數(shù)學(xué)自我小測：向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算與度量公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自我小測1．設(shè)m，n是兩個非零向量，且m＝（x1，y1），n＝(x2，y2)，則以下等式中與m⊥n等價的個數(shù)為()①m·n＝0；②x1x2＝－y1y2；③|m＋n｜＝｜m－n|；④｜m＋n｜＝．A．1B．2C．3D．42．已知向量a＝（1,2）,b＝(－2,－4），|c|＝，若（a＋b)·c＝，則a與c的夾角為(）A．30°B．60°C．120°D．150°3．已知向量＝（2,2），＝(4，1），在x軸上有一點P，使·有最小值，則點P的坐標(biāo)是()A．（－3,0）B．（2，0)C．（3，0)D．（4,0)4．連續(xù)投擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，向量a＝(m，n）與向量b＝（1，0)的夾角記為α，則α∈的概率為(）A．B．C．D．5．若將向量a＝(2，1）圍繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到向量b，則向量b的坐標(biāo)為()A．B．C．D．6．已知a＝(－3，2），b＝(－1,0）,向量λa＋b與a－2b垂直，則實數(shù)λ的值為__________．7．定義一種新運算?：a?b＝|a|·|b｜sinθ,其中θ為a與b的夾角，已知a＝（－，1),b＝,則a?b＝__________．8．已知a＝(5,12)，｜a－b｜＝3，則|b|的取值范圍是__________．9．已知三個點A(2，1），B（3,2）,D(－1，4）．（1）求證:AB⊥AD；(2）要使四邊形ABCD為矩形，求點C的坐標(biāo)，并求矩形ABCD的兩條對角線所夾的銳角的余弦值．10．已知a＝(cosα，sinα）,b＝（cosβ，sinβ)，且｜ka＋b|＝｜a－kb|(k＞0)．（1)用k表示數(shù)量積a·b;(2）求a·b的最小值,并求此時a，b的夾角θ．參考答案1．解析：①②顯然正確;對③④兩邊平方，化簡，得m·n＝0，因此也是正確的,故選D．答案：D2．解析：設(shè)c＝(x，y），則由（a＋b）·c＝，得x＋2y＝－．又cos〈a，c〉＝＝＝－，即〈a，c〉＝120°．答案：C3．解析：設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，0），則＝(x－2，－2)，＝（x－4，－1）．·＝(x－2）（x－4)＋(－2）×（－1）＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1．當(dāng)x＝3時，·有最小值1，此時點P的坐標(biāo)為(3,0）．故選C．答案：C4．解析：由已知，a與b的夾角為α，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（π,4))）,所以<cosα<1．又cosα＝＝，所以〈<1，即2m2>m2＋n2．所以m2>n2．又因為m，n為正整數(shù)，所以m>n．由題意，知所有的a的個數(shù)為36,滿足m>n的向量的個數(shù)為15，故所求的概率為＝．答案：B5．解析:設(shè)b＝（x，y），由已知條件，知|a｜＝|b|，a·b＝|a｜|b|cos45°．所以解得或因為向量a按逆時針旋轉(zhuǎn)后，向量對應(yīng)的點在第一象限,所以x〉0，y〉0．所以b＝，故選B．答案:B6．答案：－7．解析：據(jù)定義a?b＝2××sinθ,又cosθ＝＝－,所以sinθ＝,即a?b＝．答案:8．解析：∵a＝(5，12），∴｜a｜＝13．∵｜b|＝|a－（a－b）｜，且|a｜－|a－b|≤｜a－(a－b）|≤|a|＋|a－b|，∴10≤|b|≤16．答案：[10，16］9．解：(1）證明：因為A（2,1)，B（3，2）,D(－1,4），所以＝(1,1),＝(－3,3)．所以·＝1×(－3）＋1×3＝0,所以⊥，即AB⊥AD．（2)因為四邊形ABCD為矩形，所以⊥,＝．設(shè)C點的坐標(biāo)為（x，y）,則＝(1,1）,＝(x＋1,y－4），所以解得所以C點的坐標(biāo)為（0，5)．從而＝(－2，4），＝（－4,2），所以｜|＝，||＝，·＝8＋8＝16．設(shè)與的夾角為θ，則cosθ＝＝＝，所以矩形ABCD的兩條對角線所夾的銳角的余弦值為．10．解：（1）由|ka＋b|＝|a－kb|,得（ka＋b）2＝3(a－kb)2，所以k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2．所以(k2－3）a2＋8ka·b＋(1－3k2）b2＝0．因為｜a|＝1，|b｜＝1，所以k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，所以a·b＝＝．(2）由（1），得a·b＝＝，由函數(shù)的