2021年初中數(shù)學：知識點26 等腰三角形與等邊三角形

學問點26等腰三角形和等邊三角形2021

第一批

一、挑選題

12.（2021煙臺）似圖,AB是。0的直徑，直線QE與。。相切于點C,過點A,B分不作ADJ_￡>E,

垂足為點。,毗連如果。=百，那么的長為（

E,AC,BC.4CE=3,AC).

2G6D."

A.------B.----冗c.3

3323

【答案解析】D

【解題環(huán)節(jié)】毗連OC,

因為ADA.DE,BE工DE,所以NADC=NCEB=90°

所以NZX4C+NACD=90。

因為AB是的直徑，所以NACB=90°,

所以N3CE+NACD=90°,所以NBCE=NDAC,

在AADC與ACED,

因為ZADC=ZCEB=90°,NBCE=NDAC

所以△ADCs/iCE。，所以些=生=冬=

ACAD

RC

在RtZXACB中，sinABAC=——=V3,

AC

所以NBAC=60°,又因為OA=OC,

所以△AOC是等邊三角形，所以NACO=60。，

因為直線OE與。。相切于點C,所以

因為ADA.DE,OC±DE,所以AO〃OC,所以Nn4C=ZACO=60。,

所以NACD=90°—NC4C=30。，所以AC=2AO=2百，

所以△AOC是等邊三角形，所以O4=AC=2百，ZAOC=60°,

60x7x2y/326

所以AC的長為-------------=--------71?

1803C

8.（2021嘍底）似圖（2），邊長為26的等邊AABC的內(nèi)切圓的半徑為（）

B

A.1B.V3C.2D.2G

【答案解析】A

【試題解答】由等邊三角形的內(nèi)心即為中線，底邊高，角平分線的交點，那么在直角三角形OCD中，從而

解得.

似圖（2-1）,設D為（DO與AC的切點，毗連OA和OD,

???等邊三角形的內(nèi)心即為中線，底邊高，角平分線的交點，

/.OD±AC,ZOAD=30°,OD即為圓的半徑.Q

A

又,：AC=20，：.AD=；AC=+l/=&入

B

圖(2-1)

...在直角三角形OAD中,

tan/O3tan30°=翁篝邛

代入解得：OD=1.故答案為1.

1,（2021?濰坊）似圖已知NAOB,依照以下步調(diào)作圖:

①以點。為圓心，以得當?shù)拈L為半徑作弧，分不交/4OB的雙方于C,。兩點，毗連CD

②分不以點C,D為!圓心，以大于線段OC的長為半徑作弧，兩弧在/A08內(nèi)交于點E,毗連CE,DE.

③毗連OE交C。于點

以下結(jié)論中差錯的是（）

A.ZCEO=ZDEOB.CM=MDC.ZOCD=ZECDD.SmmocED=-CD?OE

2

【答案解析】C

【試題解答】由作圖可知OC=。。，CE=DE,OE=OE,所以△OCE也OOE,；./CEO=/QEO,選項A精確，

依照“三線合一”可知，CM=MD,CDLOE,所以選項B、D精確；選項C差錯；故選C.

2,（2021?衢州）“三等分角”大概是在公元前五世紀由古希臘人提出來的，借助似圖所示的“三等分角儀”

能三等分任一角。那個三等分角儀由兩根有槽的棒OA,OB構成，兩根棒在O點相連同時可繞O轉(zhuǎn)動。C

點固定，OC=CD=DE,點D,E可在槽中滑動，如果NBDE=75°,那么NCDE的度數(shù)是

A.60B.65C.75D.80°

【答案解析】D

【試題解答】本題考查等腰三角形及三角形外角的性質(zhì)，因為OC=CD=DE,所以NO=NCDO,ZDCE=ZCED.

所以NDCE=2NO,ZEDB=3ZO=75°,所以NO=25°,ZCED=ZECD=50°,所以/CDE=180°ZCED-

ZECD=180°-50°-50°=80°,故選D.

3,（2021?重慶A卷）似圖，在aABC中，D是AC邊上的中點，連結(jié)B。，把△BDC'沿BO翻折，得到

△BDC,DC'與AB交于點E,連結(jié)AC,如果AO=AC'=2,BD=3,那么點。到BC'的間隔為（）

3百3萬

------B.--------C.V7D.V13

27

【答案解析】B

【試題解答】似答圖，過點D作DM1BC于點M,過點B作BN1OC'于點N,由翻折可知DC'=DC^AD=2,

NBOC=N8DC'.?.?AD=AC'=2,...△AOC'是等邊三角形，從而/ADC'=NBDC'=NBDC=60°.在Rt

2+2

,133。3從而C'N=；.于是，BC—J（^）^c~~）—V7??:S^BDC

△ABDN中，DN=-BD=-,BN=-^―

222

3A/3

=3=家屋得-=一■.故選B.

4,（2021?聊城）似圖在等腰直角三角形ABC中，NBAC=90°,一個三角尺的直角極點與BC邊的中點O

重合，且兩條直角邊分不經(jīng)過點A和點B,將三角尺繞點O按順時針方向扭轉(zhuǎn)隨意任性一個銳角，當三角尺的兩

直角邊與AB,AC分不交于點E,F時，以下結(jié)論中差錯的是

A.AE+AF=ACB.ZBEO+ZOFC=180°

萬

C.OE+OF=—BCD.S四邊形AEOF=—SAABC

2

【答案解析】C

【試題解答】毗連AO,易得△AEOgZ\CFO,...AE+AF=CF+AF=AC,故A精確；ZBEO+ZOFC=ZBEO+

ZAEO=180°,故B精確；跟著三角形的轉(zhuǎn)動，OE和OF的長度會變化，故C差錯；SAEOF=SAAEO+SA

AFO-SACFO+SAAFO——SAABC>故D精確;故選C.

2

二、填空題

14.(2021?紹興)似圖，在直線AP上方有一個正方形ABCD,/PAD=30。，以點B為圓心，AB為半徑作

弧,與AP交于點A,M,分不以點A,M為圓心，AM長為半徑作弧，兩弧交于點E,連結(jié)ED,那么/ADE

的度數(shù)為_.

【答案解析】15?；?5。

【試題解答】因為NPAD=30。，以點B為圓心，AB為半徑作弧，與AP交于點A,M,而NBAM=60。，

所以△BAM是等邊三角形；又以點A,M為圓心，AM長為半徑作弧，交點有兩個E或B有兩種狀況：①

由題意△AME是等邊三角形，所以/EAM=60。，所以/口人￡=30。+120。=150。，又AD=AM=AE,所以NADE

=ZAED=-(180°-150°)=15°；②點E與B重合，所以NADB(E)=45°.

2

14.(2021?常德)似圖，AABC是等腰三角形，AB=AC,/84C=45°,點。在AC邊上，將繞點A

逆時針扭轉(zhuǎn)45°得到△AC。'，且點O'、D、B三點在同一貫線上，那么NABO的度數(shù)是.

【答案解析】22,5°【試題解答】依照題意可知△A8/岸△AC。'，.?./a4C=NCAO'=

180。一45。

45°,AD=AD,：.ZADD=ZADD=--------=67,5°,VD\D、8三點在同一貫線上，AZ

2

ABD=ZADD-ZBAC=22,5°.

1.（2021?懷化）如果等腰三角形的一個底角為72°,那么那個等腰三角形的頂角為.

【答案解析】36°.

【試題解答】解：..?等腰三角形的一個底角為72。，.?.那個等腰三角形的頂角為180。-72玉2=36。.故答案為36°.

三、解答題

19,（2021浙江省杭州市，19,8分）（本題滿分8分）

似圖在Z^ABC中，AC<AB<BC.

（1）已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點P,毗連AP,求證：ZAPC=2ZB.

（2）以點B為圓心，線段AB的長為半徑畫弧，與BC邊交于點Q,毗連AQ.如果NAQC=3/B,求/B的度數(shù)

(2)依照題意可知BA=BQ,，/BAQ=NBQA,

VZAQC=3ZB,ZAQC=ZB+ZBAQ,.,.ZBQA=2ZB.

VZBAQ+ZBQA+ZB=180°,.,.5ZB=180°,，NB=36°.

25.（2021江蘇鹽城卷，25,10）

似圖①是一弓長矩形紙片，按以下步調(diào)履行操縱:

(I)將矩形紙片沿。尸折疊，使點A落在8邊上點E處，似圖②；

(II)在第一次折疊的全然上,過點C再次折疊，使得點B落在邊CQ上點8、處，似圖③，兩次折印交于

點0;

(III)開展紙片，分不毗連OB、0E、0C、FD,似圖④

【會商】(1)證明：△0BC絲△0E￡>；

⑵如果AB=8,設BC為x,0B2為y,求y對于X的關系式.

圖

【解題環(huán)節(jié)】

解：(1)由折疊可知BCFQMAFMQE，.：CB=CB,

由兩次折疊可知/8。。="。0=/。。七=45°,；./。6是等腰直角三角形，0C=0D

：.A0BC^AOED

(2)似圖，過O向8c做。NJ.8c于M那么40CN是等腰直角三角形，

又AOCD是等腰直角三角形，OC=OD,

：.CD=8,0C=4叵,0N=CN=4,在直角三角形80N中，C^BM+OM

：.y=(%-4)+42=X2-8X+32(4<X<8)

25.（2021?株洲）四邊形ABCD是。。的圓內(nèi)接四邊形，線段AB是。。的直徑，連結(jié)AC、BD.點H是

線段BD上的一點，連結(jié)AH、CH,且/ACH=/CBD,AD=CH,BA的耽擱線與CD的耽擱線訂交

于點P.C

（1）求證：四邊形ADCH是平行四邊形;

(2)如果AC=BC,PB=6PD,AB+CD=2(6+1).

①求證：ADHC為等腰直角三角形；②求CH的長度.

【解題環(huán)節(jié)】（1）丫NCBD=NCAD,ZACH=ZCBD,

/.ZCAD=ZACH,，CH〃AD,

VAD=CH,，四邊形ADCH是平行四邊形

（2）①；AB是直徑，.\ZADB=ZACB=90",

?；CH〃AD,，NCHD=NADB=90°,

VAC=BC,/.ZCAB=45°,，NCDB=NCAB=45°,為等腰直角三角形

②..,四邊形ABCD是。。的圓內(nèi)接四邊形，...NPDA=NPBC,

???NP=NP,/.APDA^APBC,:.PDAD

???△口!!（；和△ABC為等腰直角三角形,

AB垃BC

.?.AB=0BC,C"垃CH=叵AD,CD一叵AD一

?：AB+CD=2(6+1),.,.逐CD+CD=2(6+1),，CD=2,；@=及

26.（2021?常德）在等腰三角形△ABC中，AB=AC,作CM_LAB交AB于點M,BNLAC交AC于點N.

(1)在圖12中，求證：△BMC絲△CNB；

(2)在圖13中的線段C8上取一動點P,過P作PE〃A8交CA/于點E,作Pf〃AC交N8于點凡求證：

PE+PF=BM；

(3)在圖14中動點P在線段CB的耽擱線上,相近(2)過P作PE//AB交CM的耽擱線于點E,作PF

//AC交NB的耽擱線于點F,求證：AM?PF+OM?BN=AM?PE.

圖14

圖12圖13

【解題環(huán)節(jié)】(1)VAB=AC,/.ZABC=Z

ACBfVBN±AC,:.NBMC=NCNB=9Q°,又?：BC=BC,:?△BM8ACNB；

(2)毗連OP,???PE〃A8,P廣〃AC,???/8MC=/P￡：C=90°，/CNB=/PFB=9C,*.*S&B0C=SMP+S^COP,

-OC-BM=1OB-PF+1OC?PE.,:△BMCQACNB,：./OBC=/OCB,：.OB=OC,:.PE+PF=BM；

222

：.-OC?BM=1OC?PE--OB?PF,VOB=OC,工PE—PF

(3)同上毗連。P，???S的C=＜的一

222

=BM.?:/BMC=/ANB=90°,/BMO=NNBA,叢BOMs叢BAN,：.OM?BN=BM,AN

BNAN

=(PE—PF)?AN,\*AB=AC,BM=CN,：.AM=AN,：?0M?BN==(PE—PF)?AM,:?AM?PF+OM?BN

=AM?PE,

圖

圖13141,(2021?重慶A卷)似圖，在△ABC中，AB=AC,D是BC

邊上的中點，連結(jié)A。，BE平分NA8C交AC于點E,過點E作E/〃BC交AB于點尸.

(1)如果NC=36°,求/BA。的度數(shù)；(2)求證：FB=FE.

解：(1)'：AB^AC,

：.ZB=ZC=36°.AZBAC=180°-ZB-ZC=108°.

。是BC邊上的中點，平分NBAC.AZBAD=-ZBAC=54°.

2

(2)證明：YBE平分NABC,:.NABE=NCBE.,JEF//BC,：.ZFEB=ZCBE.

：./ABE=/FEB.：.FB=FE.

2,(2021?重慶B卷)似圖，在/ABC中，AB=AC,A￡?_LBC于點O.

(1)如果/C=42。，求/BAO的度數(shù)；

(2)如果點E在邊A8上，EF//AC交A。的耽擱線于點尸.求證：AE=FE

解：(1)(方式一)：'：AB=AC,ZC=42",/.ZB=ZC=42°,

180°-NB-/C=180°-42°-42°=96°

,：ADLBC.'.ZBAD=2ZBAC=2X96°=48°

(方式二)：：A8=AC/C=42°,；./B=NC=42。

?.?AQ_LBC于點O,AZADB=90°,/.ZBAD=180°-90°-42°=48°

(2)證明:

'：EF//AC,：.ZCAF=ZF

'：AB=AC,ADYBC,：.ZCAF=ZBAF,：.ZF=ZBAF,：.AE=FE

3,(2021?眉山)似圖，在四邊形ABC。中。，點E是CD的中點，AE=BE.

求證：ZD=ZC.

第21d用

證明：VAE=BE,，NEAB=NEBA,VDC/7AB,二NDEA=NEAB,ZCEB=

DE=CE

NEBA,，NDEA=NCEB,在ZkEDA和aCEB中，NDEA=NCEB,/.AEDA^ACEB(SAS),

AE=BE

ND=NC.

4,(2021?無錫)似圖，在△ABC中，AB=AC,點。、E分不在AB.AC1.,BD=CE,BE、C。訂交于點O；

求證：(1)/XDBCm4ECB;(2)OB=OC.

證明：(1)'：AB^AC,:.NECB=NDBC,在ADBC與AECB中,BD=CE,NDBC=N

ECB,BC=CB,:.ADBC當AECB(SAS)；

(2)由(1)知△DBCg/\ECB,：.ZDCB=ZEBC,：.OB=OC.

第二批

一、挑選題

8.（2021?黃石）似圖，在VA3C中，/B=50°,C￡＞，A3于點。，NBCD和NBOC的角平分線相較于

點E,F為邊AC的中點，CD=CF,那么NACD+NCED=（）

A.125°B.145°C.175°D.190°

【答案解析】C

【試題解答】毗連DF,?.?CO_LA8,F為邊AC的中點，，。尸=^^4c=CF,又,：CD=CF,：,CD=DF=CF,

2

...△CDF是等邊三角形，.?./AC￡>=60°,VZB=50°,：.ZBCD+ZBDC=]30°，:/BCD和/8OC的角

平分線訂交于點E,，/0（7￡：+/?！辏?65°,：.ZCED=\\5°,：.ZACD+ZCED=60°+115°=175°，故選：

C.

4D5【學問點】三角形的角平分線；直角三角形的歪邊上的中線的性質(zhì)；等邊三角形;

8,（2021?天水）似圖，等邊△OAB的邊長為2,那么點B的坐標為（）

B.（I,遮）C.（V3,1）D.（V3,V3）

【答案解析】B

【試題解答】過點B作BHLAO于H點,,??△OAB是等邊三角形,

BH=V3.

.?.點8的坐標為（1,V3）.

故選：B.

【學問點】坐標與圖形性質(zhì)：等邊三角形的性質(zhì)

7,（2021?宜賓）似圖，NEO尸的極點。是邊長為2的等邊A4BC的重心，NEC4的雙方與A4BC的邊

交于E,F,AEOF=nO°,那么NEOF與AABC的邊所圍成暗影部分的面積是（）

【答案解析】C

【試題解答】毗連08、OC，過點O作ONJ.BC，垂足為N,

?.,AABC為等邊三角形，:.ZABC=ZACB=(^,

?.?點O為AABC的內(nèi)心.?.NO3c=NOBA=1zABC,ZOCB=-ZACB.

22

:.NOBA=NOBC=NOCB=3b.;.OB=OC.NBOC=120°,

?;ONIBC,BC=2,:.BN=NC=\,

ON=tanZOBC-BN=S?=-BC.O7V=—.

33vA)C/OrC23

ZEOF=ZAOB=120°,/.ZEOF-ZBOF=ZAOB-ABOF,即ZEOB=ZFOC.

ZOBE=ZOCF=300廠

OB=OC,:.\EOB=\FOC(ASA).，%影=豆0如=工

在A￡O8和AFOC中，，

NEOB=NFOC

故選：C.

二、填空題

13.（2021?黔三州）似右圖，以AABC的極點B為圓心，BA長為半徑畫弧，交BC邊于點D,毗連AD.如

果/B=40°,/C=36°,那么/DAC的大小為.

【答案解析】34。.

【試題解答】依照題意可得BA=BD.

VZB=40°，.?.NBAD=NBDA=70°.

VZB=40°，ZC=36°,...NBAC=180°-ZB-ZC=104°,AZDAC=ZBAC-ZBAD=34°，

故答案為34°

14.(2021?蘭州)在AABC中，AB=AC,ZA=40",那么NB=

【答案解析】70

【試題解答】解：?；AB=AC,；.NB+NC,：NA+NB+NC=180°,NA=40°,二NB=NC=70°,故答案為：

70°.

【學問點】等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和

16,（2021?齊齊哈爾）等腰ABC中，BD±AC,垂足為點D,且BD=』AC,那么等腰△ABC的底角的度數(shù)為

2

【答案解析】15°或45°或75°

【試題解答】分狀況會商:

(2)當NB為底角時，當NBAC為銳角時，似圖2,BD=-AC,/.ZBAC=30",那么NB=75°；

2

(3)當NB為底角時，當NBAC為銳角時，似圖3,BD=-AC,/.ZBAD=30°,ZBAC=150°那么NB=15°,

2

所以aABC的度數(shù)為45°或75°或15°

【學問點】分類會商，等腰三角形，銳角三角函數(shù)

13,(2021?廣安)等腰三角形的雙方長分不為6cm,13cm,其周長為cm.

【答案解析】32

【試題解答】解：由題意知，應分兩種狀況：

(1)當腰長為6cvn時，三角形三邊長為6,6,13,6+6<13,不能造成三角形；

(2)當腰長為13cm時，三角形三邊長為6,13.13?周長=2xl3+6=32a”.

故答案為32.

【學問點】三角形三邊關系；等腰三角形的性質(zhì)

16,(2021?宜賓)似圖，A4BC和ACDE根基上等邊三角形，且點A、C、E在同一貫線上，AD與BE、

3c分不交于點尸、M,BE與CD交于■點、N.以下結(jié)論精確的是(寫出全部精確結(jié)論的序號).

?AM=BN；②MBF三ISDNF?,③ZRWC+ZRVC=180。；?—=—+—

MNACCE

D

【答案解析】①③④

【試題解答】證明：①???AABC和AC。石根基上等邊三角形,

:.AC=BC,CE=CD,ZACB=ZECD=60°,

/.ZACB+ZACE=Z.ECD+ZACE,即NBCE=NACD,

BC=AC

在ABCE和A4C￡)中，\ZBCE=ZACD,:.MCE合MCD(SAS),

CE=CD

，AD=BE,ZADC=ZBEC,NCAD=/CBE,

ZMDC=NNEC

在ADMC和AE7VC中，\DC=BC,/.ADMC=AENC(ASA),

NMCD=4NCE=60°

:.DM=EN、CM=CN,:.AD-DM=BE-EN,即4W=8N；

?-/ZABC=6O0=ZBCD.s.ABUCD,:.ZBAF=ZCDF,

?;ZAFB=ZJDFN,??.AARFsADM7,找不出全等的前提；

ZAFB+ZABF+ZBAF=1SO°,ZFBC=ZCAF,

?,.ZAFB+ZABC+NS4C=180°,.\ZAFB=60°,/.ZM/W=120°,

???ZMC7V=6O。，.\ZfMC+ZEVC=18O°；

④，?,CM=CN,ZMCV=60°,;./\MCN是等邊三角形，.?.NMNC=60。，

vZDCE=60°,:.MN//AE,

MNDNCD—CN

~AC~~CD~~CD

.MN_CE—MNMNMN

,.?CD=CE,MN=CN,-------1t---------

~AC~~CE-ACCE

1

雙方同時除MN得—=—---=---+---

ACMN~CEMNACCE

故答案為①③?

【學問點】等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì)；相近三角形的判斷與性質(zhì)

17,（2021?武威）定義：等腰三角形的頂角與其一個底角的度數(shù)的比值%稱為那個等腰三角形的“特點

值”.如果等腰A4BC中，N4=80。，那么它的特點值/=.

【答案解析】［或;

【試題解答】①當〃為頂角時，等腰三角形兩底角的度數(shù)為：f=50。,

2

特點值人亞=§

5005

②當為底角時，頂角的度數(shù)為：1800-80°-80°=200

二特點值無=竺」

80°4

故答案為0或1

54

【學問點】等腰三角形的性質(zhì)

13,（2021?黔東南）似圖，以△ABC的極點B為圓心，BA長為半徑畫弧，交BC邊于點￡>,毗連AO.如

果/B=40°,/C=36°,那么/D4c的大小為

BDC【答案解析】34。

【試題解答】???/8=40°,ZC=36°,

AZBAC=180°-ZB-ZC=104°

■:AB=BD

"BAD=/ADB=(180°-ZB)4-2=70°,

：.ZDAC=ZBAC-ZBAD=34°

故答案為：34°.

【學問點】等腰三角形的性質(zhì)

第三批

一、挑選題

18.（2021?徐州）函數(shù)y=x+1的圖象與x軸、y軸分不交于A、B兩點，點C

在x軸上，如果AABC為等腰三角形，那么知足前提的點C共有個.

答案：4

解析：本題考查了等腰三角形存在性，波及到一次函數(shù)的性質(zhì)，線段的垂直平

分線以及圓等學問，作AB的垂直平分線，交于坐標原點,△OAB為等腰三角形；

以B為圓心BA長為半徑交x軸于C2,AC2AB為等腰三角形，以A為圓心，

AB長為半徑，交x軸于C3,C4,那么aCSAB,AC4AB為等腰三角形，所以

知足前提的C點的有4個.

二、填空題

12,（2021?荊州）似圖①，已知正方體ABC。-AIBICIOI的棱長為4cm,E,F,G分不為AB,AAi，AD

的中點，截面E尸G將那個正方體切去一個角后得到一個新的幾何體（似圖②），那么圖②中暗影部分的面

積為cw2.

G

圖②【答案解析】2取【試題解答】解：???已知正方體ABCD-

A\B\C\D\的棱長為4cm,E,F,G分不為AB,AAi，AD的中點，/.GF=GE=EF=\/22+22=2或,

過G作G"_LE尸于〃，

二GH=亨GF=V6,A圖②中暗影部分的面積=1X2V2XV6=2於cm1*

故答案為：2Vl

14,（2021?東營）己知等腰三角形的底角是30。，腰長為2后，那么它的周長是

答案：6+4再解析：本題考查了銳角三角函數(shù)的定義或勾股定理.過等腰三角形的極點作底邊的垂線，設

底邊為2a,那么cos30°=2",所以a=3,所以周長=6+4,

a

17,（2021?東營）似圖，在平面直角坐標系中，4ACE是以菱形ABCD的對角線AC為邊的等邊三角形,

AC=2,點C與點E對于x軸對稱，那么點D的坐標是.

第17題圖

答案：（二二，0）解析：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形、勾股定理等，設CE交x軸丁點F,因

3

為Z\ACE是等邊三角形，所以NCAD=30。，那么CF=，AC=1.由勾股定理求得AF=J^.因為CD^DF^CF2,

2

J7/J

CD=2DF,所以可求得DF=、一.由“HL”定理易知AABO與4DCF全等，所以AO二DF所以OD=AF-AO-DF=

33

0V3V3V3Hn,1/V3

A/3----------=——,即點D坐標為（——，0）.

3333

三、解答題

26.(2021?龍東地區(qū))似圖，在△A8C中，AB=BC,ADLBC于點D,BE_LAC于點E,AO與BE交于點F,

于點8,點M是BC的中點，毗連FM同時耽擱交于點H.

(1)似圖①所示，如果/A8C=30。，求證：DF+BH=@BD；

3

(2)似圖②所示，如果ZABC=45。，似圖③所示，如果/A8C=60。(點M與點。重合)，猜想線段。F,BH,

3。之間又有似何的數(shù)量關系？請開門見山寫出你的猜想，不需證明.

圖①圖②圖③

解：（1）證明：毗連CF,；AB=BC,ZABC==30°,/.ZBAC=ZACB=75°.

VAD1BC,，NADB=90°,.\ZBAI>60°,.,.ZDAC=15°...........................................（1分）

VAB=BC,BE1AC,；.BE垂直平分AC,，AF=CF,..................................................（1分）

ZACF=ZDAC=15°,AZBCF=75°-15°=60°,

VBH±AB,ZABC=30°,AZCBH==60°,/.ZCBH=ZBCF=60°.............................（1分）

在△BHM和△CFM中，NCBH=NBCF,BM=CM,ZBMH=ZCMF,/.△BHM^ACFM,....................（1分）

；.BH=CF,.*.BH=AF,.?.AD=DF+AF=DF+BH.在RtAADBZABC=30°,/.AD=—BD,....................（1

3

分）

：.DF+BH=—BD........................................................................................................................................................（1分）

3

A

E

（2）圖②猜想結(jié)論：DF+BH=

BD；（1分）

圖③猜想結(jié)論：DF+BH=WBD...............................................................（1分）

【學問點】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；全等三角形的判斷和性質(zhì)

（2021?吉林）性質(zhì)會商

似圖①，在等腰三角形ABC中，NACB=120°,那么底邊AB與腰AC的長度之比為

明白得使用

（1）如果極點為120°的等腰三角形的周長為8+48，那么它的面積為；

（2）似圖②，在四邊形EFGH中，EF=EG=EH

①求證：NEFG+NEHG=NFGH;

②在邊FG,GH±分不取中點M,N,毗連MN,如果NFGH=120°,EF=10,開門見山寫出線段MN的長.

類比拓展

頂角為2a的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為（用含a的式子示意）

解：性質(zhì)會商

似圖，過點C作CD_LAB于點D,那么AB=2AE,VZACB=120°,/.ZACD=60°,

V3

RSACD中，AD：AC=2；1,.\AB;AC=^:1

明白得使用

(1)依照性質(zhì)會商可知，底邊AB與腰AC的長度之比為向,

設AC=x,那么AB=VIx,?周長為8+4百，.?.AB=4,AB=4上

.??CD=2,.?.三角形的面積為473

(2)①?；EF=EG,二NEFG=NEGF,VEG=EH,/.ZEGH=ZEHG,