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文檔簡介

九年級上

人教版24.1.2垂直于弦的直徑學習目標新課引入新知學習課堂小結(jié)12341.理解圓的對稱性.2.探索并證明垂徑定理的性質(zhì)和推論.3.靈活運用垂徑定理解決相關(guān)的計算與應(yīng)用.學習目標重點難點新課引入圓的定義是什么?·旋轉(zhuǎn)定義:在一個平面內(nèi),線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周,另一個端點A所形成的圖形叫做圓.集合定義:圓心為O,半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合什么叫做弦?連接圓上任意兩點的線段叫做弦,經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.弦直徑什么叫做???連圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧.弧我們學習完圓的定義后,這節(jié)課來學習一下圓的性質(zhì)探究問題1:剪一個圓形紙片,沿著它的任意一條直徑對折,重復(fù)做幾次,

你發(fā)現(xiàn)了什么?由此你能得到什么?

圓是軸對稱圖形,任意一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸.新知學習溫馨提示:因為對稱軸是直線,而直徑是線段,所以不能說圓的直徑是圓的對稱軸.問題2:你能證明上述結(jié)論嗎?如圖,設(shè)CD是⊙O的任意一條直徑,A為⊙O上點C,D以外的任意一點.該怎么證明前面的結(jié)論呢?OA'DMA·C證明:過點A,作AA′⊥CD,交⊙O于點A′,垂足為M,連接OA,OA′.在△OAA′中,OA=OA′,所以△OAA′是等腰三角形.又∵AA′⊥CD,∴AM=MA′.即CD是AA′的垂直平分線對于圓上任意一點A,在圓上都有關(guān)于直線CD的對稱點A′,因此⊙O關(guān)于直線CD對稱.即圓是軸對稱圖形,任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.如圖,AB是⊙O的一條弦,直徑

CD⊥AB,

垂足為E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和弧?·ODEABC

二、垂徑定理及其推論線段:AE=BE?。?/p>

CD是⊙O直徑CD⊥ABAE=BE((AD=BD((AC=BC你能證明嗎?

垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.歸納∵CD

是⊙O

的直徑,CD⊥AB于點E,∴

AE=BE,

數(shù)學語言:·ODEABC

文字語言:一條直線若滿足:①過圓心②垂直于弦

則③平分弦

④平分弦所對的優(yōu)?、萜椒窒宜鶎Φ牧踊?/p>

過圓心例1下列圖形是否具備垂徑定理的條件?如果不是,請說明為什么?是不是,因為沒有垂直是不是,因為CD沒有過圓心OABCABDCOEABOECABOCDE①過圓心

②垂直于弦例2

如圖,OE⊥AB于E,若⊙O的半徑為10cm,點O到直線AB的距離為

6cm,則AB=

cm.·OABE解析:連接

OA,作OE垂直AB

∵OE⊥AB,∴AB=2AE=16(cm).16∴(cm).做輔助線的方法:①連半徑②作弦心距

例3

如圖,⊙O的弦AB=8cm,直徑

CE⊥AB于

D,DC=2cm,求半徑OC的長.·OABECD解:連接

OA.∵

CE⊥AB于

D,∴設(shè)

OC=OA=xcm,則

OD=x-2,根據(jù)勾股定理,得解得x=5.即半徑

OC的長為5cm.x2=42+(x-2)2,做輔助線的方法:連半徑

例4如圖a、b,一弓形弦長為cm,弓形所在的圓的半徑為7cm,則弓形的高為____________.C圖bDCBOADOAB圖a2cm或12cm指弧中點到弦的距離試一試上面我們學習了垂徑定理的文字語言描述如下:

·ODEABC

一條直線若滿足:①過圓心②垂直于弦則③平分弦④平分弦所對的優(yōu)?、萜椒窒宜鶎Φ牧踊?/p>

已知①②

可推出③④⑤猜想:已知①③

?②④⑤猜想1:如果有一條直徑平分一條弦,那么它就能垂直于這條弦,也能評分這條弦,也能平分這條弦所對的兩條弧

·ODEA圖示:·ODABC

C

B·ODEABC

·ODEABC

被平分的弦是直徑被平分的弦不是直徑猜想1:如果有一條直徑平分一條弦,那么它就能垂直于這條弦,也能評分這條弦,也能平分這條弦所對的兩條弧

圖示:·ODABC

被平分的弦是直徑反例:·ODABC

直徑雖然平分弦但不垂直于弦所以猜想1有問題,我們不妨要求被平分的弦不能是直徑,提出猜想2再來研究一下是否成立猜想2:如果有一條直徑平分一條不是直徑的弦,那么它就能垂直于這條弦,也能評分這條弦,也能平分這條弦所對的兩條弧

已知:如圖,CD

是⊙O

的直徑,CD平分弦AB于點E.求證:CD

⊥AB于點E

,=

,=·ODEABC

證明:

連接

AO、BO,則

AO=BO.在△OAB中,∵OA=OB∴△OAB是等腰三角形.∵CD平分弦AB于點E,∴OE⊥AB于點E,即CD⊥AB與點E.∴=

,=

推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.∵CD

是⊙O

的直徑,CD平分AB于點E,∴

CD⊥AB于點E,

數(shù)學語言:·ODEAC

B試一試:更換條件你還能證明嗎?探究①過圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對的優(yōu)?、萜椒窒宜鶎Φ牧踊?/p>

猜想3:已知①⑤

?②③④猜想3:平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分這條弦,并且平分弦所對的另一條弧.·ODEAC

B正確已知結(jié)論

命題①②③④⑤垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條?、佗邰冖堍萜椒窒遥ú皇侵睆剑┑闹睆酱怪庇谙?,并且平分弦所對的兩條?、佗堍冖邰萜椒窒宜鶎Φ囊粭l弧的直徑,垂直平分這條弦,并且平分弦所對的另一條?、佗茛冖邰堍冖邰佗堍菹业拇怪逼椒志€過圓心,并且平分這條弦所對的兩條?、冖堍佗邰荽怪庇谙也⑶移椒窒宜鶎Φ囊粭l弧的直線過圓心,并且平分弦和所對的另一條?、冖茛佗邰堍邰堍佗冖萜椒窒也⑶移椒窒宜鶎Φ囊粭l弧的直線經(jīng)過圓心,垂直于弦,并且平分弦所對的另一條弧③⑤①②④④⑤①②③平分弦所對的兩條弧的直線經(jīng)過圓心,并且垂直平分弦歸納例5趙州橋(如圖)是我國隋代建造的石拱橋,距今約有1400年的歷史,是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.23m,求趙州橋主橋拱的半徑(結(jié)果保留小數(shù)點后一位).分析:解決此問題的關(guān)鍵是根據(jù)趙州橋的實物圖畫出幾何圖形.解:如圖,用

表示主橋拱,設(shè)

所在圓的圓心為O,半徑為R.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC,D為垂足,OC與

相交于點C,連接OA,根據(jù)垂徑定理,D是AB的中點,C是

的中點,CD就是拱高.由題設(shè)可知

AB=37,CD=7.23,所以AD=AB=×37=18.5,

OD=OC-CD=R-7.23.在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,即R2=18.52+(R-7.23)2.解得R≈27.3.因此,趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.1.在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油,截面如圖所示,已知截面⊙O半徑為

5cm,油面寬

AB為

6cm,如果再注入一些油后,油面寬變?yōu)?/p>

8cm,則油面

AB上升了()cm.A.1 B.3 C.3或4 D.1或7D思路點撥:上升的過程中油面寬度為8cm不止是一個時刻。注意圓中的多種情況隨堂練習2.如圖,已知AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,若AB=10,CD=8,則圖中陰影部分的面積為

.

203.如圖,⊙P與y軸交于點M(0,﹣4),N(0,﹣10),圓心P的橫坐標為﹣4.則⊙P的半徑為()A.3B.4C.5

D.6C思路點撥:將點坐標轉(zhuǎn)化為線段長度4.工人師傅為檢測該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求,設(shè)計了一個如圖(1)所示的工件槽,其兩個底角均為90°,將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時,若同時具有圖(1)所示的A、B、E三個接觸點,該球的大小就符合要求.圖(2)是過球心及A、B、E三點的截面示意圖,已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑,AB是⊙O的弦,CD切⊙O于點E,AC⊥CD、BD⊥CD,若CD=16cm,AC=BD=4cm,則這種鐵球的直徑為()A.10cm B.15cm C.20cm D.24cmC1、垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧2、垂徑定理推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.【知二推三】課堂小結(jié)3、常見輔助線:①連半徑;②做弦的垂線構(gòu)造直角三角形,有如下關(guān)系:已知結(jié)論

命題①②③④⑤垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧①③②④⑤平分弦

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