數(shù)學(xué)人教A版必修四第二章平面向量242

平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解兩個向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的推導(dǎo)過程，能運用數(shù)量積的坐標(biāo)表示進行向量數(shù)量積的運算.2.能根據(jù)向量的坐標(biāo)計算向量的模，并推導(dǎo)平面內(nèi)兩點間的距離公式.3.能根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的夾角及判定兩個向量垂直.知識點一平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)i，j是兩個互相垂直且分別與x軸、y軸的正半軸同向的單位向量.思考1i·i，j·j，i·j分別是多少？答案i·i＝1×1×cos0＝1，j·j＝1×1×cos0＝1，i·j＝0.思考2取i，j為坐標(biāo)平面內(nèi)的一組基底，設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，試將a，b用i，j表示，并計算a·b.答案∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.思考3若a⊥b，則a，b坐標(biāo)間有何關(guān)系？答案a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.梳理設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.數(shù)量積a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b?x1x2＋y1y2＝0知識點二平面向量模的坐標(biāo)形式及兩點間的距離公式思考1若a＝(x，y)，試將向量的模|a|用坐標(biāo)表示.答案∵a＝xi＋yj，x，y∈R，∴a2＝(xi＋yj)2＝(xi)2＋2xyi·j＋(yj)2＝x2i2＋2xyi·j＋y2j2.又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2，∴|a|＝eq\r(x2＋y2).思考2若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何計算向量eq\o(AB,\s\up6(→))的模？答案∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).梳理向量模長a＝(x，y)|a|＝eq\r(x2＋y2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)為端點的向量eq\o(AB,\s\up6(→))|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)知識點三平面向量夾角的坐標(biāo)表示思考設(shè)a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a與b的夾角，那么cosθ如何用坐標(biāo)表示？答案cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).類型一平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示例1已知a與b同向，b＝(1，2)，a·b＝10.(1)求a的坐標(biāo)；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.解(1)設(shè)a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，則有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2，4).(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10).反思與感悟此類題目是有關(guān)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，靈活應(yīng)用基本公式是前提，設(shè)向量一般有兩種方法：一是直接設(shè)坐標(biāo)，二是利用共線或垂直的關(guān)系設(shè)向量，還可以驗證一般情況下(a·b)·c≠a·(b·c)，即向量運算結(jié)合律一般不成立.跟蹤訓(xùn)練1向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，則(2a＋b)·a等于()A.－1B.0C.1D.2答案C解析因為a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，則(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1，故選C.類型二向量的模、夾角問題例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是原點(如圖).已知點A(16，12)，B(－5，15).(1)求|eq\o(OA,\s\up6(→))|，|eq\o(AB,\s\up6(→))|；(2)求∠OAB.解(1)由eq\o(OA,\s\up6(→))＝(16，12)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－5－16，15－12)＝(－21，3)，得|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\r(162＋122)＝20，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(－212＋32)＝15eq\r(2).(2)cos∠OAB＝coseq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AO,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AO,\s\up6(→))||\o(AB,\s\up6(→))|).其中eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－(16，12)·(－21，3)＝－[16×(－21)＋12×3]＝300.故cos∠OAB＝eq\f(300,20×15\r(2))＝eq\f(\r(2),2).∴∠OAB＝45°.反思與感悟利用向量的數(shù)量積求兩向量夾角的一般步驟：(1)利用向量的坐標(biāo)求出這兩個向量的數(shù)量積.(2)利用|a|＝eq\r(x2＋y2)求兩向量的模.(3)代入夾角公式求cosθ，并根據(jù)θ的范圍確定θ的值.跟蹤訓(xùn)練2已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a與b的夾角α為鈍角，求λ的取值范圍.解∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，∴|a|＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(1＋λ2)，a·b＝λ－1.又∵a，b的夾角α為鈍角，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－1<0，,\r(2)·\r(1＋λ2)≠1－λ，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ<1，,λ2＋2λ＋1≠0.))∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范圍是(－∞，－1)∪(－1，1).類型三向量垂直的坐標(biāo)形式例3(1)已知a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，若向量λa＋b與a－2b垂直，則實數(shù)λ的值為()A.eq\f(1,7)B.－eq\f(1,7)C.eq\f(1,6)D.－eq\f(1,6)答案B解析由向量λa＋b與a－2b垂直，得(λa＋b)·(a－2b)＝0.因為a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，所以(－3λ－1，2λ)·(－1，2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－eq\f(1,7).(2)在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值.解∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，k)，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，k－3).若∠A＝90°，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－eq\f(2,3)；若∠B＝90°，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，∴k＝eq\f(11,3)；若∠C＝90°，則eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，∴k＝eq\f(3±\r(13),2).故所求k的值為－eq\f(2,3)或eq\f(11,3)或eq\f(3±\r(13),2).反思與感悟利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示解決垂直問題的實質(zhì)是把垂直條件代數(shù)化，若在關(guān)于三角形的問題中，未明確哪個角是直角時，要分類討論.跟蹤訓(xùn)練3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(1，4)，B(－2，3)，C(2，－1)，若(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))⊥eq\o(OC,\s\up6(→))，則實數(shù)t＝____.答案－1解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→))＝(－3－2t，－1＋t)，又∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝(2，－1)，(eq\o(AB,\s\up6(→))－teq\o(OC,\s\up6(→)))⊥eq\o(OC,\s\up6(→))，∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0.∴t＝－1.1.已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)答案B解析∵|a|＝eq\r(10)，|b|＝eq\r(5)，a·b＝5.∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(5,\r(10)×\r(5))＝eq\f(\r(2),2).又∵a，b的夾角范圍為[0，π].∴a與b的夾角為eq\f(π,4).2.已知向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，則∠ABC等于()A.30°B.45°C.60°D.120°答案A解析∵|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1，∴cos∠ABC＝eq\f(\o(BA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠ABC＝30°.3.已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ等于()A.－4B.－3C.－2D.－1答案B解析因為m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.4.已知平面向量a，b，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，則向量b＝____________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))解析∵|a|＝5，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝1，∴a，b方向相同，∴b＝eq\f(1,5)a＝(eq\f(4,5)，－eq\f(3,5)).5.已知a＝(4，3)，b＝(－1，2).(1)求a與b的夾角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求實數(shù)λ的值.解(1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝eq\r(42＋32)＝5，|b|＝eq\r(－12＋22)＝eq\r(5)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2,5\r(5))＝eq\f(2\r(5),25).(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，(a－λb)⊥(2a＋b)，∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝eq\f(52,9).1.平面向量數(shù)量積的定義及其坐標(biāo)表示，提供了數(shù)量積運算的兩種不同的途徑.準確地把握這兩種途徑，根據(jù)不同的條件選擇不同的途徑，可以優(yōu)化解題過程.同時，平面向量數(shù)量積的兩種形式溝通了“數(shù)”與“形”轉(zhuǎn)化的橋梁，成為解決距離、角度、垂直等有關(guān)問題的有力工具.2.應(yīng)用數(shù)量積運算可以解決兩向量的垂直、平行、夾角以及長度等幾何問題，在學(xué)習(xí)中要不斷地提高利用向量工具解決數(shù)學(xué)問題的能力.3.注意區(qū)分兩向量平行與垂直的坐標(biāo)形式，二者不能混淆，可以對比學(xué)習(xí)、記憶.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.4.事實上應(yīng)用平面向量的數(shù)量積公式解答某些平面向量問題時，向量夾角問題卻隱藏了許多陷阱與誤區(qū)，常常會出現(xiàn)因模糊“兩向量的夾角的概念”和忽視“兩向量夾角”的范圍，稍不注意就會帶來失誤與錯誤.課時作業(yè)一、選擇題1.已知向量a＝(－5，6)，b＝(6，5)，則a與b()A.垂直 B.不垂直也不平行C.平行且同向 D.平行且反向答案A解析∵a·b＝－5×6＋6×5＝0，∴a⊥b.2.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b與b垂直，則|a|等于()A.1 B.eq\r(2)C.2 D.4答案C解析∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，∴n2＝3，∴|a|＝eq\r(12＋n2)＝2.3.若向量a＝(1，2)，b＝(1，－1)，則2a＋b與a－b的夾角等于()A.－eq\f(π,4) B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4) D.eq\f(3π,4)答案C解析∵2a＋b＝2(1，2)＋(1，－1)＝(3，3)，a－b＝(1，2)－(1，－1)＝(0，3)，∴(2a＋b)·(a－b)＝9，|2a＋b|＝3eq\r(2)，|a－b|＝3.設(shè)所求兩向量夾角為α，則cosα＝eq\f(9,3\r(2)×3)＝eq\f(\r(2),2)，∵0≤α≤π，∴α＝eq\f(π,4).4.若a＝(2，－3)，則與向量a垂直的單位向量的坐標(biāo)為()A.(3，2)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(13),13)，\f(2\r(13),13)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(13),13)，\f(2\r(13),13)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(13),13)，－\f(2\r(13),13)))D.以上都不對答案C解析設(shè)與a垂直的向量為單位向量(x，y)，∵(x，y)是單位向量，∴eq\r(x2＋y2)＝1，即x2＋y2＝1， ①又∵(x，y)表示的向量垂直于a，∴2x－3y＝0， ②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3\r(13),13)，,y＝\f(2\r(13),13)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3\r(13),13)，,y＝－\f(2\r(13),13).))5.已知平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m等于()A.－2 B.－1C.1 D.2答案D解析因為a＝(1，2)，b＝(4，2)，所以c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，所以a·c＝m＋4＋2(2m＋2)＝5m＋8，b·c＝4(m＋4)＋2(2m＋2)＝8m＋20.因為c與a的夾角等于c與b的夾角，所以eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(b·c,|b||c|)，即eq\f(a·c,|a|)＝eq\f(b·c,|b|)，所以eq\f(5m＋8,\r(5))＝eq\f(8m＋20,2\r(5))，解得m＝2，故選D.6.已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3).若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(7,9)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(7,9))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))答案D解析設(shè)c＝(x，y)，則c＋a＝(x＋1，y＋2)，∵(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0. ①又∵c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0. ②由①②解得x＝－eq\f(7,9)，y＝－eq\f(7,3).二、填空題7.已知a＝(3，eq\r(3))，b＝(1，0)，則(a－2b)·b＝________.答案1解析a－2b＝(1，eq\r(3))，(a－2b)·b＝1×1＋eq\r(3)×0＝1.8.已知A(－3，0)，B(0，eq\r(3))，O為坐標(biāo)原點，C在第二象限，且∠AOC＝30°，eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，則實數(shù)λ的值為________.答案1解析由題意知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－3，0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3))，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－3λ，eq\r(3))，由∠AOC＝30°知，以x軸的非負半軸為始邊，OC為終邊的一個角為150°，∴tan150°＝eq\f(\r(3),－3λ)，即－eq\f(\r(3),3)＝－eq\f(\r(3),3λ)，∴λ＝1.9.已知a＝(1，3)，b＝(2＋λ，1)，且a與b的夾角為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍是________.答案(－5，－eq\f(5,3))∪(－eq\f(5,3)，＋∞)解析由a與b的夾角為銳角，得a·b＝2＋λ＋3＞0，λ＞－5，當(dāng)a∥b時，(2＋λ)×3－1＝0，λ＝－eq\f(5,3).故λ的取值范圍為λ＞－5且λ≠－eq\f(5,3).10.已知點A(1，－2)，若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與a＝(2，3)同向，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2eq\r(13)，則點B的坐標(biāo)為________.答案(5，4)解析設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2λ，3λ)(λ>0)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(4λ2＋9λ2)＝2eq\r(13)，∴13λ2＝13×22，∴λ＝2，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4，6)，∴eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－2)＋(4，6)＝(5，4).∴點B的坐標(biāo)為(5，4).三、解答題11.已知a，b，c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中a＝(1，2).(1)若|c|＝2eq\r(5)，且c與a方向相反，求c的坐標(biāo)；(2)若|b|＝eq\f(\r(5),2)，且a＋2b與2a－b垂直，求a與b的夾角θ.解(1)設(shè)c＝(x，y)，由c∥a及|c|＝2eq\r(5)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1·y－2·x＝0，,x2＋y2＝20，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－4，))因為c與a方向相反，所以c＝(－2，－4).(2)因為(a＋2b)⊥(2a－b)，所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，所以2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，所以2×5＋3a·b－2×eq\f(5,4)＝0，所以a·b＝－eq\f(5,2).所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－1.又因為θ∈[0，π]，所以θ＝π.12.已知三個點A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4).(1)求證：AB⊥AD；(2)要使四邊形ABCD為矩形，求點C的坐標(biāo)并求矩形ABCD兩條對角線所成的銳角的余弦值.(1)證明∵A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－3，3)，又∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝1×(－3)＋1×3＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→))，即AB⊥AD.(2)解∵eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AD,\s\up6(→))，四邊形ABCD為矩形，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).設(shè)C點坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，1)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(x＋1，y－4)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝1，,y－4＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝5.))∴C點坐標(biāo)為(0，5).由于eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，4)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4，2)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝8＋8＝16>0，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(5)，|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2eq\r(5).設(shè)eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(\o(AC，\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))||\o(BD,\s\up6(→))|)＝eq\f(16,20)＝eq\f(4,5)>0，∴矩形的兩條對角線所成的銳角的余弦值為eq\f(4,5).13.平面內(nèi)有向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，7)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(5，1)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(2，1)，點Q為直線OP上的一個動點.(1)當(dāng)eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取最小值時，求eq\o(OQ,\s\up6(→))的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點Q滿足(1)的條件和結(jié)論時，求cos∠AQB的值.解(1)設(shè)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(x，y)，∵Q在直線OP上，∴向量eq\o(OQ,\s\up6(→))與eq\o(OP,\s\up6(→))共線.又∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝(2，1)，∴x－2y＝0，∴x＝2y，∴eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(2y，y).又∵eq\o(QA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(1－2y，7－y)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(5－2y，1－y)，∴eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8.故當(dāng)y＝2時，eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))有最小值－8，此時eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(4，2).(2)由(1)知：eq\o(QA,\s\up6(→))＝(－3，5)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝(1，－1)，eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝－8，|eq\o(QA,\s\up6(→))|＝eq\r(34)，|eq\o(QB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，∴cos∠AQB＝eq\f(\o(QA,\s\up6(→))·\o(QB,\s\up6(→)),|\o(QA,\s\up6(→))||\o(QB,\s\up6(→))|)＝eq\f(－8,\r(34)×\r(2))＝－eq\f(4\r(17),17).四、探究與拓展14.已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b是不平行于x軸的單位向量，且a·b＝eq\r(3