專題8.3 圓的方程（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題8.3圓的方程【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求圓的方程】 3【題型2二元二次方程表示圓的條件】 4【題型3圓過定點(diǎn)問題】 5【題型4點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷】 5【題型5與圓有關(guān)的軌跡問題】 5【題型6與圓有關(guān)的對(duì)稱問題】 6【題型7圓系方程】 7【題型8與圓有關(guān)的最值問題】 71、圓的方程考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程(2)能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題2022年全國乙卷（文數(shù)）：第15題，5分2022年全國甲卷（文數(shù)）：第14題，5分2023年全國乙卷（文數(shù)）：第11題，5分2023年上海卷：第7題，5分2024年北京卷：第3題，4分2024年天津卷：第12題，5分從近幾年的高考情況來看，高考對(duì)圓的方程的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、填空題的形式考查，難度不大；有時(shí)也會(huì)與距離公式、圓錐曲線等結(jié)合考查，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)熟練掌握?qǐng)A的方程的求法，靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1圓的定義和圓的方程】1．圓的定義圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓(定點(diǎn)為圓心,定長為半徑).圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程(r>0)叫作以點(diǎn)(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程很容易確定圓心坐標(biāo)和半徑.

(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個(gè)字母(待定)，因此在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3．圓的一般方程(1)方程叫做圓的一般方程.

(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的一般方程中含有三個(gè)字母(待定)，因此在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的一般方程.下列情況比較適用圓的一般方程：

①已知圓上三點(diǎn)，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn)；

②已知圓上兩點(diǎn)，圓心所在的直線，將兩個(gè)點(diǎn)代入圓的方程，將圓心代入圓心所在的直線方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn).4．二元二次方程與圓的方程(1)二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：

二元二次方程，對(duì)比圓的一般方程，我們可以看出圓的一般方程是一個(gè)二元二次方程，但一個(gè)二元二次方程不一定是圓的方程.(2)二元二次方程表示圓的條件：二元二次方程表示圓的條件是.5．圓的參數(shù)方程圓(r>0)的參數(shù)方程為，其中為參數(shù).6．求圓的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程.(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值.【知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】1．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)如圖所示，點(diǎn)M與圓A有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外.(2)圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為；圓A的一般方程為.平面內(nèi)一點(diǎn).位置關(guān)系判斷方法幾何法代數(shù)法(標(biāo)準(zhǔn)方程)代數(shù)法(一般方程)點(diǎn)在圓上|MA|=r(x0-a)2+(y0-b)2=r2點(diǎn)在圓內(nèi)|MA|<r(x0-a)2+(y0-b)2<r2點(diǎn)在圓外|MA|>r(x0-a)2+(y0-b)2>r2【知識(shí)點(diǎn)3軌跡方程】1．軌跡方程求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，實(shí)質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量x,y之間的方程.(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時(shí)，常采用直接法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件符合某一基本曲線的定義(如圓)時(shí)，常采用定義法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)在已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可采用代入法(或稱相關(guān)點(diǎn)法).(2)求軌跡方程時(shí)，一要區(qū)分"軌跡"與"軌跡方程"；二要注意檢驗(yàn)，去掉不合題設(shè)條件的點(diǎn)或線等.2.求軌跡方程的步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示軌跡(曲線)上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)列出關(guān)于x,y的方程；(3)把方程化為最簡形式；(4)除去方程中的瑕點(diǎn)(即不符合題意的點(diǎn))；(5)作答.【方法技巧與總結(jié)】1．以A(x1,y1)，B(x2,y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為.2．圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上.3．圓心在任一弦的垂直平分線上.【題型1求圓的方程】【例1】（2024·遼寧大連·一模）過點(diǎn)?1,1和1,3，且圓心在x軸上的圓的方程為（

）A．x2+yC．x?12+y【變式1-1】（2024·河南·模擬預(yù)測）圓心在射線y=34xA．xB．xC．xD．x【變式1-2】（2024·北京·模擬預(yù)測）圓心為2,1且和x軸相切的圓的方程是()A．(x?2)2+(y?1)C．(x?2)2+(y?1)【變式1-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，圓E與兩坐標(biāo)軸交于A,B,C,D四點(diǎn)，其中A?2,0,B0,?3，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸的正半軸上，圓E的內(nèi)接四邊形ABCD的面積為252，則圓A．xB．xC．xD．x【題型2二元二次方程表示圓的條件】【例2】（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知曲線C的方程2x2+2y2+4x+8y+F=0，則“A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2-1】（23-24高二下·上海·期中）方程x2+yA．14<m<1 B．m>1 C．m<14 【變式2-2】（23-24高二上·福建廈門·期中）若a∈?2,?1,0,34,1，則方程A．1 B．2 C．3 D．4【變式2-3】（23-24高二上·廣東·期末）已知方程x2+y2+2x?2ay+2a+4=0A．?∞,?1∪3,+C．?∞,?1∪【題型3圓過定點(diǎn)問題】【例3】（23-24高二上·湖北荊州·期末）圓C:x2+y2+ax?2ay?5=0恒過的定點(diǎn)為（

）A．?2,1,(2,?1) B．C．?1,?2,(1,2) 【變式3-1】（23-24高二上·浙江溫州·期中）點(diǎn)Px,y是直線2x+y?5=0上任意一點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以O(shè)P為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)（

A．0,0和1,1 B．0,0和2,2 C．0,0和1,2 D．0,0和2,1【變式3-2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）當(dāng)m變化時(shí)，圓x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒過定點(diǎn).【變式3-3】（23-24高三上·上海徐匯·期末）已知二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(x∈R)的圖像與坐標(biāo)軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C，則圓C經(jīng)過定點(diǎn)的坐標(biāo)為【題型4點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷】【例4】（2024·河北滄州·二模）若點(diǎn)A2,1在圓x2+y2?2mx?2y+5=0（A．?∞,2 B．2,+∞ C．?【變式4-1】（2024·甘肅定西·模擬預(yù)測）若點(diǎn)2,1在圓x2+y2?x+y+a=0A．12,+∞ B．?∞,1【變式4-2】（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）“1<b<2”是“點(diǎn)B0,b在圓C:x?12A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【變式4-3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）若點(diǎn)(2a，a＋1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．{a|－1＜a＜1}B．{a|0＜a＜1}C．{a|a＜－1或a＞1}D．{a|－1＜a＜0}【題型5與圓有關(guān)的軌跡問題】【例5】（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）點(diǎn)P4,?2與圓x2+A．x?42+y+2C．x+42+y?2【變式5-1】（23-24高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)4,3，端點(diǎn)A在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，求線段ABA．4π B．2π C．π 【變式5-2】（2024·山東淄博·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量OA與OB關(guān)于x軸對(duì)稱，向量a=0,1，若滿足OA2+A．E是一條垂直于x軸的直線 B．E是一個(gè)半徑為1的圓C．E是兩條平行直線 D．E是橢圓【變式5-3】（2024·山東德州·三模）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)k(k>0,k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(?4,0)，B(2,0)，點(diǎn)M滿足|MA||MB|=2，則點(diǎn)M的軌跡方程為（A．(x+4)2+y2C．x2+(y+4)【題型6與圓有關(guān)的對(duì)稱問題】【例6】（2024·浙江·模擬預(yù)測）圓C：x?12+y?22=2A．(x?1)2+(y+2)C．(x?2)2+(y?1)【變式6-1】（23-24高二上·安徽黃山·期末）圓M:(x?2)2+(y?1)2=1與圓N關(guān)于直線A．(x+1)2+(y+2)C．(x+2)2+(y+1)【變式6-2】（23-24高二下·云南昆明·階段練習(xí)）已知圓M:x+12+y+12=1與圓N:x?4A．10x?4y?23=0 B．10x+4y?23=0C．2x?5y?7=0 D．2x+5y+7=0【變式6-3】（2024·陜西寶雞·一模）已知圓x2+y2?2x+4y+4=0關(guān)于直線2ax?by?2=0A．2 B．1 C．12 D．【題型7圓系方程】【例7】（23-24高二下·湖南長沙·階段練習(xí)）過圓x2+y2?x+y?2=0和xA．x2+y2C．x2+y【變式7-1】（2024高二·遼寧·學(xué)業(yè)考試）過圓x2+y2?2y?4=0與x【變式7-2】（23-24高一下·江西九江·期中）經(jīng)過兩圓x2+y2+6x?4=0和x【變式7-3】（2024高三下·全國·專題練習(xí)）求過圓：x2+y2?2x+2y+1=0【題型8與圓有關(guān)的最值問題】【例8】（2024·西藏拉薩·二模）已知點(diǎn)M3,?3,N3,0，動(dòng)點(diǎn)P在圓O:x2A．1453 B．1653 C．1459【變式8-1】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)Px,y在以原點(diǎn)O為圓心，半徑r=7的圓上，則1xA．49 B．5+229 C．【變式8-2】（2024·湖北黃石·三模）已知在等腰直角三角形ABC中，CA=CB=4，點(diǎn)M在以C為圓心、2為半徑的圓上，則MB+12A．35?22 B．17 C．1+25【變式8-3】（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）已知圓C：(x?2)2+(y?2)2=4，直線l：(m+2)x?my?4=0，若l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為OA．43 B．63 C．415一、單選題1．（2024·吉林長春·三模）經(jīng)過A1,1，B?1,1，C0,2A．x+12+y?1C．x2+y?12．（2024·浙江·一模）圓C:x2+y2?2x+4y=0的圓心A．C1,?2,r=5C．C?1,2,r=53．（2024·江西·模擬預(yù)測）若點(diǎn)1,1在圓x2+y2?x?a=0A．?14,1 B．14,1 4．（2024·陜西銅川·三模）已知圓C:(x?a)2+(y?b)2A．4 B．5 C．6 D．75．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知圓O：x2+y2=2，點(diǎn)A(m,n)和點(diǎn)A．2 B．2 C．22 D．6．（23-24高二上·廣西玉林·期末）若直線l在x軸?y軸上的截距相等，且直線l將圓x2+y2?2x+4y=0A．x+y+1=0 B．x+y?1=0C．x+y+1=0或2x+y=0 D．x+y?1=0或2x+y=07．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M(2,0)，直線l:y=k(x?2)+1，點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為N，則△OMN面積的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（23-24高三上·遼寧大連·階段練習(xí)）已知圓C1:(x?2)2+(y?3)2=1，圓C2:x?32+y?42A．52?2 B．17?1 C．6+2二、多選題9．（2024·廣西·模擬預(yù)測）若點(diǎn)P1,0在圓C:x2+yA．?3 B．1 C．4 D．710．（2024·山西臨汾·三模）已知E,F是以C1,2為圓心，2為半徑的圓上任意兩點(diǎn)，且滿足CE⊥CF，P是EF的中點(diǎn)，若存在關(guān)于3,0對(duì)稱的A,B兩點(diǎn)，滿足PA?PB=0，則線段A．3 B．4 C．5 D．611．（2024·遼寧丹東·模擬預(yù)測）已知曲線E:x2+yA．曲線E圍成圖形面積為8+4πB．曲線E的長度為4C．曲線E上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離為2D．曲線E上任意兩點(diǎn)間最大距離4三、填空題12．（2024·湖南邵陽·三模）寫出滿足“點(diǎn)3,?2在圓x2+y2．13．（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知直線l1:x+ty?5=0，直線l2:tx?y?3t+2=0，l1與l2相交于點(diǎn)14．（2024·天津河西·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)A為圓C:(x?m)2+(y?m?1)2=2上一點(diǎn)，點(diǎn)B(3,0)，當(dāng)m變化時(shí)線段四、解答題15．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知過點(diǎn)1,0的動(dòng)直線l與圓C1:x2+(1)求圓C1(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程．16．（23-24高二上·湖南永州·期末）△ABC的頂點(diǎn)是A0,0，B?1,?1，(1)求邊AB上的高所在直線的方程；(2)求過點(diǎn)A，B，C的圓方程．17．（23-24高二上·