2023春·河南商丘·七年級統考期中）如圖一只螞蟻從點沿數軸向右爬了個單位長度到達點，點表示，設點所表示的數為．(1)求的值；(2)在數軸上還有、兩點分別表示實數c和d，且有與為相反數，求的平方根．13．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）如圖是一個按運算規(guī)則進行的數值轉換器：(1)若輸入的x為16，則輸出的y值是；(2)若輸入有效的x值后，始終輸不出y值，則x的值是；(3)若輸出y的值是，請寫出兩個滿足要求的x值．14．（2023秋·山東煙臺·七年級統考期末）閱讀下列解題過程：；；；……(1)___________，___________；(2)觀察上面的解題過程，求（為自然數）；(3)計算：．15．（2023春·湖北黃岡·八年級校聯考期中）觀察下列各式及證明過程：①；②；③．驗證：；．（1）按照上述等式及驗證過程的基本思想，請寫出兩個類似的等式，并選擇其中一個寫出驗證過程；（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n為自然數，且n≥1）表示的等式，并驗證．16．（2023秋·山東棗莊·八年級滕州育才中學?？奸_學考試）數學張老師在課堂上提出一個問題：“通過探究知道：，它是無限不循環(huán)小數，也叫無理數，它的整數部分是1，那么有誰能說出它的小數部分是多少”，小明舉手回答：它的小數部分我們無法全部寫出來，但可以用來表示它的小數部分，張老師夸獎小明真聰明，肯定了他的說法．現請你根據小明的說法解答：(1)的小數部分是多少，請表示出來．(2)為的小數部分，為的整數部分，求的值．(3)已知，其中是一個正整數，，求的值．

專題13平方根、立方根、實數壓軸題八種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一利用算術平方根的非負性解題】 1【類型二利用數軸化簡根式】 2【類型三求算術平方根的整數部分和小數部分】 4【類型四與算術平方根有關的規(guī)律探索題】 5【類型五算術平方根和立方根的綜合應用】 8【類型六實數的大小比較】 10【類型七程序設計與實數運算】 11【類型八新定義下的實數運算】 13【過關檢測】 14【典型例題】【類型一利用算術平方根的非負性解題】例題：（2023秋·北京豐臺·九年級北京豐臺二中?？奸_學考試）若，則．【答案】2【分析】根據非負數的性質求出，的值，代入代數式計算即可得出答案．【詳解】解：由題意得，，，，，，故答案為：2．【點睛】本題考查了非負數的性質及求代數式的值，利用非負數性質求出，的值是解題關鍵．【變式訓練】1．（2023春·山東德州·七年級?？茧A段練習）若a，b為實數，且，則．【答案】【分析】首先根據絕對值和算術平方根的非負性得到，，然后代入求解即可．【詳解】∵∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】此題考查了絕對值和算術平方根的非負性，代數式求值，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．2．（2023春·河南·七年級校聯考階段練習）已知x，y滿足，求的算術平方根．【答案】3【分析】由算術平方根的含義可得，再解方程，求解代數式的值及算術平方根即可．【詳解】解：，且，∴，當時，，∴9的算術平方根是3．【點睛】本題考查的是非負數的性質，算術平方根的含義，熟記非負數的性質與算術平方根的含義是解本題的關鍵．【類型二利用數軸化簡根式】例題：（2023春·云南曲靖·七年級?？计谥校┮阎cA、B、C在數軸上表示的數a、b、c的位置如圖所示：化簡：．【答案】b【分析】根據數軸可知，則可知，，即可根據平方根，立方根的性質進行化簡．【詳解】根據數軸可知，則可知，，故答案為：b．【點睛】本題主要考查了平方根、立方根的性質，根據數軸得出數與0的大小關系是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·湖北武漢·七年級統考期中）已知點在數軸上表示的數的位置如圖所示，化簡【答案】【分析】由數軸上右邊的數總比左邊的數大，且離原點的距離大小即為絕對值的大小，判斷出的正負，利用絕對值的代數意義、算術平方根及立方根的性質化簡所求式子，合并同類項即可得到結果．【詳解】由數軸可知：，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查數軸、整數的運算、絕對值的性質、算術平方根及立方根的性質,掌握運算法則是解題的關鍵．2．（2023秋·全國·八年級專題練習）已知實數a、b、c在數軸上對應的點的位置如圖所示，化簡：的結果為．【答案】【分析】先判斷和的正負，然后根據絕對值的意義，算術平方根和立方根的意義化簡，再合并同類項即可．【詳解】解：∵，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了絕對值的意義，算術平方根和立方根的意義，以及整式的加減，熟練掌握各知識點是解答本題的關鍵．【類型三求算術平方根的整數部分和小數部分】例題：（2023春·遼寧大連·七年級?？茧A段練習）若的整數部分為，小數部分為，則_________，_________．【答案】【分析】根據首先確定的值，則小數部分即可確定．【詳解】解：，，則．故答案是：3，．【點睛】本題主要考查了無理數的估算，解題的關鍵是確定無理數的整數部分即可解決問題．【變式訓練】1．（2023春·全國·七年級專題練習）的整數部分是______．小數部分是_______．【答案】3【分析】根據算術平方根的整數部分和小數部分求解的方法直接進行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴的整數部分為3，∴的小數部分為；故答案為3，．【點睛】本題主要考查算術平方根，熟練掌握求一個算術平方根的整數部分和小數部分是解題的關鍵．2．（2023春·全國·七年級專題練習）已知a，b分別是的整數部分和小數部分，則2a﹣b的值為______．【答案】．【分析】先求出介于哪兩個整數之間，即可求出它的整數部分，再用減去它的整數部分求出它的小數部分，再代入即可.【詳解】∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴a=3，b=﹣3，∴2a﹣b=2×3﹣（﹣3）=6﹣+3=．故答案為．【點睛】此題考查的是帶根號的實數的整數部分和小數部分的求法，利用平方找到它的取值范圍是解決此題的關鍵.【類型四與算術平方根有關的規(guī)律探索題】例題：（2023春·江西南昌·七年級南昌二中校考期末）觀察表格，回答問題：a…0.00010.01110010000……0.01x1yz…(1)表格中，；；(2)從表格中探究a與數位的規(guī)律，利用這個規(guī)律解決下面兩個問題：①已知，則；②已知，若，用含m的代數式表示b，則b＝；(3)試比較與a的大?。敃r，；當時，；當時，．【答案】(1)0.1；10；100(2)①31.6；②(3)；或0；【分析】（1）由表格得出規(guī)律，求出x，y和z的值即可；（2）根據得出的規(guī)律確定出所求即可；（3）根據表格中的數據，分類討論a的范圍，比較大小即可．【詳解】（1），，．故答案為：0.1；10，100；（2）①∵，∴．②∵結果擴大100倍，則被開方數擴大10000倍，∴．故答案為：31.6；；（3）由表格中數據可知：當時，；當或0時，；當時，，故答案為：；或0；．【點睛】此題考查了算術平方根的規(guī)律問題，弄清題中的規(guī)律是解本題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·吉林長春·七年級統考期末）觀察表格回答下列問題：a…0.00010.01110010000……x1y100…(1)表格中，．(2)從表格中探究a與數位之間的變化規(guī)律，并利用規(guī)律解決下面問題：①已知，則．②已知，若，則a＝．【答案】(1)；10(2)①；②25600【分析】（1）利用算術平方根的定義即可得出答案；（2）①根據表格中數據總結規(guī)律，繼而求得答案；②根據表格中數據總結規(guī)律，繼而求得答案．【詳解】（1）解：∵，∴，．故答案為：；10．（2）解：①由表格中數據可得，被開方數的小數點每往右移動兩位，則它的算術平方根的小數點就向右移動一位，已知，則，故答案為：；②由①可得被開方數的小數點每往右移動兩位，則它的算術平方根的小數點就向右移動一位，已知，則，∵，∴．故答案為：25600．【點睛】本題考查數式規(guī)律問題、算術平方根的定義等知識點，從表格數據總結出數式變化規(guī)律是解題的關鍵．2．（2023春·廣東東莞·七年級東莞市東莞中學?？计谥校?）填空：__________，__________；__________，__________．（2）請按以上規(guī)律計算：①；②．（3）已知，，用含，的式子表示．【答案】（1），，，；（2）①，；（3）【分析】（1）根據算術平方根進行計算即可求解；（2）根據（1）的規(guī)律即可求解；（3）根據（1）的規(guī)律即可求解．【詳解】解：（1）填空：，；，，故答案為：，，，（2）①，②；（3）∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了求一個數是算術平方根，算術平方根規(guī)律題，找到規(guī)律是解題的關鍵．【類型五算術平方根和立方根的綜合應用】例題：（2023春·湖北孝感·七年級統考期中）已知的平方根是，的立方根是2，是的整數部分．(1)求和的值；(2)求的算術平方根．【答案】(1)，(2)3【分析】（1）根據算術平方根，立方根的定義，求得和的值；（2）根據（1）的結果，代入代數式，然后求得算術平方根即可求解．【詳解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2，∴，，即，；（2）解：∵，∴∵是的整數部分，∴，由（1）知，，所以，那么9的算術平方根是3，即的算術平方根是3．【點睛】本題考查了平方根、算術平方根、立方根、無理數的估算等知識內容，難度較小，注意一個正數的平方根有兩個，它們互為相反數．【變式訓練】1．（2023秋·甘肅定西·七年級?？计谀┮阎膬蓚€平方根分別是，的立方根為2．(1)求的平方根；(2)若的算術平方根是3，求的立方根．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據平方根和立方根的意義求出字母的值，再求的平方根即可；（2）求出的值，再求的立方根即可．【詳解】（1）解：∵的兩個平方根分別是，的立方根為2．∴，，解得，，，，∵，∴的平方根是．（2）解：∵的算術平方根是3，∴，

∵，∴，，∵，∴的立方根是．【點睛】本題考查了平方根和立方根，解題關鍵是根據平方根和立方根的意義求出字母的值，會熟練求一個數的平方根和立方根．2．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）已知：的立方根是3，的算術平方根是2，c的平方根是它本身．(1)求的平方根．(2)若的整數部分為m，的小數部分為n，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據立方根與算術平方根，平方根的含義可得：，，，從而可得答案；（2）由，，可得，的值，從而可得答案.【詳解】（1）解：由題得：，，，解得，，∴．則的平方根為：（2）由（1）可求，∵，，

∴，，

則.【點睛】本題考查的是立方根，平方根，算術平方根的含義，無理數的整數部分與小數部分，熟記基本概念是解本題的關鍵.【類型六實數的大小比較】例題：（2023春·廣東惠州·七年級統考期末）比較大小：______，______；【答案】【分析】根據被開方數越大，其算術平方根越大可比較的大小，根據比較近似值的方法可比較的大小，從而可得答案．【詳解】解：，，故答案為：，【點睛】本題考查的是實數的大小比較，掌握比較的方法是解本題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·湖北武漢·七年級統考期末）比較實數大?。篲_____（填“”、“”或“”）．【答案】【分析】根據無理數的估算得到，即可得出結果．【詳解】解：∵，∴；故答案為：．【點睛】本題考查比較實數大?。炀氄莆諢o理數的估算，是解題的關鍵．2．（2023春·陜西西安·七年級?？茧A段練習）比較大?。篲____．（填寫“”、“”或“”）【答案】【分析】利用作差法進行求解即可．【詳解】解：，∵，∴，∴，即，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了實數比較大小，熟知作差法比較大小是解題的關鍵．【類型七程序設計與實數運算】例題：（2023·陜西咸陽·二模）程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”，根據如圖的程序進行計算，當輸入的值為64時，輸出的值是__________．【答案】【分析】根據程序框圖進行運算求解即可．【詳解】解：由題意知，，取算術平方根為，8是有理數，取立方根，2是有理數，取算術平方根，是無理數，輸出，故答案為：．【點睛】本題考查了算術平方根、立方根，無理數、有理數，程序框圖．解題的關鍵在于理解框圖以及對知識的熟練掌握．【變式訓練】1．（2023秋·七年級單元測試）如圖是小明用計算機設計的計算小程序，當輸入為時，輸出的值是____________【答案】【分析】將代入程序進行計算即可求解．【詳解】解：當時，，當時，，當時，，輸出，故答案為：．【點睛】本題考查了實數的計算，掌握求一個數的立方根，算術平方根是解題的關鍵．2．（2023春·重慶渝北·九年級禮嘉中學校考階段練習）按如圖所示程序計算，若輸入的x為，則輸出結果為___________．【答案】【分析】根據程序圖及算術平方根的計算方法，依次計算即可．【詳解】解：第一次運算，輸入，取算術平方根為4，返回繼續(xù)運算；第二次運算，輸入4，取算術平方根為2，返回繼續(xù)運算；第三次運算，輸入2，取算術平方根為，是無理數，輸出結果．故答案為：．【點睛】本題考查算術平方根及程序圖的計算，理解程序圖的運算順序是解題的關鍵．【類型八新定義下的實數運算】例題：（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）規(guī)定一種運算：，其中，為實數．例如：，則的值為__________．【答案】【分析】讀懂新定義，利用新定義計算．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查新定義實數的運算，解題的關鍵是理解新定義的運算方法．【變式訓練】1．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）定義一種運算：對于任意實數，都有，則的值為_________．【答案】【分析】根據題目所給的定義得到，據此求解即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了新定義下的實數運算，正確理解題意是解題的關鍵．2．（2023春·湖北武漢·七年級統考期中）在正實數范圍內定義一種運算“”：當時，；當時，．則方程的解是___________．【答案】或【分析】直接利用當時，當時，分別得出等式，進而得出答案．【詳解】解：，當時，，故，解得：，當時，，，故，解得：，綜上所述：或．故答案為：或．【點睛】此題主要考查了新定義運算，實數的運算，正確分情況討論是解題關鍵．【過關檢測】一、單選題1．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）已知實數m，n滿足，則的值為（

）A．3 B．﹣3 C．0 D．1【答案】A【分析】根據絕對值與二次根式的非負性即可求解．【詳解】解：依題意得，，解得，，∴，故選：A．【點睛】此題主要考查二次根式和絕對值的性質，解題的關鍵是熟知二次根式的非負性．2．（2023春·江西南昌·七年級?？计谥校┫铝械仁秸_的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據算術平方根和立方根的求法進行計算，再得出選項即可．【詳解】解：A．，故本選項符合題意；B．無意義），故本選項不符合題意；C．，而，故本選項不符合題意；D．，故本選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了立方根和算術平方根，能熟記相應的求法是解此題的關鍵．3．（2023春·河南漯河·七年級統考期中）若，，，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先把各數化簡，進而可得，，的大小關系．【詳解】解：，，，∵，∴．故選D．【點睛】本題考查了實數的大小比較，算術平方根和立方根的意義，正確化簡各數是解答本題的關鍵．4．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）按一定規(guī)律排列的單項式：，第個單項式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據單項式的規(guī)律可得，系數為，字母為，指數為1開始的自然數，據此即可求解．【詳解】解：按一定規(guī)律排列的單項式：，第個單項式是，故選：C．【點睛】本題考查了單項式規(guī)律題，找到單項式的變化規(guī)律是解題的關鍵．5．（2023春·湖北恩施·七年級統考期中）已知實數，若互為相反數，互為倒數，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意知，，，由，可得，分別計算，時代數式的值即可．【詳解】解：由題意知，，，∵，∴，當，，當，，∴，故選：C．【點睛】本題考查了相反數，倒數，平方根，代數式求值．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．二、填空題5．（2023春·安徽亳州·七年級?？计谥校┍容^大小：．（填“>”“<”或“=”）【答案】<【分析】根據，，再進行實數的大小比較即可．【詳解】解：∵，，又∵，∴，故答案為：<．【點睛】本題考查實數的大小比較，把二次根式通過平方的方法，平方的值越大，算術平方根越大．6．（2023春·內蒙古呼倫貝爾·七年級?？茧A段練習）設a是的整數部分，b是的小數部分，則，．【答案】6/【分析】根據無理數的估算方法，求得介于整數2和3之間即可求解．【詳解】解：∵，∴，即，∴，，∴，，故答案為：6，．【點睛】本題考查無理數的估算，熟練掌握無理數的估算方法是解答的關鍵．7．（2023春·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習）有一個數值轉換器，原理如圖：

當輸入的時，輸出的y等于．【答案】【分析】根據轉換程序把4代入求值即可．【詳解】解：4的算術平方根為：，則2的算術平方根為：．故輸出的值為，故答案為：．【點睛】此題主要考查了算術平方根，正確把握運算規(guī)律是解題關鍵．8．（2023春·重慶九龍坡·七年級重慶市育才中學校考期中）實數，，在數軸上的對應點如圖所示，已知，化簡．【答案】0【分析】利用實數，，在數軸上的對應點的位置確定，，的符號，利用已知條件得到，再利用算術平方根的性質化簡運算即可．【詳解】解：由題意得：，∴，，∵，∴，∴．∴原式．故答案為：0．【點睛】本題主要考查了實數與數軸，算術平方根，絕對值的意義，利用實數，，在數軸上的對應點的位置確定，，的符號是解題的關鍵．9．（2023春·甘肅定西·七年級統考期中）數學小組的同學在研究數的變化規(guī)律時，得到如下的等式：，則第個等式是.【答案】【分析】觀察發(fā)現，被開方數的整數部分與分子相同，分母比分子的平方小1，然后根據被開方數的整數部分可以直接放到分號外面寫出第個等式即可.【詳解】解：∵；∴第個等式為．故答案為：【點睛】本題主要考查算術平方根中的規(guī)律題，理解題意掌握題中規(guī)律是解題的關鍵．10．（2023秋·四川綿陽·八年級統考開學考試）已知：，當，取不同的值時，也有不同的值，當最小時，的算術平方根為．【答案】1【分析】結合已知條件，根據算術平方根的非負性確定a，b的值，然后求得ba的算術平方根即可．【詳解】解：已知，，，當，時，有最小值0，則，，那么，則的算術平方根為1，故答案為：1．【點睛】本題考查算術平方根的非負性及算術平方根，結合已知條件求得a，b的值是解題的關鍵．三、解答題11．（2023春·安徽池州·七年級統考期中）已知的立方根是，，是的算術平方根．(1)求，，的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）由“的立方根是”可求，由可求，由“是的算術平方根”即可進一步求；（2）根據，，的值即可求解．【詳解】（1）解：因為的立方根是，所以，解得．因為，所以，即，解得．因為是的算術平方根，所以，所以．（2）解：因為，，，所以，所以的平方根是．【點睛】本題綜合考查立方根和平方根問題．掌握相關定義及計算方法是解題關鍵．12．（2023春·河南商丘·七年級統考期中）如圖一只螞蟻從點沿數軸向右爬了個單位長度到達點，點表示，設點所表示的數為．(1)求的值；(2)在數軸上還有、兩點分別表示實數c和d，且有與為相反數，求的平方根．【答案】(1)2(2)【分析】（1）先由題意解得，再運用絕對值的知識求解此題結果；（2）先運用非負數的性質求得c，d的值，再運用平方根知識求解此題結果即可．【詳解】（1）由題意得，，，，；（2）由題意得，，，，解得，，，的平方根是，的平方根為．【點睛】此題考查了運用數軸上的點表示實數、非負數和平方根解決問題的能力，關鍵是能準確理解并運用以上知識進行正確地求解．13．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）如圖是一個按運算規(guī)則進行的數值轉換器：(1)若輸入的x為16，則輸出的y值