2024屆西南大學(xué)附屬中學(xué)高三第二次階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題_第1頁(yè)
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2024屆西南大學(xué)附屬中學(xué)高三第二次階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-12,則實(shí)數(shù)的值為()A.-2 B.-3 C.2 D.32.已知為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則A. B.C. D.3.定義在上的奇函數(shù)滿足,若,,則()A. B.0 C.1 D.24.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則下列結(jié)論正確的是()A. B.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是C. D.5.當(dāng)輸入的實(shí)數(shù)時(shí),執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的不小于103的概率是()A. B. C. D.6.已知滿足,,,則在上的投影為()A. B. C. D.27.在條件下,目標(biāo)函數(shù)的最大值為40,則的最小值是()A. B. C. D.28.已知函數(shù),以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()①當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為;②當(dāng)時(shí),函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù);③若函數(shù)在上不單調(diào),則;④當(dāng)時(shí),在上的最大值為1.A.1 B.2 C.3 D.49.復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.函數(shù)(或)的圖象大致是()A. B. C. D.11.已知集合,集合,那么等于()A. B. C. D.12.已知向量,滿足||=1,||=2,且與的夾角為120°,則=()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,則________,________.14.已知關(guān)于的不等式對(duì)于任意恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________.15.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對(duì)立體幾何有深入的研究,從其中一些數(shù)學(xué)用語(yǔ)可見(jiàn),譬如“憋臑”意指四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐.某“憋臑”的三視圖(圖中網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)如圖所示,已知幾何體高為,則該幾何體外接球的表面積為_(kāi)_________.16.《九章算術(shù)》中,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑,如圖,在鱉臑中,平面,,且,過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn),于點(diǎn),連接,則三棱錐的體積的最大值為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),其中,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;(2)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,求證:函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).18.(12分)在中,,.已知分別是的中點(diǎn).將沿折起,使到的位置且二面角的大小是60°,連接,如圖:(1)證明:平面平面(2)求平面與平面所成二面角的大小.19.(12分)已知橢圓:的離心率為,直線:與以原點(diǎn)為圓心,以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.為左頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),直線,分別交直線于,兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)以線段為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)?若是,寫出所有定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.20.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)f(x)=log2(|x+1|+|x﹣2|﹣m).(1)當(dāng)m=7時(shí),求函數(shù)f(x)的定義域;(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥2的解集是R,求m的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)已知是的一個(gè)極值點(diǎn),求曲線在處的切線方程(Ⅱ)討論關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù).22.(10分)已知函數(shù),其中為實(shí)常數(shù).(1)若存在,使得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,求的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí),設(shè)直線與函數(shù)的圖象相交于不同的兩點(diǎn),,證明:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

先研究的展開(kāi)式的通項(xiàng),再分中,取和兩種情況求解.【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)為,所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為:,解得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

因?yàn)?,所以,故選B.3、C【解析】

首先判斷出是周期為的周期函數(shù),由此求得所求表達(dá)式的值.【詳解】由已知為奇函數(shù),得,而,所以,所以,即的周期為.由于,,,所以,,,.所以,又,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

首先求得,然后根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)除法運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由題意知復(fù)數(shù),則,所以A選項(xiàng)不正確;復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是,所以B選項(xiàng)不正確;,所以C選項(xiàng)不正確;,所以D選項(xiàng)正確.故選:D【點(diǎn)睛】本小題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的模,復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,數(shù)形結(jié)合思想.5、A【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)行,直至不滿足條件退出循環(huán)體,求出的范圍,利用幾何概型概率公式,即可求出結(jié)論.【詳解】程序框圖共運(yùn)行3次,輸出的的范圍是,所以輸出的不小于103的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果、幾何概型的概率,模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)向量投影的定義,即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查向量的投影,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移得到最值點(diǎn),再利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示,畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)圖像知:當(dāng)時(shí),有最大值為,即,故..當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃中根據(jù)最值求參數(shù),均值不等式,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.8、C【解析】

逐一分析選項(xiàng),①根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱中心判斷;②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性;③先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若滿足條件,則極值點(diǎn)必在區(qū)間;④利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.【詳解】①為奇函數(shù),其圖象的對(duì)稱中心為原點(diǎn),根據(jù)平移知識(shí),函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為,正確.②由題意知.因?yàn)楫?dāng)時(shí),,又,所以在上恒成立,所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù),正確.③由題意知,當(dāng)時(shí),,此時(shí)在上為增函數(shù),不合題意,故.令,解得.因?yàn)樵谏喜粏握{(diào),所以在上有解,需,解得,正確.④令,得.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,在上的最大值只可能為或.因?yàn)?,,所以最大值?4,結(jié)論錯(cuò)誤.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值,最值,意在考查基本的判斷方法,屬于基礎(chǔ)題型.9、B【解析】

設(shè),則,可得,即可得到,進(jìn)而找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限.【詳解】設(shè),則,,,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第二象限.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限,考查復(fù)數(shù)的模,考查運(yùn)算能力.10、A【解析】

確定函數(shù)的奇偶性,排除兩個(gè)選項(xiàng),再求時(shí)的函數(shù)值,再排除一個(gè),得正確選項(xiàng).【詳解】分析知,函數(shù)(或)為偶函數(shù),所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱,排除B,C,當(dāng)時(shí),,排除D,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,解題時(shí)可通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等,研究特殊的函數(shù)的值、函數(shù)值的正負(fù),以及函數(shù)值的變化趨勢(shì),排除錯(cuò)誤選項(xiàng),得正確結(jié)論.11、A【解析】

求出集合,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.【詳解】∵,,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查集合并集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

先計(jì)算,然后將進(jìn)行平方,,可得結(jié)果.【詳解】由題意可得:∴∴則.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查的是向量的數(shù)量積的運(yùn)算和模的計(jì)算,屬基礎(chǔ)題。二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式計(jì)算得到答案.【詳解】,故.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式和二倍角公式,屬于簡(jiǎn)單題.14、【解析】

先將不等式對(duì)于任意恒成立,轉(zhuǎn)化為任意恒成立,設(shè),求出在內(nèi)的最小值,即可求出的取值范圍.【詳解】解:由題可知,不等式對(duì)于任意恒成立,即,又因?yàn)?,,?duì)任意恒成立,設(shè),其中,由不等式,可得:,則,當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,又因?yàn)樵趦?nèi)有解,,則,即:,所以實(shí)數(shù)的取值范圍:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問(wèn)題,利用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù),通過(guò)求新函數(shù)的最值求出參數(shù)范圍,考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.15、【解析】三視圖還原如下圖:,由于每個(gè)面是直角,顯然外接球球心O在AC的中點(diǎn).所以,,填。【點(diǎn)睛】三視圖還原,當(dāng)出現(xiàn)三個(gè)尖點(diǎn)在一個(gè)位置時(shí),我們常用“揪尖法”。外接球球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,而直角三角形斜邊上的中點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離相等,所以本題的球心為AC中點(diǎn)。16、【解析】

由已知可得△AEF、△PEF均為直角三角形,且AF=2,由基本不等式可得當(dāng)AE=EF=2時(shí),△AEF的面積最大,然后由棱錐體積公式可求得體積最大值.【詳解】由PA⊥平面ABC,得PA⊥BC,又AB⊥BC,且PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,則BC⊥AE,又PB⊥AE,則AE⊥平面PBC,于是AE⊥EF,且AE⊥PC,結(jié)合條件AF⊥PC,得PC⊥平面AEF,∴△AEF、△PEF均為直角三角形,由已知得AF=2,而S△AEF=(AE2+EF2)=AF2=2,當(dāng)且僅當(dāng)AE=EF=2時(shí),取“=”,此時(shí)△AEF的面積最大,三棱錐P﹣AEF的體積的最大值為:VP﹣AEF===.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面垂直的判定,基本不等式的應(yīng)用,同時(shí)考查了空間想象能力、計(jì)算能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、見(jiàn)解析【解析】

(1)當(dāng)時(shí),函數(shù),其定義域?yàn)?,則,設(shè),,易知函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,所以當(dāng)時(shí),,即;當(dāng)時(shí),,即,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在處取得極小值,為,無(wú)極大值.(2)由題可得函數(shù)的定義域?yàn)?,,設(shè),,顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,,所以函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,,所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,,因?yàn)椋?,,又,所以函?shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上,函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).18、(1)證明見(jiàn)解析(2)45°【解析】

(1)設(shè)的中點(diǎn)為,連接,設(shè)的中點(diǎn)為,連接,,從而即為二面角的平面角,,推導(dǎo)出,從而平面,則,即,進(jìn)而平面,推導(dǎo)四邊形為平行四邊形,從而,平面,由此即可得證.(2)以B為原點(diǎn),在平面中過(guò)B作BE的垂線為x軸,BE為y軸,BA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求出平面與平面所成二面角的大小.【詳解】(1)∵是的中點(diǎn),∴.設(shè)的中點(diǎn)為,連接.設(shè)的中點(diǎn)為,連接,.易證:,,∴即為二面角的平面角.∴,而為的中點(diǎn).易知,∴為等邊三角形,∴.①∵,,,∴平面.而,∴平面,∴,即.②由①②,,∴平面.∵分別為的中點(diǎn).∴四邊形為平行四邊形.∴,平面,又平面.∴平面平面.(2)如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè).則,,,,顯然平面的法向量,設(shè)平面的法向量為,,,∴,∴.,由圖形觀察可知,平面與平面所成的二面角的平面角為銳角.∴平面與平面所成的二面角大小為45°.【點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中面面垂直的證明以及求解二面角大小,難度一般,通??刹捎脦缀畏椒ê拖蛄糠椒▋煞N進(jìn)行求解.19、(1);(2)是,定點(diǎn)坐標(biāo)為或【解析】

(1)根據(jù)相切得到,根據(jù)離心率得到,得到橢圓方程.(2)設(shè)直線的方程為,點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為,,聯(lián)立方程得到,,計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,圓的方程可化為,得到答案.【詳解】(1)根據(jù)題意:,因?yàn)?,所以,所以橢圓的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為,,把直線的方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)得到,所以,,所以,,因?yàn)橹本€的斜率,所以直線的方程,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,同理,點(diǎn)的坐標(biāo)為,故以為直徑的圓的方程為,又因?yàn)?,,所以圓的方程可化為,令,則有,所以定點(diǎn)坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程,圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.20、(1),(2)【解析】試題分析:用零點(diǎn)分區(qū)間討論法解含絕對(duì)值的不等式,根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得出,不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R,只需m+4≤3,得出的范圍.試題解析:(1)由題設(shè)知:|x+1|+|x﹣2|>7,不等式的解集是以下不等式組解集的并集:,或,或,解得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋ī仭?,?)∪(4,+∞).(2)不等式f(x)≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4,∵x∈R時(shí),恒有|x+1|+|x﹣2|≥|(x+1)﹣(x﹣2)|=3,不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R,∴m+4≤3,m的取值范圍是(﹣∞,﹣1].21、(Ⅰ);(Ⅱ)見(jiàn)解析【解析】

(Ⅰ)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用x=2是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),得f'(2)=0建立方程求出a的值,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可;(Ⅱ)利用參數(shù)法分離法得到,構(gòu)造函數(shù)求出

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