高考數(shù)學(xué)（北師大版文）講義第十三章　4選講131第2課時(shí)

第2課時(shí)參數(shù)方程最新考綱考情考向分析1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義．2.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程.了解參數(shù)的意義，重點(diǎn)考查直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義及圓、橢圓的參數(shù)方程與普通方程的互化，往往與極坐標(biāo)結(jié)合考查．在高考選做題中以解答題的形式考查，難度為中檔.1．參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式．一般地，可以通過(guò)消去參數(shù)從參數(shù)方程得到普通方程．(2)如果知道變數(shù)x，y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt))就是曲線的參數(shù)方程．2．常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程和普通方程點(diǎn)的軌跡普通方程參數(shù)方程直線y－y0＝tanα(x－x0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))圓x2＋y2＝r2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rcosθ，,y＝rsinθ))(θ為參數(shù))橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))(φ為參數(shù))拋物線y2＝2px(p>0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t為參數(shù))

題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt))中的x，y都是參數(shù)t的函數(shù)．(√)(2)過(guò)M0(x0，y0)，傾斜角為αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))的直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))．參數(shù)t的幾何意義表示：直線l上以定點(diǎn)M0為起點(diǎn)，任一點(diǎn)M(x，y)為終點(diǎn)的有向線段M0M的數(shù)量．(√)(3)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝1＋2sinθ))(θ為參數(shù))表示以點(diǎn)(0,1)為圓心，以2為半徑的圓．(√)(4)已知橢圓的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cost，,y＝4sint))(t為參數(shù))，點(diǎn)M在橢圓上，對(duì)應(yīng)參數(shù)t＝eq\f(π,3)，點(diǎn)O為原點(diǎn)，則直線OM的斜率為eq\r(3).(×)題組二教材改編2．曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋cosθ，,y＝2＋sinθ))(θ為參數(shù))的對(duì)稱中心()A．在直線y＝2x上 B．在直線y＝－2x上C．在直線y＝x－1上 D．在直線y＝x＋1上答案B解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋cosθ，,y＝2＋sinθ，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ＝x＋1，,sinθ＝y(tǒng)－2.))所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲線是以(－1,2)為圓心，1為半徑的圓，所以對(duì)稱中心為(－1,2)，在直線y＝－2x上．3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t－a))(t為參數(shù))過(guò)橢圓C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosφ，,y＝2sinφ))(φ為參數(shù))的右頂點(diǎn)，求常數(shù)a的值．解直線l的普通方程為x－y－a＝0，橢圓C的普通方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，∴橢圓C的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，若直線l過(guò)(3,0)，則3－a＝0，∴a＝3.

題組三易錯(cuò)自糾4．直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋t，,y＝2－3t))(t為參數(shù))，求直線l的斜率．解將直線l的參數(shù)方程化為普通方程為y－2＝－3(x－1)，因此直線l的斜率為－3.5．設(shè)P(x，y)是曲線C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù)，θ∈[0,2π))上任意一點(diǎn)，求eq\f(y,x)的取值范圍．解由曲線C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，得(x＋2)2＋y2＝1，表示圓心為(－2,0)，半徑為1的圓．eq\f(y,x)表示的是圓上的點(diǎn)和原點(diǎn)連線的斜率，設(shè)eq\f(y,x)＝k，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y＝kx和圓有交點(diǎn)的問(wèn)題，即圓心到直線的距離d≤r，所以eq\f(|－2k|,\r(1＋k2))≤1，解得－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3)，所以eq\f(y,x)的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).6．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t－\f(1,t)，,y＝t＋\f(1,t)))(t為參數(shù))，l與C相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的值．解由ρ(sinθ－3cosθ)＝0，得y＝3x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t－\f(1,t)，,y＝t＋\f(1,t)，))得－x2＋y2＝4，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋y2＝4，,y＝3x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(1,2)，,y2＝\f(9,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)，,y＝\f(3\r(2),2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(2),2)，,y＝－\f(3\r(2),2).))∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(3\r(2),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(3\r(2),2)))，∴|AB|＝2eq\r(5).題型一參數(shù)方程與普通方程的互化1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋3cost，,y＝－2＋3sint))(t為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，直線l的方程為eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝m(m∈R)．(1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值．解(1)消去參數(shù)t，得到圓C的普通方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9.由eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋m＝0.(2)依題意，圓心C到直線l的距離等于2，即eq\f(|1－－2＋m|,\r(2))＝2，解得m＝－3±2eq\r(2).2．在《圓錐曲線論》中，阿波羅尼奧斯第一次從一個(gè)對(duì)頂圓錐(直或斜)得到所有的圓錐曲線，并命名了橢圓(ellipse)、雙曲線(hyperboler)和拋物線(parabola)，在這本晦澀難懂的書(shū)中有一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：“在平面上給定兩點(diǎn)A，B，設(shè)P點(diǎn)在同一平面上且滿足eq\f(|PA|,|PB|)＝λ(λ>0且λ≠1)，P點(diǎn)的軌跡是圓．”這個(gè)圓我們稱之為“阿波羅尼奧斯圓”．已知點(diǎn)M與長(zhǎng)度為3的線段OA兩端點(diǎn)的距離之比為eq\f(|OM|,|MA|)＝eq\f(1,2)，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求出M點(diǎn)的軌跡方程并化為參數(shù)方程．解由題意，以O(shè)A所在直線為x軸，過(guò)O點(diǎn)作OA的垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)M(x，y)，則O(0,0)，A(3,0)．因?yàn)閑q\f(|OM|,|MA|)＝eq\f(1,2)，即eq\f(\r(x2＋y2),\r(x－32＋y2))＝eq\f(1,2)，化簡(jiǎn)得(x＋1)2＋y2＝4，所以點(diǎn)M的軌跡是以(－1,0)為圓心，2為半徑的圓．由圓的參數(shù)方程可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ－1，,y＝2sinθ.))思維升華消去參數(shù)的方法一般有三種(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表達(dá)式，然后代入消去參數(shù)．(2)利用三角恒等式消去參數(shù)．(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，靈活的選用一些方法從整體上消去參數(shù)．將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意防止變量x和y取值范圍的擴(kuò)大或縮小，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范圍．題型二參數(shù)方程的應(yīng)用典例(2017·全國(guó)Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋4t，,y＝1－t))(t為參數(shù))．(1)若a＝－1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為eq\r(17)，求a.解(1)曲線C的普通方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1.當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4y－3＝0，,\f(x2,9)＋y2＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(21,25)，,y＝\f(24,25)，))從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)是(3,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,25)，\f(24,25))).(2)直線l的普通方程是x＋4y－4－a＝0，故C上的點(diǎn)(3cosθ，sinθ)到l的距離為d＝eq\f(|3cosθ＋4sinθ－a－4|,\r(17)).當(dāng)a≥－4時(shí)，d的最大值為eq\f(a＋9,\r(17)).由題設(shè)得eq\f(a＋9,\r(17))＝eq\r(17)，所以a＝8；當(dāng)a<－4時(shí)，d的最大值為eq\f(－a＋1,\r(17)).由題設(shè)得eq\f(－a＋1,\r(17))＝eq\r(17)，所以a＝－16.綜上，a＝8或a＝－16.思維升華(1)解決直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，一般是先化為普通方程，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系來(lái)解決．(2)對(duì)于形如eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，,y＝y(tǒng)0＋bt))(t為參數(shù))，當(dāng)a2＋b2≠1時(shí)，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題．跟蹤訓(xùn)練已知曲線C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，直線l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t為參數(shù))．(1)寫(xiě)出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值．解(1)曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數(shù))．直線l的普通方程為2x＋y－6＝0.(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cosθ，3sinθ)到l的距離為d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ＋3sinθ－6|，則|PA|＝eq\f(d,sin30°)＝eq\f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tanα＝eq\f(4,3).當(dāng)sin(θ＋α)＝－1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為eq\f(22\r(5),5).當(dāng)sin(θ＋α)＝1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為eq\f(2\r(5),5).題型三極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的綜合應(yīng)用典例(2017·全國(guó)Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝kt))(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋m，,y＝\f(m,k)))(m為參數(shù))．設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線C.(1)寫(xiě)出C的普通方程；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ(cosθ＋sinθ)－eq\r(2)＝0，M為l3與C的交點(diǎn)，求M的極徑．解(1)消去參數(shù)t，得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去參數(shù)m，得l2的普通方程l2：y＝eq\f(1,k)(x＋2)．設(shè)P(x，y)，由題設(shè)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y＝\f(1,k)x＋2.))消去k得x2－y2＝4(y≠0)．所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的極坐標(biāo)方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2cos2θ－sin2θ＝4，,ρcosθ＋sinθ－\r(2)＝0，))得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－eq\f(1,3)，從而cos2θ＝eq\f(9,10)，sin2θ＝eq\f(1,10).代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，得ρ2＝5，所以交點(diǎn)M的極徑為eq\r(5).思維升華在對(duì)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的考查中，最能體現(xiàn)坐標(biāo)法的解題優(yōu)勢(shì)，靈活地利用坐標(biāo)法可以更簡(jiǎn)捷的解決問(wèn)題．例如，將題設(shè)條件中涉及的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后在直角坐標(biāo)系下對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解就是一種常見(jiàn)的解題方法，對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)問(wèn)題求解的“化生為熟”原則，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想．跟蹤訓(xùn)練(2018·福州調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝2sinθ，曲線C3：ρ＝2eq\r(3)cosθ.(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值．0.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2y＝0，,x2＋y2－2\r(3)x＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(3,2).))所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A的極坐標(biāo)為(2sinα，α)，B的極坐標(biāo)為(2eq\r(3)cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－2eq\r(3)cosα|＝4eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))).當(dāng)α＝eq\f(5π,6)時(shí)，|AB|取得最大值，最大值為4.1．已知直線l1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－2t，,y＝2＋kt))(t為參數(shù))與直線l2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝s，,y＝1－2s))(s為參數(shù))垂直，求k的值．解直線l1的方程為y＝－eq\f(k,2)x＋eq\f(4＋k,2)，斜率為－eq\f(k,2)；直線l2的方程為y＝－2x＋1，斜率為－2.∵l1與l2垂直，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)))×(－2)＝－1，解得k＝－1.2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))．設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．解直線l的參數(shù)方程化為普通方程為eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0，橢圓C的參數(shù)方程化為普通方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)x－y－\r(3)＝0，,x2＋\f(y2,4)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,y1＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－\f(1,7)，,y2＝－\f(8\r(3),7)，))不妨取A(1,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)，－\f(8\r(3),7)))，則|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,7)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(8\r(3),7)))2)＝eq\f(16,7).3．直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4＋at，,y＝bt))(t為參數(shù))與圓eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\r(3)cosθ，,y＝\r(3)sinθ))(θ為參數(shù))相切，求切線的傾斜角．解直線的普通方程為bx－ay－4b＝0，圓的普通方程為(x－2)2＋y2＝3，直線與圓相切，則圓心(2,0)到直線的距離為eq\r(3)，從而有eq\r(3)＝eq\f(|2b－a·0－4b|,\r(a2＋b2))，即3a2＋3b2＝4b2，∴b＝±eq\r(3)a，而直線的傾斜角的正切值為tanα＝eq\f(b,a)，∴tanα＝±eq\r(3)，因此切線的傾斜角為eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).4．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)t－\r(2)，,y＝\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求以極點(diǎn)為圓心且與直線l相切的圓的極坐標(biāo)方程．解∵直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋eq\r(2)＝0，∴原點(diǎn)到直線l的距離r＝eq\f(\r(2),\r(2))＝1.∴以極點(diǎn)為圓心且與直線l相切的圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝1.5．(2017·合肥調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)cosα＋1，,y＝\r(2)sinα＋1))(α為參數(shù))，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l：ρsinθ＋ρcosθ＝m.(1)當(dāng)m＝0時(shí)，判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系；(2)若曲線C上存在點(diǎn)P到直線l的距離為eq\f(\r(2),2)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2，是一個(gè)圓，直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝0，圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|1＋1|,\r(12＋12))＝eq\r(2)＝r，所以直線l與圓C相切．(2)由已知可得，圓心C到直線l的距離為d＝eq\f(|1＋1－m|,\r(12＋12))≤eq\f(3\r(2),2)，解得－1≤m≤5.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－1,5]．6．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t，,y＝2t2))(t為參數(shù))，在以O(shè)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2的方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2eq\r(2)，求曲線C1與曲線C2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．解曲線C1，C2化為普通方程和直角坐標(biāo)方程分別為x2＝2y，x＋y－4＝0，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2y，,x＋y－4＝0，))消去y得x2＋2x－8＝0，因?yàn)榕袆e式Δ>0，所以方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．故曲線C1與曲線C2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.7．(2017·南寧一模)已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋tcosα，,y＝1＋tsinα))(t為參數(shù))，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cost，,y＝4＋2sint))(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ.(1)若直線l的斜率為2，判斷直線l與曲線C1的位置關(guān)系；(2)求曲線C1與C2的交點(diǎn)的極坐標(biāo)．解(1)由直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋tcosα，,y＝1＋tsinα))(t為參數(shù))，可得直線l過(guò)點(diǎn)(－1,1)．當(dāng)直線l的斜率為2時(shí)，直線l的普通方程為y－1＝2(x＋1)，即2x－y＋3＝0.由曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cost，,y＝4＋2sint))(t為參數(shù))，消去參數(shù)t，得(x－2)2＋(y－4)2＝4，則曲線C1表示以(2,4)為圓心，以2為半徑的圓．此時(shí)圓心到直線的距離d＝eq\f(|4－4＋3|,\r(5))＝eq\f(3\r(5),5)<2，故直線l與曲線C1相交．(2)曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，即ρ2＝4ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4x＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－22＋y－42＝4，,x2＋y2－4x＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))故C1與C2交點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2)，故C1與C2的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4))).8．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\r(3)cosθ，,y＝\r(3)sinθ))(θ為參數(shù))，點(diǎn)M是曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在曲線C2上，且滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線l：θ＝eq\f(π,3).(1)求曲線C2的普通方程，射線l的參數(shù)方程；(2)射線l與曲線C1，C2分別交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|.解(1)設(shè)P(x，y)，M(x′，y′)，∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2x′，,y＝2y′.))∵點(diǎn)M在曲線C1上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝1＋\r(3)cosθ，,y′＝\r(3)sinθ.))∴(x′－1)2＋(y′)2＝3，故曲線C2的普通方程為(x－2)2＋y2＝12.由射線l：θ＝eq\f(π,3)，可得l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù)且t≥0)．2.同理代入C2的方程得t2－2t－8＝0，∵t≥0，∴t＝4.∴|AB|＝4－2＝2.方法二曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcosθ－2＝0，將θ＝eq\f(π,3)代入，得ρ＝2，∴A的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcosθ－8＝0，將θ＝eq\f(π,3)代入，得ρ＝4，∴B的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,3)))，∴|AB|＝4－2＝2.9．(2016·全國(guó)Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；(2)直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù))，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝eq\r(10)，求l的斜率．解(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圓C的極坐標(biāo)方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R)．設(shè)A，B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標(biāo)方程代入到C的極坐標(biāo)方程，得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝eq\r(ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2)＝eq\r(144cos2α－44).由|AB|＝eq\r(10)，得cos2α＝eq\f(3,8)，tanα＝±eq\f(\r(15),3).所以l的斜率為eq\f(\r(15),3)或－eq\f(\r(15),3).10．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位．已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝1＋tsinα))(t為參數(shù)，0<α<π)，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＝4cosθ.(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(2,1)，直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，并且|PA|·|PB|＝eq\f(28,3)，求tanα的值．解(1)將方程ρsin2θ＝4cosθ兩邊同乘以ρ，得ρ2sin2θ＝4ρcosθ，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得y2＝4x.經(jīng)檢驗(yàn)，極點(diǎn)的直角坐標(biāo)(0,0)也滿足此式．所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝4x.(2)將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝1＋tsinα))代入到y(tǒng)2＝4x中，得sin2α·t2＋(2sinα－4cosα)t－7＝0，因?yàn)镻(2,1)在直線l上，所以|t1t2|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－7,sin2α)))＝eq\f(28,3)，所以sin2α＝eq\f(3,4)，又0<α<π，所以α＝eq\f(π,3)或α＝eq\f(2π,3)，即tanα＝eq\r(3)或tanα＝－eq\r(3).11．(2016·全國(guó)Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosα，,y＝sinα))(α為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝2eq\r(2).(1)寫(xiě)出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo)．解(1)C1的普通方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1.C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4＝0.(2)由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(eq\r(3)cosα，sinα)．因?yàn)镃2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值，d(α)＝eq\f(|\r(3)cosα＋sinα－4|,\r(2))＝eq\r(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－2)).當(dāng)且僅當(dāng)α＝2kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)時(shí)，d(α)取得最小值，最小值為eq\r(2)，此時(shí)P的直角坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2))).12．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5＋\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t))(t為參數(shù))．(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的普通方程；(2)設(shè)曲線C與直線l相交于P，Q兩點(diǎn)，以PQ為一條邊作曲線C的內(nèi)接矩形，求該矩形的面積．解(1)由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，即曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4x＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5＋\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t))(t為參數(shù))，得y＝eq\f(\r(3),3)(x－5)，即直線l的普通方程是為x－eq\r(3)y－5＝0.(2)由(1)可知曲線C是圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2的圓，則弦心距d＝eq\f(|2－\r(3)×0－5|,\r(1＋3))＝eq\f(3,2)，弦長(zhǎng)|PQ|＝2eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝eq\r(7)，因此以PQ為一條邊的圓C的內(nèi)接矩形的面積S＝2d·|PQ|＝3eq\r(7).13．已知曲線C1的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝2＋2sinθ))(θ為參數(shù))，以直角坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ＝－4cosθ.(1)求曲線C1與C2的交點(diǎn)的極坐標(biāo)；(2)A，B兩點(diǎn)分別在曲線C1與C2上，當(dāng)|AB|最大時(shí)，求△OAB的面積(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝2＋2sinθ，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y－2＝2sinθ，))兩式平方相加，得x2＋(y－2)2＝4，即x2＋y2－4y＝0.①由ρ＝－4cosθ，得ρ2＝－4ρcosθ，即x2＋y2＝－4x.②①－②得x＋y＝0，代入①得交點(diǎn)為(0,0)，(－2,2)．其極坐標(biāo)為(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(3π,4))).(2)如圖．由平面幾何知識(shí)可知，A，C1，C2，B依次排列且共線時(shí)|AB|最大，此時(shí)|AB|＝2eq\r(2)＋4，點(diǎn)O到AB的距離為eq\r(2).∴△OAB的面積為S＝eq\f(1,2)×(2eq\r(2)＋4)×eq\r(2)＝2＋2eq\r(2).14．已知曲線C的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝\r(3)sinφ))(φ為參數(shù)，a>0)，直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\