2025屆甘肅省天水市甘谷縣第一中學高二上數學期末達標檢測試題含解析

2025屆甘肅省天水市甘谷縣第一中學高二上數學期末達標檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列結論正確的是（）A.若，則 B.若，則C若，則 D.若，則2．為比較甲、乙兩地某月時的氣溫狀況，隨機選取該月中的天，將這天中時的氣溫數據（單位：℃）制成如圖所示的莖葉圖（十位數字為莖，個位數字為葉）.考慮以下結論：①甲地該月時的平均氣溫低于乙地該月時的平均氣溫；②甲地該月時的平均氣溫高于乙地該月時的平均氣溫；③甲地該月時的氣溫的標準差小于乙地該月時的氣溫的標準差；④甲地該月時的氣溫的標準差大于乙地該月時的氣溫的標準差.其中根據莖葉圖能得到的統(tǒng)計結論的編號為（）A.①③ B.①④C.②③ D.②④3．函數的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.64．已知，是雙曲線的左右焦點，過的直線與曲線的右支交于兩點，則的周長的最小值為（）A. B.C. D.5．在正項等比數列中，，，則（）A27 B.64C.81 D.2566．已知半徑為2的圓經過點（5，12），則其圓心到原點的距離的最小值為（）A.10 B.11C.12 D.137．已知拋物線的焦點為，在拋物線上有一點，滿足，則的中點到軸的距離為（）A. B.C. D.8．已知直線經過拋物線的焦點，且與該拋物線交于，兩點，若滿足，則直線的方程為（）A. B.C. D.9．如圖，在長方體中，是線段上一點，且，若，則（）A. B.C. D.10．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作圓的切線分別交雙曲線的左、右兩支于，，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.11．若拋物線上一點到焦點的距離為5，則點的坐標為（）A. B.C. D.12．已知，，直線：，：，且，則的最小值為（）A.2 B.4C.8 D.9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓心為直線與直線的交點，且過原點的圓的標準方程是________14．某教師組織本班學生開展課外實地測量活動，如圖是要測山高.現選擇點A和另一座山頂點C作為測量觀測點，從A測得點M的仰角，點C的仰角，測得，，已知另一座山高米，則山高_______米.15．橢圓與雙曲線有公共焦點，設橢圓與雙曲線在第一象限內交于點，橢圓與雙曲線的離心率分別為為坐標原點，，則的取值范圍是___________.16．若恒成立，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知中，內角的對邊分別為，且滿足.（1）求的值；（2）若，求面積的最大值.18．（12分）已知函數，求（1）（2）（3）曲線在處的切線方程19．（12分）已知函數，在處有極值.（1）求、的值；（2）若，有個不同實根，求的范圍.20．（12分）已知橢圓的離心率是，且過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線與橢圓交于A、B兩點，線段的中點為，為坐標原點，且，求面積的最大值.21．（12分）已知橢圓的左、右兩個焦點，，離心率，短軸長為21求橢圓的方程；2如圖，點A為橢圓上一動點非長軸端點，的延長線與橢圓交于B點，AO的延長線與橢圓交于C點，求面積的最大值22．（10分）已知函數.（1）設函數，討論在區(qū)間上的單調性；（2）若存在兩個極值點，（）（極值點是指函數取極值時對應的自變量的值），且，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，逐一核對四個選項得答案【詳解】解：對于A：若，則或，故A錯誤；對于B：若，則或與相交，故B錯誤；對于C：若，根據面面垂直的判定定理可得，故C正確；對于D：若則與平行、相交、或異面，故D錯誤；故選：C2、B【解析】根據莖葉圖數據求出平均數及標準差即可【詳解】由莖葉圖知甲地該月時的平均氣溫為，標準差為由莖葉圖知乙地該月時的平均氣溫為，標準差為則甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫，故①正確，乙平均氣溫的標準差小于甲的標準差，故④正確，故正確的是①④，故選：B3、D【解析】先判斷函數的單調性，再利用其單調性求最小值【詳解】由，得，因為，所以，所以在上單調遞增，所以，故選：D4、C【解析】根據雙曲線的定義和性質，當弦垂直于軸時，即可求出三角形的周長的最小值.【詳解】由雙曲線可知：的周長為.當軸時,周長最小值為故選：C5、C【解析】根據等比數列的通項公式求出公比，進而求得答案.【詳解】設的公比為，則（負值舍去），所以.故選：C.6、B【解析】由條件可得圓心的軌跡是以點為圓心，半徑為2的圓，然后可得答案.【詳解】因為半徑為2的圓經過點（5，12），所以圓心的軌跡是以點為圓心，半徑為2的圓，所以圓心到原點的距離的最小值為，故選：B7、A【解析】設點，利用拋物線的定義求出的值，可求得點的橫坐標，即可得解.【詳解】設點，易知拋物線的焦點為，由拋物線的定義可得，得，所以，點的橫坐標為，故點到軸的距離為.故選：A.8、C【解析】求出拋物線的焦點，設出直線方程，代入拋物線方程，運用韋達定理和向量坐標表示，解得，即可得出直線的方程.【詳解】解：拋物線的焦點，設直線為，則，整理得，則，.由可得，代入上式即可得，所以，整理得：.故選：C.【點睛】本題考查直線和拋物線的位置關系，主要考查韋達定理和向量共線的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題.9、A【解析】將利用、、表示，再利用空間向量的加法可得出關于、、的表達式，進而可求得的值.【詳解】連接、，因，因為是線段上一點，且，則，因此，因此，.故選：A.10、D【解析】直線的斜率為，計算，，利用余弦定理得到，化簡知，得到答案【詳解】由題意知直線的斜率為，，又，由雙曲線定義知，，.由余弦定理：，，即，即，解得.故雙曲線漸近線的方程為.故答案選D【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線，與圓的關系，意在考查學生的綜合應用能力和計算能力.11、C【解析】設，由拋物線的方程可得準線方程為，由拋物線的性質到焦點的距離等于到準線的距離，求出，解出縱坐標，進而求出【詳解】由題意可得，解得，代入拋物線的方程，解得，所以的坐標，故選：C.12、C【解析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】因為，所以，即，因為，，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為8.故選：C.【點睛】本題考查垂直直線的性質，考查利用基本不等式求最值，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由，求得圓心，再根據圓過原點，求得半徑即可.【詳解】由，可得，即圓心為，又圓過原點，所以圓的半徑，故圓的標準方程為故答案為：【點睛】本題主要考查圓的方程的求法，屬于基礎題.14、【解析】利用正弦定理可求出各個三角形的邊長，進而求出山高.【詳解】解：在中，，，，可得在中，，所以由正弦定理可得：即，得在直角中，所以故答案為：.15、【解析】根據橢圓和雙曲線得定義求得，再根據，可得，從而有，求出的范圍，根據，結合基本不等式即可得出答案.【詳解】解：設，則有，所以，即，又因為，所以，所以，即，則，由，得，所以，所以，則，由，得，因為，當且僅當，即時，取等號，因為，所以，所以，即，所以的取值范圍是.故答案為：.16、1【解析】利用導數研究的最小值為，再構造研究其最值，即可確定參數a的值.【詳解】令，則且，當時，遞減；當時，遞增；所以，即在上恒成立，令，則，當時，遞增；當時，遞減；所以，綜上，.故答案為：1三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2；（2）.【解析】（1）利用正弦定理以及逆用兩角和的正弦公式得出，而，即可求出的值；（2）根據題意，由余弦定理得，再根據基本不等式求得，當且僅當時取得等號，即可求出面積的最大值.【小問1詳解】解：由題意得，由正弦定理得：，即，即，因為，所以【小問2詳解】解：由余弦定理，即，由基本不等式得：，即，當且僅當時取得等號，，所以面積的最大值為18、（1）（2）（3）y=【解析】（1）由導數的運算法則求解即可；（2）利用導函數計算即可；（3）由導數的幾何意義得出切線方程.【小問1詳解】【小問2詳解】【小問3詳解】當時，f(x)=0，則切點為所以切線方程是，即y=19、（1），（2）【解析】（1）根據題設條件可得，由此可解得與的值（2）依題意可知直線與函數的圖象有三個不同的交點，則的取值范圍介于極小值與極大值之間.【小問1詳解】因為函數，在處有極值，所以，即，解得，.【小問2詳解】由（1）知，，所以在上，，單調遞增，在上，，單調遞減，在上，，單調遞增，所以，，若有3個不同實根，則，所以的取值范圍為.20、（1）；（2）2.【解析】(1)根據已知條件列出關于a、b、c的方程組即可求得橢圓標準方程；(2)直線l和x軸垂直時，根據已知條件求出此時△AOB面積；直線l和x軸不垂直時，設直線方程為點斜式y(tǒng)＝kx＋t，代入橢圓方程得二次方程，結合韋達定理和弦長得k和t關系，表示出△AOB的面積，結合基本不等式即可求解三角形面積最值.【小問1詳解】由題知，解得，∴橢圓的標準方程為.【小問2詳解】當軸時，位于軸上，且，由可得，此時；當不垂直軸時，設直線的方程為，與橢圓交于，，由，得.得，，從而已知，可得.∵.設到直線的距離為，則，結合化簡得此時的面積最大，最大值為2.當且僅當即時取等號，綜上，的面積的最大值為2.21、（1）橢圓的標準方程為（2）面積的最大值為【解析】（1）由題意得，再由，標準方程為；（2）①當的斜率不存在時，不妨?。虎诋數男甭蚀嬖跁r，設的方程為，聯(lián)立方程組，又直線的距離點到直線的距離為面積的最大值為.試題解析：（1）由題意得，解得，∵，∴，，故橢圓的標準方程為（2）①當直線的斜率不存在時，不妨取，故；②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯(lián)立方程組，化簡得，設點到直線的距離因為是線段的中點，所以點到直線的距離為，∴綜上，面積的最大值為.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程及其性質、點到直線的距離、弦長公式和三角形面積公式等知識，涉及函數與方程思想、數形結合思想分類與整合、轉化與化歸等思想，并考查運算求解能力和邏輯推理能力，屬于較難題型.第一小題由題意由方程思想建立方程組求得標準方程為；（2）利用分類與整合思想分當的斜率不存在與存在兩種情況求解，在斜率存在時，由舍而不求法求得，再求得點到直線的距離為面積的最大值為.22、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）由題意得，然后對其求導，再分，兩種情況討論導數的正負，從而可求出函數的單調區(qū)間，（2）由（1）結合零點存在性定理可得在和上各有一個零點，且是的兩個極值點，再將極值點代入導函數中化簡結合已知可得，，從而將要證的結論轉化為證，令，再次轉化為利用導數求的最小值大于零即可【小問1詳解】由，得，則，當時，在上單調遞增；當時，令.當時，單調遞增；當時，單調遞減.綜上，當時，的增區(qū)間為，無減區(qū)間當時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為小問2詳解】由（1）知若存在兩個極值點，則，