2025屆新疆維吾爾自治區(qū)克拉瑪依市第十三中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆新疆維吾爾自治區(qū)克拉瑪依市第十三中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若定義在R上的函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.2．若雙曲線一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（0,4）關(guān)于直線x－y+1＝0的對(duì)稱點(diǎn)為（）A.(－1,2) B.(2,－1)C.(1,3) D.(3,1)4．若復(fù)數(shù)，則（）A B.C. D.5．已知，，，若，，共面，則λ等于（）A. B.3C. D.96．在某次海軍演習(xí)中，已知甲驅(qū)逐艦在航母的南偏東15°方向且與航母的距離為12海里，乙護(hù)衛(wèi)艦在甲驅(qū)逐艦的正西方向，若測(cè)得乙護(hù)衛(wèi)艦在航母的南偏西45°方向，則甲驅(qū)逐艦與乙護(hù)衛(wèi)艦的距離為（）A.海里 B.海里C.海里 D.海里7．在等差數(shù)列中，，則等于A.2 B.18C.4 D.98．若兩條平行線與之間的距離是2，則m的值為（）A.或11 B.或10C.或12 D.或119．已知，分別為雙曲線：的左，右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線的右支在第一象限交于點(diǎn)，直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)，點(diǎn)恰好為線段的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn))，則雙曲線的離心率等于（）A. B.C. D.10．設(shè)x∈R，則x<3是0<x<3的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件11．下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在上單調(diào)遞減的為（）A. B.C. D.12．由于受疫情的影響，學(xué)校停課，同學(xué)們通過(guò)三種方式在家自主學(xué)習(xí)，現(xiàn)學(xué)校想了解同學(xué)們對(duì)假期學(xué)習(xí)方式的滿意程度，收集如圖1所示的數(shù)據(jù)；教務(wù)處通過(guò)分層抽樣的方法抽取4%的同學(xué)進(jìn)行滿意度調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如圖2.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.樣本容量為240B.若，則本次自主學(xué)習(xí)學(xué)生的滿意度不低于四成C.總體中對(duì)方式二滿意學(xué)生約為300人D.樣本中對(duì)方式一滿意的學(xué)生為24人二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某人有樓房一棟，室內(nèi)面積共計(jì)，擬分割成兩類(lèi)房間作為旅游客房，大房間每間面積為，可住游客4名，每名游客每天的住宿費(fèi)100元；小房間每間面積為，可住游客2名，每名游客每天的住宿費(fèi)150元；裝修大房間每間需要3萬(wàn)元，裝修小房間每間需要2萬(wàn)元.如果他只能籌款25萬(wàn)元用于裝修，且假定游客能住滿客房，則該人一天能獲得的住宿費(fèi)的最大值為_(kāi)__________元.14．下圖是4個(gè)幾何體的展開(kāi)圖，圖①是由4個(gè)邊長(zhǎng)為3的正三角形組成；圖②是由四個(gè)邊長(zhǎng)為3的正三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形組成；圖③是由8個(gè)邊長(zhǎng)為3的正三角形組成；圖④是由6個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形組成若直徑為4的球形容器（不計(jì)容器厚度）內(nèi)有一幾何體，則該幾何體的展開(kāi)圖可以是______（填所有正確結(jié)論的番號(hào)）15．若“”是真命題，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)____________.16．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l交拋物線C于AB兩點(diǎn)，且，則p的值為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知命題：對(duì)任意實(shí)數(shù)都有恒成立；命題：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根（1）若命題為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）如果“”為真命題，且“”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍18．（12分）已知圓.（1）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；（2）若直線過(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為2，求直線的方程.19．（12分）從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲(chǔ)蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得.（1）求家庭的月儲(chǔ)蓄y對(duì)月收入x的線性回歸方程；（2）判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；（3）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄.附：線性回歸方程中，，，其中，為樣本平均值.20．（12分）已知函數(shù)（a為常數(shù)）（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21．（12分）橢圓的離心率為，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)，動(dòng)直線過(guò)線段的中點(diǎn)，且與橢圓相交于、兩點(diǎn)．已知當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在定直線，使得直線、分別與相交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)總在以線段為直徑的圓上，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由22．（10分）已知三棱柱中，面底面，，底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，、分別在棱、上，且.（1）求證：底面；（2）在棱上找一點(diǎn)，使得和面所成角的余弦值為，并說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由函數(shù)單調(diào)性得出和的解，然后分類(lèi)討論解不等式可得【詳解】由圖象可知：在為正，在為負(fù)，，可化為：或，解得或故選：A2、A【解析】根據(jù)（為弦長(zhǎng)，為圓半徑，為圓心到直線的距離），求解出的關(guān)系式，結(jié)合求解出離心率的值.【詳解】取的一條漸近線，因?yàn)椋橄议L(zhǎng)，為圓半徑，為圓心到直線的距離），其中，所以，所以，所以，所以，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是利用幾何法表示出圓的半徑、圓心到直線的距離、半弦長(zhǎng)之間的關(guān)系.3、D【解析】設(shè)出點(diǎn)(0,4)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可【詳解】解：設(shè)點(diǎn)(0,4)關(guān)于直線x－y+1＝0的對(duì)稱點(diǎn)是(a,b),則，解得：，故選：D4、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求解.【詳解】由，故選：A5、C【解析】由，，共面，設(shè)，列方程組能求出λ的值【詳解】∵，，共面，∴設(shè)(實(shí)數(shù)m、n)，即，∴，解得故選：C6、A【解析】利用正弦定理可求解.【詳解】設(shè)甲驅(qū)逐艦、乙護(hù)衛(wèi)艦、航母所在位置分別為A，B，C，則，，.在△ABC中，由正弦定理得，即，解得，即甲驅(qū)逐艦與乙護(hù)衛(wèi)艦的距離為海里故選：A7、D【解析】利用等差數(shù)列性質(zhì)得到，，計(jì)算得到答案.詳解】等差數(shù)列中，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的計(jì)算，利用性質(zhì)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.8、A【解析】利用平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閮蓷l平行線與之間的距離是2，所以，或，故選：A9、C【解析】設(shè)，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，在中由勾股定理列方程可得，在中由勾股定理可得關(guān)于，的方程，再由離心率公式即可求解.【詳解】設(shè)，則，由雙曲線的定義可得：，，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，所以，即，解得：，在中，，，，由可得，即，所以雙曲線離心率為，故選：C.第II卷（非選擇題10、B【解析】利用充分條件、必要條件的定義可得出結(jié)論.【詳解】，因此，“”是“”必要不充分條件.故選：B.11、B【解析】A.利用正切函數(shù)的性質(zhì)判斷；B.作出的圖象判斷；C.作出的圖象判斷；D.作出的圖象判斷.【詳解】A.是以為最小正周期，在上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；B.如圖所示：，由圖象知：函數(shù)是以為最小正周期，在上單調(diào)遞減，故正確；C.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；D.如圖所示：，由圖象知：是以為最小正周期，在上單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；故選：B12、B【解析】利用扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖可求出結(jié)果【詳解】選項(xiàng)A，樣本容量為，該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，根據(jù)題意得自主學(xué)習(xí)的滿意率，錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，樣本可以估計(jì)總體，但會(huì)有一定的誤差，總體中對(duì)方式二滿意人數(shù)約為，該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，樣本中對(duì)方式一滿意人數(shù)為，該選項(xiàng)正確.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題真假的判斷，考查扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3600【解析】先設(shè)分割大房間為間，小房間為間，收益為元，列出約束條件，再根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，設(shè)，再利用的幾何意義求最值，只需求出直線過(guò)可行域內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)時(shí)，從而得到值即可【詳解】解：設(shè)裝修大房間間，小房間間，收益為萬(wàn)元，則，目標(biāo)函數(shù)，由，解得畫(huà)出可行域，得到目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)時(shí)，有最大值，故應(yīng)隔出大房間3間和小房間8間，每天能獲得最大的房租收益最大，且為3600元故答案為：360014、①【解析】根據(jù)幾何體展開(kāi)圖可知①正四面體、②正四棱錐、③正八面體、④正方體，進(jìn)而求其外接球半徑，并與4比較大小，即可確定答案.【詳解】若幾何體外接球球心為，半徑為，①由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為3的正四面體，為底面中心，則，，所以，可得，即，滿足要求；②由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為3的正四棱錐，為底面中心，則，所以，可得，即，不滿足要求；③由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為3的正八面體，其外接球直徑同棱長(zhǎng)為3的正四棱錐，故不滿足要求；④由題設(shè)，幾何體為棱長(zhǎng)為3的正方體，體對(duì)角線的長(zhǎng)度即為外接球直徑，所以，不滿足要求；故答案為：①15、1【解析】若“”是真命題，則大于或等于函數(shù)在的最大值因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上的最大值為1，所以，，即實(shí)數(shù)的最小值為1.所以答案應(yīng)填:1.考點(diǎn)：1、命題；2、正切函數(shù)的性質(zhì).16、3【解析】根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)求解，或聯(lián)立l與拋物線方程，表示出，求其最值即可.【詳解】已知，設(shè)，，，則，∵，所以，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)，取..故答案為：3.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）先分別求出命題為真命題和命題為真命題時(shí)參數(shù)的范圍，則可得當(dāng)命題為假命題，實(shí)數(shù)的取值范圍（2）由“”為真命題，且“”為假命題，則命題，一真一假，再分真，且假，和真，且假兩種情況分別求出參數(shù)的范圍，再綜合得到答案.【詳解】命題為真命題：對(duì)任意實(shí)數(shù)都有恒成立或；命題為真命題：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根；（1）命題為假命題，則實(shí)數(shù)取值范圍（2）由“”為真命題，且“”為假命題，則命題，一真一假.如果真，且假，有，且，則如果真，且假，有或，且，則綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為18、（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)直線與圓相切，求得切線的斜率，利用點(diǎn)斜式即可寫(xiě)出切線方程；（2）利用弦長(zhǎng)公式，結(jié)合已知條件求得直線的斜率，即可求得直線方程.【小問(wèn)1詳解】圓，圓心，半徑，又點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓方程，故可得點(diǎn)在圓上，則切線斜率滿足，又，故滿足題意的切線斜率，則過(guò)點(diǎn)的切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】直線過(guò)點(diǎn)，若斜率不存在，此時(shí)直線的方程為，將其代入可得或，故直線截圓所得弦長(zhǎng)為滿足題意；若斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，則圓心到直線的距離，由弦長(zhǎng)公式可得：，解得，也即，解得，則此時(shí)直線的方程為：.綜上所述，直線的方程為或.19、（1）＝0.3x－0.4；（2）正相關(guān)；（3）1.7(千元).【解析】（1）由題意得到n＝10，求得，進(jìn)而求得，寫(xiě)出回歸方程；.（2）由判斷；（3）將x＝7代入回歸方程求解.【詳解】（1）由題意知n＝10，，則，所以所求回歸方程為＝0.3x－0.4.（2）因?yàn)?，所以變量y的值隨x的值增加而增加，故x與y之間是正相關(guān).（3）將x＝7代入回歸方程可以預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄為＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).20、（1）當(dāng)時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）.【解析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即得解；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，，，令，求出的最大值，從而求出的范圍即得解【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，，，在定義域上單調(diào)遞增②當(dāng)時(shí)，若，則，在上單調(diào)遞增；若，則，在上單調(diào)遞減綜上所述，當(dāng)時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）當(dāng)時(shí)，，不等式在，上恒成立，，，，令，，，，在，上單調(diào)遞增，（1），，的范圍為，21、（1）（2）存在，且直線的方程為或【解析】（1）分析可知，，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式可求得的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出點(diǎn)、，由已知得出，求出的值，即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)椋瑒t，，所以，橢圓的方程為，即，易知點(diǎn)，則點(diǎn)，當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，，解得，則，，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】解：易知點(diǎn)，若直線與軸重合，則、為橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，直線的斜率為，直線的方程為，故點(diǎn)，同理可得點(diǎn)，，，由題意可得，解得或.因此，存在滿足題設(shè)條件的直線，且直線的方程為或，點(diǎn)總在以線段為直徑的圓上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22、（1）證明見(jiàn)解析；（2）為的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析.【解析