中考數(shù)學壓軸題匯編(含解題過程)

中考數(shù)學壓軸題匯編

（含解題過程）

（年北京）25.如圖，在平面直角坐標系x0y中，A3C三個機戰(zhàn)的坐標分別為

A（-6,0）.8（6,0）,。（0,4班），延長AC到點D,使CD=，AC,過點D作DE〃AB交

BC的延長線于點E.

（1）求D點的坐標；

（2）作C點關于直線DE的對稱點F,分別連結(jié)DF、EF,若過B點的直線y=依+。將四

邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式;

（3）設G為y軸上一點，點P從直線y=履+力與y軸的交

點出發(fā)，先沿y軸到達G點，再沿GA到達A點，若P點在y

軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定G

點的位置，使P點按照上述要求到達A點所用的時間最短。（要

求：簡述確定G點位置的方法，但不要求證明）

25.?：(I)V附-6.0).6O.S與).

OAa6.OC?4”.

設"E'j,輸麥丁?點W

AlDE//AHAOWC-A4OC.

乂CD^^AC.

ACMn2值WOB3

HflfnTWCW.3.

.-.fW?67S.

A?點的坐標為(3.64).

(2)Ih(l)可得點v的坐標為(0.6J3).

illDt：AH.EXt=yn.

"j得,輸所在在線是拽段ED的垂在邛分線.

:一點C把kfii線?！甑膶δ泓c戶住y軸I

AE"可<>'互相垂比出

CDW=FE?tiC.

/.四邊形C"F￡為菱形.且點”為其對稱中心.

作fl線8"

設/Mf與Cl).EF分別交于點S.點r.uTIfAATW'SACSW.

FT=CS.

FE-(：l>

IE=5〃

?.?fct=DF

:.TE?EC+CS+ST—)F+FT+TS.

:.ft設HW將網(wǎng)邊形CAFE分成周長相等的兩個四邊形.

山點做6.0),點M0.?v3)在“線y=h+4h.

可和H線8M的斛析式為,*-歷+6Q.

(3)確定C點位?t的方法：過I點作WL8M尸點〃.則"/與，釉的交點為所求的

C點.

由""=6."M=6、，§.

可用zOW?f=60°.

484〃=30°.

ARlAOtC中.OC=40-tanZBAH=26.

<：點的飛標為(0.2、亍).(或。點的位為為找段OC的中點)

（2009年重慶市）26.已知：如圖，在平面直角坐標系X0y中，矩形04BC的邊OA在y

軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=2,OC=3.過原點。作NAOC的平分線交AB

于點。，連接。C,過點。作。ELOC,交。4于點E.

（1）求過點E、。、C的拋物線的解析式；

（2）將NEDC繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)后，角的一邊與y軸的正半軸交于點凡另一邊與

線段OC交于點G.如果￡＞尸與（1）中的拋物線交于另一點M,點〃的橫坐標為那么

5

EF=2G。是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

（3）對于（2）中的點G,在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點。，使得直線G。與

AB的交點尸與點C、G構成的aPCG是等腰三角形？若存在，請求出點。的坐標；若不存

在，請說明理由.

26.解:(1)由己知，得。(3,0),0(2,2),

ZADE=90°-ZCDB=NBCD，

AE=A￡)?tanZADE=2xtanZBCD=2x—=1.

2

E(0,l)...........................................................(1分)

設過點E、D、C的拋物線的解析式為'=62+法+c(aw0).

將點￡的坐標代入，得c=l.

將c=l和點￡＞、C的坐標分別代入，得

4。+2b+1=2,

4......................................................(2分)

[9〃+3。+1=0.

5

a=--

解這個方程組，得I56

b,=1—3

、6

故拋物線的解析式為y二—?5%20+」13]+1.................................(3分)

66

(2)EF=2GO成立.....................................................（4分）

點M在該拋物線上，且它的橫坐標為9,

5

12

.??點M的縱坐標為一.

5

設DM的解析式為y=丘+4工0）,

將點。、M的坐標分別代入，得

2k+瓦=2,

<6,,12解得<

15'5b,—3.

O0的解析式為y=—；x+3.

（6分）

F（0,3）,EF=2.........（7分）

過點。作。K_LOC于點K,

則ZM=DK.

ZADK=ZFDG=90°,

:.ZFDA^ZGDK.

又-/FAD=/GKD=90°,

:.ADAF^ADKG.

：.KG=AF=\.

:.GO^\...........................................................(8分)

:.EF=2GO.

(3)點尸在AB上,G(l,0),C(3,0),則設尸(1,2).

PG2=a-l)2+22,PC2=(3-02+22,GC=2.

①若PG=PC,則(-1)2+22=(3-廳+22,

解得t=2.P(2,2),此時點。與點P重合.

Q(2,2).（9分）

②若PG=GC,則("1)2+22=22,

解得t=\,.-.P(L2),此時GPLx軸.

GP與該拋物線在第一象限內(nèi)的交點。的橫坐標為1,

7

.??點。的縱坐標為底

........................................................（1。分）

③若PC=GC,則(3-f『+22=22,

解得。=3,P(3,2),此時PC=GC=2,△PCG是等腰直角三角形.

過點。作QH_Lx軸于點”，

則QH=GH,設QH=〃，

/.Q(h+1,〃).

5,13

/.——(〃+I)?+—優(yōu)+1)+1=。.

66

7

解得"=丁色=一2(舍去).

(12分)

綜上所述，存在三個滿足條件的點0,

即Q(2,2)或Q

(2009年重慶秦江縣)26.(11分)如圖，己知拋物線y=a(x—1)2+3由(aNO)經(jīng)過點

A(—2,0),拋物線的頂點為。，過。作射線。M〃A￡>.過頂點。平行于無軸的直線交

射線。用于點C,6在x軸正半軸上，連結(jié)BC.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若動點P從點。出發(fā)，以每秒1個長度單位的速度沿射線OM運動，設點尸運動的

時間為f(s).問當f為何值時，四邊形D40P分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？

(3)若OC=QB,動點尸和動點。分別從點。和點3同時出發(fā)，分別以每秒1個長度單

位和2個長度單位的速度沿OC和80運動，當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止

運動.設它們的運動的時間為f(s),連接P。，當，為何值時，四邊形的面積最??？

0=9。+3V3a-----1分

3

???二次函數(shù)的解析式為：y^-—x2+—x+—3分

333

(2),。為拋物線的頂點.?.0(1,3百)過。作ON_L03于N,則ON=36,

A7V=3,r.A。=J32+(36)2=6.?."40=60°.......................................................4分

OM//AD

①當A￡>=OP時，四邊形D40P是平行四邊形

OP=6t=6(s)...................................................5分

②當OPLQM時，四邊形D40P是直角梯形

過。作O”_LAD于”，49=2,則AH=1

(如果沒求出ZDAO=60°可由RtAOHA口RtADNA求AH=1)

：.OP=DH=5f=5(s)....................................................................................................6分

③當PD=O4時，四邊形OAOP是等腰梯形

.?.OP=AD—2AH=6—2=4.」=4(s)

綜上所述：當1=6、5、4時，對應四邊形分別是平行四邊形、直角梯形、等腰梯形?一7分

(3)由(2)及已知，NCOB=60°,OC=QB,Z\OCB是等邊三角形

則O8=OC=AD=6,OP=t,3Q=2t,.?.OQ=6—2r(0<r<3)

過P作PEJ.OQ于E,則=...............................................................................8分

??SBCPQ=—x6x85/3--x(6-2r)x—r

222

當，=3時，S&CPO的面積最小值為

........................................................................10分

28

33.?3=3-3'PE=%

此時OQ=3,OP=-,OE

4444

上。=心￡2+。爐=3,

F11分

（2009年河北?。?6.（本小題滿分12分）

如圖16,在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=3,AB=5.點P從點C出發(fā)沿C4以每秒1

個單位長的速度向點4勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AC返回；點Q從點A

出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點8勻速運動.伴隨著P、。的運動，OE保持垂直

平分PQ,且交尸。于點Q,交折線Q8-BC-C尸于點E.點P、。同時出發(fā)，當點Q到達點

8時停止運動，點P也隨之停止.設點P、。運動的時間是f秒（f>0）.

(1)當/=2時，AP=,點Q到AC的距離是,

(2)在點P從C向4運動的過程中，求△4P。的面積S與

f的函數(shù)關系式；（不必寫出f的取值范圍）

(3)在點E從8向C運動的過程中，四邊形QBE。能否成

為直角梯形？若能，求f的值.若不能，請說明理由；

(4)當。E經(jīng)過點C時，請直接寫出，的值.

O

26.解：(1)1,-；圖16

(2)作QFL4C于點F,如圖3,AQ=CP=t,：,AP=3-t.

由AAQFSAXBC,8c=64=4,

得竿=；."FT。

14

A5=-(3-/)-r,

25

[ips=--r+-r.

55

(3)能.

①當。E〃QB時，如圖4.

,JDELPQ,：.PQA.QB,四邊形QBE。是直角梯形.

此時/AQP=90°.

由△APQS/XABC,得絲="，

t3T9

即解得"，

358

②如圖5,當PQ〃BC時，DEA.BC,四邊形QBE。是直角梯形.

此時/APQ=90°.

由△AQPS^ABC,得絲=絲

A8A.C

即:解得f=:.

538

/A\5_p.45

(4)"一或，=—.

214

【注：①點P由C向A運動，OE經(jīng)過點C.

方法一、連接。C,作QGJ_3C于點G,如圖6.

PC=t,QC2=QG2+CG2=[|(5-0]2+[4-^(5-/)]2.

由PC，=QC2,Wr=[|(5-z)]2+[4-^(5-r)]2,解得r=g.

552

方法二、由CQ=CP=A。，得NQAC=NQ。，進而可得

ZB=ZBCQ,得CQ=BQ,AQ=13Q=^.Z./=1.

②點尸由A向C運動，OE經(jīng)過點C,如圖7.

(6-r)2=[j(5-r)]2+[4-^(5-r)]2,30】

5514

（2009年汨J南省）23.（11分）如圖，在平面直角坐

標系中，已知矩形/靦的三個頂點8（4,0）、。（8,0）、〃（8,8）.拋物線尸a”?坳?過4、

C兩點.

（1）直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；

（2）動點。從點4出發(fā).沿線段48向終點6運動，同時點。從點C出發(fā)，沿線段切

向終點〃運動.速度均為每秒1個單位長度，運動時間為￡秒.過點一作PELAB交4C于點

E

①過點《作EFLAD于點F,交拋物線于點G.當￡為何值時，線段反；最長？

②連接￡0.在點A0運動的過程中，判斷有幾個時刻使得笫是等腰三角形？

請直接寫出相應的t值.

解.（1）點4的坐標為（4,8）..............1分

將A（4,8）、C（8,0）兩點坐標分別代入y=ax?+bx

”8=16a+4〃

得＜

10=64〃+86

解得a=-g,左4

；?拋物線的解析式為：片-；V+4x

3分

PEBCPE4

(2)①在RtZXAAIfi'和中，tanN必良---二，即---二——

APABAP8

：.PE=-Af^~t.PB=8-1.

22

二點E的坐標為(4+gt,8-t).

2

二點G的縱坐標為：(4+-t)2+4(4+-t)t2+8...............5分

2228

1，，、

，EG=--i2+8-(8-t)

8

<0,...當仁4時，線段比最長為2......7分

O

②共有三個時刻.8分

1640875

6-，t?F-，右=------尸.-11分

3132+75

28

(2009年山西省)26.(本題14分)如圖，已知直線4+§與直線：y=—2x+16相

交于點C,h%分別交x軸于A、B兩點.矩形QEFG的頂點。、E分別在直線

卜4上，頂點/、G都在x軸上，且點G與點3重合.

(1)求△ABC的面積；

(2)求矩形DEFG的邊DE與EF的長；

(3)若矩形。EFG從原點出發(fā)，沿x軸的反方向以每秒1個單位長度的速度平移，

設

移動時間為，(0W，W12)秒，矩形DEFG與△ABC重疊部分的面積為S,求S關

，的函數(shù)關系式，并寫出相應的r的取值范圍.

2Q

26.（1）解：由=0,得x=-4.A點坐標為（―4,0）.

由一2%+16=0,得x=8.，3點坐標為（8,0）.

AB=8-（-4）=12............................................（2分）

-28

由，33解得《一'C點的坐標為（5,6）...................（3分）

y=6.

y=-2工+16.

；?S%c=（43%=；xl2x6=36................................（4分）

28

（2）解：:,點。在4上且租=8，二%=§x8+§=8.

點坐標為（8,8）...............................................（5分）

又?.?點E在4上且=Vo=8,

NE-2XE+16=S.：.xE=4.

￡點坐標為（4,8）...............................................（6分）

OE=8—4=4,EF=8.........................................（7分）

(3)解法一：①當0Wr<3時，如圖1,矩形OEFG與△ABC重疊部分為五邊

形CHFGR(/'=0時，為四邊形CHFG).過。作CM_LAB于M,

則RtARGBsRtACMB.

.BGRG即工="RG=2f.

36

RtAAFH^RtAAMG

1i2

：,S=SAABC—SABRG—S&AFH=36--xrx2r--(8-r)x-(8-r).

41644

即5=--r+-t+—.（io分）

333

（2009年山西省太原市）29.（本小題滿分12分）

問題解決

如圖（1）,將正方形紙片A88折疊，使點B落在CD邊上一點E

CE1

（不與點。，。重合），壓平后得到折痕MN.當而=/時，

在圖（1）中，若則■的值等于；若則的值等

rp1AA4

于.;若二=一（〃為整數(shù)），則工的值等于.（用含〃的式子表示）

CDnBN

聯(lián)系拓廣

如圖（2）,將矩形紙片ABC。折疊，使點B落在CD邊上一點E（不與點C,。重合）,

壓平后得到折痕設普='（根＞）孚=,，則要的值等于

MN,1,.（用含

BCmCDnBN

m,n的式子表示）

29.問題解決

解：方法一：如圖(1-1),連接3M,EM,BE.

…NC

圖（1T）

由題設，得四邊形4BNM和四邊形FEN似關于直線MN對稱.

MN垂直平分BE.：.BM=EM,BN=EN.

?.?四邊形ABC。是正方形，NA=NO=NC=90°,AB=BC=CD=DA=Z

在RtaCNE中，NE2=CN2+CE2.

95s

.??J?=（2-x）-+F.解得》=2一,，|即A|JU8NlV—=—己.

\'A4A4

在RtAABM和在RtADEM中,

AM2+AB2^BM2,

DM2+DE2=EM2,

AM2+AB2=DM2+DE2.

設AM=y，則。M=2-y,/+22=（2-j^）2+12.

解得y=—，即AM=

AM1

BN5

方法二：同方法一，BN=3

如圖(1-2),過點、N救NG〃CD,交AD于點、G,連接BE

Nc

圖（1-2）

AD〃BC,.?.四邊形G￡>CN是平行四邊形.

:.NG=CD=BC.

同理，四邊形ABNG也是平行四邊形.AG=BN=?.

4

?；MN±BE,:.ZEBC+/BNM=90°.

■,NG1.BC,ZMNG+ZBNM=90°,/.ZEBC=ZMNG.

在△3CE與△NGM中

NEBC=4MNG,

<BC=NG,：.ABCEmANGM,EC=MG.................................5分

NC=NNGM=90°.

51

AM=AG-MG,AM=——1=—...............................6分

44

.AM1

:.——.........................................................................................................7分

BN5

類比歸納

29

（或——）；10分

51017

聯(lián)系拓廣

n2m2-2/1+1

12分

n2m2+1

評分說明：1.如你的正確解法與上述提供的參考答案不同時，可參照評分說明進行估分.

2.如解答題由多個問題組成，前一問題解答有誤或未答，對后面問題的解答沒

有影響，可依據(jù)參考答案及評分說明進行估分.

(2009年安徽省)23.已知某種水果的批發(fā)單價與批發(fā)量的函數(shù)關系如圖(1)所示.

(1)請說明圖中①、②兩段函數(shù)圖象的實際意義.

【解】

第23題圖(1)

（2）寫出批發(fā)該種水果的資金金額w（元）與批發(fā)量m（kg）之間的

函數(shù)關系式；在下圖的坐標系中畫出該函數(shù)圖象；指出金額在什

么范圍內(nèi)，以同樣的資金可以批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果.

【解】

（3）經(jīng)調(diào)查，某經(jīng)銷商銷售該種水果的日最高銷量與零售價之間的函

數(shù)關系如圖（2）所示，該經(jīng)銷商擬每日售出60kg以上該種水果,

且當日零售價不變，請你幫助該經(jīng)銷商設計進貨和銷售的方案，

使得當日獲得的利潤最大.

【解】

8()(6,80)

40(7,40)

城同銷量（kg）

零售價（元）

第23題圖（2）

23.（1）解：圖①表示批發(fā)量不少于20kg且不多于60kg的該種水果，

可按5元/kg批發(fā)；……3分

圖②表示批發(fā)量高于60kg的該種水果，可按4元/kg批發(fā).

....................................................................3分

，什?小|5w（20m60）一__

（2）解：由題意得：w=</、、，函數(shù)圖象如圖所小.

|4機（機>60）

....................................................................7分

由圖可知資金金額滿足240<wW300時，以同樣的資金可

批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果......................8分

（3）解法一：

設當日零售價為x元，由圖可得日最高銷量w=320-40加

當相>60時，x<6.5

由題意，銷售利潤為

y=(x-4)(320-40m)=4()[-(x-6)2+4]12分

當x=6時，y最大值=160,此時〃1=80

即經(jīng)銷商應批發(fā)80kg該種水果，日零售價定為6元/kg,

當日可獲得最大利潤160元....................................14分

解法二：

設日最高銷售量為xkg（%>60）

則由圖②日零售價p滿足：x=320—40p,于是〃=%導

銷售禾II潤y=-4）=-^（x-80）2+160..................[2分

當x=80時，y最大值=160,此時p=6

即經(jīng)銷商應批發(fā)80kg該種水果，日零售價定為6元/kg,

當日可獲得最大利潤160元...................................14分

（2009年江西?。?5.如圖1,在等腰梯形ABGD中，AD//BC,E是AB的中點，過

點E作EF〃BC交CD于點、F.AB=4,BC=6,ZS=60°.

（1）求點E到的距離；

（2）點P為線段EF上的一個動點，過P作￡產(chǎn)交8C于點M,過"作"N〃

交折線ADC于點N,連結(jié)PN,設=

①當點N在線段上時（如圖2）,△2/處的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出△「7如

的周長；若改變，請說明理由；

②當點N在線段0c上時（如圖3）,是否存在點P,使△PMN為等腰三角形？若存在，

請求出所有滿足要求的X的值；若不存在，請說明理由

N

La

B1------------------CBL--------------

MM

圖1圖2圖3

A.-----------.D（第25題）A「—

I

BL-------------------icBL——

圖4（備用）圖5（備用）

25.（1）如圖1,過點E作￡G_L8C于點G.............1分

?；E為43的中點，

BC

G

圖1

BEAB^2.

2

在RtAEBG中，NB=60°,/./BEG=30°............2分

BG=-BE=1,EG=V22-l2=y/3.

2

即點E到BC的距離為V3...........................................3分

(2)①當點N在線段AQ上運動時，△月河的形狀不發(fā)生改變.

?:PM±EF,EG±EF,：.PM//EG.

VEF//BC,：.EP=GM,PM=EG=A

同理2W7V=AB=4.................................................4分

如圖2,過點、P作PH工MN于H,；MN〃AB,

NNMC=NB=60°,/PMH=30°.

PH=-PM=—

22

3

：.MH=PM-cos3Q0=-.

2

35

則NH=MN—MH=4——=-

22

、2

在RtAPNH中,PN=^NH2+PH

27

的周長=PM+PN+MN=6+J7+4.............................................6分

②當點N在線段DC上運動時，的形狀發(fā)生改變，但△AWC恒為等邊三角

形.

當PM=PN時，如圖3,作于R,則MR=NR.

3

類似①，MR=~.

2

MN=2MR=3...............................................................................................7分

：AACVC是等邊三角形，=MN=3.

當MP=MN時,如圖4,這時MC=MN=MP

此時，x=EP=GM

當附=乂11時，如圖5,NNPM=/PMN=30。.

則ZPMN=120°,又/MNC=60°,

ZPNM+ZMNC=180°.

因此點尸與尸重合，△PMC為直角三角形.

MC=PM.tan3（）o=L

此時，x=EP=GM=6-l-\=4.

綜上所述，當x=2或4或（5-6）時，APMN為等腰三角形..............10分

（2009年廣東廣州）25.（本小題滿分14分）

如圖13,二次函數(shù)）=爐+0（；+4（〃<0）的圖象與*軸交于人、B兩點，與y軸交于

點C（0,-1）,AABC的面積為3。

4

（1）求該二次函數(shù)的關系式；

（2）過y軸上的一點M（0,m）作y軸的垂線，若該垂線與△ABC

的外接圓有公共點，求m的取值范圍；

（3）在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點D,使四邊形ABCD為直角

梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由。

25.（本小題滿分14分）

解：（1）OC=1,所以,q=-l,又由面積知0.5OCXAB=2,得AB=』，

42

J(a+b)2-4"=g,解得p=±|,

設A(a,0),B(b,0)AB=b-a=

一3

但p<0,所以p=--o

3

所以解析式為：y二Y一一工一1

2

,311

(2)令y=0?解方程得％---1=0,得％=------,赴=2,所以A(---,0),B(2,0),

222

在直角三角形AOC中可求得AC=^，同樣可求得BC=石,，顯然AC2+BC2=AB2,得三

2

角形ABC是直角三角形。AB

為斜邊，所以外接圓的直徑為AB=3,所以—34加43.

244

（3）存在，ACJ_BC,①若以AC為底邊，則BD//AC,易求AC的解析式為y=-2x-l,

可設BD的解析式為y=-2x+b,把B（2,0）代入得BD解析式為y=-2x+4,解方程組

3,u

y—x2—x—15

<2得口（—,9）

y=-2x+4

②若以BC為底邊，則BC//AD,易求BC的解析式為y=0.5x-l,可設AD的解析

式為y=0.5x+b,把A（-g,0）代入得AD解析式為y=0.5x+0.25,解方程組

y=x2--x-1_53

\2得Dy,/

22

y=0.5x+0.25

綜上，所以存在兩點：（--5,9）或（5一二3）。

222

（2009年廣東省中山市）22.（本題滿分9分）正方形ABCZ）邊長為4,M、N分別是BC、

CD上的兩個動點，當例點在BC上運動時，保持AM和MN垂直.

（1）證明：Rt/\ABMsRt/\MCN；

（2）設梯形ABCN的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關系式；當M點運動到什么

位置時，四邊形A8CN面積最大，并求出最大面積；

（3）當M點運動到什么位置時RfAABMsRf/vwW,求此時x的值.

BMC

危仁<1)隹止力■超/qCTQ中.=NU990。.

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---—AMZ=QO0.

----UMZ-=八M/3=9。。.

卷RRZ^fA2Vr中.，A^fA+NTA</?=900.

-*-NC7A^7V——MAE.

R-tz2s_ziR.tz^S.TV/CA/,...............................................2分

〈2)-「R&A-4〃A<r-EAzWiCW.

.4H=J3M.4x

?"MCJ=UZ'?-4—”aUZ'

.............................................<5分

?與x=N口寸._v，儀辰人但，燦人fft力IO.

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KzV/KA

-■?我仞4.AAM-1△AMZ.必3負rr.............................................7分

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---當，京人，運京0卡JAU件9r打忌8寸.Z2s^4J32—△AAV7V.MLH*J-JC-2.

............................................Q分

（對食。：研收的法，科J惟評分律墳按印的分）

綸6k(>ti?s2>r>

（2009年哈爾濱市）28.（本題10分）

如圖1,在平面直角坐標系中，點0是坐標原點，四邊形ABCO是菱形，點A的坐標

為（-3,4）,

點C在x軸的正半軸上，直