湖南省邵陽(yáng)市邵陽(yáng)縣2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

湖南省邵陽(yáng)市邵陽(yáng)縣2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，，則的值為（）A.13 B.16C.104 D.2082．若則（）A.?2 B.?1C.1 D.23．圓與圓的位置關(guān)系是（）A.外離 B.外切C.相交 D.內(nèi)切4．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為（）A. B.0C.3 D.55．設(shè)平面向量，，其中m，，記“”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為（）A. B.C. D.6．命題“存在，”的否定是（）A.存在， B.存在，C.對(duì)任意， D.對(duì)任意，7．過(guò)原點(diǎn)O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓交于A、C與B、D，則四邊形ABCD面積最小值為（）A B.C. D.8．①命題設(shè)“，若，則或”；②若“”為真命題，則p，q均為真命題；③“”是函數(shù)為偶函數(shù)的必要不充分條件；④若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一基底；其中正確判斷的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.49．已如雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，若，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.10．若點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線的距離的最大值為（）A. B.2C. D.411．在三棱錐中，平面，，，，Q是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成角的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B.C. D.12．與直線平行，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3）的直線的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)_________________.14．定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：有成立且，則不等式的解集為_(kāi)_________15．已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，已知，且，則c的最小值為_(kāi)_________.16．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，是雙曲線上不同于、的動(dòng)點(diǎn)，直線、與軸分別交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到軸的距離相等.（1）求拋物線的方程；（2）若直線與拋物線交于A，兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足(為坐標(biāo)原點(diǎn))，證明：直線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn).18．（12分）已知直線和的交點(diǎn)為P，求：（1）過(guò)點(diǎn)P且與直線垂直的直線l的方程；（2）以點(diǎn)P為圓心，且與直線相交所得弦長(zhǎng)為12的圓的方程；（3）從下面①②兩個(gè)問(wèn)題中選一個(gè)作答，①若直線l過(guò)點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積為，求直線l的方程②求圓心在直線上，與x軸相切，被直線截得的弦長(zhǎng)的圓的方程注：如果選擇兩個(gè)問(wèn)題分別作答，按第一個(gè)計(jì)分19．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求；（3）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使成立的的最小值.21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求證：平面.22．（10分）已知圓C經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，且圓心在直線上（1）求圓C的方程；（2）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓C相切，求直線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以，故選：D2、B【解析】分子分母同除以，化弦為切，代入即得結(jié)果.【詳解】由題意，分子分母同除以，可得.故選：B.3、C【解析】利用圓心距與半徑的關(guān)系確定正確選項(xiàng).【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，圓心距為，，所以?xún)蓤A相交.故選：C4、D【解析】先畫(huà)出可行域，由，得，作出直線，向上平移過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取得最大值，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入可求得結(jié)果【詳解】不等式組表示的可行域，如圖所示由，得，作出直線，向上平移過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故選：D5、D【解析】由向量的數(shù)量積公式結(jié)合古典概型概率公式得出事件A發(fā)生的概率.【詳解】由題意可知，即，因?yàn)樗械幕臼录灿蟹N，其中滿(mǎn)足的為，，只有1種，所以事件A發(fā)生的概率為.故選：D6、D【解析】特稱(chēng)命題的否定：將存在改任意并否定原結(jié)論，即可知正確答案.【詳解】由特稱(chēng)命題的否定為全稱(chēng)命題，知：原命題的否定為：對(duì)任意，.故選：D7、A【解析】直線AC、BD與坐標(biāo)軸重合時(shí)求出四邊形面積，與坐標(biāo)軸不重合求出四邊形ABCD面積最小值，再比較大小即可作答.【詳解】因四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相垂直，由橢圓性質(zhì)知，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)為橢圓頂點(diǎn)時(shí)，而，四邊形ABCD的面積，當(dāng)直線AC斜率存在且不0時(shí)，設(shè)其方程為，由消去y得：，設(shè)，則，，直線BD方程為，同理得：，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取“=”，而，所以四邊形ABCD面積最小值為.故選：A8、B【解析】利用逆否命題、含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性、充分和必要條件、空間基底等知識(shí)對(duì)四個(gè)判斷進(jìn)行分析，由此確定正確答案.【詳解】①，原命題的逆否命題為“，若且，則”，逆否命題是真命題，所以原命題是真命題，①正確.②，若“”為真命題，則p，q至少有一個(gè)真命題，②錯(cuò)誤.③，函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是“”.所以“”是函數(shù)為偶函數(shù)的充分不必要條件，③錯(cuò)誤.④，若為空間的一個(gè)基底，即不共面，若共面，則存在不全為零的，使得，故，因?yàn)闉榭臻g的一個(gè)基底，，故，矛盾，故不共面，所以構(gòu)成空間的另一基底，④正確.所以正確的判斷是個(gè).故選：B9、A【解析】先作輔助線，設(shè)出邊長(zhǎng)，結(jié)合題干條件得到，，利用勾股定理得到關(guān)于的等量關(guān)系，求出離心率.【詳解】連接，設(shè)，則根據(jù)可知，，因?yàn)椋晒垂啥ɡ淼茫?，由雙曲線定義可知：，，解得：，，從而，解得：，所以，，由勾股定理得：，從而，即該雙曲線的離心率為.故選：A10、A【解析】由方程確定曲線的形狀，然后轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值【詳解】由曲線方程為知曲線關(guān)于軸成軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形，在第一象限內(nèi)，方程化為，即，在第一象限內(nèi)，曲線是為圓心，為半徑的圓在第一象限的圓?。ê鴺?biāo)軸上的點(diǎn)），實(shí)際上整個(gè)曲線就是這段圓弧及其關(guān)于坐標(biāo)軸．原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖形加上原點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，所以所求最大值為故選：A11、C【解析】由平面，直線與平面所成角的最大時(shí)，最小，也即最小，，由此可求得，從而得，得長(zhǎng)，然后取外心，作，取H為的中點(diǎn)，使得，則易得，求出的長(zhǎng)即為外接球半徑，從而可得面積【詳解】三棱錐中，平面，直線與平面所成角為，如圖所示；則，且的最大值是，，的最小值是，即A到的距離為，，，在中可得，又，，可得；取的外接圓圓心為，作，取H為的中點(diǎn)，使得，則易得，由，解得，，，，由勾股定理得，所以三棱錐的外接球的表面積是.【點(diǎn)睛】本題考查求球的表面積，解題關(guān)鍵是確定球的球心，三棱錐的外接球心在過(guò)各面外心且與此面垂直的直線上12、C【解析】由直線平行及直線所過(guò)的點(diǎn)，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程即可.【詳解】與直線平行，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3）的直線的方程為，整理得故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】根據(jù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得.故答案為：.14、【解析】由，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解即可【詳解】設(shè),又有成立，函數(shù)，即是上的增函數(shù)，，即,，故答案為：15、【解析】先利用正弦定理邊化角式子，得到，再利用正弦定理求出，根據(jù)與的關(guān)系，求得，即可求得c的最小值.【詳解】，即，又，當(dāng)最大時(shí)，即，最小，且為由正弦定理得：，當(dāng)時(shí)，c的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到.16、3【解析】求得坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線的方程，由此求得兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求得.【詳解】依題意，設(shè)，則，直線的方程為，則，直線的方程為，則，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】(1)利用拋物線點(diǎn)，n)到焦點(diǎn)的距離等于到x軸的距離求出，從而得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)聯(lián)立直線與拋物線方程，通過(guò)韋達(dá)定理求出直線方程，然后由，即可求解【小問(wèn)1詳解】由題意可得，故拋物線方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，，，直線的方程為，聯(lián)立方程中，消去得，，則，又，解得或(舍去)，直線方程為，直線過(guò)定點(diǎn)18、（1）（2）（3）答案見(jiàn)解析【解析】（1）聯(lián)立方程組求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合直線與直線垂直，求得直線的斜率為，利用直線的點(diǎn)斜式，即可求解；（2）先求得點(diǎn)到直線的距離為，由圓的的垂徑定理列出方程求得圓的半徑，即可求解；（3）若選①：設(shè)直線l的的斜率為，得到，結(jié)合題意列出方程，求得的值，即可求解；若選②，設(shè)所求圓的圓心為，半徑為，得到，利用圓的垂徑定理列出方程求得的值，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由直線和的交點(diǎn)為P，聯(lián)立方程組，解得，即，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率為，所以過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，設(shè)所求圓的半徑為，由圓的的垂徑定理得，弦長(zhǎng)，解得，所以所求圓的方程為.【小問(wèn)3詳解】解：若選①：直線l過(guò)點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積為，設(shè)直線l的的斜率為，可得直線的方程為，即，則直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，由，解得或，所以所求直線的方程為或.若選②，設(shè)所求圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與x軸相切，可得，又由圓心到直線的距離為，利用圓的垂徑定理可得，即，解得，即圓心坐標(biāo)為或，所以所求圓的方程為或.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，分和兩種情況，求出，再判斷是否合并；（2）利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿(mǎn)足上式，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，①②①②得，20、（1）（2）（3）【解析】（1）直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）化簡(jiǎn)，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和；（3）利用分組法求得，結(jié)合，即可求得的最小值.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)楦黜?xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，；兩式相減可得，整理得（常數(shù)），故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；所以.【小問(wèn)2詳解】解：由，可得，所以，所以.【小問(wèn)3詳解】解：由，可得，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，因?yàn)?，且為偶?shù)，所以的最小值為48；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，不存在最小的值，故當(dāng)為48時(shí)，滿(mǎn)足條件.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由直棱柱的性質(zhì)可得，由勾股定理可得，由線面垂直判定定理即可得結(jié)果；（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)和，通過(guò)線線平行得到面面，進(jìn)而得結(jié)果.【詳解】（1）∵直三棱柱，∴面，∴，又∵，，，∴，∴，∵，∴面，∴（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)和，∵，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，面，∴面，∵，且，∴四邊形平行四邊形，∴，面，∴面，∵，∴面面，∴平面.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：線面平行常見(jiàn)的證明方法：（1）通過(guò)構(gòu)造相似三角形（三角形中位線），得到線線平行；（2）通過(guò)構(gòu)造平行四邊形得到線線平行；（3）通過(guò)線面平行得到面面平行，再得線面平行.22、（１）；（２）【解析】（1）根據(jù)圓心在弦的垂