2019高三數(shù)學(xué)理北師大版一輪教師用書第7章第3節(jié)　平行關(guān)系

第三節(jié)平行關(guān)系[考綱](教師用書獨(dú)具)1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題．(對應(yīng)學(xué)生用書第111頁)[基礎(chǔ)知識填充]1．直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線平行于此平面leq\o(?,/)平面α，bl，l∥b?l∥α性質(zhì)定理一條直線和一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行l(wèi)∥α，l平面β，α∩β＝b?l∥b2.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫作平行平面．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行aα，bα，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面α∥β，aα?a∥β如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥l3.與垂直相關(guān)的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α?a∥b.(2)a⊥α，a⊥β?α∥β.[基本能力自測]1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．()(2)若直線a∥平面α，P∈α，則過點(diǎn)P且平行于直線a的直線有無數(shù)條．()(3)若一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行．()(4)若兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行．()(5)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．下列命題中，正確的是()A．若a∥b，bα，則a∥αB．若a∥α，bα，則a∥bC．若a∥α，b∥α，則a∥bD．若a∥b，b∥α，aeq\o(?,/)α，則a∥αD[A中還有可能aα，B中還有可能a與b異面，C中還有可能a與b相交或異面，只有選項(xiàng)D正確．]3．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m是直線且mα，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件B[當(dāng)m∥β時(shí)，過m的平面α與β可能平行也可能相交，因而m∥β?/α∥β；當(dāng)α∥β時(shí)，α內(nèi)任一直線與β平行，因?yàn)閙α，所以m∥β.綜上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分條件．]4．三棱柱ABC-A1B1C1中，過棱A1C1，B1C1，BC，AC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H的平面與平面________平行．A1B1BA[如圖所示，連接各中點(diǎn)后，易知平面EFGH與平面A1B1BA平行．]5．(教材改編)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系是________．平行[如圖所示，連接BD交AC于F，連接EF，則EF是△BDD1的中位線，∴EF∥BD1，又EF平面ACE，BD1平面ACE，∴BD1∥平面ACE.](對應(yīng)學(xué)生用書第112頁)與線面平行相關(guān)命題的真假判斷(1)已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是()A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行C．若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線D．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面(2)(2017·全國卷Ⅰ)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()(1)D(2)A[(1)A項(xiàng)，α，β可能相交，故錯(cuò)誤；B項(xiàng)，直線m，n的位置關(guān)系不確定，可能相交、平行或異面，故錯(cuò)誤；C項(xiàng)，若mα，α∩β＝n，m∥n，則m∥β，故錯(cuò)誤；D項(xiàng)，假設(shè)m，n垂直于同一平面，則必有m∥n，∴原命題正確，故D項(xiàng)正確．(2)A項(xiàng)，作如圖(1)所示的輔助線，其中D為BC的中點(diǎn)，則QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交，∴直線AB與平面MNQ相交．B項(xiàng)，作如圖(2)所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又ABeq\o(?,/)平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.C項(xiàng)，作如圖(3)所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又ABeq\o(?,/)平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.D項(xiàng)，作如圖(4)所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.又ABeq\o(?,/)平面MNQ，NQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故選A．][規(guī)律方法]1.判斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假，必須熟悉線、面平行關(guān)系的各個(gè)定義、定理，無論是單項(xiàng)選擇還是含選擇項(xiàng)的填空題，都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項(xiàng)先確定或排除，再逐步判斷其余選項(xiàng).2.1結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷.2特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情形，通過舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確.[跟蹤訓(xùn)練](2017·唐山模擬)若m，n表示不同的直線，α，β表示不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是()【導(dǎo)學(xué)號：79140229】A．若m∥α，m∥n，則n∥αB．若mα，nβ，m∥β，n∥α，則α∥βC．若α⊥β，m∥α，n∥β，則m∥nD．若α∥β，m∥α，n∥m，neq\o(?,/)β，則n∥βD[在A中，若m∥α，m∥n，則n∥α或nα，故A錯(cuò)誤．在B中，若mα，nβ，m∥β，n∥α，則α與β相交或平行，故B錯(cuò)誤．在C中，若α⊥β，m∥α，n∥β，則m與n相交、平行或異面，故C錯(cuò)誤．在D中，若α∥β，m∥α，n∥m，neq\o(?,/)β，則由線面平行的判定定理得n∥β，故D正確．]直線與平面平行的判定與性質(zhì)◎角度1直線與平面平行的判定(2016·全國卷Ⅲ)如圖7-3-1，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn)．圖7-3-1(1)證明：MN∥平面PAB；(2)求四面體N-BCM的體積．[解](1)證明：由已知得AM＝eq\f(2,3)AD＝2.如圖，取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC中點(diǎn)知TN∥BC，TN＝eq\f(1,2)BC＝2.又AD∥BC，故TNeq\o(\s\do2(═),\s\up3(∥))AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT.因?yàn)锳T平面PAB，MNeq\o(?,/)平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，N為PC的中點(diǎn)，所以N到平面ABCD的距離為eq\f(1,2)PA．如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\r(5).由AM∥BC得M到BC的距離為eq\r(5)，故S△BCM＝eq\f(1,2)×4×eq\r(5)＝2eq\r(5).所以四面體N-BCM的體積VN-BCM＝eq\f(1,3)×S△BCM×eq\f(PA,2)＝eq\f(4\r(5),3).◎角度2線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用如圖7-3-2所示，CD，AB均與平面EFGH平行，E，F(xiàn)，G，H分別在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求證：四邊形EFGH是矩形．圖7-3-2[證明]∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF，∴CD∥EF.同理HG∥CD，∴EF∥HG.同理HE∥GF，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∴CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF為異面直線CD和AB所成的角．又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴平行四邊形EFGH為矩形．[規(guī)律方法]1.證明線面平行的常用方法1利用線面平行的定義無公共點(diǎn).2利用線面平行的判定定理aeq\o(?,/)α，bα，a∥b?a∥α.3利用面面平行的性質(zhì)定理α∥β，aα?a∥β.4利用面面平行的性質(zhì)α∥β，aeq\o(?,/)β，a∥α?a∥β.2.利用判定定理判定線面平行，注意三條件缺一不可，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線.常利用三角形的中位線、平行四邊形的對邊平行或過已知直線作一平面找其交線.[跟蹤訓(xùn)練]如圖7-3-3所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D，D1分別為AC，A1C1的中點(diǎn)．圖7-3-3(1)證明：AD1∥平面BDC1；(2)證明：BD∥平面AB1D1.[證明](1)∵D1，D分別為A1C1，AC的中點(diǎn)，四邊形ACC1A1為平行四邊形，∴C1D1eq\o(\s\do2(═),\s\up3(∥))DA，∴四邊形ADC1D1為平行四邊形，∴AD1∥C1D，又AD1eq\o(?,/)平面BDC1，C1D平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1.(2)連接D1D，∵BB1∥平面ACC1A1，BB1平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D，∴BB1∥D1D，又∵D1，D分別為A1C1，AC的中點(diǎn)，∴BB1＝DD1，故四邊形BDD1B1為平行四邊形，∴BD∥B1D1，又BDeq\o(?,/)平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，∴BD∥平面AB1D1.平面與平面平行的判定與性質(zhì)如圖7-3-4所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：圖7-3-4(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[證明](1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，∴GH是△A1B1C1的中位線，GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面．(2)在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC．∵EFeq\o(?,/)平面BCHG，BC平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1Geq\o(\s\do2(═),\s\up3(∥))EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，則A1E∥GB.∵A1Eeq\o(?,/)平面BCHG，GB平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.在本例條件下，若點(diǎn)D為BC1的中點(diǎn)，求證：HD∥平面A1B1BA．[證明]如圖所示，連接HD，A1B，∵D為BC1的中點(diǎn)，H為A1C1的中點(diǎn)，∴HD∥A1B.又HDeq\o(?,/)平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA．[規(guī)律方法]證明面面平行的常用方法1利用面面平行的定義.2利用面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.3利用“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”.4利用“如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行”.