2024-2025學年黑龍江省哈爾濱市哈工大附中高三（上）月考數學試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年黑龍江省哈工大附中高三（上）月考數學試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知數集A、B滿足：A∩B={2,3}，A∪B={1,2,3,4}，若1?A，則一定有(

)A.1∈B B.1?B C.4∈B D.4?A2.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a2+aA.60 B.72 C.120 D.1443.下列說法正確的是(

)A.“a<b”是“1a>1b”的必要不充分條件

B.“x>0”是“x>2”的充分不必要條件

C.若不等式ax2+bx+c>0的解集為(x1,x2)4.已知函數f(x)=(2x+a?2?x)cosxA.?1 B.1 C.?2 D.25.已知向量a=cosθ,sinθ，b=2,?1，若A.13 B.35 C.456.連云港海濱浴場是我省最優(yōu)質的天然海濱浴場，浪緩灘平，水清沙細.當陽光射入海水后，海水中的光照強度隨著深度增加而減弱，可用ID=I0e?KD表示其總衰減規(guī)律，其中K是平均消光系數，D(單位：米)是海水深度，ID(單位：坎德拉)和I0(單位：坎德拉)分別表示在深度D處和海面的光強.已知某海區(qū)5米深處的光強是海面光強的40%，則該海區(qū)消光系數KA.0.2 B.0.18 C.0.16 D.0.147.如圖，某港口某天從6?到18?的水深y(單位：m)與時間x(單位：?)之間的關系可用函數f(x)=Acos(ωx+φ)+5(A>0,ω>0,|φ|<π2)近似刻畫，據此可估計當天12?的水深為(

)A.72m B.C.(5?328.設a=ln1.02，b=sin0.02，c=151，則a，b，c大小關系為(

)A.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D.a<c<b二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知向量a=(x,1),b=(4,2)，則A.若a/?/b，則x=2

B.若a⊥b，則x=12

C.若x=3，則向量a與向量b的夾角的余弦值為7210

10.已知復數z滿足zi=3i?1，則下列說法正確的是A.z的虛部為i

B.z?2i=z

C.若復數z1，z2滿足z1=z2=2，且z111.已知函數f(x)=2sinxcosx?23sin2A.函數f(x)的最小正周期為π

B.直線x=π6是函數f(x)的圖象的一條對稱軸

C.若x∈[0,π2]時，m<f(x)恒成立，則實數m的取值范圍為(?∞,?3)

D.將函數f(x)的圖象上的所有點的橫坐標縮小為原來的12，再將所得的圖象向右平移π6個單位，得到函數g(x)的圖象，若三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知|a|=2，|b|=1，|a13.化簡：(3cos10°?14.某公司購置了一臺價值220萬元的設備，隨著設備在使用過程中老化，其價值會逐年減少.經驗表明，每經過一年其價值就會減少d(d>0)萬元.已知這臺設備的使用年限為10年，超過10年，它的價值將低于購進價值的5%，設備將報廢，但若每年花費1萬元進行設備維護，則可使設備的使用年限提升至20年，每經過一年其價值就會減少d1(d1>0)萬元，超過20年，它的價值將低于所有花費的5%四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，若3a=2bsinA．

(1)求角B的大??；

(2)若△ABC不是鈍角三角形，且b=3，a+c=3，a>c，求a16.(本小題15分)

已知函數f(x)=sin(x+π6)?cos(x+π3)+sin(π2+x)．

(Ⅰ)求函數f(x)的單調遞減區(qū)間；

(Ⅱ)將函數f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的17.(本小題15分)

某休閑農莊有一塊長方形魚塘ABCD，AB=50米，BC=253米，為了便于游客休閑散步，該農莊決定在魚塘內建三條如圖所示的觀光走廊OE、EF和OF，考慮到整體規(guī)劃，要求O是AB的中點，點E在邊BC上，點F在邊AD上，且∠EOF=90°．

(1)設∠BOE=α，試將△OEF的周長l表示成α的函數關系式，并求出此函數的定義域；

(2)經核算，三條走廊每米建設費用均為400018.(本小題17分)

設等差數列{an}的公差為d，且d>1.令bn=n2+nan，記Sn，Tn分別為數列{an}，{bn}的前n項和．

(1)若3a2=3a1+a3，S3+T319.(本小題17分)

設?′(x)為?(x)的導函數，若?′(x)在區(qū)間D上單調遞減，則稱?(x)為D上的“凸函數”.已知函數f(x)=?sinx+ax2+ax．

(1)若f(x)為[0,π2]上的“凸函數”，求a的取值范圍；

(2)證明：當參考答案1.A

2.B

3.C

4.A

5.B

6.B

7.A

8.B

9.AC

10.BD

11.ACD

12.713.?414.(20815.解：(1)在△ABC中，3a=2bsinA，

由正弦定理3sinA=2sinBsinA，

在△ABC中，∵sinA≠0，∴sinB=32，

∵B為三角形內角，

∴B=π3或2π3；

(2)因為△ABC不是鈍角三角形，b=3，a+c=3，

由(1)可得B=π3，

由余弦定理得：b2=a2+c2?2accosB=16.解：f(x)=sin(x+π6)?cos(x+π3)+sin(π2+x)

=32sinx+12cosx?12cosx+32sinx+cosx

=3sinx+cosx

=2sin(x+π6)，

(Ⅰ)令π2+2kπ≤x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，

則π3+2kπ≤x≤4π3+2kπ，k∈Z，17.解：(1)∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，

∴OE=25cosα

在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，

∴OF=25sinα．

又∠EOF=90°，

∴EF=OE2+OF2=25cosαsinα，

∴l(xiāng)=OE+OF+EF=25(sinα+cosα+1)cosαsinα．

當點F在點D時，這時角α最小，此時α=π6；

當點E在C點時，這時角α最大，求得此時α=π3．

故此函數的定義域為[π6,π3]；

(2)由題意知，要求鋪路總費用最低，只要求△OEF的周長l的最小值即可．

由(1)得，l=25(sinα+cosα+1)cosαsinα，α∈[π6,π3]，

設18.解：(1)(ⅰ)根據題意，等差數列{an}中，若3a2=3a1+a3，變形可得3d=a1+2d，解得a1=d，

則S3=3a2=3(a1+d)=6d，又T3=b1+b2+b3=2d+62d+123d=9d，

有S3+T3=6d+9d=21，即2d2?7d+3=0，解得d=3或d=12(舍去)，

所以an=a1+(n?1)?d=3n．

(ⅱ)an=3n，則bn=n2+nan=n2+n3n=n+13，

19.解：(1)由f(x)=?sinx+ax2+ax，則f′(x)=?cosx+2ax+a．

由題意可知，f(x)為x∈[0,π2]上的“凸函數”，

則f′(x)在區(qū)間x∈[0,π2]上單調遞減，設φ(x)=f′(x)，

則φ′(x)=sinx+2a，所以sinx+2a≤0在x∈[0,π2]恒成立，

則2a≤?sinx在x∈[0,π2]恒成立，

又當x=π2時，函數y=?sinx取最小值，且最小值為?1，

所以有2a≤?1，解得a≤?12，

即a的取值范圍為(?∞,?12]．

(2)證明：當a=?1時，由f(x+1)=?sin(x+1)?(x+1)2?(x+1)得

g(x)=?sin(x+1)?(x2+2x+1)?(x+1)+x2+3x+ln(x+2)+2=?sin(x+1)+ln(x+2)．

令H(x)=g(x?1)=?sinx+ln(x+1)，x>?1，其中H(0)=0，

則H′(x)=?cosx+1x+1，其中H′(0)=0．

①當x≥2時，H(x)=?sinx+ln(x+1)≥?1+ln3>0，

故H(x)在[2,+∞)無零點；

②當π2≤x<2時，由?cosx≥0,1x+1>0，則H′(x)>0，

故故H(x)在[π2,2)單調遞增，

H(π2)=?sinπ2+ln(π2+1)<0，且H(2)=?sin2+ln3>?1+1=0，

故由零點存在性定理可知H(x)在(π