2022年人教版八年級上冊數(shù)學第十一章三角形同步單元教案及教學反思

第十一章三角形

11.1與三角形有關的線段

11.1.1三角形的邊

?教學目標0

【知識與技能】

1.認識三角形的概念及其基本要素；

2.掌握三角形三條邊之間的關系.

【過程與方法】

1.通過操作對比、觀察、推理、交流等活動認識三角形及其概念和表示方法,運用分類思想

對三角形進行分類；

2.經歷度量三角形邊長的實踐活動中，理解三角形的三邊關系.

【情感、態(tài)度與價值觀】

培養(yǎng)學生的符號語言表達能力,體會三角形在日常生活中的應用價值.

?教學重難點?

【教學重點】

三角形的三邊關系.

【教學難點】

三角形三邊關系的應用.

?教學過程?

一、情境導入

埃及金字塔、常見的交通標志和移動信號塔都是什么形狀?在我們日常生活中還有哪些東

西是三角形的？

二'合作探究

探究點1三角形的概念

一典例1看圖填空：

(1)圖中共有個三角形,它們是;

(2)4BGE的三個頂點分別是，三條邊分別是，三個角分別是;

(3)AA￡：F中，頂點A所對的邊是;

(4)ZACB是a的內角,NACB的對邊是.

［解析］根據(jù)三角形的概念:由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做

三角形.組成三角形的線段叫做三角形的邊.相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點.相鄰兩邊

組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角.

［答案］

(1)4;A/1BC,AEBG,AA￡F,ACGF

(2)B,G,E;BE,EG,BG;ZB,ZBEG,ZBGE

(3)EF

(4)ACB;AB

探究點2三角形的分類

一典例2如圖，過AB,C,D,E五個點中的任意三點畫三角形.

(1)以A8為邊畫三角形，能畫幾個?寫出各三角形的名稱.

(2)分別指出(1)中的三角形中的等腰三角形和鈍角三角形.

---??4

AB

［解析］⑴如圖所示，以AB為邊的三角形能畫3個,分別是

(2)AABD是等腰三角形,△EAB,4048是鈍角三角形.

探究點3三角形的三邊關系

s-典例3已知三角形的三條邊互不相等，且有兩邊長分別為7和9,另一條邊長為偶數(shù).

(1)請寫出一個符合上述條件的第三邊長.

(2)符合上述條件的三角形有多少個？

［解析］(1)第三邊長是4.(答案不唯一)

(2)設三角形的另一邊長為相

V2<???<16,

：.m的值為4,6,8,10,12,14洪六個.

歸納總結

在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要

兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形.

三'板書設計

三角形的邊

’（三角形的邊

三角形的相關概念|三角形的角

三角形（I三角形的頂點

三角形的分類

、三邊關系

?教學反思?

由于初次接觸三角形的相關元素，教師要注意引導學生發(fā)現(xiàn)三角形的三邊關系，要留給學生

充足的時間和空間去思考討論,培養(yǎng)學生解決問題的能力.

11.1.2三角形的高、中線與角平分線

?教學目標0

【知識與技能】

1.了解三角形的高、中線、角平分線的概念；

2.會用工具準確畫出三角形的高、中線、角平分線.

【過程與方法】

1.讓學生經歷畫三角形的高、中線、角平分線過程，理解三角形的高、中線、角平分線的特

點以及符號語言和圖形語言的表達方法；

2.培養(yǎng)學生觀察、分析、作圖、解決問題的能力.

【情感、態(tài)度與價值觀】

培養(yǎng)學生敢于實踐操作、勇于發(fā)現(xiàn)、大膽探索、合作創(chuàng)新的精神.

?教學重難點?

【教學重點】

三角形的高線、中線、角平分線的概念及畫法.

【教學難點】

探究三角形的三條高線、三條角平分線、三條中線都交于一點的過程.

?教學過程?

一、情境導入

有一塊三角形的地,小明的爸爸想種花草，媽媽想種菜.于是想平分三角形的面積，一半種花

草，一半種菜，不知如何做，小明說，這還不好辦，作一邊的中線就行了，聰明的你，能幫他們家把這

塊地分成面積相等的兩部分嗎?知道小明這樣做的原因嗎？

二'合作探究

探究點1三角形的高

典例1如圖，在△ABC中,ADJLBC,垂足為。乃E_LAC,垂足為E,AD,BE相交于點￡連接CF.

F

AB

(1)在△ABC中,AC邊上的高為,BC邊上的高為;

(2)在△A5O中/。邊上的高為;

(3)在△8CE中,CE邊上的高為;

(4)在△8b中,8。邊上的高為;

(5)在△A8F中,AF邊上的高為,BE邊上的高為.

［解析］三角形的高即從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線引垂線，頂點和垂足間的線段.

［答案］(1)BE力。(2)8。(3)BE(4)FD(5)BD^4E

歸納總結

銳角三角形的三條高在三角形內部，相交于三角形內一點;直角三角形有兩條高與直角邊重

合，另一條高在三角形內部，它們的交點是直角頂點;鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高

在三角形內部，三條高所在直線相交于三角形外一點.

探究點2中線的特性

＞一典例2三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個()

A.形狀相同的三角形

B.面積相等的三角形

C.直角三角形

D.周長相等的三角形

［解析］根據(jù)三角形的面積公式以及三角形的中線定義，知三角形的一邊上的中線把三角形分

成了等底同高的兩個三角形，所以它們的面積相等.

［答案］B

【技巧點撥】三角形的中線把三角形分為兩個等底同高的三角形,這兩個三角形的面積相等.

探究點3三角形的角平分線

典例3如圖,CD,BE分別是△ABC的角平分線，它們相交于點/，則：

(1)ZACD=Z=ZACB,ZABC=ZABE.

⑵即是/的平分線,C/是N的平分線.

(3)若NA8C=6(r,NAC8=80。,則N8/C=度.

(4)你能畫出△ABC的第三條角平分線嗎？

1

［解析］(l)BCD;-;2.

(2)ABC-ACB.

(3)110°.

(4)連接A/并延長，即為/區(qū)4c的角平分線.

探究點4三角形的中線與周長

J—典例4如圖力。是△ABC的中線，且A3=10cm/C=6cm,求△A3。與△ACD的周長

之差.

［解析］：為中線,二BD=CD,

：.^ABD與△AC。的周長之差=(A3+AO+8￡>)-(AC+AO+CD)=A8—AC,

?.?AB=10,AC=6,

AABD與△ACO的周長之差=10-6=4cm.

三'板書設計

三角形的高、中線與角平分線

三角形的高、

(定義

三角形的高(畫法

(符號表達

(定義

中線與角平分線(三角形的中線畫法

(符號表達

'定義

三角形的角平分線(畫法

、符號表達

?教學反思?

通過本課時的教學要讓學生認識三角形的三條重要線段的概念、圖形和它們的相關特性,

如三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分，三角形的三條高線、三條中線、三條角平分

線都相交于一點的性質，應逐步加強學生幾何語言的表達能力.

11.1.3三角形的穩(wěn)定性

?教學目標0

【知識與技能】

了解三角形的穩(wěn)定性以及三角形的穩(wěn)定性在實際生活中的應用.

【過程與方法】

培養(yǎng)動手操作、歸納概括能力，提高運用知識解題的能力，訓練思維的靈活性.

【情感、態(tài)度與價值觀】

感受生活中數(shù)學的美學價值，體會生活中處處有數(shù)學，體驗學習數(shù)學的樂趣.

?教學重難點?

【教學重點】

三角形的穩(wěn)定性.

【教學難點】

三角形穩(wěn)定性的應用.

?教學過程?

一、情境導入

④公斷人

三角形在我們日常生活中應用廣泛，仔細觀察上面一組圖片，你知道有些物體的形狀做成三

角形的原因嗎?三角形形狀的物體有什么作用？

二'合作探究

探究點1三角形的穩(wěn)定性

一典例1如圖，一扇窗戶打開后,用窗鉤A8可將其固定，這里所運用的幾何原理是（）

A.垂線段最短

B.兩點之間線段最短

C.兩點確定一條直線

D.三角形的穩(wěn)定性

［解析］觀察圖可發(fā)現(xiàn)圖中窗鉤構造了一個三角形A08,根據(jù)三角形穩(wěn)定性，可得答案.

［答案］D

變式訓練如圖所示是一個起重機的示意圖，在起重架中間增加了很多斜條，它所運用的幾何原

理是()

A.三角形兩邊之和大于第三邊

B.三角形具有穩(wěn)定性

C.三角形兩邊之差小于第三邊

D.直角三角形

［答案］B

探究點2四邊形的不穩(wěn)定性的應用

一典例2(1)工程建筑中經常采用三角形的結構，如屋頂?shù)匿摷?，輸電線的支架等,這里運

用的三角形的性質是.

(2)下列圖形具有穩(wěn)定性的有個.

①正方形;②長方形;③直角三角形;④平行四邊形.

(3)已知四邊形的四邊長分別為2,3,4,5,這個四邊形的四個內角的大小能否確定？

(4)要使五邊形木架(用5根木條釘成)不變形，工人準備再釘上兩根木條，如圖的兩種釘法中正確

的是.

方法1方法2

(5)要使四邊形木架(用4根木條釘成)不變形，至少需要加1根木條固定，要使五邊形木架不變形,

至少需要加2根木條固定，要使六邊形木架不變形，至少需要加3根木條固定,……，如果要使一個

n邊形木架不變形，至少需要加根木條固定.

［解析］(1)三角形的穩(wěn)定性.

⑵1.

(3)不能確定.

(4)方法1.

(5)根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，可以知道需要的木條數(shù)等于過多邊形的一個頂點的對角線的條數(shù).

過“邊形的一個頂點可以作（〃-3）條對角線,把多邊形分成（〃一2）個三角形，所以，要使一個〃邊形

木架不變形，至少需要伽一3）根木條固定.

【技巧點撥】這里是利用三角形的穩(wěn)定性以及多邊形的對角線解決問題,考慮到利用對角線把

多邊形分成三角形是解題的關鍵.

探究點3克服四邊形的不穩(wěn)定性

＞一典例3

如圖，工人師傅做了一個長方形窗框分別是四條邊上的中點,為了使它穩(wěn)固，需要

在窗框上釘一根木條，這根木條不應釘在（）

AHB

EG

D

A□.A,C兩點之間

B.E,G兩點之間

C.3,F兩點之間

D.G,"兩點之間

［解析］用木條固定長方形窗框，即是組成三角形，故可用三角形的穩(wěn)定性解釋.

［答案］B

【方法點撥】三角形的穩(wěn)定性在實際生活中有著廣泛的應用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使

一些圖形具有穩(wěn)定的結構，往往通過連接輔助線轉化為三角形而獲得.

三'板書設計

三角形的穩(wěn)定性

三角形的

'（自行車框架

三角形的穩(wěn)定性（學?；@球架

（起重機等

穩(wěn)定性1（應用:放縮尺、活動

四邊形的,門、晾衣架等

不穩(wěn)定性）克服:把四邊形轉化

、【成三角形

?教學反思?

通過對生活中三角形穩(wěn)定性的探索，吸引學生的注意力，調動學生的積極性，體會數(shù)學的應

用價值.

11.2與三角形有關的角

11.2.1三角形的內角

第1課時三角形的內角和

?教學目標^

【知識與技能】

應用三角形內角和定理解決一些簡單的實際問題.

【過程與方法】

通過小組學習，經歷得出三角形內角和等于180。的過程，進一步提高學生利用所學知識解決

問題的能力.

【情感、態(tài)度與價值觀】

經歷猜想、歸納、證明等過程，學會研究問題的方法.

?教學重難點?

【教學重點】

三角形內角和定理.

【教學難點】

三角形內角和定理的推理過程.

?教學過程?

一、情境導入

如圖，小學的時候我們通過度量或剪拼得到:NA+NB+NACB=180。.

現(xiàn)在你能用我們學習的方法給出證明嗎？

二、合作探究

探究點1三角形內角和定理

;一典例1如圖，在△ABC中,8。為△ABC的角平分線，如果NA=47o,NAO3=116。,求N

ABC和NC的度數(shù).

A

BC

［解析］VZA=47°,ZADB=116°,

ZABD=180°-47°~116°=17°.

,：BD為△ABC的角平分線，

ZABC=2ZABD=34°,

：.ZC=180°-47°-34°=99°.

探究點2三角形內角和定理的應用

---典例2如圖公48。中,/8=65。,/84。=40。,/4￡：￡>=100。,/。。五=45。,求/。。的

度數(shù)

［解析］在△A3。中，

VZB=65°,ZBAD=40°,

，NBDA=180°-(ZB+ZBAD)=180°-(65°+40°)=75°.

'：ZCDE=45°,

：.ZADE=180°-(ZBDA+ZCDE)=180°-(75°+45°)=60°.

在△AOE中,；ZAED=100°,

ZCAD=180°-AADE-NAED=180°-60。-100°=20°.

變式訓練完成下面的推理過程：

如圖，在三角形ABC中，已知Z2+Z3=180°,Z1=NA,試說明NCFO=ZB.

解:?.?/2+/。￡77=180。（鄰補角定義）,/2+/3=180。（已知）,

二（同角的補角相等）.

：.AC//EF().

：.ZCDF=(兩直線平行，內錯角相等).

=已知)，

：.ZCDF=NA(等量代換).

/.DF//AB().

，ZCFD=ZB().

［答案］N3;內錯角相等,兩直線平行;N1;同位角相等,兩直線平行;兩直線平行,同位角

相等

三'板書設計

三角形的內角和

'三角形內角和的證明

三角形的內角和

、三角形內角和的應用

?教學反思?

本節(jié)課主要是通過小學的探究形式，引導學生尋找做輔助線，對三角形的內角和等于180。進

行嚴謹?shù)淖C明，慢慢培養(yǎng)學生對證明的理解,逐步認識幾何證明的必要性.在解決問題的過程中,

關注學生在推理中語言使用的準確性,引導學生用規(guī)范的格式進行書寫.

第2課時直角三角形的兩個銳角互余

?教學目標0

【知識與技能】

認識直角三角形，探索圖形性質.

【過程與方法】

1.通過小組實踐探索找到直角三角形的性質.

2.用以學為主的教學模式中的啟發(fā)式教學策略與方法，讓學生養(yǎng)成自主探索、合作交流的學

習方式.

【情感'態(tài)度與價值觀】

經歷猜想、歸納、證明等過程,學會研究問題的方法.讓學生在已有知識的基礎上通過觀察

來總結理論知識.

?教學重難點?

【教學重點】

直角三角形的兩個銳角互余.

【教學難點】

直角三角形的兩個銳角互余的探索過程.

?教學過程?

一、情境導入

如圖，在△ABC中,NC=90。,你能求出的度數(shù)嗎?為什么?你能求出NA+N8的度

數(shù)嗎?利用上面的結果,你能得出什么結論？

NA+N8=90。,現(xiàn)在你能用我們學習的方法給出證明嗎？

二'合作探究

探究點直角三角形的兩銳角互余

一典例如圖,8。平分為垂足,/C=55。,則NABC的度數(shù)是（）

A

D

---------------------"C

A.35°B.55°C.60°D.70°

［解析］根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出NCB。,再根據(jù)角平分線的定義解答.

,：CD±BD,ZC=55°,

：.ZCB￡>=90°-55°=35°,

8。平分NABC,

二ZABC=2ZCBD=2X35。=70°.

［答案］D

三'板書設計

直角三角形的兩個銳角互余

直角三角形的兩銳角互余

?教學反思?

通過引導學生理解直角三角形的兩個銳角互余，激發(fā)學生參與的主動性.

11.2.2三角形的外角

?教學目標0

【知識與技能】

了解三角形的外角的兩條性質，能利用三角形的外角性質解決問題.

【過程與方法】

經歷觀察、探索、交流等過程,增強表達能力和推理能力.

【情感'態(tài)度與價值觀】

通過觀察和動手操作，體會探索過程，學會推理的數(shù)學思想方法，培養(yǎng)主動探索、勇于發(fā)現(xiàn),

敢于實踐及合作交流的習慣.

?教學重難點?

【教學重點】

三角形的外角的性質.

【教學難點】

探究三角形外角的性質，進行相關計算.

?教學過程?

一、情境導入

兩只野狼在如圖的A處發(fā)現(xiàn)有一只野牛離群獨自在。處覓食，野狼打算用迂回的方式，一只

先從A前進到B處,然后再折回在C處截住野牛返回牛群的去路D處，另一只則直接從A處撲

向野牛.已知N84C=4()o,NABC=70。,問野狼從B處要轉多少度才能直達。處？

二'合作探究

探究點1三角形的外角

--典例1如圖,CE是△ABC的外角NACO的平分線，若/8=25。,乙4。￡：=60。,則NA=

AE

A.105°

B.95°

C.85°

D.25°

［解析］先根據(jù)角平分線的性質求出NACO的度數(shù)，再由三角形外角的性質即可得出結論.???CE

是△ABC的外角/ACO的平分線,NACE=60。,NACO=2NACE=120。.：N8=25。,，NA=

120°-25°=95°.

［答案］B

變式訓練一副三角板有兩個三角形，如圖疊放在一起，則Na的度數(shù)是（）

A.1200B.135°C.1500D.1650

「答案］D

探究點2三角形外角的性質的應用

一典例2

如圖，已知D為△ABC邊BC延長線上一點,于點F,交AC于點E,ZA=30°,ZZ）=40°,

求NAC。的度數(shù).

［解析］'：DF±AB,ZD=40°,

：.ZDFB=90°,

.,.ZB=90o-ZD=90o-40o=50°.

,/ZACD是△ABC的外角,NA=30。,

，ZACD=ZB+NA=50°+30°=80°.

【技巧點撥】解決幾何問題的關鍵是認準圖形，找出圖中三角形的外角，利用“三角形的一個外角

等于和它不相鄰的兩個內角的和”的性質和三角形內角和定理解決.

變式訓練如圖，若/4=27。,/3=45。,/。=38。,則/。尸￡等于（）

A.1100

B.1150

C.1200

D.1250

［答案］A

三'板書設計

三角形的外角

定義

三角形的外角

三角形的外角圖形與性質

三角形外角的應用

?教學反思?

本節(jié)課的教學圍繞三角形的外角識別、性質及應用展開教學,在講解外角和內角關系時層

層遞進，使重點得到突出;及時根據(jù)學生學習的情況進行點評和分析;對于易錯問題及時講解，此

外注意指導學生總結解題思路和方法,讓學生對所學知識的掌握更到位.

11.3多邊形及其內角和

11.3.1多邊形

?教學目標0

【知識與技能】

了解多邊形的有關概念,理解正多邊形和有關概念.

【過程與方法】

經歷動手、作圖等過程，進一步發(fā)展空間能力.

【情感'態(tài)度與價值觀】

經歷探索、歸納等過程，學會研究問題的方法.

?教學重難點?

【教學重點】

了解多邊形、內角、外角、對角線等數(shù)學概念以及凸多邊形和正多邊形的概念.

【教學難點】

多邊形定義的準確理解.

?教學過程?

一、情境導入

▲▲

磔

“2%

▼▼

請同學們回憶一下三角形的概念,并嘗試說明多邊形的概念.

二、合作探究

探究點1多邊形的概念

\一典例1如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（）

八U目

A.3個B.4個C.5個D.6個

［解析］根據(jù)多邊形的定義:平面內不在同一條直線上的幾條線段首尾順次相接組成的圖形叫

做多邊形.顯然只有第一個、第二個、第五個是多邊形.

［答案］A

變式訓練如圖，下列圖形不是凸多邊形的是（

［答案］C

探究點2正多邊形的概念

一典例2我們知道各邊都相等，各角都相等的多邊形是正多邊形，小明卻說各邊都相等的

多邊形就是正多邊形，各角都相等的多邊形也是正多邊形，他的說法對嗎?如果不對，你能舉反例

（畫出相應圖形）說明嗎？

［解析］他的說法錯誤.

菱形各邊相等，但不是正多邊形.如圖，菱形A8CO的四個角不相等，不是正多邊形；

矩形各個角相等，但四邊不一定相等，不是正方形.

探究點3多邊形的剪切

s一典例3若一個多邊形截去一個角后，變成十五邊形，則原來的多邊形的邊數(shù)可能為

（）

A.14或15或16B.15或16

C.14或16D.15或16或17

［解析］因為一個多邊形截去一個角后，根據(jù)剪的角度、方式不同,多邊形的邊數(shù)可能增加了一

條，也可能不變或減少了一條，依此即可解決問題.一個多邊形截去一個角后，多邊形的邊數(shù)可能

增加了一條，也可能不變或減少了一條，則多邊形的邊數(shù)是14,15或16.

［答案］A

【技巧點撥】一個多邊形截去一個角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一

變式訓練把一個四邊形鋸掉一個角，剩下的多邊形是（）

A.三角形

B.四邊形

C.五邊形

D.三角形或四邊形或五邊形

［答案］D

三、板書設計

多邊形

'（定義

多邊形的內角

士%皿多邊形《多邊形的外角

多邊形〈

多邊形的對角線

〔凸多邊形

、正多邊形

?教學反思?

通過類比的數(shù)學思想，引導學生理解多邊形的相關概念，引導學生自主探索多邊形的邊數(shù)與

對角線的數(shù)量關系.教師應注重課堂小結，激發(fā)學生參與的主動性.

11.3.2多邊形的內角和

?教學目標0

【知識與技能】

了解多邊形的內角、外角等概念，能通過不同方法探索多邊形的內角和與外角和公式，并會

應用它們進行有關計算.

【過程與方法】

經歷合作、交流等過程,初步形成推理思維.

【情感'態(tài)度與價值觀】

經歷猜想、探索、歸納等過程，學會多角度、全方位研究問題的方法，體會轉化、類比等數(shù)

學思想.

?教學重難點?

【教學重點】

多邊形的內角和公式與外角和公式.

【教學難點】

多邊形的內角和定理的推導以及對多邊形外角和