專題8.5 橢圓（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題8.5橢圓【十大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1橢圓的定義及其應(yīng)用】 3【題型2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】 5【題型3曲線方程與橢圓】 8【題型4軌跡問(wèn)題——橢圓】 10【題型5橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積及其他問(wèn)題】 12【題型6橢圓上點(diǎn)到其他點(diǎn)距離的最值問(wèn)題】 14【題型7橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)距離的和、差最值】 16【題型8求橢圓的離心率或其取值范圍】 19【題型9橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問(wèn)題】 21【題型10橢圓的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題】 231、橢圓考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)理解橢圓的定義、幾何

圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程(2)掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率)(3)掌握橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用2022年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第10題，5分2023年新高考I卷：第5題，5分2023年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第12題，5分2023年北京卷：第19題，15分2024年新高考I卷：第16題，15分2024年新高考Ⅱ卷：第5題，5分橢圓及其性質(zhì)是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，是高考命題的重點(diǎn).從近幾年的高考情況來(lái)看，主要考查橢圓的定義、方程及其性質(zhì)，主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大；與向量等知識(shí)結(jié)合綜合考查也是高考命題的一個(gè)趨勢(shì)，需要學(xué)會(huì)靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1橢圓及其性質(zhì)】1．橢圓的定義(1)定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn),的距離的和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距.(2)橢圓定義的集合表示P={,2a>}.2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系：橢圓在坐標(biāo)

系中的位置標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系3．橢圓的頂點(diǎn)與長(zhǎng)軸、短軸以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(a>b>0)為例.

(1)頂點(diǎn)

令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.

這說(shuō)明(-a,0)，(a,0)是橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，(0,-b),(0,b)是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn).因?yàn)閤軸、y軸是橢圓的對(duì)稱軸，所以橢圓與它的對(duì)稱軸有四個(gè)交點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)叫作橢圓的頂點(diǎn).(2)長(zhǎng)軸、短軸線段，分別叫作橢圓的長(zhǎng)軸和短軸.長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a，短軸長(zhǎng)=2b，a和b分別叫作橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng).4．橢圓的離心率(1)離心率的定義：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比稱為橢圓的離心率.用e表示，即e=.

(2)離心率的范圍：0<e<1.

(3)橢圓離心率的意義：橢圓離心率的變化刻畫(huà)了橢圓的扁平程度.

當(dāng)e越接近于1時(shí)，c越接近于a，從而b=越小，因此橢圓越扁；當(dāng)e越接近于0時(shí)，c越接近于0，從而b=越接近于a，因此橢圓越接近于圓；當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，c=0，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，它的方程為.【知識(shí)點(diǎn)2橢圓方程的求解方法】1．橢圓方程的求解(1)用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)橢圓的定義，確定的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫(xiě)出橢圓方程.(2)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

①如果明確了橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，那么所求的橢圓一定是標(biāo)準(zhǔn)形式，就可以利用待定系數(shù)法求解.首先建立方程，然后依據(jù)題設(shè)條件，計(jì)算出方程中的a，b的值，從而確定方程（注意焦點(diǎn)的位置）.②如果不能確定橢圓的焦點(diǎn)的位置，那么可用以下兩種方法來(lái)解決問(wèn)題：一是分類討論，分別就焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上利用待定系數(shù)法設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再解答；二是用待定系數(shù)法設(shè)橢圓的一般方程為=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.【知識(shí)點(diǎn)3橢圓的焦點(diǎn)三角形】1．橢圓的焦點(diǎn)三角形(1)焦點(diǎn)三角形的概念

設(shè)M是橢圓上一點(diǎn)，,為橢圓的焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M,,不在同一條直線上時(shí)，它們構(gòu)成一個(gè)焦點(diǎn)三角形，如圖所示.(2)焦點(diǎn)三角形的常用公式

①焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)L=2a+2c.

②在中，由余弦定理可得.

③設(shè)，，則.【知識(shí)點(diǎn)4橢圓離心率或其范圍的解題策略】1．求橢圓離心率或其范圍的方法解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于a,b,c的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式，常用方法如下:(1)直接求出a,c，利用離心率公式求解.(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式求解.(3)構(gòu)造a,c的齊次式.離心率e的求解中可以不求出a,c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.【知識(shí)點(diǎn)5橢圓中的最值問(wèn)題的解題策略】1．橢圓中的最值問(wèn)題求解此類問(wèn)題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問(wèn)題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(gè)(或多個(gè))變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對(duì)最值的影響.【題型1橢圓的定義及其應(yīng)用】【例1】（2024·廣西南寧·二模）已知F1,F2分別是橢圓M:x216+y25=1的左、右焦點(diǎn)，P為M上一點(diǎn)，若|PF1|=3，則A．2 B．3 C．5 D．6【解題思路】根據(jù)橢圓的定義可得|PF【解答過(guò)程】由橢圓M:x216+y因?yàn)镕1,F2分別是橢圓M:x所以|PF1|+|PF2故選：C.【變式1-1】（2024·四川瀘州·二模）已知點(diǎn)P在橢圓C：x29+y28=1上，C的左焦點(diǎn)為F，若線段PF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)OA．2 B．4 C．6 D．8【解題思路】利用三角形的中位線定理與圓的半徑求得PF【解答過(guò)程】因?yàn)闄E圓C：x所以該橢圓a=3，b=22，則c=1設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F′，連接PF′，記線段PF的中點(diǎn)為Q因?yàn)镺F=c=1，所以O(shè)Q因?yàn)镺,Q分別為FF′,PF又PF+PF故選：B.【變式1-2】（2024·貴州安順·二模）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1,A．12 B．1 C．3 【解題思路】利用橢圓的定義，結(jié)合垂直關(guān)系列式求解即得.【解答過(guò)程】依題意，PF1+PF由PF1⊥PF2因此4a2=4c2+4，即故選：B.【變式1-3】（2024·遼寧遼陽(yáng)·一模）若P為橢圓C∶x2121+y296=1上一點(diǎn)，A．10 B．12 C．14 D．16【解題思路】根據(jù)題意利用橢圓的定義分析求解.【解答過(guò)程】由橢圓方程可知：a=11，則PF即PF1+8=22故選：C.【題型2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】【例2】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為23，焦距為22，則該橢圓的方程為（A．x23+C．x29+【解題思路】根據(jù)離心率和焦距可得a=3c=2，進(jìn)而可得【解答過(guò)程】由題意可知：ca=2則b2=9?2=7，所以該橢圓的方程為故選：C.【變式2-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知F1,F2分別是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，M在E上，N在y軸上，A．x225+C．x220+【解題思路】設(shè)MxM,yM【解答過(guò)程】結(jié)合題意可得：F1?c,0,F2則由△MF1F2的面積為由2F2N連接NF1,∵以MN為直徑的圓過(guò)F由②③得yM結(jié)合①得c=5∴MF1+MF2=2a=故選：B．【變式2-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1?2,0，F(xiàn)22,0，真線l與xA．x26+C．x24+【解題思路】連接F1Q，結(jié)合橢圓的定義，利用F1Q2+F【解答過(guò)程】連接F1Q，依題意，知F1是線段F又Q是線段F2M的中點(diǎn)，所以F1Q//因?yàn)镕2M⊥l，所以因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓C上，結(jié)合橢圓的定義，F(xiàn)1Q2解得a=2（a=0舍去），所以b2所以橢圓C的方程為x2故選：C.【變式2-3】（2024·江西九江·二模）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的上頂點(diǎn)為P，離心率為12，過(guò)其左焦點(diǎn)傾斜角為30°的直線l交橢圓A．x24+y23=1 B．【解題思路】由橢圓的離心率得a=2c，表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線PF2的斜率及直線PF2的方程，求出得直線AB的方程，聯(lián)立兩條直線的方程，可得交點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)中垂線的性質(zhì)可得|PA|=|AF2|，|PB|=|BF2【解答過(guò)程】因?yàn)闄E圓的離心率e=ca=所以a2=4c2，即則點(diǎn)P(0,3c)，右焦點(diǎn)F2由題意可得直線AB的斜率k=tan所以k?kPF由題意設(shè)直線AB的方程為y=3直線PF2的方程為設(shè)直線AB與直線PF2的交點(diǎn)為聯(lián)立y=33(x+c)y=?3則M(c2,32c)，可得M為即|PA|=|AF2|△PAB的周長(zhǎng)為|PA|+|PB|+|AB|=|AF2|+|AB|+|B所以c=12a=2所以橢圓的方程為：x2故選：C．【題型3曲線方程與橢圓】【例3】（2024·遼寧·二模）已知方程x2k?4+y2A．4,6 B．6,8 C．4,8 D．4,6【解題思路】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中分母都大于0且不能相等即可求解.【解答過(guò)程】因?yàn)榉匠蘹2所以k?4>08?k>0k?4≠8?k，解得4<k<8且所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是4,6∪故選：D.【變式3-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）命題“實(shí)數(shù)p∈1,3”是命題“曲線3?px2A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】首先求出“曲線3?px【解答過(guò)程】由題意“曲線3?px2+而“曲線x2p?1+y23?p=1所以命題“實(shí)數(shù)p∈1,3”是命題“曲線3?p故選：C.【變式3-2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知如圖為函數(shù)①y=xc；②y=ax；③y=bA．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線 B．焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線C．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 D．焦點(diǎn)在y軸上的橢圓【解題思路】利用三個(gè)函數(shù)在坐標(biāo)軸上的單調(diào)性和截距，判斷a、b、c的正負(fù)以及大小關(guān)系，進(jìn)而可將方程a?1x【解答過(guò)程】根據(jù)題意可知c<0,b>a>1，可知b?1>a?1>0,∴0<將方程a?1x2+b?1y方程a?1x2+故選：C.【變式3-3】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）若方程m+1x2+1?myA．?1<m<1 B．0<m<1C．?1<m<0 D．?1<m<0或0<m<1【解題思路】利用已知條件，分析橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，列出不等式，求解即可.【解答過(guò)程】方程m+1x2+因?yàn)榉匠蘹21?m+所以1?m>m+1m+1>0，解得?1<m<0故選：C.【題型4軌跡問(wèn)題——橢圓】【例4】（23-24高三下·重慶·期中）長(zhǎng)為2的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A．x24+y22=1 B．【解題思路】設(shè)出A、B、M點(diǎn)坐標(biāo)，由題意可得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，用M點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)替換A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入計(jì)算即可得.【解答過(guò)程】設(shè)Ax1,0、B則有x+x1=0，y+0=2y2由題意可得x12+y2故選：D.【變式4-1】（2024·全國(guó)·一模）平面直角坐標(biāo)系中，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，M為BC中點(diǎn)，B，C分別在射線y=3x，y=?3xy≥0A．C1為部分圓 B．C1為部分線段 C．C1為部分拋物線 【解題思路】由題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，首先由BC=2得b?c2+3b+c2【解答過(guò)程】

由題意不妨設(shè)Bb,3b而B(niǎo)C=b?c2又xM=b+c2,因?yàn)閥B,yC≥0故選：D.【變式4-2】（2024·吉林白山·模擬預(yù)測(cè)）古希臘后期的數(shù)學(xué)家帕普斯在他的《數(shù)學(xué)匯編》中探討了圓錐曲線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的性質(zhì)：平面內(nèi)到一定點(diǎn)和定直線的距離成一定比例的所有點(diǎn)的軌跡是一圓錐曲線．這就是圓錐曲線的第二定義或稱為統(tǒng)一定義．若平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)Px,y到定點(diǎn)A1,0和到定直線x=4的距離之比是12，則點(diǎn)PA．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【解題思路】利用軌跡的直接法求解.【解答過(guò)程】解：由題意得(x?1)2整理得：x3所以點(diǎn)P的軌跡為橢圓．故選：B．【變式4-3】（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知圓C的方程為x2+y2=16，直線l為圓C的切線，記A?2,0,B2,0兩點(diǎn)到直線l的距離分別為d1,dA．x2+y2=4 B．x2【解題思路】由圖可得d1+d2=8，即PA【解答過(guò)程】如圖，分別過(guò)點(diǎn)A,O,B做直線l的垂線，垂足分別為A1則AA1//OO

因?yàn)锳?2,0,B2,0，所以O(shè)所以O(shè)O1是梯形ABB又因?yàn)閳AC的方程為x2+y所以O(shè)O1=r=4即PA+所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓，設(shè)橢圓的方程為x2則2a=8,c=2，所以a=4,a2=16所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2故選：B.【題型5橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積及其他問(wèn)題】【例5】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知F1是橢圓C:x22+y2=1的左焦點(diǎn)，直線x=1與C交于A．2 B．3 C．22 D．【解題思路】由題意可得AB經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，結(jié)合橢圓定義計(jì)算即可得.【解答過(guò)程】由2?1=1，故AB故△F1AB故選：D.【變式5-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知F1,F2是橢圓C:x29+y25=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A．1 B．152 C．15 【解題思路】利用橢圓的定義得到△PF【解答過(guò)程】設(shè)PF1的中點(diǎn)為M，則于是PF1=2a?2c=2則△PFS△P故選：C．【變式5-2】（2024·河南駐馬店·二模）已知橢圓C:x29+y2m=1(0<m<9,m∈Z)的左?右焦點(diǎn)分別為F1,F2，點(diǎn)A．4 B．5 C．6 D．8【解題思路】PF1+PF2=6，設(shè)F【解答過(guò)程】依題意得PF1+不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，若PF1=故cos∠PF1解得n=4或n=2411，又m∈Z,m+n若PF2=F1此時(shí)PF2=4，P所以m=5.故選：B.【變式5-3】（2024·廣東梅州·三模）已知橢圓C:x29+y25=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F2的直線lA．23 B．13 C．4 D．【解題思路】根據(jù)給定條件，利用橢圓定義求出|AF1|【解答過(guò)程】橢圓C:x29+y25

因此△AF1F所以△AF1F故選：D.【題型6橢圓上點(diǎn)到其他點(diǎn)距離的最值問(wèn)題】【例6】（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知橢圓C:x225+y29=1的左焦點(diǎn)為A．5 B．9 C．10 D．18【解題思路】由標(biāo)準(zhǔn)方程求得F?4,0，設(shè)Px0【解答過(guò)程】易知F?4,0設(shè)Px0,y0所以PF=16由二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)x0=?5時(shí)，故選：B.【變式6-1】（23-24高二上·吉林長(zhǎng)春·期末）已知B是橢圓x23+y2=1的上頂點(diǎn)，點(diǎn)A．2 B．22 C．322【解題思路】設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示出MB并進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)橢圓的有界性結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解出MB的最大值.【解答過(guò)程】設(shè)Mx0,y0所以MB=?2又因?yàn)閥0∈?1,1所以MBmax故選：C.【變式6-2】（23-24高二上·浙江·期中）已知點(diǎn)F為橢圓C:x225+y216=1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)QA．12 B．29 C．23【解題思路】作出圖形，利用橢圓的定義以及圓的幾何性質(zhì)可求得PFPQ【解答過(guò)程】如下圖所示：在橢圓C:x225+則F3,0圓M:(x+3)2+y2圓心M?3,0為橢圓C的左焦點(diǎn)，由橢圓定義可得PF∴PF由橢圓的幾何性質(zhì)可得a?c≤PM≤a+c，即由圓的幾何性質(zhì)可得PQ≤所以PFPQ所以PFPQ的最小值是2故選：C.【變式6-3】（2024·陜西西安·一模）已知點(diǎn)M在橢圓x218+y29=1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)NA．1+19 B．1+25 C．5【解題思路】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式、配方法進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】解：設(shè)圓x2+y?12=1設(shè)M(x0,所以MC=?y0所以MN≤故選：B．【題型7\t"/gzsx/zj165990/_blank"\o"橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)距離的和、差最值"橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)距離的和、差最值】【例7】（2024·新疆·二模）設(shè)F1,F2分別是橢圓x29+y24=1A．293 B．283 C．8【解題思路】根據(jù)橢圓定義可知△ABF2周長(zhǎng)為定值4a，從而可得當(dāng)AB最小時(shí)，【解答過(guò)程】由橢圓的定義知a=3,b=2,∴△ABF2的周長(zhǎng)為∴當(dāng)AB最小時(shí)，AF當(dāng)AB⊥x軸，即AB為通徑時(shí)，AB最小，此時(shí)AB=∴AF2+故選：B．【變式7-1】（2024·甘肅定西·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：x29+y25=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，AA．7 B．8 C．9 D．11【解題思路】根據(jù)橢圓的定義可得AB+AF1=【解答過(guò)程】

設(shè)橢圓的半焦距為c，則F22,0，如圖，連接AF2，則而AB?AF2≤BF故AB+AF故選：A.【變式7-2】（24-25高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）設(shè)橢圓C：x24+y23=1的右焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓CA．?164141 B．164141 【解題思路】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合兩點(diǎn)間線段最短、點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】根據(jù)題意知橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1,0，左焦點(diǎn)坐標(biāo)為F根據(jù)橢圓的定義可知PF+PF則PA?所以PA+PF定點(diǎn)到直線最短距離是過(guò)定點(diǎn)直線的垂線段，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得d=4×所以PA?故選：C.

【變式7-3】（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知F為橢圓C:x24+y2=1的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，QA．5 B．5+23 C．3+23【解題思路】由題意設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1(?3,0)，作出圖形，結(jié)合圖形和橢圓的定義可知當(dāng)【解答過(guò)程】由題意知，F(xiàn)(3,0)，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為如圖，P為C上一點(diǎn)，Q為圓M:x2+PQ+當(dāng)且僅當(dāng)M,F所以PQ+PF的最大值為故選：B.【題型8求橢圓的離心率或其取值范圍】【例8】（2024·廣東·一模）已知點(diǎn)F，A分別是橢圓x2a2+y2bA．3+12 B．5?12 C．【解題思路】首先根據(jù)FB?AB=0推斷出FB⊥AB，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可知FB|2+AB|2【解答過(guò)程】

∵FB?AB∴FB|2整理得2ac?2b2=0等號(hào)兩邊同時(shí)除以a2得c2a2+∵0<e<1，∴e=?1+故選：B.【變式8-1】（2024·陜西銅川·三模）已知原點(diǎn)為O，橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)與直線l:x?y+1=0交于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為A．12 B．32 C．5?1【解題思路】設(shè)Ax1,【解答過(guò)程】設(shè)Ax1,則x12a∴?b2a即a2=4a2?故選：B.【變式8-2】（2024·河南濮陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)M是橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上的點(diǎn)，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦點(diǎn)F，圓A．2?3,1 C．6?22【解題思路】根據(jù)MF⊥x軸可設(shè)Mc,y，代入橢圓方程可求得圓M的半徑，根據(jù)△PMQ為銳角三角形，可構(gòu)造關(guān)于a,c的齊次不等式，進(jìn)而配湊出離心率e【解答過(guò)程】∵圓M與x軸相切于焦點(diǎn)F，∴MF⊥x軸，可設(shè)Mc,y∵M(jìn)在橢圓上，∴c2a2+y2b2作MN⊥y軸，垂足為N，∵M(jìn)P=MQ∵△PMQ為銳角三角形，∴∠NMQ<π4，∴ac<a2?c2即橢圓離心率的取值范圍為6?故選：D.【變式8-3】（2024·山東青島·三模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為A，BA．22 B．2 C．33 【解題思路】求得F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2【解答過(guò)程】以F1F2聯(lián)立x2+y所以M(a又A(?a,0),B(a,0)，所以NM=(2ac所以NM·所以4a2(所以3c4?8解得e2=2所以e=6故橢圓E的離心率為63故選：D.【題型9橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問(wèn)題】【例9】（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）橢圓C:x280A．5 B．25 C．26 【解題思路】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出a,b,c，再求長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a與焦距2c之差.【解答過(guò)程】由題得a2=80，b2=35，所以所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=85，焦距2c=6所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距之差等于2a?2c=25故選：B.【變式9-1】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1A．2 B．2 C．22 【解題思路】設(shè)橢圓E的左右焦點(diǎn)分別為?c,0,c,0,c>0，結(jié)合題意可得?c?42?【解答過(guò)程】設(shè)橢圓E的左右焦點(diǎn)分別為?c,0,由題意可得：?c?42?c?4若0<c<4，則c+4?c?4=若c≥4，則c+4?綜上所述：c=2，即E的焦距是2c=2故選：C.【變式9-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，離心率為2A．42 B．82 C．6【解題思路】由橢圓的定義結(jié)合題意可求出AF1=4a3，A【解答過(guò)程】由已知條件及橢圓的定義可得AF故AF1=設(shè)F1F2=2c，因?yàn)闄E圓E的離心率為由余弦定理可得cos∠則sin∠F1AF2=則c=6×223=42故選：B．【變式9-3】（2024·山東濰坊·三模）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x26+y22=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)Px0A．?∞,?3C．?∞,?5【解題思路】由已知可知PF1，PF【解答過(guò)程】因?yàn)闄E圓C：x26+y22=1所以F1?2,0，因?yàn)辄c(diǎn)Px0,y0在C上，所以x又PF1=?2?x又PF1?所以PF因?yàn)椤螰1PF2所以23x0所以x0的取值范圍是?故選：D.【題型10橢圓的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題】【例10】（2024·廣東韶關(guān)·模擬預(yù)測(cè)）韶州大橋是一座獨(dú)塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點(diǎn)，它打通了曲江區(qū)、湞江區(qū)、武江區(qū)交通道路的瓶頸，成為連接曲江區(qū)與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔(dān)著實(shí)現(xiàn)韶關(guān)“三區(qū)融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線段AB，且AB過(guò)橢圓的下焦點(diǎn)，AB=44米，橋塔最高點(diǎn)P距橋面110米，則此橢圓的離心率為（

）A．13 B．25 C．23【解題思路】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為y2a2【解答過(guò)程】如圖按橢圓對(duì)稱軸所在直線建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為y2令y=?c，即?c2a2+x所以a+c=110a2?c2故選：D．【變式10-1】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下面的題目：已知曲線C的方程為x225+y216=1，其左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，直線l與橢圓C切于點(diǎn)P，且PF1=2，過(guò)點(diǎn)A．1:3 B．1:2 C．1:3 D．【解題思路】根據(jù)橢圓定義和光的反射定理，以及角平分線定理可得【解答過(guò)程】由已知得a=5，PF由橢圓定義可得PF根據(jù)光的反射定理可得PM為∠F由正弦定理F1M所以F1MF1所以F即F1故選：D.【變式10-2】（2024·重慶·三模）如圖所示，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道III繞月飛行，若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道I和II的焦距，用2a

A．a(chǎn)1?cC．c2a1【解題思路】根據(jù)圖象可知PF=a1?c1=【解答過(guò)程】如圖可知，∵a1?c1a1>a2，由a1>a2，a1+c2=即b12+2a1c2故選:D.【變式10-3】（2023·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮于春分時(shí)節(jié)開(kāi)展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動(dòng)中將油紙傘撐開(kāi)后擺放在戶外展覽場(chǎng)地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個(gè)半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為2，陽(yáng)光照射油紙傘在地面形成了一個(gè)橢圓形影子（春分時(shí)，北京的陽(yáng)光與地面夾角為60°），若傘柄底端正好位于該橢圓的焦點(diǎn)位置，則該橢圓的離心率為（

）A．2?3 B．2?1 C．3?1【解題思路】根據(jù)給定條件，作出圖形，再利用正弦定理求出橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，結(jié)合焦點(diǎn)位置求出半焦距作答.【解答過(guò)程】如圖，傘的傘沿與地面接觸點(diǎn)B是橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，傘沿在地面上最遠(yuǎn)的投影點(diǎn)A是橢圓長(zhǎng)軸的另一個(gè)端點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的傘沿為C，O為傘的圓心，F(xiàn)為傘柄底端，即橢圓的左焦點(diǎn)，令橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，半焦距為c，由OF⊥BC,|OF|=|OB|=2，得a+c=|BF|=2,∠FBC=45°在△ABC中，∠BAC=60°，則∠ACB=75由正弦定理得，2asin75°=2所以該橢圓的離心率e=c故選：A.一、單選題1．（2024·山東濟(jì)南·二模）橢圓x25+A．±6,0 B．±2,0 C．0,±6【解題思路】本題是焦點(diǎn)在x軸的橢圓，求出c，即可求得焦點(diǎn)坐標(biāo).【解答過(guò)程】c=5?1=2，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為?2,0和故選：B.2．（2024·河北保定·三模）已知P是橢圓E：x216+y29=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，A．8 B．6 C．4 D．3【解題思路】直接根據(jù)橢圓的定義可求得答案.【解答過(guò)程】由橢圓的定義可知，PF故選：A.3．（2024·湖北荊州·三模）已知圓C:x?12+y2=2，直線l:ax+y?3=0，方程m:x2aA．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【解題思路】借助圓與直線相切的性質(zhì)可得圓C與直線l相切時(shí)的a的值，借助橢圓定義可得當(dāng)方程m表示的曲線為橢圓時(shí)的a的取值范圍，結(jié)合充分條件與必要條件的定義即可得解.【解答過(guò)程】若圓C與直線l相切，則有a?3a2+1=2，即a若方程m表示的曲線為橢圓，則a2≠1a2>0故“圓C與直線l相切”是“方程m表示的曲線為橢圓”的既非充分也非必要條件.故選：D.4．（23-24高二上·北京西城·期末）如圖是一個(gè)橢圓形拱橋，當(dāng)水面在l處時(shí)，在如圖所示的截面里，橋洞與其倒影恰好構(gòu)成一個(gè)橢圓.此時(shí)拱頂離水面2m，水面寬6m，那么當(dāng)水位上升1m

A．33m B．332m 【解題思路】根據(jù)題意可得橋洞與其倒影恰好構(gòu)成的橢圓方程為：x29+【解答過(guò)程】以圖中水面所在的直線為x軸，水面的垂直平分線所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件可知：橋洞與其倒影恰好構(gòu)成的橢圓方程為：x2當(dāng)水位上升1m時(shí)，水面的寬度也即當(dāng)y=1時(shí)，直線y=1把y=1代入橢圓方程可得：x=±3所以當(dāng)水位上升1m時(shí)，水面的寬度為3故選：A.5．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，經(jīng)過(guò)F2的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，若F1A?FA．x29+y24=1 B．【解題思路】由題意可知：BA⊥BF1，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可得F1B=4【解答過(guò)程】因?yàn)锽F1?則F1A?可得F1B=4，AB=3，即F1由橢圓定義可得4a=AF1且F2B=2a?即2c=25，可得c=5，所以橢圓C的方程為x2故選：A.6．（2024·四川內(nèi)江·三模）設(shè)F1、F2是橢圓C:x29+y2=1A．223 B．1或2 C．2 【解題思路】分∠PF2F【解答過(guò)程】因?yàn)閤29+若∠PF2F1=90°所以S△P若∠F2PF1=90故S△P綜上：△PF1F故選：D.7．（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:x24+y23=1的左?右焦點(diǎn)為F1,FA．2 B．2 C．22 【解題思路】由直線l:y=kx?1+2經(jīng)過(guò)定點(diǎn)N1,2【解答過(guò)程】由橢圓C:x24因?yàn)辄c(diǎn)M為橢圓C:x24直線l:y=kx?1+2經(jīng)過(guò)定點(diǎn)則MF當(dāng)且僅當(dāng)M在線段NF所以MF故選：B.8．（2024·湖南·三模）已知F1,F2是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F1作直線與CA．312 B．36 C．33【解題思路】設(shè)∠F1AF2=θ,0<θ<π，首先證明S△AF1F2【解答過(guò)程】我們首先來(lái)證明一個(gè)引理：若∠F1A證明如下：設(shè)AF4c2=所以m2a?m所以S△A根據(jù)題意可得，S△AF1因?yàn)?<θ2<π2由AF2=|AB|，∠BA所以4a=BF2所以BF1=4a3所以AB⊥F1F2，所以所以e=c故選：C.二、多選題9．（2024·江西宜春·三模）設(shè)橢圓C：x28+y24=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，坐標(biāo)原點(diǎn)為OA．cos∠F1C．△F1PF2的面積為2【解題思路】根據(jù)已知求出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式分布求出PF1,【解答過(guò)程】法1：由題意得a=22，|F1F2由對(duì)稱性可設(shè)P(x0,y0)（x0>0，由x028+y02所以m=(6+2)所以mn=11+4由橢圓的定義得m+n=2a=42在△F1P即42解得cosθ=PF△F1P設(shè)△F1PF2的內(nèi)切圓半徑為r即2=12(4故選：ACD．法2：設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，由極化恒等式，得PF由中線長(zhǎng)定理得m2+n所以(m+n)2=m所以cosθ=由cosθ=35，得sin設(shè)△F1PF2的內(nèi)切圓半徑為r即2=12(故選：ACD．10．（2024·河北·三模）已知一個(gè)裝有半瓶水的圓柱形玻璃杯，其底面半徑為3?cm，玻璃杯高為16?cm（玻璃厚度忽略不計(jì)），其傾斜狀態(tài)的正視圖如圖所示，PQ表示水平桌面．當(dāng)玻璃杯傾斜時(shí)，瓶?jī)?nèi)水面為橢圓形，陰影部分ABNM為瓶?jī)?nèi)水的正視圖．設(shè)∠CBQ=θ，則下列結(jié)論正確的是（A．當(dāng)θ=30°時(shí)，橢圓的離心率為3B．當(dāng)橢圓的離心率最大時(shí)，tanC．當(dāng)橢圓的焦距為4時(shí)，tanD．當(dāng)θ=45°時(shí)，橢圓的焦距為6【解題思路】根據(jù)∠MNE=θ，橢圓長(zhǎng)軸為MN，短軸長(zhǎng)為6，求離心率判斷A，由離心率最大知長(zhǎng)軸最長(zhǎng)可得MN=AC求解判斷B，由離心率求出MN即可判斷C，由θ求出MN，再得出焦距判斷D.【解答過(guò)程】過(guò)M作ME⊥BN于E，如圖，由∠CBQ=∠MNE=θ，當(dāng)θ=30°時(shí)，在Rt△MNE中，MN=所以橢圓中2a=12,2b=6，e=因?yàn)闄E圓的短軸長(zhǎng)為定值6，e=1?由圖可知，橢圓長(zhǎng)軸為AC時(shí)，橢圓的長(zhǎng)軸最長(zhǎng)，此時(shí)tanθ=當(dāng)橢圓的焦距為4時(shí)，a=b2+所以NE=MN2當(dāng)θ=45°時(shí)，tanθ=tan∠MNE=由勾股定理可得MN=ME2+EN所以c=a2?故選：AD.11．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知A?2,0，B2,0，C1,0，動(dòng)點(diǎn)M滿足MA與MB的斜率之積為?34，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡記為Γ，過(guò)點(diǎn)C的直線交Γ于P，Q兩點(diǎn)，且P，QA．M的軌跡方程為xB．MC的最小值為1C．若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OPQ面積的最大值為3D．若線段PQ的垂直平分線交x軸于點(diǎn)D，則R點(diǎn)的橫坐標(biāo)是D點(diǎn)的橫坐標(biāo)的4倍【解題思路】根據(jù)求軌跡方程的方法即可求得選項(xiàng)A，結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)B，聯(lián)立直線PQ與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求出△OPQ的面積，利用導(dǎo)數(shù)可判斷選項(xiàng)C，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及直線PQ與直線RD的關(guān)系，即可求出R點(diǎn)和D點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而判斷選項(xiàng)D.【解答過(guò)程】對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)Mx,y，因?yàn)锳?2,0，B2,0，所以k對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)閤24+y23=1所以C1,0為橢圓的右焦點(diǎn)，則MC對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)PQ的方程x=my+1，代入橢圓方程，得3m設(shè)Px1,y1所以S△OPQ=12OCy1令m2+1=t≥1，則S令gt=3t+1tt≥1，則S△OPQ=6gt，所以S△OPQmax=64對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)镽x1+x2所以R43m設(shè)DxD,0，則k所以xRxD=43m故選：BCD.三、填空題12．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知方程x2k?4+y28?k=1【解題思路】根據(jù)方程表示橢圓列出不等式組得解.【解答過(guò)程】因?yàn)榉匠蘹2所以k?4>08?k>0k?4≠8?k，解得4<k<8且所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是4,6∪故答案為：4,6∪13．（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測(cè)）中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓E的上、下焦點(diǎn)分別為F1,F2，右頂點(diǎn)為A，若E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，∠F1A【解題思路】由題意可得a=2，由∠F1A【解答過(guò)程】由橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，則可得2a=4，解得a=2，因?yàn)椤螰1A所以ca=sinπ3又橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2故答案為：y214．（2024·山東濟(jì)南·三模）已知F1、F2是橢圓x2a2+y2b【解題思路】由題可知等邊三角形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而可知點(diǎn)P的坐標(biāo)，易知△F【解答過(guò)程】依題意|PO|=|PF不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則點(diǎn)Pc易知|PF由橢圓的定義知：|PF所以3c+c=2a所以e=c故答案為：3?1四、解答題15．（24-25高二上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)0,2和1,0；(2)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是?2,0，2,0，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)52【解題思路】（1）由條件可設(shè)橢圓方程為y2a2（2）結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)知可設(shè)橢圓方程為x2a