專(zhuān)題7.5 空間向量的概念與運(yùn)算(舉一反三)(新高考專(zhuān)用)(教師版) 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)練(新高考專(zhuān)用)_第1頁(yè)
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專(zhuān)題7.5空間向量的概念與運(yùn)算【六大題型】【新高考專(zhuān)用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1空間向量的線性運(yùn)算】 4【題型2空間共線向量定理的應(yīng)用】 6【題型3空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用】 8【題型4空間向量基本定理及其應(yīng)用】 11【題型5證明三點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面】 14【題型6空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算】 171、空間向量的概念與運(yùn)算考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)了解空間向量的概念,了解空間向量的基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示(2)掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示,掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示,能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直2023年新高考I卷:第18題,12分2024年上海卷:第15題,5分空間向量與立體幾何是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容,空間向量的概念與運(yùn)算是空間向量與立體幾何的基礎(chǔ).從近幾年的高考情況來(lái)看,空間向量的概念與運(yùn)算考查相對(duì)較少,常以選擇題、填空題的形式考查,主要涉及空間向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算與空間向量基本定理等,難度較易.【知識(shí)點(diǎn)1空間向量的有關(guān)概念】1.空間向量的概念(1)定義:在空間,具有大小和方向的量叫做空間向量.(2)長(zhǎng)度或模:向量的大?。?3)表示方法:①幾何表示法:空間向量用有向線段表示;②字母表示法:用字母a,b,c,…表示;若向量a的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B,也可記作eq\o(AB,\s\up6(→)),其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)幾類(lèi)特殊的空間向量名稱(chēng)定義及表示零向量長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量,記為0單位向量模為1的向量稱(chēng)為單位向量相反向量與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量,稱(chēng)為a的相反向量,記為-a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,那么這些向量叫做共線向量或平行向量.規(guī)定:對(duì)于任意向量a,都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱(chēng)為相等向量【知識(shí)點(diǎn)2空間向量的線性運(yùn)算】1.空間向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算加法a+b=eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(OB,\s\up6(→))減法a-b=eq\o(OA,\s\up6(→))-eq\o(OC,\s\up6(→))=eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當(dāng)λ>0時(shí),λa=λeq\o(OA,\s\up6(→))=eq\o(PQ,\s\up6(→));當(dāng)λ<0時(shí),λa=λeq\o(OA,\s\up6(→))=eq\o(MN,\s\up6(→));當(dāng)λ=0時(shí),λa=0運(yùn)算律交換律:a+b=b+a;結(jié)合律:a+(b+c)=(a+b)+c,λ(μa)=(λμ)a;分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.2.共線向量定理(1)共線向量定理對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb.(2)共線向量定理的用途:①判定兩條直線平行;②證明三點(diǎn)共線.【知識(shí)點(diǎn)3空間向量的數(shù)量積】1.空間向量的夾角(1)定義:已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)O,作eq\o(OA,\s\up6(→))=a,eq\o(OB,\s\up6(→))=b,則∠AOB叫做向量a,b的夾角,記作〈a,b〉.(2)范圍:0≤〈a,b〉≤π.特別地,當(dāng)〈a,b〉=eq\f(π,2)時(shí),a⊥b.2.空間向量的數(shù)量積定義已知兩個(gè)非零向量a,b,則|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的數(shù)量積,記作a·b.即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.規(guī)定:零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.性質(zhì)①a⊥b?a·b=0②a·a=a2=|a|2運(yùn)算律①(λa)·b=λ(a·b),λ∈R.②a·b=b·a(交換律).③a·(b+c)=a·b+a·c(分配律).3.空間向量夾角的計(jì)算求兩個(gè)向量的夾角:利用公式=求,進(jìn)而確定.4.空間向量數(shù)量積的計(jì)算求空間向量數(shù)量積的步驟:(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi),轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積.(3)代入求解.【知識(shí)點(diǎn)4空間向量基本定理及其應(yīng)用】1.空間向量基本定理如果三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.我們把{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底,a,b,c都叫做基向量.2.用基底表示向量的步驟:(1)定基底:根據(jù)已知條件,確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底.(2)找目標(biāo):用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量,需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則,結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn),最后求出結(jié)果.(3)下結(jié)論:利用空間的一個(gè)基底{,,}可以表示出空間所有向量.表示要徹底,結(jié)果中只能含有,,,不能含有其他形式的向量.3.證明平行、共線、共面問(wèn)題(1)對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb.(2)如果兩個(gè)向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使p=xa+yb.4.求夾角、證明垂直問(wèn)題(1)θ為a,b的夾角,則cosθ=eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a,b是非零向量,則a⊥b?a·b=0.5.求距離(長(zhǎng)度)問(wèn)題eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))=eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))=eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)))).6.利用空間向量基本定理解決幾何問(wèn)題的思路:(1)平行和點(diǎn)共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問(wèn)題;點(diǎn)線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問(wèn)題;(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問(wèn)題,解題中要注意角的范圍;(3)幾何中求距離(長(zhǎng)度)都可以轉(zhuǎn)化為向量的模,用向量的數(shù)量積可以求得.【知識(shí)點(diǎn)5空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算】1.空間向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,給定向量a,作eq\o(OA,\s\up6(→))=a.由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo),上式可簡(jiǎn)記作a=(x,y,z).2.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),有向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a+ba+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)減法a-ba-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)數(shù)乘λaλa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R數(shù)量積a·ba·b=a1b1+a2b2+a3b3【方法技巧與總結(jié)】1.三點(diǎn)共線:在平面中A,B,C三點(diǎn)共線(其中x+y=1),O為平面內(nèi)任意一點(diǎn).2.四點(diǎn)共面:在空間中P,A,B,C四點(diǎn)共面(其中x+y+z=1),O為空間中任意一點(diǎn).【題型1空間向量的線性運(yùn)算】【例1】(2024·山東棗莊·模擬預(yù)測(cè))如圖,在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中,化簡(jiǎn)AB?AD+CC1A.BD1 B.DB1 C.【解題思路】由空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行運(yùn)算.【解答過(guò)程】由長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征,有CC則AB?故選:B.【變式1-1】(2024·上?!つM預(yù)測(cè))設(shè)A、B、C、D為空間中的四個(gè)點(diǎn),則“AD=AB+AC”是“A、B、C、A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【解題思路】根據(jù)共面的性質(zhì),結(jié)合空間向量的加法和減法的幾何意義、充分性、必要性的定義進(jìn)行判斷即可.【解答過(guò)程】由AD=當(dāng)“A、B、C、D四點(diǎn)在同一條直線上時(shí),

A,B,C,D四點(diǎn)不共圓,若A、B、C、D四點(diǎn)共圓,當(dāng)ABCD是矩形時(shí),此時(shí)AC,BD為圓的直徑,滿足AD=AB+AC,而當(dāng)ABCD不是矩形時(shí),顯然AC,故選:D.【變式1-2】(23-24高二上·云南昆明·期末)已知四面體ABCD中,G是BD的中點(diǎn),則CA+12A.AG B.CG C.BG D.CB【解題思路】根據(jù)已知條件作出圖形,利用空間向量的加法法則即可得解.【解答過(guò)程】因?yàn)樗拿骟wABCD中,G是BD的中點(diǎn),所以CA+故選:B.【變式1-3】(23-24高二下·江蘇徐州·期中)在四棱柱ABCD?A1B1C1DA.AM=13C.AQ=14【解題思路】借助空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可得.【解答過(guò)程】AM=ABAQ=A故選:D.【題型2空間共線向量定理的應(yīng)用】【例2】(2024·貴州六盤(pán)水·模擬預(yù)測(cè))已知e1,e2,e3不共面,若AB=e1+e2A.0 B.1 C.2 D.3【解題思路】根據(jù)向量共線設(shè)AB=xBC,從而得到方程組,求出【解答過(guò)程】因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以AB=x即e1+e2+所以λ+μ=1+1=2.故選:C.【變式2-1】(23-24高二上·北京·期中)已知MA,MB是空間兩個(gè)不共線的向量,MC=5A.MA,MC共線 B.C.MA,MB,MC共面【解題思路】利用空間向量的共線定理與共面定理.【解答過(guò)程】若MA,MC共線,則又MC=5MA?3與條件矛盾,故A錯(cuò)誤;同理若MB,MC共線,則又MC=5MA?3與條件矛盾,故B錯(cuò)誤;根據(jù)空間向量的共面定理可知MA,故選:C.【變式2-2】(23-24高二上·安徽·期末)在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A0,0,1,B1,2,3,Cm,n,2,若向量AB與向量BC共線,則mA.0 B.12 C.1 D.【解題思路】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系直接求解可得.【解答過(guò)程】根據(jù)題意:AB=1,2,2,AB與BC共線,所以BC=λ可得λ=?12,故選:B.【變式2-3】(23-24高二上·遼寧大連·期末)在四面體ABCD中,E為AD的中點(diǎn),G為平面BCD的重心.若AG與平面BCE交于點(diǎn)F,則AFAG=(A.12 B.23 C.34【解題思路】根據(jù)共線定理及空間向量線性運(yùn)算可得結(jié)果.【解答過(guò)程】如圖:連接DG交BC于H,則H為BC中點(diǎn),連接AH,EH,AG,因?yàn)锳G?平面AHD,EH?平面AHD,設(shè)AG∩EH=K,則K∈EH,K∈AG,又EH?平面BCE,所以K∈平面BCE,故K為AG與平面BCE的交點(diǎn),又因?yàn)锳G與平面BCE交于點(diǎn)F,所以F與K重合,又E為AD的中點(diǎn),G為平面BCD的重心,因?yàn)辄c(diǎn)A,F(xiàn),G三點(diǎn)共線,則AF=m=又因?yàn)辄c(diǎn)E,F(xiàn),H三點(diǎn)共線,則AF=xAF=x所以m3=x2x+y=1m3故選:C.【題型3空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用】【例3】(2023·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè))在四面體ABCD中,AB=3,BC=4,CD=5,DA=6,則AC?BD的值為(A.7 B.9 C.11 D.13【解題思路】根據(jù)空間數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【解答過(guò)程】因?yàn)锳C=AB+所以AC=16+AB又AB+BC+即AB2即32所以AB?所以AC?

故選:B.【變式3-1】(2024·江西贛州·二模)已知球O內(nèi)切于正四棱錐P?ABCD,PA=AB=2,EF是球O的一條直徑,點(diǎn)Q為正四棱錐表面上的點(diǎn),則QE?QF的取值范圍為(A.[0,2] B.[4?23,2] C.[0,4?3【解題思路】根據(jù)給定條件,利用體積法求出球O半徑,再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即得.【解答過(guò)程】令H是正四棱錐P?ABCD底面正方形中心,則PH⊥平面ABCD,而AH=2則PH=PA2?AH正四棱錐P?ABCD的表面積S=4×3顯然球O的球心O在線段PH上,設(shè)球半徑為r,則V=13Sr在△POA中,∠PAO<45°=∠APO,于是OA>OP,又EF因此QE?顯然OH≤QO≤AO,則(QE?QF所以QE?QF的取值范圍為故選:A.【變式3-2】(2024·河南新鄉(xiāng)·二模)已知圓錐MO的底面半徑為3,高為1,其中O為底面圓心,AB是底面圓的一條直徑,若點(diǎn)P在圓錐MO的側(cè)面上運(yùn)動(dòng),則PA?PB的最小值為(A.?94 B.?32 C.【解題思路】由PA?PB=OA?OP?【解答過(guò)程】圓錐MO的底面半徑為3,高為1,其中O為底面圓心,AB是底面圓的一條直徑,則有OA=?OB,點(diǎn)P在圓錐MO的側(cè)面上運(yùn)動(dòng),則PA?OP最小時(shí),PA?PB有最小值,OP的最小值為Rt△MOA中,OA=3,OM=1,則AM=2,O點(diǎn)到MA的距離則OP的最小值為32,PA?PB故選:A.【變式3-3】(2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))已知圓錐SO的底面半徑為2,點(diǎn)P為底面圓周上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q為側(cè)面(異于頂點(diǎn)和底面圓周)上任意一點(diǎn),則OP?OQ的取值范圍為(A.?4,4 B.?4,4 C.?2,2 D.?2,2【解題思路】利用空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積公式結(jié)合夾角余弦的范圍計(jì)算即可.【解答過(guò)程】如圖所示,延長(zhǎng)SQ交底面圓周于B,過(guò)Q作QG⊥底面圓于G點(diǎn),顯然OP?由題意可知cosOP所以O(shè)P?OQ的取值范圍為故選:A.【題型4空間向量基本定理及其應(yīng)用】【例4】(2023·福建福州·三模)在三棱錐P-ABC中,點(diǎn)O為△ABC的重心,點(diǎn)D,E,F(xiàn)分別為側(cè)棱PA,PB,PC的中點(diǎn),若a=AF,b=CE,c=A.13a+13b+13【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算,結(jié)合重心的性質(zhì)即可求解.【解答過(guò)程】取BC中點(diǎn)為M,a三個(gè)式子相加可得a+又OP==?PA故選:D.【變式4-1】(23-24高二下·四川成都·期末)已知在四面體O?ABC中,a=OA,b=OB,c=A.3 B.34 C.12 【解題思路】根據(jù)空間向量的基本定理與應(yīng)用即可求解.【解答過(guò)程】MN=又MN=xa+y所以x+y+z=3故選:B.【變式4-2】(2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè))如圖,在所有棱長(zhǎng)均為1的平行六面體ABCD?A1B1C1D1中,M為A1

A.54 B.34 C.52【解題思路】以AA1,AD,AB作為一組基底表示出BM,再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出【解答過(guò)程】依題意BM=A所以BM==1所以BM=52故選:C.【變式4-3】(23-24高二上·湖北·開(kāi)學(xué)考試)在四面體ABCD中(如圖),平面ABD⊥平面ACD,△ABD是等邊三角形,AD=CD,AD⊥CD,M為AB的中點(diǎn),N在側(cè)面BCD上(包含邊界),若MN=xAB+yAC+z

A.若x=12,則MN∥平面ACD B.若z=0C.當(dāng)MN最小時(shí),x=14 D.當(dāng)MN【解題思路】根據(jù)可證CD⊥平面ABD,設(shè)BN=λBC+μBD,且λ,μ∈0,1,λ+μ≤1,進(jìn)而可得x=12?λ?μy=λz=μ,對(duì)于A:若x=12,則點(diǎn)N即為點(diǎn)B,進(jìn)而可得結(jié)果;對(duì)于B:若z=0,可得點(diǎn)N在線段BC【解答過(guò)程】因?yàn)锳D⊥CD,平面ABD⊥平面ACD,平面ABD∩平面ACD=AD,CD?平面ACD,所以CD⊥平面ABD,且BD?平面ABD,可得CD⊥BD,又因?yàn)镹在側(cè)面BCD上(包含邊界),設(shè)BN=λBC+μ可得MN=1又因?yàn)镸N=xAB+yAC+z對(duì)于選項(xiàng)A:若x=12?λ?μ=12,則λ=μ=0顯然MN∩平面ACD=A,故A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B:若z=μ=0,則BN=λBC,可得點(diǎn)N在線段由CD⊥平面ABD,可知當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)N為點(diǎn)B,MN⊥CD,故B錯(cuò)誤;過(guò)M作ME⊥BD,垂足為E,可得BE=BM?

因?yàn)镃D⊥平面ABD,ME?平面ABD,則ME⊥CD,且BD∩CD=D,BD,CD?平面BCD,所以ME⊥平面BCD,可得MN=對(duì)于選項(xiàng)C:顯然當(dāng)點(diǎn)N即為點(diǎn)E時(shí),MN最小,此時(shí)λ=0,μ=1可得y=0,z=1對(duì)于選項(xiàng)D:顯然當(dāng)點(diǎn)N即為點(diǎn)C時(shí),NE最大,則MN最大,此時(shí)λ=1,μ=0,可得y=1,z=0,x=1故選:C.【題型5證明三點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面】【例5】(23-24高三上·四川成都·開(kāi)學(xué)考試)在四棱柱ABCD?A1B1C

(1)當(dāng)k=34時(shí),試用AB,(2)證明:E,F,G,H四點(diǎn)共面;【解題思路】(1)根據(jù)空間向量線性運(yùn)算進(jìn)行求解;(2)設(shè)AC=λAB+μAD(【解答過(guò)程】(1)四棱柱ABCD?A1B因?yàn)閗=3所以AF=1(2)設(shè)AC=λAB+μEG=kλD則EF,EG,EH共面且有公共點(diǎn)E【變式5-1】(2024高二上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí))已知O,A,B,C,D,E,F,G,H為空間9個(gè)點(diǎn)(如圖),并且OE=kOA,OF=kOB,(1)A,B,C,D四點(diǎn)共面;(2)AC//(3)OG=k【解題思路】(1)根據(jù)向量的共面定理,即可求解;(2)根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則,準(zhǔn)確運(yùn)算,即可求解;(3)根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則,準(zhǔn)確運(yùn)算,即可求解.【解答過(guò)程】(1)解:因?yàn)锳C=由共面向量的基本定理,可得AC,又因?yàn)锳C,AD,AB有公共點(diǎn)(2)解:因?yàn)镺E=k則EG==kAD所以AC//(3)解:由(1)及OE=k可得EG=k所以O(shè)G=EG?【變式5-2】(23-24高二上·上?!ふn后作業(yè))四棱柱ABCD?A′B′C′D′的六個(gè)面都是平行四邊形,點(diǎn)M在對(duì)角線A′(1)設(shè)向量AB=a,AD=b,AA′=c,用a、(2)求證:M、N、D′【解題思路】(1)借助空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可得;(2)借助向量共線定理證明MN//【解答過(guò)程】(1)因?yàn)锳′M=所以D′又因?yàn)锳′N(xiāo)=所以D=1(2)因?yàn)镸N=14BC所以MN=14MD′,即【變式5-3】(23-24高二下·江蘇連云港·階段練習(xí))已知a,b,c是空間中不共面的向量,若AB=2a?b+(1)若B,C,D三點(diǎn)共線,求m,n的值;(2)若A,B,C,D四點(diǎn)共面,求mn的最大值.【解題思路】(1)由B,C,D三點(diǎn)共線可設(shè)BD=λBC,列方程求(2)由A,B,C,D四點(diǎn)共面可設(shè)AD=xAB+yAC,列方程可得【解答過(guò)程】(1)因?yàn)锽,C,D三點(diǎn)共線,則BD=λ又BC=AC?有?3=?λ,m+1=3λ,n?1=?2λ.}解得(2)因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)共面,則AD=x則?a+mb有?1=2x+y,m=?x+2y,n=x?y.解得所以mn=m??1?3m當(dāng)m=?16時(shí),mn【題型6空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算】【例6】(2024·河南·模擬預(yù)測(cè))已知空間向量a=1,2,0,b=(0,?1,1),c=(2,3,m)A.1 B.2 C.3 D.4【解題思路】根據(jù)空間向量共面定理可知存在一對(duì)有序?qū)崝?shù)(x,y),使c=x【解答過(guò)程】因?yàn)閍=1,2,0,所以存在一對(duì)有序?qū)崝?shù)(x,y),使c=x所以(2,3,m)=x(1,2,0)+y(0,?1,1)=(x,2x?y,y),所以x=22x?y=3y=m,解得故選:A.【變式6-1】(2023·西藏日喀則·一模)已知向量a→=(?2,1,3),b→=(?1,1,x),若a與bA.2 B.52 C.213 【解題思路】根據(jù)垂直關(guān)系可得x,進(jìn)而根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算以及模長(zhǎng)公式即可求解.【解答過(guò)程】由于a與b垂直,所以a?b=2+1+3x=0?x=?1故a+2故選:D.【變式6-2】(2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè))已知a=(2,?2,?3),b=(2,0,4),則cos?A.48585 B.?485【解題思路】利用空間向量的夾角余弦值公式cos<【解答過(guò)程】解:∵a=(2,?2,?3),b∴cos故選:B.【變式6-3】(2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))設(shè)A,B,C三點(diǎn)在棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上,則AB?AC的最小值為(A.?94 B.?2 C.?3【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系,不妨假設(shè)A在平面xOy中,設(shè)Aa1,a2,0,Bb1,b2,b3,【解答過(guò)程】將正方體置于空間直角坐標(biāo)系O?xyz中,且A在平面xOy中,點(diǎn)O和點(diǎn)2,2,2的連線是一條體對(duì)角線.設(shè)Aa1,a2B′b1,b2,0和C可得B′B=(0,0,b3)則AB=A因?yàn)锳B當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C為B′可得?A所以AB?AC≥?2,當(dāng)A1,1,0,故選:B.一、單選題1.(2024·河北·模擬預(yù)測(cè))如圖,在四面體ABCD中,G為△ACD的重心,若BG=xAB+yAC+zA.?13 B.13 C.?【解題思路】根據(jù)題意,由空間向量的運(yùn)算,代入計(jì)算,即可得到結(jié)果.【解答過(guò)程】如圖,連接AG并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)E.則E為CD的中點(diǎn),所以BG=所以x?y+z=?1+1故選:A.2.(2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè))設(shè)x,y∈R,a=1,1,1,b=1,y,zA.22 B.0 C.3 D.【解題思路】根據(jù)向量的垂直和平行,先求出x,y,z的值,再求所給向量的模.【解答過(guò)程】由a⊥c?a?c=0?x?4+2=0由b∥c?12=y?4=所以2a+b=故選:D.3.(24-25高二上·上?!ふn后作業(yè))設(shè)e1,e2是空間兩個(gè)不共線的非零向量,已知AB=2e1+ke2,BC=e1+3eA.-8 B.-4 C.-2 D.8【解題思路】利用空間向量共線定理求解即可.【解答過(guò)程】因?yàn)锳、B、D三點(diǎn)共線,所以?λ∈R,使得AB又AB=2e1+ke所以AD則2則λ=2,λk+4=k,故選:A.4.(2024·湖南長(zhǎng)沙·一模)在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AAA.10.5 B.12.5C.22.5 D.42.5【解題思路】將AB,AD,【解答過(guò)程】由題意得AC=AB+因?yàn)锳B=4,AD=3,AA1=5,∠BAD=90°所以AC=?=?=?16+4×5=?16+10+9+7.5=10.5,故選:A.5.(2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中,已知AP=AB+A.1 B.2 C.322 【解題思路】根據(jù)題意,得到BC=14BM,再由面面平行的性質(zhì),證得【解答過(guò)程】如圖所示,因?yàn)锳P=AB+因?yàn)槠矫鍭DD1A1//平面BCC1B1,設(shè)平面A又因?yàn)锳D1過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC,PF⊥BB1,可得則E為BC的中點(diǎn),F(xiàn)為BB又因?yàn)镸N//BC1,所以M為BC的四等分點(diǎn),所以故選:C.

6.(2024·山東日照·二模)已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1,以正方體中心為球心的球O與正方體的各條棱相切,若點(diǎn)A.2 B.74 C.34 【解題思路】取AB中點(diǎn)E,根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算得PA?PB=【解答過(guò)程】取AB中點(diǎn)E,可知E在球面上,可得EB=?所以PA?

點(diǎn)P在球O的正方體外部(含正方體表面)運(yùn)動(dòng),當(dāng)PE為直徑時(shí),PEmax所以PA?PB的最大值為故選:B.7.(2023·河南·模擬預(yù)測(cè))如圖,在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中,底面ABCD,側(cè)面A1ADD1都是正方形,且二面角A1?AD?B的大小為

A.3 B.5 C.7 D.3【解題思路】根據(jù)平行六面體的結(jié)構(gòu)特征及向量對(duì)應(yīng)線段位置關(guān)系,結(jié)合向量加法、數(shù)乘的幾何意義用AB,AD,AA【解答過(guò)程】在平行六面體ABCD?A1B又P是C1D,CD1的交點(diǎn),所以所以AP=由題意AB?AD=0,AB所以AP2=1故選:B.8.(2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè))《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)為“陽(yáng)馬”,現(xiàn)有一陽(yáng)馬P?ABCD,PA⊥面ABCD,PA=AB=AD=2,M為底面ABCD及其內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且滿足PM=5,則PM?BMA.[1?22,1+22] B.[?1,2] C.【解題思路】由已知可求得|AM|=1,建立空間坐標(biāo)系,利用已知設(shè)Mcosθ,sin【解答過(guò)程】PA⊥平面ABCD,PA=AB=AD=2,連接PM,AM,由|PM|=5,可得AM四邊形ABCD為矩形,以AB,AD,AP為x,y,z軸建立如圖所示坐標(biāo)系,則B2,0,0,D0,2,0,P0,0,2,設(shè)則PM=所以PM=因?yàn)棣取?,π2,則cos所以PM?故選:D.二、多選題9.(23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè))如圖所示,在正方體ABCD?A1BA.AB+BC+CCC.AB+BB1+【解題思路】利用向量加法的運(yùn)算,對(duì)四個(gè)式子逐一計(jì)算出結(jié)果,由此得出正確選項(xiàng).【解答過(guò)程】對(duì)于A,AB+對(duì)于B,AA對(duì)于C,AB+對(duì)于D,AA故選:ABCD.10.(2024·山東淄博·二模)如圖,在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1,且它們彼此的夾角都是π3,M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若AB=a,ADA.CM=?12C.BD1=【解題思路】由題意可知,a?【解答過(guò)程】由題意可知,a?對(duì)于A,CM=CC對(duì)于B,又因?yàn)锳C所以CM?所以CM,AC對(duì)于C,BD1=對(duì)于D,AD?BD故選:AD.11.(2024·江蘇南京·二模)已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2,A.A1P//平面BC.PC1≥【解題思路】由面面平行的判定及性質(zhì)即可判斷A;以AB,AD,AA1為基底,證明出【解答過(guò)程】對(duì)于A,連接CD由平行六面體ABCD?A1B1C1D1得,平面因?yàn)槠矫鍭1BCD1∩平面AB所以A1B//因?yàn)镃D1?平面B1C所以A1B//平面B1C因?yàn)锳1B∩BD=B,A1B,所以平面A1BD//又A1P?平面A1BD,所以對(duì)于B,以AB,則AC1=AB+因?yàn)槠叫辛骟wABCD?A1B所以ACAC所以AC因?yàn)锽D,BA1?平面A所以AC1⊥平面A1BD所以AC對(duì)于D,AP+AC12所以AP+PC對(duì)于C,因?yàn)锳C1⊥平面A1BD,則AC1則∠AOP=∠C在△A1BD中,由正弦定理得外接圓直徑2R=2sin60°,設(shè)OP=x∈[0,在Rt△APO中,AP在Rt△C1則PC所以PC故選:ABD.三、填空題12.(2024·上海·三模)已知空間向量a=1,?1,0,b=0,1,1,c=1,2,m【解題思路】根據(jù)空間向量共面得到c=xa【解答過(guò)程】設(shè)c=xa+y故x=1?x+y=2m=y,解得故答案為:3.13.(2024·山東濟(jì)南·一模)在三棱柱ABC?A1B1C1中,AM=2MB,A1N=m【解題思路】利用三棱柱模型,選擇一組空間基底AB=a,AC=b,【解答過(guò)程】如圖,不妨設(shè)AB=a,MC=因A1N又因BN//平面A1CM,故即存在λ,μ∈R,使BN=λM從而有?23(λ+μ)=?1故答案為:1214.(2024·遼寧·一模)已知e1,e2是空間單位向量,e1,e2=105°,若空間向量a滿足a?e1=1,【解題思路】首先分析題意,由?e1,e2?=105°結(jié)合空間向量的數(shù)量積定義求解【解答過(guò)程】因?yàn)?e1=cos又因?yàn)閷?duì)于任意的x,y∈R,則當(dāng)x=x0,y=則當(dāng)a=a令fx由二次函數(shù)性質(zhì)得當(dāng)x=1?2令gy=8+4316故a2故答案為:5.四、解答題15.(23-24高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí))已知平行六面體ABCD?A

(1)AB+(2)DD(3)

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