2025屆湖南省瀏陽一中數(shù)學(xué)高三上期末經(jīng)典試題含解析_第1頁
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2025屆湖南省瀏陽一中數(shù)學(xué)高三上期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知是空間中兩個(gè)不同的平面,是空間中兩條不同的直線,則下列說法正確的是()A.若,且,則B.若,且,則C.若,且,則D.若,且,則2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.3.己知集合,,則()A. B. C. D.4.若函數(shù)()的圖象過點(diǎn),則()A.函數(shù)的值域是 B.點(diǎn)是的一個(gè)對(duì)稱中心C.函數(shù)的最小正周期是 D.直線是的一條對(duì)稱軸5.已知,且,則的值為()A. B. C. D.6.在中,分別為所對(duì)的邊,若函數(shù)有極值點(diǎn),則的范圍是()A. B.C. D.7.記集合和集合表示的平面區(qū)域分別是和,若在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)落在區(qū)域的概率為()A. B. C. D.8.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中,P為A1D1的中點(diǎn),若三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為()A.12 B. C. D.109.直角坐標(biāo)系中,雙曲線()與拋物線相交于、兩點(diǎn),若△是等邊三角形,則該雙曲線的離心率()A. B. C. D.10.“”是“,”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件11.設(shè)一個(gè)正三棱柱,每條棱長(zhǎng)都相等,一只螞蟻從上底面的某頂點(diǎn)出發(fā),每次只沿著棱爬行并爬到另一個(gè)頂點(diǎn),算一次爬行,若它選擇三個(gè)方向爬行的概率相等,若螞蟻爬行10次,仍然在上底面的概率為,則為()A. B.C. D.12.等比數(shù)列中,,則與的等比中項(xiàng)是()A.±4 B.4 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的,,,四件參賽作品,只評(píng)一件一等獎(jiǎng),在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下:甲說:“或作品獲得一等獎(jiǎng)”;乙說:“作品獲得一等獎(jiǎng)”;丙說:“,兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”;丁說:“作品獲得一等獎(jiǎng)”.若這四位同學(xué)中有且只有兩位說的話是對(duì)的,則獲得一等獎(jiǎng)的作品是______.14.設(shè)集合,(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),且,則滿足條件的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為______.15.已知二項(xiàng)式ax-1x6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-16016.已知向量,,且,則實(shí)數(shù)m的值是________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列中,,前項(xiàng)和為,若對(duì)任意的,均有(是常數(shù),且)成立,則稱數(shù)列為“數(shù)列”.(1)若數(shù)列為“數(shù)列”,求數(shù)列的前項(xiàng)和;(2)若數(shù)列為“數(shù)列”,且為整數(shù),試問:是否存在數(shù)列,使得對(duì)任意,成立?如果存在,求出這樣數(shù)列的的所有可能值,如果不存在,請(qǐng)說明理由.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)設(shè)直線與曲線交于,兩點(diǎn),求;(Ⅱ)若點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn),求的取值范圍.19.(12分)棉花的纖維長(zhǎng)度是評(píng)價(jià)棉花質(zhì)量的重要指標(biāo),某農(nóng)科所的專家在土壤環(huán)境不同的甲、乙兩塊實(shí)驗(yàn)地分別種植某品種的棉花,為了評(píng)價(jià)該品種的棉花質(zhì)量,在棉花成熟后,分別從甲、乙兩地的棉花中各隨機(jī)抽取21根棉花纖維進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表:(記纖維長(zhǎng)度不低于311的為“長(zhǎng)纖維”,其余為“短纖維”)纖維長(zhǎng)度甲地(根數(shù))34454乙地(根數(shù))112116(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),填寫下面列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過1.125的前提下認(rèn)為“纖維長(zhǎng)度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.甲地乙地總計(jì)長(zhǎng)纖維短纖維總計(jì)附:(1);(2)臨界值表;1.111.151.1251.1111.1151.1112.7163.8415.1246.6357.87911.828(2)現(xiàn)從上述41根纖維中,按纖維長(zhǎng)度是否為“長(zhǎng)纖維”還是“短纖維”采用分層抽樣的方法抽取8根進(jìn)行檢測(cè),在這8根纖維中,記乙地“短纖維”的根數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.20.(12分)在直角坐標(biāo)系x0y中,把曲線α為參數(shù))上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變,得到曲線以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程(1)寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)M在上,點(diǎn)N在上,求|MN|的最小值以及此時(shí)M的直角坐標(biāo).21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.在以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)說明曲線是哪一種曲線,并將曲線的方程化為極坐標(biāo)方程;(2)已知點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn),又直線上有兩點(diǎn)和,且,又點(diǎn)的極角為,點(diǎn)的極角為銳角.求:①點(diǎn)的極角;②面積的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù)f(x)=ex-x2-kx(其中e為自然對(duì)數(shù)的底,k為常數(shù))有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(2)證明:f(x)的極大值不小于1.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

利用線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理,對(duì)選項(xiàng)做出判斷,舉出反例排除.【詳解】解:對(duì)于,當(dāng),且,則與的位置關(guān)系不定,故錯(cuò);對(duì)于,當(dāng)時(shí),不能判定,故錯(cuò);對(duì)于,若,且,則與的位置關(guān)系不定,故錯(cuò);對(duì)于,由可得,又,則故正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查空間線面位置關(guān)系.判斷線面位置位置關(guān)系利用好線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理.一般可借助正方體模型,以正方體為主線直觀感知并準(zhǔn)確判斷.2、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算,即可容易求得結(jié)果.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.3、C【解析】

先化簡(jiǎn),再求.【詳解】因?yàn)?,又因?yàn)椋?,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖像過點(diǎn),求出,可得,再利用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì),得出結(jié)論.【詳解】由函數(shù)()的圖象過點(diǎn),可得,即,,,故,對(duì)于A,由,則,故A正確;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)時(shí),,故D錯(cuò)誤;故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),需熟記性質(zhì)與公式,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

由及得到、,進(jìn)一步得到,再利用兩角差的正切公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?,又,所以,,所?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.6、D【解析】試題分析:由已知可得有兩個(gè)不等實(shí)根.考點(diǎn):1、余弦定理;2、函數(shù)的極值.【方法點(diǎn)晴】本題考查余弦定理,函數(shù)的極值,涉及函數(shù)與方程思想思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想,考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力,綜合性較強(qiáng),屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化化歸思想將原命題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等實(shí)根,從而可得.7、C【解析】

據(jù)題意可知,是與面積有關(guān)的幾何概率,要求落在區(qū)域內(nèi)的概率,只要求、所表示區(qū)域的面積,然后代入概率公式,計(jì)算即可得答案.【詳解】根據(jù)題意可得集合所表示的區(qū)域即為如圖所表示:的圓及內(nèi)部的平面區(qū)域,面積為,集合,,表示的平面區(qū)域即為圖中的,,根據(jù)幾何概率的計(jì)算公式可得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概率的計(jì)算,本題是與面積有關(guān)的幾何概率模型.解決本題的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確求出兩區(qū)域的面積.8、C【解析】

取B1C1的中點(diǎn)Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱,此直三棱柱和三棱錐P?ABC有相同的外接球,求出等腰三角形的外接圓半徑,然后利用勾股定理可求出外接球的半徑【詳解】如圖,取B1C1的中點(diǎn)Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱,所以該直三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,的外接圓直徑為,球O的半徑R滿足,所以球O的表面積S=4πR2=,故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長(zhǎng)的關(guān)系,及球的表面積公式,解題時(shí)要注意審題,注意空間思維能力的培養(yǎng),屬于中檔題.9、D【解析】

根據(jù)題干得到點(diǎn)A坐標(biāo)為,代入拋物線得到坐標(biāo)為,再將點(diǎn)代入雙曲線得到離心率.【詳解】因?yàn)槿切蜲AB是等邊三角形,設(shè)直線OA為,設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為,代入拋物線得到x=2b,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為,代入雙曲線得到故答案為:D.【點(diǎn)睛】求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式,結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得(的取值范圍).10、B【解析】

先求出滿足的值,然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】由得,即,,因此“”是“,”的必要不充分條件.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件,掌握充分必要條件的定義是解題基礎(chǔ).解題時(shí)可根據(jù)條件與結(jié)論中參數(shù)的取值范圍進(jìn)行判斷.11、D【解析】

由題意,設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有兩條路,其概率為;②若上一步在下面,則第步不在上面的概率是.如果爬上來,其概率是,兩種事件又是互斥的,可得,根據(jù)求數(shù)列的通項(xiàng)知識(shí)可得選項(xiàng).【詳解】由題意,設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有兩條路,其概率為;②若上一步在下面,則第步不在上面的概率是.如果爬上來,其概率是,兩種事件又是互斥的,∴,即,∴,∴數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列,而,所以,∴當(dāng)時(shí),,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體中的概率問題,關(guān)鍵在于運(yùn)用遞推的知識(shí),得出相鄰的項(xiàng)的關(guān)系,這是常用的方法,屬于難度題.12、A【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得,即可得出.【詳解】設(shè)與的等比中項(xiàng)是.

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,.

∴與的等比中項(xiàng)

故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了等比中項(xiàng)的求法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、B【解析】

首先根據(jù)“學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)四件參賽作品只評(píng)一件一等獎(jiǎng)”,故假設(shè)分別為一等獎(jiǎng),然后判斷甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的說法的正確性,即可得出結(jié)果.【詳解】若A為一等獎(jiǎng),則甲、丙、丁的說法均錯(cuò)誤,不滿足題意;若B為一等獎(jiǎng),則乙、丙的說法正確,甲、丁的說法錯(cuò)誤,滿足題意;若C為一等獎(jiǎng),則甲、丙、丁的說法均正確,不滿足題意;若D為一等獎(jiǎng),則乙、丙、丁的說法均錯(cuò)誤,不滿足題意;綜上所述,故B獲得一等獎(jiǎng).【點(diǎn)睛】本題屬于信息題,可根據(jù)題目所給信息來找出解題所需要的條件并得出答案,在做本題的時(shí)候,可以采用依次假設(shè)為一等獎(jiǎng)并通過是否滿足題目條件來判斷其是否正確.14、【解析】

可看出,這樣根據(jù)即可得出,從而得出滿足條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為1.【詳解】解:,或,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)與的圖象,由圖可知與無交點(diǎn),無解,則滿足條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】考查列舉法的定義,交集的定義及運(yùn)算,以及知道方程無解,屬于基礎(chǔ)題.15、2【解析】

在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中,令x的冪指數(shù)等于0,求出r的值,即可求得常數(shù)項(xiàng),再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)等于-160求得實(shí)數(shù)a的值.【詳解】∵二項(xiàng)式(ax-1x)令6-2r=0,求得r=3,可得常數(shù)項(xiàng)為-C63故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.16、1【解析】

根據(jù)即可得出,從而求出m的值.【詳解】解:∵;∴;∴m=1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的充要條件,向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)存在,【解析】

由數(shù)列為“數(shù)列”可得,,,兩式相減得,又,利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求出,進(jìn)而求出;由題意得,,,兩式相減得,,據(jù)此可得,當(dāng)時(shí),,進(jìn)而可得,即數(shù)列為常數(shù)列,進(jìn)而可得,結(jié)合,得到關(guān)于的不等式,再由時(shí),且為整數(shù)即可求出符合題意的的所有值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為“數(shù)列”,所以,故,兩式相減得,在中令,則可得,故所以,所以數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,所以,因?yàn)?,所?(2)由題意得,故,兩式相減得所以,當(dāng)時(shí),又因?yàn)樗援?dāng)時(shí),所以成立,所以當(dāng)時(shí),數(shù)列是常數(shù)列,所以因?yàn)楫?dāng)時(shí),成立,所以,所以在中令,因?yàn)椋钥傻?,所以,由時(shí),且為整數(shù),可得,把分別代入不等式可得,,所以存在數(shù)列符合題意,的所有值為.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列遞推公式的運(yùn)用;考查運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力和對(duì)新定義的理解能力;通過反復(fù)利用遞推公式,得到數(shù)列為常數(shù)列是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強(qiáng)、難度大型試題.18、(Ⅰ)6(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)化簡(jiǎn)得到直線的普通方程化為,,是以點(diǎn)為圓心,為半徑的圓,利用垂徑定理計(jì)算得到答案.(Ⅱ)設(shè),則,得到范圍.【詳解】(Ⅰ)由題意可知,直線的普通方程化為,曲線的極坐標(biāo)方程變形為,所以的普通方程分別為,是以點(diǎn)為圓心,為半徑的圓,設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,則,所以.(Ⅱ)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,所以參數(shù)方程為(為參數(shù)),設(shè),,因?yàn)?,所以,所?【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.19、(1)在犯錯(cuò)誤概率不超過的前提下認(rèn)為“纖維長(zhǎng)度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.(2)見解析【解析】試題分析:(1)可以根據(jù)所給表格填出列聯(lián)表,利用列聯(lián)表求出,結(jié)合所給數(shù)據(jù),應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)可作出判斷;(2)寫出的所有可能取值,并求出對(duì)應(yīng)的概率,可列出分布列并進(jìn)一步求出的數(shù)學(xué)期望.試題解析:(Ⅰ)根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表:甲地乙地總計(jì)長(zhǎng)纖維91625短纖維11415總計(jì)212141根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),可得所以,在犯錯(cuò)誤概率不超過的前提下認(rèn)為“纖維長(zhǎng)度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.(Ⅱ)由表可知在8根中乙地“短纖維”的根數(shù)為,的可能取值為:1,1,2,3,,,,.∴的分布列為:1123∴.20、(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為.(2)最小值為,此時(shí)【解析】

(1)由的參數(shù)方程消去求得的普通方程,利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式,求得的直角坐標(biāo)方程.(2)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),利用點(diǎn)到直線的距離公式求得最小值的表達(dá)式,結(jié)合三角函數(shù)的指數(shù)求得的最小值以及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】(1)由題意知的參數(shù)方程為(為參數(shù))所以的普通方程為.由得,所以的直角坐標(biāo)方程為.(2)由題意,可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,因?yàn)槭侵本€,所以的最小值即為到的距離,因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值為,此時(shí)的直角坐標(biāo)為即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程,考查極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,考查利用曲線參數(shù)方程求解點(diǎn)到直線距離的最小值問題,屬于中檔題.21、(1)曲線為圓心在原點(diǎn),半徑為2的圓.的極坐標(biāo)方程為(2)①②【解析】

(1)求得曲線伸縮變換后所得的參數(shù)方程,消參后求得的普通方程,判斷出對(duì)應(yīng)的曲線,并將的普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.(2)①將的極角代入直線的極坐標(biāo)方程,由此求得點(diǎn)的極徑,判斷出為等腰三角形,求得直線的普通方程,由此求得,進(jìn)而求得,從而求得點(diǎn)的極角.②解法一:利用曲線的參數(shù)方程,求得曲線上的點(diǎn)到直線的距離的表達(dá)式,結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)求得的最小值和最大值,由此求得面積的取值范圍.解法二:根據(jù)曲線表示的曲線,利用圓的幾何性質(zhì)求得圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值和最小值,進(jìn)而求得面積的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)榍€的參數(shù)方程為(為參數(shù)),因?yàn)閯t曲線的參

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