從圓錐曲面到圓錐曲線的幾何直觀講義 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

從圓錐到圓、橢圓、拋物線、雙曲線——圓錐曲線的幾何直觀平面和圓錐曲面相交，有兩種情形需要考慮，一種是這個截平面過圓錐曲面的頂點A，另一種是不過頂點A。2.1截平面過圓錐曲面頂點首先來看過頂點A的情形：我們可以用這個紅色的線條M來代表和二維紙面垂直的一個平面，這個平面和圓錐曲面的軸線夾角為β，如下圖：假如這個平面一直在水平面和圓錐曲面的母線之間來回擺動，我們不考慮角度的象限問題，只關(guān)注角度的大小的話，可以認為θ<β≤π2，此時，這個平面和圓錐曲面的截面只是一個點這是第一個結(jié)論：一個點。假如平面M轉(zhuǎn)到了和圓錐曲面相切的位置，β角正好和θ相等，那么截面就是一條直線，也就是一條母線。這是第二個結(jié)論：一條直線。如果平面M繼續(xù)轉(zhuǎn)動，位置跑到了母線和軸線之間，這時平面就會和A點兩側(cè)相互對稱的圓錐曲面都相交，因為截面是開放的，呈現(xiàn)出來的截線就會是圓錐曲面的兩條母線。這是第三個結(jié)論：兩條相交直線。同樣，如果這個M平面正好轉(zhuǎn)到了軸線上，二者夾角為0，那就相當于平面把圓錐曲面從上往下直著從中間劈開，我們能看到的截線也是兩條母線。第四個結(jié)論：兩條直線。因為圓錐曲面是關(guān)于軸線對稱的，所以平面M再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)的話，得到的結(jié)果和以上沒什么區(qū)別。第二種情況就是平面M位置靠下或者靠上，不通過頂點A和圓錐曲面相切割的情形。這種情形下就會出現(xiàn)我們將要深入討論的圓、橢圓、拋物線和雙曲線這些圓錐曲線。1.2.2圓和橢圓的幾何來源如果截平面過圓錐曲面的頂點，又碰巧和圓錐的軸線平行的話，也就相當于平面從中間把圓錐曲面一劈兩半，截線就會是兩條相交的無限伸展的母線；如果截面和軸線不平行，但和軸線的夾角小于軸線和母線的夾角，那它的截面也還是兩條母線。如果平面過頂點，又正好和圓錐面的母線平行，也就相當于一個平面和圓錐面相切，得到的截面曲線就是單一的一條母線。最普通的情形是平面并沒有過圓錐曲面的頂點，而是隨便找一個位置就將圓錐曲面切開，這時候的截面曲線會怎樣呢？我們還是分幾種情況分別討論。第一種情況，平面和圓錐曲面的軸線垂直此時β=90°，也就相當于我們把過頂點的水平面直接往下或者往上平移一段距離：如上圖，此時截面曲線為C，是一個圓。為什么是圓呢？怎么證明？如果我們設(shè)截面與圓錐軸線的交點為A’,這個點其實就是頂點A在截平面上的投影。對于圓錐面來說，從頂點A到截線的任一點的長度都是母線的一段，長度都是相同的，現(xiàn)在這些相等的線段在截平面上的投影也應(yīng)該是相同的，也就是從A’點出發(fā)到截面曲線C上任一點的長度也是相同的，從而可以得出截線為圓的結(jié)論：如果截平面和圓錐曲面的軸線垂直，且截平面不經(jīng)過圓錐曲面的頂點，其截線為圓。如果給出了從頂點到截面母線的長度，截線圓的半徑數(shù)據(jù)也很容易求出。第二種情況，平面不過頂點，但平面和軸線的夾角β小于90°，但又比θ角大，也就是下面這種情形：這種情況下，我們看到的截平面，似乎都具有相同的特征。只要能夠保證平面和圓錐曲面軸線的夾角在90°和θ角之間，那么截平面看著都會像一個壓扁的圓，只是程度不太一樣而已。這種扁扁的圓，被定名為橢圓。既然外形相似，那么這些相似的外形肯定是由一個共同的規(guī)則來保證的，我們現(xiàn)在需要找出這個共同的規(guī)則到底是什么！幾何學(xué)家經(jīng)過仔細研究后認為，如果把一個球塞到截平面和圓錐頂點之間的較小的空間的話，總能找到一個合適的小球（Dandelin球）S-1，確保球體既能和圓錐曲面相切，又能和截平面相切；同樣，在截平面之下，也能找到這么一個球（Dandelin球）S-2，確保球體和錐面與截平面均相切：我們現(xiàn)在找到平面上方狹小空間里的小球和截平面的切點F1，以及呆在下面較為寬松環(huán)境的大球與截平面的切點F我們繼續(xù)找到小球S-1和大球S-2分別與圓錐曲面相切的切點，此時我們發(fā)現(xiàn)，一個球和一個圓錐面相切，切點可以圍成一個圓，我們現(xiàn)在把分別把這兩個圓稱為“球小圓”:C這兩個球小圓，我們用綠色的虛線表示。顯然，球小圓上的點，都是在圓錐曲面上的。我們知道，從圓外一個點向圓做切線的話，這個點到所有切點的距離都是相等的，這個規(guī)則對于球來說也適用，也就是說，從球外一點向同一個球引切線，那么所有的切線也是相等的。上圖中，在扁圓的紅色的截線上隨便找到一點P，點P既在圓錐曲面的其中一條母線上，又在切割圓錐面的平面上。這條母線和球相切，切點為G，那么，PG的長度，應(yīng)該和PF的距離相等，也就是：|PF同樣的道理：

|PF如下圖：P點變換位置的話，其實就是在圓錐面的各條母線上來回變換，都會有上述的結(jié)論。那么現(xiàn)在就有：|PF也就是說：|PF為什么說G1很明顯，只要圓錐面和截面的數(shù)據(jù)確定，兩個球小圓的位置是確定的，二者之間母線的長度也就是確定的。由此我們知道，我們看著具有類似外形特征的封閉截線，是具有共同的數(shù)據(jù)特征的，那就是這個扁扁圓上的任意一點，到兩個固定點的距離之和是一個定值。數(shù)學(xué)家們把符合這種數(shù)據(jù)特征的扁的圓稱為橢圓。也就是說：如果一個點到兩個固定點的距