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2025屆太原市重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知圓與圓,則圓M與圓N的位置關(guān)系是()A.內(nèi)含 B.相交C.外切 D.外離2.如圖所示,過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A,B,C.若,且,則拋物線的方程為()A. B.C. D.3.若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,則的取值范圍是()A. B.C. D.4.甲、乙兩名同學(xué)同時(shí)從教室出發(fā)去體育館打球(路程相等),甲一半時(shí)間步行,一半時(shí)間跑步;乙一半路程步行,一半路程跑步.如果兩人步行速度、跑步速度均相等,則()A.甲先到體育館 B.乙先到體育館C.兩人同時(shí)到體育館 D.不確定誰(shuí)先到體育館5.已知點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足,則點(diǎn)P的軌跡為()A橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.圓6.已知公差不為0的等差數(shù)列中,,且,,成等比數(shù)列,則其前項(xiàng)和取得最大值時(shí),的值為()A.12 B.13C.12或13 D.13或147.已知,是球的球面上兩點(diǎn),,為該球面上的動(dòng)點(diǎn),若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為()A. B.C. D.8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,則輸出的m的值是()A.-1 B.0C.0.1 D.19.已知雙曲線的焦距為,且雙曲線的一條漸近線與直線平行,則雙曲線的方程為()A. B.C. D.10.函數(shù)在處的切線方程為()A. B.C. D.11.若曲線的一條切線與直線垂直,則的方程為()A. B.C. D.12.(2017新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理科)已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上,則該圓柱的體積為A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù)解析式,則使得成立的的取值范圍是___________.14.雙曲線離心率__________.15.已知等差數(shù)列的公差,等比數(shù)列的公比q為正整數(shù),若,,且是正整數(shù),則______16.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),,是拋物線上的兩點(diǎn),且滿足,則______;若OM垂直AB于點(diǎn)M,且為定值,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)某校高二年級(jí)全體學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測(cè)試,學(xué)校利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從甲班、乙班各抽取五名同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)(單位:分)得到如下莖葉圖,若甲、乙兩班數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等且平均數(shù)也相等.(1)求出莖葉圖中m和n的值:(2)若從86分以上(不含86分)的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名,求此兩人都來(lái)自甲班的概率.18.(12分)茶樹(shù)根據(jù)其茶葉產(chǎn)量可分為優(yōu)質(zhì)茶樹(shù)和非優(yōu)質(zhì)茶樹(shù),某茶葉種植研究小組選取了甲,乙兩塊試驗(yàn)田來(lái)檢驗(yàn)?zāi)撤N茶樹(shù)在不同的環(huán)境條件下的生長(zhǎng)情況.研究人員將100株該種茶樹(shù)幼苗在甲,乙兩塊試驗(yàn)田中進(jìn)行種植,成熟后統(tǒng)計(jì)每株茶樹(shù)的茶葉產(chǎn)量,將所得數(shù)據(jù)整理如下表所示:優(yōu)質(zhì)茶樹(shù)非優(yōu)質(zhì)茶樹(shù)甲試驗(yàn)田a25乙試驗(yàn)田10b已知甲試驗(yàn)田優(yōu)質(zhì)茶樹(shù)的比例為50%(1)求表中a,b的值;(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷,是否有99%的把握認(rèn)為甲,乙兩塊試驗(yàn)田的環(huán)境差異對(duì)茶樹(shù)的生長(zhǎng)有影響?附:,其中.0.100.050.01k2.7063.8416.63519.(12分)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,且拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3,直線與拋物線交于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求拋物線的方程;(2)求的面積.20.(12分)為了解某校今年高一年級(jí)女生的身體素質(zhì)狀況,從該校高一年級(jí)女生中抽取了一部分學(xué)生進(jìn)行“擲鉛球”的項(xiàng)目測(cè)試,成績(jī)低于5米為不合格,成績(jī)?cè)?至7米(含5米不含7米)的為及格,成績(jī)?cè)?米至11米(含7米和11米,假定該校高一女生擲鉛球均不超過(guò)11米)為優(yōu)秀.把獲得的所有數(shù)據(jù),分成五組,畫出的頻率分布直方圖如圖所示.已知有4名學(xué)生的成績(jī)?cè)?米到11米之間(1)求實(shí)數(shù)的值及參加“擲鉛球”項(xiàng)目測(cè)試的人數(shù);(2)若從此次測(cè)試成績(jī)最好和最差的兩組中隨機(jī)抽取2名學(xué)生再進(jìn)行其它項(xiàng)目的測(cè)試,求所抽取的2名學(xué)生自不同組的概率21.(12分)已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列,,若成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,數(shù)列的前項(xiàng)和,求.22.(10分)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及;(2)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】將兩圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式,計(jì)算圓心距,和兩圓半徑的和差比較,可得答案,【詳解】圓,即,圓心,圓,即,圓心,則故有,所以兩圓是相交的關(guān)系,故選:B2、A【解析】分別過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,分別交準(zhǔn)線于點(diǎn),,設(shè),推出;根據(jù),進(jìn)而推導(dǎo)出,結(jié)合拋物線定義求出;最后由相似比推導(dǎo)出,即可求出拋物線的方程.【詳解】如圖分別過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,分別交準(zhǔn)線于點(diǎn),,設(shè)與交于點(diǎn).設(shè),,,由拋物線定義得:,故在直角三角形中,,,,,,,∥,,,即,,所以拋物線的方程為.故選:A3、A【解析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上大于等于0恒成立,進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】由題意得:在區(qū)間上恒成立,而,所以.故選:A4、A【解析】設(shè)出總路程與步行速度、跑步速度,表示出兩人所花時(shí)間后比較不等式大小【詳解】設(shè)總路程為,步行速度,跑步速度對(duì)于甲:,得對(duì)于乙:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,而,故,乙花時(shí)間多,甲先到體育館故選:A5、A【解析】根據(jù)橢圓的定義即可求解.【詳解】解:,故,又,根據(jù)橢圓的定義可知:P的軌跡為橢圓.故選:A.6、C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為q,根據(jù),,成等比數(shù)列,利用等比中項(xiàng)求得公差,再由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為q,因?yàn)椋?,,成等比?shù)列,所以,解得,所以,所以當(dāng)12或13時(shí),取得最大值,故選:C7、C【解析】當(dāng)平面時(shí),三棱錐體積最大,根據(jù)棱長(zhǎng)與球半徑關(guān)系即可求出球半徑,從而求出表面積.【詳解】當(dāng)平面時(shí),三棱錐體積最大.又,則三棱錐體積,解得;故表面積.故選:C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查三棱錐與球的組合體的綜合問(wèn)題,本題的關(guān)鍵是判斷當(dāng)平面時(shí),三棱錐體積最大.8、B【解析】計(jì)算后,根據(jù)判斷框直接判斷即可得解.【詳解】輸入,計(jì)算,判斷為否,計(jì)算,輸出.故選:B.9、B【解析】根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線漸近線斜率為±可求a,b關(guān)系,再結(jié)合a,b,c關(guān)系即可求解﹒【詳解】∵雙曲線1(a>0,b>0)的焦距為2,且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0平行,∴,∴b=2a,∵c2=a2+b2,∴a=1,b=2,∴雙曲線的方程為故選:B10、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求切線方程﹒【詳解】,,,,在處的切線為:,即﹒故選:C﹒11、A【解析】?jī)芍本€垂直,斜率之積為,曲線與直線相切,聯(lián)立方程令.【詳解】法一:直線,所以,所以切線的,設(shè)切線的方程為,聯(lián)立方程,所以,令,解得,所以切線方程為.法二:直線,所以,所以切線的,,所以令,所以,帶入曲線方程得切點(diǎn)坐標(biāo)為,所以切線方程為,化簡(jiǎn)得.故選:A.12、B【解析】繪制圓柱的軸截面如圖所示,由題意可得:,結(jié)合勾股定理,底面半徑,由圓柱的體積公式,可得圓柱的體積是,故選B.【名師點(diǎn)睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí),一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面,把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題,再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系,或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖,確定球心的位置,弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系,列方程(組)求解.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由題意先判斷函數(shù)為偶函數(shù),再利用的導(dǎo)函數(shù)判斷在上單調(diào)遞增,根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性得上單調(diào)遞減.要使成立,即,解不等式即可得到答案.【詳解】,,為偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上單調(diào)遞增.為偶函數(shù),在上單調(diào)遞減.要使成立,即.故答案為:.14、【解析】由已知得到a,b,再利用及即可得到答案.【詳解】由已知,可得,所以,所以.故答案為:15、【解析】由已知等差、等比數(shù)列以及,,是正整數(shù),可得,結(jié)合q為正整數(shù),進(jìn)而求.【詳解】由,,令,其中m為正整數(shù),有,又為正整數(shù),所以當(dāng)時(shí),解得,當(dāng)時(shí),解得不是正整數(shù),故答案為:16、①.-24②.【解析】由拋物線的方程及數(shù)量積的運(yùn)算可求出,設(shè)直線AB的方程為,聯(lián)立拋物線方程,由根與系數(shù)的關(guān)系可求出,由圓的定義求出圓心即可.【詳解】由,即解得或(舍去).設(shè)直線AB的方程為.由,消去x并整理得,.又,,直線AB恒過(guò)定點(diǎn)N(6,0),OM垂直AB于點(diǎn)M,點(diǎn)M在以O(shè)N為直徑圓上.|MQ|為定值,點(diǎn)Q為該圓的圓心,又即Q(3,0).故答案為:;三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1),(2)【解析】(1)根據(jù)莖葉圖得甲班中位數(shù)為,由此能求出,根據(jù)由,且,能求出.(2)甲班86分以上有2人,乙班86分以有2人,從86分以上(不含86分)的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名,用列舉法寫出基本事件總數(shù),再利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)莖葉圖可知1班中位數(shù)為86,則,又∵,且故【小問(wèn)2詳解】由(1)可知,甲班86分以上有2人,乙班86以上有2人設(shè)甲班86分以上2人為,,乙班86分以上2人為,,從中任取兩名同學(xué)共有,,,,,共有6組基本事件,且每組出現(xiàn)都是等可能的記:“從86分以上(不含86分)的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名,兩人都來(lái)自甲班”為事件M,事件M包括:共1個(gè)基本事件,由古典概型的計(jì)算概率的公式知∴所以兩人都來(lái)自甲班的概率為18、(1);(2)有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩塊試驗(yàn)田的環(huán)境差異對(duì)茶樹(shù)的生長(zhǎng)有影響【解析】(1)根據(jù)即可求出,從而可得到;(2)根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想求出的觀測(cè)值,與6.635比較,即可判斷【小問(wèn)1詳解】甲試驗(yàn)田優(yōu)質(zhì)茶樹(shù)比例為50%,即,解得【小問(wèn)2詳解】,因?yàn)?,故?9%的把握認(rèn)為甲、乙兩塊試驗(yàn)田的環(huán)境差異對(duì)茶樹(shù)的生長(zhǎng)有影響19、(1);(2)【解析】(1)由題意可設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),運(yùn)用拋物線的定義,可得23,解得p=2,進(jìn)而得到拋物線的方程;(2)由題意,直線AB方程為y=x﹣1,與y2=4x消去y得:x2﹣6x+1=0.再用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式,算出|AB|;利用點(diǎn)到直線的距離公式算出點(diǎn)O到直線AB的距離,即可求出△AOB的面積【詳解】(1)拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,且過(guò)一點(diǎn)P(2,m),可設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),P(2,m)到焦點(diǎn)的距離為3,即有P到準(zhǔn)線的距離為6,即23,解得p=2,即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x;(2)聯(lián)立方程化簡(jiǎn),得x2﹣6x+1=0設(shè)交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2)∴x1+x2=6,x1x2=1可得|AB||x1﹣x2|=8點(diǎn)O到直線l的距離d,所以△AOB的面積為S|AB|?d82【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程的求法及拋物線定義的應(yīng)用,考查待定系數(shù)法的運(yùn)用,考查求焦點(diǎn)弦AB與原點(diǎn)構(gòu)成的△AOB面積,屬于中檔題20、(1)0.05,40;(2)【解析】(1)因?yàn)橛深l率分布直方圖可得共五組的頻率和為1所以可得一個(gè)關(guān)于的等式,即可求出的值.再根據(jù)已知有4名學(xué)生的成績(jī)?cè)?米到11米之間,可以求出本次參加“擲鉛球”項(xiàng)目測(cè)試的人數(shù).本小題要根據(jù)所給的圖表及直方圖作答,頻率的計(jì)算易漏乘以組距.(2)因?yàn)槿舸舜螠y(cè)試成績(jī)最好的共有4名同學(xué).成績(jī)最差的共有2名同學(xué).所以從6名同學(xué)中抽取2名同學(xué)共有15中情況,其中兩人在同組情況由8中.所以可以計(jì)算出所求的概率.試題解析:(Ⅰ)由題意可知解得所以此次測(cè)試總?cè)藬?shù)為答:此次參加“擲鉛球”的項(xiàng)目測(cè)試的人數(shù)為40人(Ⅱ)設(shè)從此次測(cè)試成績(jī)最好和最差的兩組中隨機(jī)抽取2名學(xué)生自不同組的事件為A:由已知,測(cè)試成績(jī)?cè)谟?人,記為;在有4人,記為.從這6人中隨機(jī)抽取2人有,共15種情況事件A包括共8種情況.所以答:隨機(jī)抽取的2名學(xué)生自不同組的概率為考點(diǎn):1.頻率分布直方圖.2.概率問(wèn)題.3.列舉分類的思想.21、(1);(2).【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,根據(jù)題意列出方程組,求得的值,即可求解;(2)由(1)求得,結(jié)合“裂項(xiàng)法”即可求解.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,因?yàn)椋舫傻缺葦?shù)列,可得,解得,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)由(1)可得,所以.【點(diǎn)睛】關(guān)于數(shù)列的裂項(xiàng)法求和的基本策略:1、基本步驟:裂
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