中考數(shù)學(xué)之平面幾何總結(jié) 經(jīng)典習(xí)題-初中

平面幾何知識要點（一）

【線段、角、直線】

1.過兩點有且只有一條直線。

2.兩點之間線段最短。

3.過一點有且只有一條直線和已知直線垂直。

4.直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂直線段最短。

垂直平分線，簡稱“中垂線

定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的

垂直平分線（中垂線）。

線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合。

中垂線性質(zhì)：垂直平分線垂直且平分其所在線段。

垂直平分線定理：垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等。

逆定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分

線上。

.三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂

點的距離相等。

角

1.同角或等角的余角相等。

2.同角或等角的補角相等。

3.對頂角相等。

角的平分線性質(zhì)

角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

定理1：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

定理2：到一個角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。

三角形各內(nèi)角平分線的交點，該點叫內(nèi)心，它到三角形三邊距離相等。

【平行線】

平行線性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等。

平行線性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。

平行線性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。

平行線判定1：同位角相等，兩直線平行。

平行線判定2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。

平行線判定3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。

平行線判定4：如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行。

平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段

成比例。

平面幾何知識要點（二）

【三角形】

面積公式：

1.已知三角形底a,高h(yuǎn),S^-ah

2

2.正三角形面積S=@/g為邊長正三角形）

4

3.已知三角形三邊a,b,c,則S=J/X〃一。）（p—份（p-0（海倫公式）

其中一二千（周長的一半）

已知三角形兩邊a,b及這兩邊夾角C,則S='a加inC

4.

2

5.設(shè)三角形三邊分別為a、b、c,內(nèi)切圓半徑為r,則5=@"少

2

設(shè)三角形三邊分別為a、b、c,外接圓半徑為R,則5=也

6.

4R

記住★:已知正三角形邊長為a,其外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r,則有：

R=——a,r-——a,R=2r

36

內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°

推論1：直角三角形的兩個銳角互余

推論2:三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

推論3:三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角

全等三角形性質(zhì)：如果兩三角形全等，那么其對應(yīng)邊，對應(yīng)角相等.其中對應(yīng)邊除了三角形

的邊長外，還包括對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對角平分線。

全等三角形判定定理：

邊邊邊公理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。（SSS）

邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。（SAS）

角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。（ASA）

推論：有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。

斜邊、直角邊公理：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。

相似三角形性質(zhì)定理

性質(zhì)定理1：相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相

似比。

性質(zhì)定理2：相似三角形周長的比等于相似比。

性質(zhì)定理3：相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形判定定理

判定定理1：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）

判定定理2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）

判定定理3三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）

定理:如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條

直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。

定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三

角形與原三角形相似。

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。

梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半?

平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截

得的線段也相等

推論1：經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰。

推論2：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊。

定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直

線平行于三角形的第三邊

等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個底角相等.

推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊。

推論2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合。（三線合一）

推論3：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60。

等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（等

角對等邊）

推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形

推論2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

直角三角形

1.勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方（/+從=。2）

逆命題：如果三角形的三邊長有關(guān)系"+〃=。2,那么這個三角形是直角三角形。

勾股定理的逆定理可以判斷一個三角形為銳角或鈍角的一個簡單的方法，其中C

為最長邊：如果：a2+b2^c2,則AABC是直角三角形；

如果/+尸＞。2,則4ABC是銳角三角形；

如果+則△ABC是鈍角三角形。

2.直角三角形斜邊中線定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半。

逆命題：如果一個三角形一條邊的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是

直角三角形，且這條邊為直角三角形的斜邊。

3.在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半，由

此性質(zhì)可推出：含30。的直角三角形三邊之比為1：V3：2。

4.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似。

5.直角三角形的內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊之和減去斜邊的差的一半,

a+b-c

即r=

2

ab

也等于r=------

Q+〃+C

6.射影定理：

C

①如果aABC是直角三角形,NC=90。，CD1AB,則

b

AC2=AD.ABBC=DB*ha

/________\

AcDB

CD2=AD.DB蘭=—

BCDt

②如果△ABC,CD1AB,CD2=AD.DB,貝心

△ADC^ACDB

③對一般三角形的拓展：如圖，如果△ADCs^ACB,則:

AC2=AD.AB

7.如果/ADE=/B或/AED=NC,或ZC+ZDEB=180°,

或NB+NCDE=180°

那么有：AD-AC=AE?AB

8.如果DE〃BC,那么有：AD:ACAE:ABDE:BC

ABBD

9.在4ABC中，AD是NA的平分線，那么:

~AC~~DC

10.內(nèi)、外角角平分線：DO平分/AOB,EO平分NCOB,

可以推出：ZDOE=90°,ZAOD+ZCOE=90°

平面幾何知識要點（三）

【四邊形及多邊形】

面積公式：

平行四邊形面積=底乂高矩形面積=長乂寬

菱形面積=對角線乘積的一半或菱形面積=底又高

梯形面積=9—沖位線X高

對角線相互垂直四邊形面積=對角線乘積的一半。

平行四邊形：

性質(zhì)定理1:平行四邊形兩組對邊分別平行

性質(zhì)定理2：平行四邊形兩組對角分別相等。

性質(zhì)定理3：平行四邊形兩組對邊分別相等。

推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等；平行線間的距離處處相等。

性質(zhì)定理4：平行四邊形的對角線互相平分。是中心對稱圖形

判定定理1：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

判定定理2：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

判定定理3：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

判定定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

判定定理5：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

矩形

性質(zhì)定理1：矩形對邊分別平行且相等；

性質(zhì)定理2：矩形的四個角都是直角.

性質(zhì)定理3：矩形對角線互相平分且相等

性質(zhì)定理4：矩形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。

判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形

判定定理2：有一個直角的平行四邊形；

判定定理3：對角線相等的平行四邊形是矩形

菱形

性質(zhì)定理1：菱形對邊平行，四條邊都相等。

性質(zhì)定理2：菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。

性質(zhì)定理3：菱形既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形。

判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形。

判定定理2：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

判定定理3：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

正方形

性質(zhì)定理1：正方形對邊平行，四邊相等；

性質(zhì)定理2：正方形的四個角都是直角；

性質(zhì)定理3：正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。

性質(zhì)定理3：正方形既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形。

判定定理1：有一個直角一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形；

判定定理2：一組鄰邊相等的矩形是正方形；

判定定理3：一個角為直角的菱形是正方形。

等腰梯形

性質(zhì)定理1：等腰梯形兩底互相平行，兩腰相等：

性質(zhì)定理2：等腰梯形在同一底上的兩個底角相等。

性質(zhì)定理3：等腰梯形的兩條對角線相等。

性質(zhì)定理4：等腰梯形是軸對稱圖形。

判定定理1:腰相等的梯形是等腰梯形;

判定定理2：在同一底上的兩個底角相等的梯形是等腰梯形。

判定定理3：對角線相等的梯形是等腰梯形。

如果等腰梯形對角線相互垂直，則高與中位線相等。

四邊形四邊中點連成的四邊形圖形：

1.如果原四邊形對角線相等且垂直，那么四邊形中點連成的新四邊形為正方形；

2.如果原四邊形對角線只相等不垂直，那么四邊形中點連成的新四邊形為菱形；

3.如果原四邊形對角線垂直但不相等，那么四邊形中點連成的新四邊形為矩形；

4.如果原四邊形對角線既不相等又非垂直，那么四邊形中點連成的新四邊形為平行四

邊形?

5.四邊形中點連接的圖形的面積是原四邊形面積的一半.

其它定理和公式

1.定理：四邊形的內(nèi)角和等于360°,四邊形的外角和等于360°。

2.多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角的和等于（n-2）X180°

推論：任意多邊的外角和等于360°

3.〃邊形從一個頂點出發(fā)的對角線，共有（〃一3）條，將〃邊形分成了（〃一2）個三角形；

n邊形一共有-3）條對角線。

2

4.正n邊形的每個內(nèi)角都等于：（"2）x180

n

常用輔助線

平面幾何知識要點(四)

【圓、弧、弦】

圓及圓的相關(guān)量的定義

圓的定義：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點稱為圓

心，定長稱為半徑。

弧、弦的定義：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧,

小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心

的弦叫做直徑。

圓、弧的表示方法：圓-?；?-

弦心距定義：圓心到弦的距離叫做弦心距。

弦切角定義：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。

圓心角定義：頂點在圓心上的角叫做圓心角。

圓周角定義：頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。

圓心距定義：兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。

連心線定義：過平面內(nèi)不重合的兩個圓的圓心的直線叫做這兩個圓的連心線。

扇形定義：在圓上，由2條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。

三角形的外接圓：過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角

形的外心。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三角形3

個頂點距離相等。

三角形的內(nèi)切圓：和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為

內(nèi)心。內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點，到三角形3邊距

離相等。

圓的內(nèi)接正n邊形、圓的外切正n邊形定義：把圓分成n(n，3)等分：

依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形。

⑵經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個

圓的外切正n邊形。

圓內(nèi)接四邊形面積：

S=y/p(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)

其中：p=-^(a+b+c+d)

D

圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等：/

AB+CD=AD+BC/

AB

公切線定義:和兩圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線。

內(nèi)公切線定義：兩個不相交的圓在公切線兩旁時，這樣的公

切線叫做內(nèi)公切線。

外公切線定義：兩個不相交的圓在公切線的同旁時，

這樣的公切線叫做外公切線。

D

右圖中：直線AB、CD就是兩圓的公切線，其中AB為外公切線，CD為內(nèi)公切線。

公切線長計算公式：設(shè)半徑為R,。外半徑為口RNr,兩圓的圓心距為d

外公切線長=」22一（尺―1）2內(nèi)公切線長=Jd2—。+力2

當(dāng)兩圓相切時，無內(nèi)公切線長。

直線與圓有三種位置關(guān)系：1.無公共點為相離；2.有2個公共點為相交；

3.圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。

兩圓之間有5種位置關(guān)系：1.無公共點的，一圓在另一圓之外叫外離，2.在之內(nèi)叫內(nèi)含；

3.有唯一公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，4.在之內(nèi)叫內(nèi)切；5.有2個公共點

的叫相交。

圓的基本性質(zhì)：

1.點P與圓0的位置關(guān)系（設(shè)P是一點，則P。是點到圓心的距離）：

當(dāng)P在。。外，PO>r；當(dāng)P在。。上，PO=r；當(dāng)P在。。內(nèi)，POVr。

2.直線AB與圓。的位置關(guān)系（設(shè)OP_LAB于P,則P0是直線AB到圓心的距離）：

當(dāng)AB與。。相離，PO>r；當(dāng)AB與。。相切，PO=r；當(dāng)AB與。。相交，PO<r。

3.圓與圓的位置關(guān)系（設(shè)兩圓的半徑分別為R和r,且Rzr,圓心距為P）：

外離P>R+r；外切P=R+r；相交R-r<P<R+r；內(nèi)切P=R-r；內(nèi)含0WP<R-r。

4.同圓或等圓的半徑相等。

5.圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱

中心是圓心。

6.不在同一直線上的3個點確定一個圓。

7.一個三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。

8.圓的切線垂直于過切點的直徑；經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線，是這

個圓的切線。

圓的定理：

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

推論1:①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。

推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點.

推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平

分兩條切線的夾角。

切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段

長的比例中項。PT?=PAxPB

推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長

的積相等。PAxPB=PCxPD（此推論也叫割線定理）

相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中

項。

注：切割線定理與割線定理，相交弦定理統(tǒng)稱為圓幕定理。

弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。弦切角等于它所夾的弧所對的圓心

角的一半。

推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等

定理1：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心

距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一

組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等。

定理2：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也

相等。

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。

推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

定理3：兩圓相交時，連心線垂直平分兩圓的公共弦。

定理4兩圓相切時，連心線通過切點。

定理5：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角。

定理6：圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等。

定理7：任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓。

圓周長、弧長、圓面積、扇形面積的計算公式

圓周長圓的面積弧長扇形面積

.n7ir1

公式C=2zrr=7vdS=7ir21------S=」一兀r=—lr

1803602

注：半徑一r直徑一d扇形弧長一/周長一C面積一Sn°-扇形的圓心角

扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別

圖

示修

mm

面

s弓形二s扇形-SS弓形=]S圓s弓形=s痢形+S

枳

注：（1）弓形的定義：由弦及其所對的?。ò踊　?yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。

（2）弓形的周長=弦長+弧長

圓錐與圓柱的比較

名稱圓錐圓柱

X

|CA「今D

a

圖形

注：圓錐的母線長為1,底面圓的

圓柱的底面半徑為r,高為h

半徑為r

由一個直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的，如由一個矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如矩形

圖形的形成過

RtASOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周。ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周。

程

圖形的組成一個底面和一個側(cè)面兩個底面和一個側(cè)面

扇形矩形

_A

側(cè)面展開圖的

特征

面積計算方法$側(cè)=乃”S蟒=27rrh

三角形內(nèi)心：三角形三個內(nèi)角平分線的交點，也是三角形內(nèi)切圓的圓心，其半徑r是交

點到一邊的距離。

性質(zhì)：到三邊距離相等。

三角形外心：三角形三條中垂線的交點，也是三角形外接圓的圓心，其半徑R是交點

到頂點的距離。

性質(zhì)：外心到三頂點的距離相等

若0是4ABC的外心，則NB0C=2/A(ZA為銳角或直角)或NBOC=36(r-2

ZA(ZA為鈍角)。

當(dāng)三角形為銳角三角形時，外心在三角形內(nèi)部；

當(dāng)三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部；

當(dāng)三角形為直角三角形時，外心在斜邊上，與斜邊的中點重合。

三角形重心：三角形三條中線的交點。

性質(zhì)：①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。即重心到三條邊的距離

與三條邊的長成反比。

③重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

④在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其重心坐標(biāo)為

/一+，+/一+%+)’3、

(3'3)

三角形垂心：三角形三條高所在直線的交點。

性質(zhì)：①垂心分每條高線的兩部分乘積相等。

②垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍。

三角形旁心：三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內(nèi)角平分線的交點

性質(zhì)：旁心到三邊的距離相等

性質(zhì)5銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和。

圓的基本概念

m

如上圖：直線/為連心線；線段AB稱為弦；。。|圓心。?到線段AB的距離QC稱為弦心距;

。。2之間距離稱為圓心距；直線EF外公切線；直線BG內(nèi)公切線；E,F,I稱為切點;

A機(jī)8稱為劣?。籄EB稱為優(yōu)?。籒GQJ稱為圓心角：NGIJ稱為圓周角；

ZGIH稱為弦切角；

O「

1OO

三角形的外接圓三角形的內(nèi)切圓

兩圓外切

?：（

QOo

兩圓內(nèi)切兩圓相交內(nèi)含相離

經(jīng)典難題（一）

1、己知:如圖，0是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點，CD±AB,EF_LAB,EG±CO.

求證:CD=GF.（初二）

2、已知:如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點，ZPAD=

求證：APBC是正三角形.（初二）

3、如圖，已知四邊形ABCD、ABCD都是正方形，A2>B2>C2、D2分別是AAi、BBi、CCi、

DDi的中點.

求證：四邊形A2B2c2D2是正方形.（初二）

4、己知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC的

延長線交MN于E、F.

求證：ZDEN=ZF.

經(jīng)典難題（二）

1、已知：^ABC中，H為垂心（各邊高線的交點），。為外心，且OMLBC于M.

(1)求證：AH=2OM；

(2)若NBAC=60°,求證：AH=AO.(初二)

2、設(shè)MN是圓O外一直線，過0作OALMN于A,自A引圓的兩條直線，交圓于B、C及

D、E,直線EB及CD分別交MN于P、Q.

求證：AP=AQ.（初二）

3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題:

設(shè)MN是圓O的弦，過MN的中點A任作兩弦BC、DE,設(shè)CD、EB分別交MN于

P、Q.

求證：AP=AQ.（初二）

4、如圖,分別以△ABC的AC和BC為一邊，在4ABC的外側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG,

AQB

經(jīng)典難題（三）

1、如圖，四邊形ABCD為正方形,DE〃AC,AE=AC,AE與CD相交于F.

求證：CE=CF.（初二）

2、如圖,四邊形ABCD為正方形,DE〃AC,且CE=CA,直線EC交DA延長線于F.

求證：AE=AF.（初二）

AD

F

E

3、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點，PF1AP,CF平分NDCE.

求證：PA=PF.（初二）

4、如圖，PC切圓0于C,AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線P0相交于B、

C

經(jīng)典難題（四）

1、已知：Z\ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點，PA=3,PB=4,PC=5.

求：NAPB的度數(shù).（初二）

A

A

2、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點，且NPBA=/PDA.

求證：ZPAB=ZPCB.（初二）AD

BC

3,設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：AB?CD+AD-BC=AC?BD.（初三）

A

4、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點，AE與CF相交于P,且

AE=CF.求證：/DPA=/DPC.（初二）

A_______________D

BEC

經(jīng)典難題（五）

1、設(shè)P是邊長為1的正AABC內(nèi)任一點，L=PA+PB+PC,求證：右WL<2.

2、已知：P是邊長為1的正方形ABCD內(nèi)的一點，求PA+PB+PC的最小值.

3、P為正方形ABCD內(nèi)的一點，并且PA=a,PB=2a,PC=3a,

4、如圖，△ABC中，ZABC=ZACB=80°,D、E分別是AB、

ZEBA=20°,求/BED的度數(shù).

E

D

經(jīng)典難題（一）

1.如下圖做GHLAB,連接E0。由于GOFE四點共圓，所以NGFH=NOEG,

IT*/*"）

即△GHFs△OGE,可得吆==士上,又CO=EO,所以CD=GF得證。

GFGHCD

2.如下圖做ADGC使與4ADP全等，可得4PDG為等邊△,從而可得

△DGC會4APD絲△CGP,得出PC=AD=DC,和NDCG=NPCG=15°

所以/DCP=300,從而得出APBC是正三角形

3.如下圖連接BC.和ABi分別找其中點F,E.連接C2F與A2E并延長相交于Q點,

連接EB?并延長交C2Q于H點，連接FB2并延長交A2Q于G點，

由AjE=yA)Bi=yB,Ci=FBz，EBj=yAB=yBC—FCi,又/GFQ+/Q=90°和

NGEB2+NQ=900,所以NGEB?=/GFQ又NBZFC2=/A2EB2,

可得△B2FC2絲Z\A2EB2,所以A?B2=B2c2,

又NGFQ+/HB2F=900和NGFQ=NEB2A2,

從而可得/A?B2c2=90°,

同理可得其他邊垂直且相等，

從而得出四邊形A?B2c2D2是正方形。

4.如下圖連接AC并取其中點Q,連接QN和QM,所以可得NQMF=NF,ZQNM=ZDEN

和NQMN=NQNM,從而得出NDEN=NF。

經(jīng)典難題(二)

1.(1)延長AD到F連BF,做0G1AF,

又NF=/ACB=/BHD,

可得BH=BF,從而可得HD=DF,

又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

⑵連接OB,0C,既得NBOC=120。，

從而可得/BOM=60°,

所以可得OB=2OM=AH=AO,

得證。

3.作OF_LCD,0G±BE,連接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ。

「AOACCD2FDFD

ABAEBE2BGBG

由此可得△ADFg/XABG,從而可得/AFC=NAGE。

又因為PFOA與QGOA四點共圓，可得NAFC=NAOP和NAGE=/AOQ,

ZAOP=ZAOQ,從而可得AP=AQ。

E

c

.過點分別作所在直線的圖可得二絲

4E,C,FABEG,CI,FHOPQL-

2

由△EGAgZiAIC,可得EG二AI,由△BFH/ZXCBI,可得FH二BI。

從而可得PQ=AI+BI=―,從而得證。

22

I

J

I

經(jīng)典難題（三）

1.順時針旋轉(zhuǎn)AADE,至QABG,連接CG.

由于NABG=NADE=900+45°=135°

從而可得B,G,D在一條直線上，可得4AGB之4CGB。

推出AE=AG=AC=GC,可得AAGC為等邊三角形。

ZAGB=30°,既得NEAC=30°,從而可得NAEC=75°。

又NEFC=ZDFA=450+30°=75°.

可證：CE=CFo

2.連接BD作CHLDE,可得四邊形CGDH是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH,

可得NCEH=30°,所以ZCAE=ZCEA=NAED=15°,

又ZFAE=90°+45°+15°=150°,

從而可知道NF=15°,從而得出AE=AF。

3.作FG±CD,FE±BE,可以得出GFEC為正方形。

令A(yù)B=Y,BP=X,CE=Z，可得PC=Y-X。

xz

tanZBAP=tanZEPF=—=----------------,可得YZ=XY-X2+XZ,

YY-X+Z

即Z(Y-X)=X(Y-X),既得X=Z,得出AABP絲APEF,

得到PA=PF，得證。

經(jīng)典難題（四）

1.順時針旋轉(zhuǎn)4ABP60°,連接PQ,則4PBQ是正三角形。

可得aPQC是直角三角形。

所以/APB=150°。

T

2.作過P點平行于AD的直線，并選一點E,使AE〃DC,BE〃PC.

可以得出NABP=NADP=NAEP,可得:

AEBP共圓（一邊所對兩角相等）。

可得/BAP=/BEP=/BCP,得證。

B