反比例函數(shù)（解析版）-中考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點(diǎn)資料歸納

第11講反比例函數(shù)（精講精練）

目自；ffla*!&

L結(jié)合具體情境體會反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的關(guān)

系式

k

2.能畫出反比例函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像和關(guān)系式>=—（左彳0）探索并理解k>0

X

和kVO時(shí)，圖像的變化情況

3.能用反比例函數(shù)解決簡單實(shí)際問題

匡］考宣導(dǎo)戊

考點(diǎn)1:反比例函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)................................................2

考點(diǎn)2：確定函數(shù)解析式...............................................................10

考點(diǎn)3：反比例函數(shù)與幾何綜合........................................................20

考點(diǎn)4：反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合....................................................32

考點(diǎn)5:實(shí)際問題與反比例函數(shù)........................................................43

課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖..................................................................55

分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固..............................................................56

考點(diǎn)1:反比例函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)

1.反比例函數(shù)的概念：

(1)定義：形如的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，%叫做比例系數(shù)，自變量的取值范圍是

X

非零的一切實(shí)數(shù).

⑵形式：反比例函數(shù)有以下三種基本形式：①y=4?y=kx-'-,③孫=4.（其中左為常數(shù),

且20）

2.反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)

A的符號圖索經(jīng)過象限r(nóng)lifiJT變化的情雙

圖象經(jīng)過第你個(gè)象限內(nèi).用數(shù)尸的

一、三：*!?倒珈.丫的用大而發(fā)小.

（工、7月號）

芯0圖依經(jīng)逑不W個(gè)象限內(nèi).傅敏廣的

1:、WM位前X的諭大而雄大.

1（1、「蚌號》

3.反比例函數(shù)的圖象特征

（1）由兩條曲線組成，叫做雙曲線；

（2）圖象的兩個(gè)分支都無限接近x軸和y軸，但都不會與x軸和y軸相交；

（3）圖象是中心對稱圖形，原點(diǎn)為對稱中心；也是軸對稱圖形，2條對稱軸分別是平面直

角坐標(biāo)系一、三象限和二、四象限的角平分線.

S3中…」_____________________________________________________

:二掇制發(fā)卷書

【例題精析1】｛反比例函數(shù)的定義★｝下面的函數(shù)是反比例函數(shù)的是（）

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義逐個(gè)判斷即可.

【解答】解：A.v不是關(guān)于x的反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B.y是x的是正比

例函數(shù)，不是反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C.y是關(guān)于x的反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)

符合題意；D.y不是關(guān)于x的反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的定義，能熟記反比例函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：

形如y=2（k為常數(shù)，人工0）的函數(shù)，叫反比例函數(shù).

X

【例題精析2】｛反比例函數(shù)的定義^豬函數(shù)尸（病-3加+2）/-3是反比例函數(shù)，則加

的值是（）

A.1B.-2C.2或-2D.2

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的意義，得出=且〃/-3加+2*0,進(jìn)而求出，”的值.

【解答】解：?.,函數(shù)y=（〃/一3加+2口阿"是反比例函數(shù)，.1加-3=-],且-3機(jī)+2#0,

m=±2,當(dāng)用=2時(shí)，m2-3m+2=0,不合題意舍去，當(dāng)〃?=-2時(shí)，m2-3w+2=12*0,

m=—2>故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)的定義，理解反比例函數(shù)的意義，得出|刈-3=-1,且

川-3m+240是解決問題的關(guān)鍵.

【點(diǎn)評】這道題主要考查了反比例的概念，正比例關(guān)系是兩個(gè)量的比值是一個(gè)定值，希望加

以區(qū)分.

【例題精析3】｛反比例函數(shù)的圖像★｝函數(shù)了=4與卜=去+%在同一坐標(biāo)系的圖象可能

X

是下列選項(xiàng)中的（）

A.

【分析】因?yàn)锳"的符號不確定，所以應(yīng)根據(jù)4的符號及一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)解

答.

【解答】解：,.,y=Ax+%=%（x+l）,.,.直線經(jīng)過點(diǎn)（-1,0）,故4、C選項(xiàng)錯(cuò)誤：當(dāng)％<0時(shí),

反比例函數(shù)夕=與的圖象在二，四象限，一次函數(shù)夕=依+左的圖象過二、三、四象限，選項(xiàng)

X

。不符合；當(dāng)4>0時(shí)，反比例函數(shù)夕=k￡的圖象在一、三象限，一次函數(shù)〉=履+左的圖象

X

過一、二、三象限，選項(xiàng)5符合.故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，正確掌握它們的性質(zhì)才能靈活

解題.

【例題精析4】｛反比例函數(shù)的性質(zhì)★｝對于反比例函數(shù)y=下列說法不正確的是(

X

)

A.這個(gè)函數(shù)的圖象分布在第一、三象限

B.點(diǎn)(1,4)在這個(gè)函數(shù)圖象上

C.這個(gè)函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

D.當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)k>0,雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，在每一

象限內(nèi)y隨x的增大而減小進(jìn)行分析即可.

【解答】解：A,反比例函數(shù)y=&中的k=4>0,雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，

X

正確，不符合題意；8、點(diǎn)(1,4)在它的圖象上，正確，不符合題意；C、反比例函數(shù)的圖

象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，正確，不符合題意；D、反比例函數(shù)y=y=&中的

X

k=4>0,其在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，不正確，符合題意；故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵掌握以下性質(zhì)：反比例函數(shù)y=&/xO),

X

當(dāng)人>0,反比例函數(shù)圖象在一、三象限，每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)上<0,反

比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)，每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大

雷對支刑佳

【對點(diǎn)訓(xùn)練1】｛反比例函數(shù)的圖像★｝已知在同一直角坐標(biāo)系中二次函數(shù)y=

和反比例函數(shù)y=g的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象可能是()

xm

y

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象和二次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，即可得出機(jī)<0、〃>0、a>0,

由此即可得出@<0,-n<0,即可得出一次函數(shù)夕=巴》-"的圖象經(jīng)過二三四象限，再對

mm

照四個(gè)選項(xiàng)中的圖象即可得出結(jié)論.

【解答】解：?.?二次函數(shù)開口向下，?.?二次函數(shù)的對稱軸在y軸右側(cè)，左同右異,

6符號與。相異，n>0；?反比例函數(shù)圖象經(jīng)過一三象限，,.巴<0,-?<0>

m

.?.一次函數(shù)y=的圖象經(jīng)過二三四象限.故選：B.

m

【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)的圖象，根據(jù)反比例

函數(shù)圖象和二次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，找出"<0、〃>0、“>0是解題的關(guān)鍵.

【對點(diǎn)訓(xùn)練2】｛反比例函數(shù)的性質(zhì)★｝已知反比例函數(shù)y=4,在下列結(jié)論中，不正確

x

的是()

A.圖象必經(jīng)過點(diǎn)(-1,-2)B.圖象在第一、三象限

C.若x<-l,則y<-2D.點(diǎn)/(X],yj,B(x?,%)圖象上的兩點(diǎn)，且用<0<%，

則必<力

【分析】直接利用反比例函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)的增減性分別分析得出答案.

【解答】解：A.反比例函數(shù)了=2,圖象必經(jīng)過點(diǎn)(-1,-2),原說法正確，故此選項(xiàng)不合

X

題意；B.反比例函數(shù)y=2,圖象在第一、三象限，原說法正確，故此選項(xiàng)不合題意；C.若

X

x<-l.則夕>-2,原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)符合題意；D.點(diǎn)工(不，乂)，B(X2,乃)圖象

上的兩點(diǎn)，且不<0<々，則必<為，原說法正確，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確掌握反比例函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵.

【對點(diǎn)訓(xùn)練3】｛反比例函數(shù)的定義★｝已知函數(shù)y=是反比例函數(shù)，則用的

值為_-1

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義，即y=?(AwO),只需令〃?2-2=T且機(jī)-1*0即可.

X

【解答】解：根據(jù)題意/7?2-2=—1,m=±\,又加-IwO,mwl,所以加=—1.故答案

為：-1?

【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的定義，重點(diǎn)是將一般式y(tǒng)=&(AHO)轉(zhuǎn)化為了=云九4*0)

X

的形式.

【對點(diǎn)訓(xùn)練4】｛反比例函數(shù)的性質(zhì)★)(2021?茶陵縣模擬)如圖，點(diǎn)P(3a,a)是反比例

函數(shù)y=2(k>0)與0。的一個(gè)交點(diǎn)，圖中陰影部分的面積為101，則反比例函數(shù)的解

X

【分析】根據(jù)圓的對稱性以及反比例函數(shù)的對稱性可得，陰影部分的面積等于圓的面積的■!",

4

即可求得圓的半徑，再根據(jù)P在反比例函數(shù)的圖象上，以及在圓上，即可求得上的值.

【解答】解：設(shè)圓的半徑是廠，根據(jù)圓的對稱性以及反比例函數(shù)的對稱性可得：

一萬尸=10萬解得：廠=29?點(diǎn)尸(3a,是反比例函數(shù)》=￡(4>0)與00的一個(gè)交點(diǎn).

4x

3a2=k.yl(3a)2+a2=ra2(2V10)2=4.「.4=3x4=12,則反比例函數(shù)的解析式

且12

是：y=——?

X

故答案是：y=-.

X

【點(diǎn)評】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的對稱性，正確根據(jù)對稱性求得圓的半徑是解題的

關(guān)鍵.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典1]（2021?荊門）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)夕=6-《與y=2（%x0）

的大致圖象是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

【分析】根據(jù)人的取值范圍，分別討論4>0和左<0時(shí)的情況，然后根據(jù)一次函數(shù)和反比例

函數(shù)圖象的特點(diǎn)進(jìn)行選擇正確答案.

【解答】解：當(dāng)〃>0時(shí)，一次函數(shù)義=依-%經(jīng)過一、三、四象限，函數(shù)的歹=2伏工0）的

|x|

圖象在一、二象限，故選項(xiàng)②的圖象符合要求.當(dāng)*<0時(shí)，一次函數(shù)卜=丘-%經(jīng)過一、二、

四象限，

函數(shù)的y=的圖象經(jīng)過三、四象限，故選項(xiàng)③的圖象符合要求.故選：B.

1*1

【點(diǎn)評】此題考查一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典2】（2021?聊城）已知二次函數(shù)了="2+fer+c的圖象如圖所示，則一次函

數(shù)y=bx+c的圖象和反比例函數(shù)y="土的圖象在同一坐標(biāo)系中大致為（）

X

D.H

【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的圖象開口向下和對稱軸可知Z><0,由拋物線交V的正半軸，可

知c>0,由當(dāng)x=l時(shí)，y<0,可知a+b+c<0,然后利用排除法即可得出正確答案.

【解答】解：?.?二次函數(shù)的圖象開口向下，.?.〃<（），."<0,

???拋物線與〉軸相交于正半軸，.ic>。，.?.直線歹=云+。經(jīng)過一、二、四象限，

由圖象可知，當(dāng)x=l時(shí)，”0,.?.〃+6+。<0,.?.反比例函數(shù)歹="+）+。的圖象必在二、

四象限，

故/、B、C錯(cuò)誤，。正確；故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，反比例函數(shù)及一次函數(shù)的性質(zhì)，熟知

以上知識是解答此題的關(guān)鍵.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典3]（2021?黔西南州）對于反比例函數(shù)y=-3,下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,-5）B.圖象位于第二、第四象限

C.當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減小D.當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大

【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說法是否正

確，從而可以解答本題.

【解答】解：?.■反比例函數(shù)y=.?.當(dāng)x=l時(shí)，j=--=-5,故選項(xiàng)力不符合題意；

x1

k=-5,故該函數(shù)圖象位于第二、四象限，故選項(xiàng)8不符合題意；當(dāng)x<0,y隨x的增大

而增大，故選項(xiàng)C符合題意；當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)。不符合題意；故

選：C.

【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)

解答.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典4]（2021?杭州）已知必和必均是以x為自變量的函數(shù)，當(dāng)x=〃i時(shí)，函數(shù)

值分別是M和，若存在實(shí)數(shù)加，使得=0，則稱函數(shù)y,和y2具有性質(zhì)P.以

下函數(shù)必和為具有性質(zhì)P的是（）

A.乂=/+2x和%=-x-lB.必=x?+2x和%=-x+lC.y,=—和力=-》-1

D.y,=—和%=-x+l

【分析】根據(jù)題干信息可知，直接令必+%=0,若方程有解，則具有性質(zhì)產(chǎn)，若無解，則

不具有性質(zhì)尸.

【解答】解：A.令%+%=0,則x2+2x-x-l=0,解得x=T丁或x=T丁,即

函數(shù)M和力具有性質(zhì)尸，符合題意；B.令%+%=0,則J+2x-x+l=0,整理得，

x2+x+l=0,方程無解，即函數(shù)必和為不具有性質(zhì)產(chǎn)，不符合題意；C.令乂+%=0,

則=整理得，x2+x+}=0,方程無解，即函數(shù)乂和力不具有性質(zhì)P，不符合

X

題意；D.令7]+%=0,則-1一x+l=O,整理得，x2-x+1=0,方程無解，即函數(shù)必和

x

為不具有性質(zhì)產(chǎn)，不符合題意；故選：A.

m題被做理

考點(diǎn)2：確定函數(shù)解析式

待定系數(shù)法：只需要知道雙曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)函數(shù)解析式，代入求出反比例函數(shù)系數(shù)

k即可.

國例典我書

【例題精析1】｛確定反比例函數(shù)的解析式★｝一個(gè)反比例函數(shù)圖象過點(diǎn)4(2,3),則這

個(gè)反比例函數(shù)的解析式是_y=9_.

X

【分析】設(shè)出反比例函數(shù)解析式，然后把點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出左值，即可得到解析式.

【解答】解：設(shè)該反比例函數(shù)為夕=々%H0),則k=xy.該反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)4(2,3),

X

.?/=2x3=6,.?.該反比例函數(shù)的解析式為：y=故答案為：y=-.

XX

【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，靈活運(yùn)用待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵，

本題把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【例題精析2】｛確定反比例函數(shù)的解析式★｝如圖，菱形。8/C的邊。8在x軸上，點(diǎn)

k

/l(8,4),tanZC(9B=-4,若反比個(gè)例函數(shù)y=￡(4工0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,則反比例函數(shù)

3x

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和點(diǎn)力的坐標(biāo)可求出CM，再由銳角三角函數(shù)可求出OM,進(jìn)而

確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，再將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式即可.

4

【解答】解：?.?四邊形O/8C是菱形，/1(8,4),:.CM=4,又?.?tanNCO8=§,，。河二？，

.?.點(diǎn)C(3,4),?.?點(diǎn)C(3,4)在反比例函數(shù)y=?的圖象上，.?4=3x4=12,

X

.??反比例函數(shù)關(guān)系式為y=昆，故答案為：y=-.

XX

【點(diǎn)評】本題考查菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)值坐標(biāo)的特征

是解決問題的關(guān)鍵.

【例題精析3】｛確定反比例函數(shù)的解析式★｝如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線

與x軸交于點(diǎn)4(-2,0),與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象的交于點(diǎn)8(2,〃)，連接50,

右SMOB=4,

(1)反比例函數(shù)的解析式為_y=-_；

X

(2)若直線45與y軸的交點(diǎn)為C,則A0C8的面積為.

【分析】(1)先根據(jù)三角形面積公式求出〃得到8(2,4),然后利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)

解析式；

(2)先利用待定系數(shù)法求出直線48的解析式，再確定C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角形面積公

式求解.

【解答】解：(1)vSM0B=4,

—x2xn=4,解得〃=4,

2

8(2,4),

設(shè)反比例函數(shù)解析式為歹=K,

X

把8(2,4)代入得A=2x4=8,

.?.反比例函數(shù)解析式為夕=§；

X

(2)設(shè)直線48的解析式為y=ox+6,

把4-2,0),8(2,4)代入得卜2"+'=°,解得

2。+6=4

直線AB的解析式為y=x+2,

當(dāng)x=0時(shí)，y=x+2=2,則C(0,2),

?二S、ocB=-X2X2=2.

故答案為：(l)y=?,(2)2.

X

【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐

標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩

者無交點(diǎn).也考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式.

€對支刊珠

【對點(diǎn)訓(xùn)練1】｛確定反比例函數(shù)的解析式★｝已知平行四邊形/8C。中，4-9,0)、

8(-3,0),C(0,4),反比例函數(shù)y=4是經(jīng)過線段CQ的中點(diǎn)，則反比例函數(shù)解析式為

X

12

y=——?

X

【分析】因?yàn)樗倪呅蝂8CQ時(shí)平行四邊形，所以C。的中點(diǎn)為(-3,4),由中點(diǎn)坐標(biāo)可求反比

例函數(shù)的解析式.

【解答】解：如圖：???4(-9,0)、8(-3,0)、C(0,4),.-.AB=6,8C=5,l?反比例函數(shù)為y=4,

X

?.?四邊形是平行四邊形，.,./BuC。，48//CD,，。(-6,4),二。的中點(diǎn)為(-3,4),

.?=-12,=-2；.??反比例函數(shù)的解析式為y=-"；故答案為了=-”.

【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式與平行四邊形的性質(zhì)；熟練掌握平行

四邊形的性質(zhì)，會用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

【對點(diǎn)訓(xùn)練2】｛確定反比例函數(shù)的解析式★｝如圖，反比例函數(shù)y='的圖象經(jīng)過

X

RtAOAB的頂點(diǎn)4,。為斜邊。4的中點(diǎn)，則過點(diǎn)。的反比例函數(shù)圖象的函數(shù)表達(dá)式為

2

'=———?

【分析】設(shè)利用線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到。點(diǎn)坐標(biāo)為gf,;),然后利用待定系

數(shù)法求過點(diǎn)。的反比例函數(shù)解析式.

【解答】解：設(shè)/(/,§),

t

為斜邊。力的中點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為(gr,：),設(shè)過點(diǎn)。的反比例函數(shù)圖象的函數(shù)表達(dá)式

為，，

X

把。(夕，±)代入得&=夕—=2,.?.過點(diǎn)。的反比例函數(shù)圖象的函數(shù)表達(dá)式為了=：.故

答案為y=2.

X

【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式：設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例函數(shù)解

析式y(tǒng)=&(%為常數(shù)，4x0),然后把一個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出4得到反比例函數(shù)解析式.

X

【對點(diǎn)訓(xùn)練3】如圖，已知反比例函數(shù)y='(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)/(4,2),過工作/C_Ly

X

軸于點(diǎn)C.點(diǎn)8為反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)8作5O1X軸于點(diǎn)。，直線8C與

x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)E.

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若BD=3OC,求A8OE的面積.

y

【分析】(i)利用待定系數(shù)法即可解決問題.

(2)求出直線BC的解析式，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，求出CE,8。即可解決問題.

【解答】解：(1)；反比例函數(shù)了=竺。＞0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)/1(4,2),，"?=8,.?.反比例函數(shù)

0

y=_(X〉O)；

X

(2)???/C_L>軸，4(4,2),.,.0C=2,??,BO=3OC,8。=6,???8O_Lx軸，—，6),

vC(0,2),設(shè)直線8。的解析式為〉=去+6,貝I」有4，解得，，，

—k+b=66=2

13i

2741

二.直線8C的解析式為y=3x+2,E(--,0),/.DE=-+-=2fSABED=-xDExBD=6.

【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法、一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)特征，

梯形面積等知識點(diǎn)，熟練掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

【對點(diǎn)訓(xùn)練4】如圖，平面直角坐標(biāo)系xQy中，函數(shù)了=幺的圖象上4、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分

X

別為］(”,〃+1),8(〃-5,-2”).

(1)求反比例函數(shù)了=公和直線45的解析式；

X

(2)連接/。、BO,求A4O5的面積.

【分析】(1)根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)4=盯得出"("+1)=(〃-5)(-2〃)，即

n2+n=-2n2+10n3n2-9n=0,解方程求得/、8的坐標(biāo)，進(jìn)而即可利用待定系數(shù)法求得

函數(shù)的解析式；

(2)求得〃的坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式即可求得.

【解答】解：(1)???/、8兩點(diǎn)在y=&的圖象上，而N(”,〃+l),B(n-5,-2n),

X

222

n(n+1)=(H-5)(-2/7),HPn+n=-2n+10n3n-9〃=0,解得々=(),w2=3

k

?.?y=—的圖象與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，.??4=0舍去，，〃=？，.?.4(3,4),8(-2,-6),

x

.,.^=3x4=12,

設(shè)直線48的解析式為：y=ax+b,則[3"+”=4,解得：^=2

[-2a+6=-6[b=-2

二.直線48的解析式為：j=2x-2,反比例函數(shù)解析式為：y=-；

X

(2)設(shè)直線18交x軸于點(diǎn)。，則當(dāng)歹=0時(shí)，2x-2=0,:.x=l,.,.￡>(1,0),

SMOB=lxlx4+yxlx6=5

.?.A4O8的面積為5.

【點(diǎn):評】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象

上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，求得力、8點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典1]（2020?黔西南州）如圖，在菱形/80C中，AB=2,乙4=60。，菱形的

一個(gè)頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)、=月依n0）的圖象上，則反比例函數(shù)的解析式為（）

V3「3口6

y=----C.y=—D.y=

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和平面直角坐標(biāo)系的特點(diǎn)可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而可以求得女的

值，進(jìn)而求得反比例函數(shù)的解析式.

【解答】解：?.?在菱形480C中，4=60。,菱形邊長為2,.?.oc=2,Z.COB=60°,過C

作CELO8于E,貝l」NOCE=30。，；.OE=；OC=1,CE=6,.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1,百），

?.?頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)二4的圖象上，，6=&,得k=Y,即、=—巫，故選：B.

X-1X

【點(diǎn)評】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題

意，求出點(diǎn)C的坐標(biāo).

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典2]（2021?西藏）如圖.在平面直角坐標(biāo)系中，的面積為名，垂

8

直x軸于點(diǎn)08與雙曲線^=&相交于點(diǎn)C,且5C:OC=1:2.則上的值為（）

X

99

A.-3B.一一C.3D.-

42

【分析】過。作軸于。，可得A￡）OCSA4O5,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出％農(nóng)，

由反比例函數(shù)系數(shù)〃的幾何意義即可求得4.

【解答】解：過。作。Q_Lx軸于。，?.?"二'，.?."=2,?.?A4_Lx軸，.?.CD//48,

OC2OB3

WOCs^OB，,衿=（釜2=令=：,???S-AOB=帶，???S”=曲/=2X召弓

'MOBUH3"o"yoZ

【點(diǎn)評】本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)々的幾何意義，相似三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)相

似三角形的性質(zhì)和判定求出Sg℃是解決問題的關(guān)鍵.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典3]（2020?黔南州）如圖，正方形的邊長為10,點(diǎn)/的坐標(biāo)為（-8,0）,

點(diǎn)8在y軸上，若反比例函數(shù)卜=幺（我片0）的圖象過點(diǎn)C,則該反比例函數(shù)的解析式為

x

12

y=——-

【分析】過點(diǎn)C作CE_Ly軸于E,由“44S”可證,可得CE=O8=6,

BE=40=8,可求點(diǎn)C坐標(biāo)，即可求解.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CELy軸于E,

:.OB=y/AB2-AO2=J100-64=6,

;N4BC=N40B=90°N4B0+NCBE=9。°,N4BO+NB40=90°,NB40=NCBE,

又ZAOB=NBEC=90°，二\ABO=\BCE(AAS),:.CE=OB=6,BE=AO=8,OE=2,

.?.點(diǎn)C(6,2),?.?反比例函數(shù)y=4/x0)的圖象過點(diǎn)C,.?.左=6x2=12,.?.反比例函數(shù)的解

X

析式為夕=”，

X

故答案為：y=—-

X

【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正方形的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解

析式，求出點(diǎn)C坐標(biāo)是本題的關(guān)鍵.

圖8敘找理

考點(diǎn)3:反比例函數(shù)與幾何綜合

(1)意義：從反比例函數(shù)y=4(kW0)圖象上任意一點(diǎn)向X軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸

X

所圍成的矩形面積為I乩以該點(diǎn)、一個(gè)垂足和原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為:此

制做我布

【例題精析1】｛反比例函數(shù)的幾何意義★★｝如圖，A,8是反比例函數(shù)y=9在第一

X

象限內(nèi)的圖象上的兩點(diǎn)，且4,8兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是2和3,則AO/B的面積是()

A.4.5B.3.5C.2.5D.1.5

【分析】過N,B兩點(diǎn)分別作軸于C,8。，》軸于。，由反比例函數(shù)解析式求得4、

8的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)A的幾何意義得出SMOC=S^D=3，由

SMOB=Sg0c+S梯形/8QC—S^OD=S梯形/6QC即可求得?

【解答】解：?.?4，8是反比例函數(shù)y=9在第一象限內(nèi)的圖象上的兩點(diǎn)，且4,8兩點(diǎn)的

X

橫坐標(biāo)分別是2和3,.?.當(dāng)x=2時(shí)，y=3,即4(2,3),當(dāng)x=3時(shí)，y=2,即8(3,2).

如圖，過/,8兩點(diǎn)分別作/C_Lx軸于C,軸于。，則叉40c=S48m=；x6=3.

?^=1(^+JC).CZ)=1(23)xl=j,

?aMOB=S&AOC+§悌形-‘MOD=$梯形roc+

【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)夕=幺中左的幾何意義，即圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、

X

坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即s=；|k|.

【例題精析2】｛反比例函數(shù)的幾何意義★★｝如圖，4是反比例函數(shù)了=幺圖象上一點(diǎn)，

X

過點(diǎn)/作X軸的平行線交反比例函數(shù)y=-士的圖象于點(diǎn)8,點(diǎn)C在X軸上，且凡此、=2,

x

則％的值為()

A.7B.-7C.-5D.5

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)％的幾何意義可得邑80M=；[-3|=1,S44QM=V%],根據(jù)平

行線的性質(zhì)和三角形的面積公式可得SMMB=&-=2，根據(jù)SMOM-SgOM=2，求出發(fā)的值

即可.

1T.1

【解答】解：如圖，連接0/、OB,延長相交y軸于”,則九?！?]|-3j=5,SMOM=-\k\,

丫4B//x軸，ShOAK=SAC/B=2,即~1^ASOM=2,y|A|——=2,k<0,k=-1>

【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)我的幾何意義，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)A的幾何意義得出

-SgOM=SMBC=2是正確解答的關(guān)鍵?

【例題精析3】｛反比例函數(shù)的幾何意義★★)如圖，已知P(w,0),0(0,n)(m>0,〃>0),

反比例函數(shù)y的圖象與線段尸。交于C,。兩點(diǎn)，若”.℃=5M如=邑加°，則〃=(

93

A.-B.4C.3D.-

22

【分析】過點(diǎn)。作。石，x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)。作CE，x軸于點(diǎn)F.由=SRCOD=S^DOO可

i7

得出PC=CD=。。，BPOE=EF=FP,再根據(jù)尸點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出QE=—加，OF=—m,

33

設(shè)直線尸。的解析式為y=Ax+〃，由點(diǎn)P（嘰0）結(jié)合待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可得出直線

P0的解析式，將反比例函數(shù)解析式代入直線解析式中，由根與系數(shù)的關(guān)系可表示出項(xiàng)?超，

17

結(jié)合OE=—〃？，OF=—m,即可求出〃的值.

33

【解答】解：過點(diǎn)。作軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作Cx軸于點(diǎn)尸.

*/SAPOC=S^CQD=Smo。,/.PC-CD—DQ,即OE—EF=FP,*/OP-3OE=m,

12

OE~~m,O77=§〃7.設(shè)直線P。的解析式為卜=+〃，，,點(diǎn)。（加,0）在直線。。上，

/.0=km+n,解得:k-,即直線PQ的解析式為＞=一2X+〃.令一己X+〃=”，即

minmx

nx2-tnnx+m2=0,

17Q

=-/nx—m,解得：n=—,故選：A.

332

【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及三角

形的面積公式,解題的關(guān)鍵是結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系找出關(guān)于〃的一元一次方程.

【例題精析4】｛反比例函數(shù)的幾何意義★★｝如圖，RtAOAB中，NCM8=90。，點(diǎn)4

在x軸上,反比例函數(shù)y=t（x>0）的圖象過斜邊05的中點(diǎn)。，與43交于點(diǎn)C.若

x

△OBC的面積為3,則人的值是（）

3

A.1B.-C.2D.3

2

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)我的幾何意義可得邑?！恪?$."=』1%1，由中點(diǎn)的定義和相似

三角形的性質(zhì)可得沁=■!■,在根據(jù)&。弘=3=邑?！?$4?！?3|口，可求出答案.

S&OBA42

【解答】解：過點(diǎn)。作。ELO4于點(diǎn)E,則SAOOEMSAO/C：J的，?.?。是。8的中點(diǎn)，

:.OD=BD=-OB,

2

?.■DE1OA，ZOAB=90°,:.DE//AB,\ODE^\OBA,/.^22￡=（絲）2=1,

SA的OB4

SbOAB=4SA00E=2I%],

3

=

??^AOBC3=SAOAB-S^OAC=—\k\f又*:k>0，：.k=2,故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)上的幾何意義，相似三角形的判定和性質(zhì)，理解反比例函

數(shù)系數(shù)z的幾何意義以及相似三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

賽對支樹林

【對點(diǎn)訓(xùn)練1】｛反比例函數(shù)的幾何意義★★｝如圖，點(diǎn)/與點(diǎn)8分別在函數(shù)

夕=勺（占＞0）與卜=4化＜0）的圖象上，線段N8的中點(diǎn)”在y軸上.若&4O8的面積

XX

為3,則勺-網(wǎng)的值是6

【分析】設(shè)/(a,6),8(-a,d),代入雙曲線得到勺=岫，k2=-ad,根據(jù)三角形的面積公式

求出ab+ad=6,即可得出答案.

【解答】解：作ZC_Lx軸于C,8。_1X軸于。，，4(7//8。/4軸，；加是/18的中點(diǎn)，

0C=0D,設(shè)/(a,6),B(—a,d)>代入得：k｛=ab,k2=-ad,,/SMOB=3,

【點(diǎn)評】本題主要考查對反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三

角形的面積等知識點(diǎn)的理解和掌握，能求出M+ad=6是解此題的關(guān)鍵.

【對點(diǎn)訓(xùn)練2】｛反比例函數(shù)的幾何意義★★｝如圖，4、8兩點(diǎn)在反比例函數(shù)了=3

X

的圖象上，過點(diǎn)Z作/C_Lx軸于點(diǎn)C,交OB于點(diǎn)D.若BD=30D,A4。。的面積

17

為1,則人的值為一不一

【分析】先設(shè)出點(diǎn)8的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出點(diǎn)D,4的坐標(biāo)，利用三角形的面積建立方

程求出加〃=2,即可得出結(jié)論.

15

【解答】解：設(shè)點(diǎn)3（4肛4〃）,16/W/7=k+\,?;BD=30D,D[m,n）,?.YC_Lx軸,

二.J+1),;A4。。的面積為1,-SMOD=—AD-OC=-(\6n-n)xm=\,

m22

2jiiz3217狀協(xié)受由17

15151515

【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)左的幾何意義、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本

題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答.

【對點(diǎn)訓(xùn)練3】｛反比例函數(shù)的幾何意義★★｝如圖，點(diǎn)4、8在反比例函數(shù)y=上的圖

X

象上，直線48經(jīng)過原點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸正半軸上，且48=BC,=12,N/CO=45。，

【分析】作軸于。，8萬，夕軸于后，根據(jù)題意得到澳。。是等腰直角三角形，即

可得出=8,Z.CAD=ZACD=45°,通過證得△CBEszMOZ),得出8E=2。。，設(shè)

A(m,n),則8(-加,—〃)，AD=m,OD=n,所以機(jī)=2”，從而得到。C=3",AD=In,

根據(jù)三角形面積公式得到心X=,。04）=1'3"2〃=6,求得〃=應(yīng)，從而求得

41/1V/V22

m=2-72,即uj求得k-mn-4.

【解答】解：作軸于。，5后_1卜軸于4,;乙4（7。=45。，；.44。（7是等腰直角三

角形，

AD=CD,NC4D=N4CD=45°,:點(diǎn)月、8在反比例函數(shù)y=工的圖象上，直線48經(jīng)

X

過原點(diǎn)，

..OA=OB=-AB,?;AB=BC,:.OA=-BC,NBAC=NBCA,ZBCE=ZDAO,

22

Dp

vZBEC=ZADO=90°,/.\CBE^\AOD,—=—=2,BE=2OD,