廣西玉林市陸川縣2025屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

廣西玉林市陸川縣2025屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．方程表示的曲線為（）A.拋物線與一條直線 B.上半拋物線（除去頂點(diǎn)）與一條直線C.拋物線與一條射線 D.上半拋物線（除去頂點(diǎn)）與一條射線2．在等差數(shù)列中，若，則的值為（）A. B.C. D.3．東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”，根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.我們通過(guò)類比得到圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形.對(duì)于圖2.下列結(jié)論正確的是（）①這三個(gè)全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形；②若，，則；③若，則；④若是的中點(diǎn)，則三角形的面積是三角形面積的7倍.A.①②④ B.①②③C.②③④ D.①③④4．（2017新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅲ文科）已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A. B.C. D.5．命題“存在，使得”的否定為（）A.存在， B.對(duì)任意，C.對(duì)任意， D.對(duì)任意，6．為調(diào)查學(xué)生的課外閱讀情況，學(xué)校從高二年級(jí)四個(gè)班的182人中隨機(jī)抽取30人了解情況，若用系統(tǒng)抽樣的方法，則抽樣的間隔和隨機(jī)剔除的個(gè)數(shù)分別為（）A.6，2 B.2，3C.2，60 D.60，27．已知點(diǎn)是橢圓方程上的動(dòng)點(diǎn)，、是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則（）A.存在實(shí)數(shù)使為等腰直角三角形的點(diǎn)僅有一個(gè)B.存在實(shí)數(shù)使為等腰直角三角形的點(diǎn)僅有兩個(gè)C.存在實(shí)數(shù)使為等腰直角三角形的點(diǎn)僅有三個(gè)D.存在實(shí)數(shù)使為等腰直角三角形的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)8．函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B.C. D.9．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B.C. D.10．直線的斜率是方程的兩根，則與的位置關(guān)系是（）A.平行 B.重合C.相交但不垂直 D.垂直11．已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.12．設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的面積為（）A. B.3C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與的交點(diǎn)為，以為圓心作圓，圓上的點(diǎn)到軸的最小距離為（Ⅰ）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程14．橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.15．已知向量，，若，則______16．已知函數(shù)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則的范圍是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列中，，且（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出；（2）數(shù)列前項(xiàng)和為，求18．（12分）已知橢圓C：的上頂點(diǎn)與橢圓的左右頂點(diǎn)連線的斜率之積為-.（1）求橢圓C的離心率（2）點(diǎn)M（，）在橢圓C上，橢圓的左頂點(diǎn)為D，上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），過(guò)點(diǎn)D的直線L與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P，與直線AB交于點(diǎn)Q設(shè)L的斜率為k，若，求k的值.19．（12分）已知是拋物線的焦點(diǎn)，直線交拋物線于、兩點(diǎn).（1）若直線過(guò)點(diǎn)且，求；（2）若平分線段，求直線的方程.20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，，.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求平面與平面的距離.21．（12分）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.22．（10分）曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，C上的點(diǎn)M滿足，且直線的斜率之積等于（1）求C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若，其中，證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】化簡(jiǎn)得出或，由此可得出方程表示的曲線.【詳解】由可得或，所以，方程表示的曲線為上半拋物線（除去頂點(diǎn)）與一條直線，故選：B.2、C【解析】利用等差數(shù)列性質(zhì)可求得，由可求得結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)知：，，解得：；又，.故選：C.3、A【解析】對(duì)于①，由三角形大邊對(duì)大角的性質(zhì)分析，對(duì)于②，根據(jù)題意利用正弦定理分析，對(duì)于③，利用余弦定理分析，對(duì)于④，利用三角形的面積公式分析判斷【詳解】對(duì)于①，根據(jù)題意，圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，故，，所以這三個(gè)全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形，故①正確；對(duì)于②，由題知，在中，，，，所以，所以由正弦定理得解得，因?yàn)?，所以，故②正確；對(duì)于③，不妨設(shè)，所以在中，由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)得，所以，所以，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若是的中點(diǎn)，則，所以，故④正確.故選：A第II卷（非選擇題4、A【解析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即即，從而，則橢圓的離心率，故選A.【名師點(diǎn)睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及取值范圍問(wèn)題，其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.5、D【解析】根據(jù)特稱命題否定的方法求解，改變量詞，否定結(jié)論.【詳解】由題意可知命題“存在，使得”的否定為“對(duì)任意，”.故選：D.6、A【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的方法即可求解.【詳解】從人中抽取人，除以,商余，故抽樣的間隔為，需要隨機(jī)剔除人.故選：A.7、B【解析】求出點(diǎn)到直線的距離的取值范圍，對(duì)點(diǎn)是否為直角頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論，確定、的等量關(guān)系，綜合可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為.因?yàn)闄E圓與直線均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，①若為直角頂點(diǎn)，則.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不可能是等腰直角三角形；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，滿足是等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)有兩個(gè)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，滿足是等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)有四個(gè)；②若不是直角頂點(diǎn)，則.當(dāng)時(shí)，滿足是等腰直角三角形的非直角頂點(diǎn)不存在；當(dāng)時(shí)，滿足是等腰直角三角形的非直角頂點(diǎn)有兩個(gè)；當(dāng)時(shí)，滿足是等腰直角三角形非直角頂點(diǎn)有四個(gè).綜上所述，當(dāng)時(shí)，滿足是等腰直角三角形的點(diǎn)有八個(gè)；當(dāng)時(shí)，滿足是等腰直角三角形的點(diǎn)有六個(gè)；當(dāng)時(shí)，滿足是等腰直角三角形的點(diǎn)有四個(gè)；當(dāng)時(shí)，滿足是等腰直角三角形的點(diǎn)有兩個(gè)；當(dāng)時(shí)，滿足是等腰直角三角形的點(diǎn)不存在.故選：B.8、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)遞增，然后進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)：，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以f(x)是奇函數(shù),所以在R上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以的解集?故選：A9、D【解析】由復(fù)數(shù)除法求得后可得其共軛復(fù)數(shù)【詳解】由題意，∴故選：D10、C【解析】由韋達(dá)定理可得方程的兩根之積為，從而可知直線、的斜率之積為，進(jìn)而可判斷兩直線的位置關(guān)系【詳解】設(shè)方程的兩根為、，則直線、的斜率，故與相交但不垂直故選：C11、A【解析】先求，然后求.【詳解】，，.故選：A12、B【解析】由是以P為直角直角三角形得到，再利用雙曲線的定義得到，聯(lián)立即可得到，代入中計(jì)算即可.【詳解】由已知，不妨設(shè)，則，因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，即是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故選：B【點(diǎn)晴】本題考查雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的計(jì)算問(wèn)題，涉及到雙曲線的定義，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（Ⅰ）；（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)圓的半徑為，圓上的點(diǎn)到軸的最小距離為1求得的值，由此可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）對(duì)切線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，可得切線方程為，驗(yàn)證即可；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，可設(shè)所求切線的方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑可求得的值，綜合可得出所求切線的方程.【詳解】（Ⅰ）聯(lián)立方程組，解得，即點(diǎn)設(shè)圓的半徑為，由于圓上的點(diǎn)到軸的最小距離為，則，所以，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）若切線的斜率不存在，則所求切線的方程為，圓心到直線的距離為，不合乎題意；若切線的斜率存在，可設(shè)切線的方程為，即，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，由題意可得，整理得，解得或故所求切線方程為或【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，同時(shí)也考查了過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線方程的求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.14、【解析】根據(jù)橢圓定義求出其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，再結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)即可計(jì)算作答.【詳解】因橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于，則該橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，而半焦距，于是得短半軸長(zhǎng)b，有，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：15、【解析】根據(jù)向量平行求得，由此求得.【詳解】由于，所以.故答案為：16、【解析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，結(jié)合函數(shù)的圖象列式可求出結(jié)果.【詳解】,當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在時(shí)取得極小值為，也是最小值，因?yàn)楫?dāng)趨近于正負(fù)無(wú)窮時(shí)，都是趨近于正無(wú)窮，所以要使有兩個(gè)零點(diǎn)，只要，即就可以了.所以的范圍是故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析，（2）【解析】（1）利用等差數(shù)列的定義可證是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求.（2）利用錯(cuò)位相減法可求.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，.【小問(wèn)2詳解】，，，.18、（1）（2）1【解析】（1）根據(jù)橢圓的上頂點(diǎn)與橢圓的左右頂點(diǎn)連線的斜率之積為-，由求解；（2）根據(jù)點(diǎn)M（，）在橢圓C上，頂點(diǎn)，再由，求得橢圓方程，由，結(jié)合，得到，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由，求得Q的坐標(biāo)，代入求解.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)橢圓C：的上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)與橢圓的左右頂點(diǎn)連線的斜率之積為-,所以，即，又所以，解得；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)M（，）在橢圓C上，所以，又，解得，所以橢圓方程為，，則，因?yàn)椋?，又，所以，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，則，不合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)直線方程為，與題意方程聯(lián)立，消去y得：則，所以，則，因?yàn)?，由，得，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，因，則.19、（1）；（2）.【解析】（1）分析可知直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用拋物線的定義可求得；（2）利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)點(diǎn)、，則直線的傾斜角為，易知點(diǎn)，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由題意可知，則，，因此，.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)、，若軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，所以直線的斜率存在，因?yàn)?、在拋物線上，則，兩式相減得，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，直線的斜率為，此時(shí)，直線的方程為，即.20、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）【解析】（1）利用勾股定理證得，證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證得，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；（2）取的中點(diǎn)，連接，可得為的中點(diǎn)，證明，四邊形是平行四邊形，可得，再根據(jù)面面平行的判定定理即可得證；（3）設(shè)，由（1）（2）可得即為平面與平面的距離，求出的長(zhǎng)度，即可得解.【小問(wèn)1詳解】證明：在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，，，故，因?yàn)椋?，又平面，平面，所以，又因，，所以平面，又平面，所以，又，所以平面；【小?wèn)2詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，分別為，，的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)?，所以，又平面，平面，所以平面，又因，平面，平面，所以平面平面；【小?wèn)3詳解】設(shè)，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以平面，所以即為平面與平面的距離，因平面，所以，，所以，即平面與平面的距離為.21、(1)；（2），a的取值范圍為.【解析】（1）先連結(jié)，由為等邊三角形，得到，，；再由橢圓定義，即可求出結(jié)果；（2）先由題意得到，滿足條件的點(diǎn)存在，當(dāng)且僅當(dāng)，，，根據(jù)三個(gè)式子聯(lián)立，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）連結(jié)，由等邊三角形可知：在中，，，，于是，故橢圓C的離心率為；（2）由題意可知，滿足條件的點(diǎn)存在，當(dāng)且僅當(dāng)，，，即①②③由②③以及得，又由①知，故；由②③得，所以，從而，故；當(dāng)，時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn).故，a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查求橢圓的離心率，以及橢圓中存在定點(diǎn)滿足題中條件的問(wèn)題，熟記橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可求解，考查計(jì)算能力，屬于中檔試題.22、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）由橢圓定義可得到，再利用斜率公式及直線的斜率之積等于，列出方程，化簡(jiǎn)對(duì)比系數(shù)可得；（2）分直線l的斜率為0和不為0兩種情況討論，利用