四川省仁壽第一中學北校區(qū)2023-2024學年高二下學期5月期中考試數(shù)學

鏵2022級高二（下）半期質(zhì)量檢測數(shù)學試卷（卷面分值：150分考試時間120分鐘）一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.乘積完全展開后的項數(shù)是（）A.8 B.9 C.15 D.182.若，則的值為（）A.63 B.64 C.127 D.1283.的展開式中，含項的系數(shù)為（）A.21 B.189 C.9 D.1264.從裝有4個紅球，2個白球的袋子中，不放回地依次抽取兩個小球，在第一次抽到白球的條件下，第二次抽到白球的概率為（）A. B. C. D.5.若函數(shù)不存在極值，則的取值范圍是（）A. B.C. D.6.已知，則的值為（）A.16 B.32 C.64 D.1287.已知在函數(shù)的圖像上，在直線上，則的最小值為（）A. B.5 C. D.8.函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且滿足，若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題：本大題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分；若只有兩個正確選項，每選對一個得3分；若只有3個正確選項，選對一個得2分，選對兩個得4分.9.甲、乙、丙等5人排成一列，下列說法正確的有（）A.若甲和乙相鄰，共有48種排法 B.若甲不排第一個共有96種排法C.若甲與丙不相鄰，共有36種排法 D.若甲在乙的前面，共有60種排法10.已知二項式的二項式系數(shù)和為32，則下列說法正確的是（）A. B.展開式中只有第三項的二項式系數(shù)最大C.展開式各項系數(shù)之和是243 D.展開式中的有理項有4項11.關于函數(shù)，，下列說法正確的是（）A.若過點可以作曲線的兩條切線，則B.若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為C.若在上恒成立，則D.若函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)的范圍為三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.12.已知離散型隨機變量的分布列為01設，則的數(shù)學期望______.13.一個長方形，被分為、、、、五個區(qū)域，現(xiàn)對其進行涂色，有紅、黃、藍、綠四種顏色可用，要求相鄰兩區(qū)域（兩個區(qū)域有公共頂點就算相鄰）涂色不相同，則不同的涂色方法有______種.14.已知函數(shù)，則的極小值為______；若函數(shù)，對于任意的，總存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是______.四、解答題：本大題共5個小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.ChatGPT是由人工智能研究實驗室OpenAI于2022年11月30日發(fā)布的一款全新聊天機器人棋型，它能夠通過學習和理解人類的語言來進行對話，ChatGPT的開發(fā)主要采用PLHF（人類反饋強化學習）技術.在測試ChatGPT時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則ChatGPT的回答被采納的概率為，當出現(xiàn)語法錯誤時，ChatGPT的回答被采納的概率為.（1）在某次測試中輸入了7個問題，ChatGPT的回答有5個被采納.現(xiàn)從這7個問題中抽取3個，以表示這抽取的問題中回答被采納的問題個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（2）已知輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為，（i）求ChatGPT的回答被采納的概率；（ii）若已知ChatGPT的回答被采納，求該問題的輸入沒有語法錯誤的概率.16.已知在的展開式中，第2項與第3項的二項式系數(shù)之比是.（1）求的值；（2）求展開式中的常數(shù)項，并指出是第幾項；（3）求展開式中系數(shù)絕對值最大的項.17.第18屆亞足聯(lián)亞洲杯將于2023年舉行，已知此次亞洲杯甲裁判組有6名裁判，分別是，，，，，.（以下問題用數(shù)字作答）（1）若亞洲杯組委會邀請甲裁判組派裁判去參加一項活動，必須有人去，去幾人由甲裁判組自行決定，問甲裁判組共有多少種不同的安排方法？（2）若亞洲杯組委會安排這6名裁判擔任6場比賽的主裁判，每場比賽只有1名主裁判，每名裁判只擔任1場比賽的主裁判，根據(jù)回避規(guī)則，其中不擔任第一場比賽的主裁判，不擔任第三場比賽的主裁判，問共有多少種不同的安排方法？（3）若亞洲杯組委會將這6名裁判全部安排到3項不同的活動中，每項活動至少安排1名裁判，每名裁判只參加1項活動，問共有多少種不同的安排方法？18.某校團委開展知識競賽活動.現(xiàn)有兩組題目放在，兩個箱子中，箱中有6道選擇題和3道論述題，箱中有3道選擇題和2道論述題.參賽選手先在任一箱子中隨機選取一題，作答完后再在此箱子中選取第二題作答，答題結束后將這兩個題目放回原箱子.（1）若同學甲從箱中抽取了2題，求第2題抽到論述題的概率；（2）若同學乙從箱中抽取了2題，答題結束后誤將題目放回了箱，接著同學丙從箱中抽取題目作答，（i）求丙取出的第一道題是選擇題的概率；（ii）已知丙取出的第一道題是選擇題，求乙從箱中取出的是兩道論述題的概率.19.已知函數(shù)，，是自然對數(shù)的底數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關于的方程有兩個不等實根，求的取值范圍；（3）若，為整數(shù)，且當時，恒成立，求的最大值.

高二下期半期質(zhì)量檢測數(shù)學參考答案：1.D【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理計算可得.【詳解】依題意從、、中取一個有3種取法，從、中取一個有2種取法，從、、中取一個有3種取法，所以乘積完全展開后的項數(shù)為.故選：D2.C【分析】由組合數(shù)的性質(zhì)計算即可.【詳解】因為，所以，故選：C.3.B【分析】由展開式通項直接計算含項的系數(shù)即可.【詳解】展開式通項為，令，解得，所以含項的系數(shù)為，故選：B.4.C【分析】記事件表示“第一次取到白球”，事件表示“第二次取到白球”，分別求出，，根據(jù)條件概率公式即可求出結果.【詳解】記事件表示“第一次取到白球”，事件表示“第二次取到白球”，則，，所以在第一次抽取到白球的條件下，第二抽到白球的概率.故選：C.5.D【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意恒成立，則，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因為的定義域為，且，又函數(shù)不存在極值，則沒有變號零點，所以恒成立，則，解得，即的取值范圍是.故選：D6.A【分析】由題設可得，應用賦值法求、，即可求目標式的值.【詳解】由當時，，當時，，.故選：A7.A【分析】設函數(shù)上在點的切線恰與直線平行，利用導數(shù)的幾何意義求出，則的最小值即為切點到直線的距離.【詳解】設函數(shù)上在點的切線恰與直線平行，由，可得，則，所以，解得，所以的最小值為點到直線的距離.故選：A8.B【分析】根據(jù)題意構造函數(shù)，由條件不等式判斷函數(shù)在上單調(diào)遞減，將不等式轉(zhuǎn)化成，利用單調(diào)性將問題簡化為在上恒成立，求出函數(shù)在上的最小值即得.【詳解】由，，可設，，則，即函數(shù)在上為減函數(shù)，因，，則，由可得，即，故得，即在上恒成立.令，，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，則時，取得最小值，故，又，故.故選：B.9.ABD【分析】利用捆綁法可判斷A選項；利用特殊元素優(yōu)先可判斷B選項；利用插空法可判斷C選項；利用組合法可判斷D選項.【詳解】選項A：若甲和乙相鄰，將甲和乙捆綁、形成一個大元素，與其余四個元素排序共有種排法，A對；選項B：若甲不排第一個，則甲有4種排法，其余全排，共有種，B對；選項C，若甲與丙不相鄰，將除甲和丙以外的人全排，然后將甲與丙插入人所形成的個空中的個空，所以，共有種排法，C錯；選項D，若甲在乙的前面，只需在5個位置中先選兩個位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，然后將其余3個人全排，共有種排法，D對.故選：ABD.10.AC【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和為，計算可得，判斷A；根據(jù)，即可判斷B；令，即可判斷C；求出展開式的通項，令的冪指數(shù)為整數(shù)，即可判斷D.【詳解】因為知二項式的二項式系數(shù)和為32，所以，即，A正確；因為，所以二項展開式有6項，所以展開式的第三項和第四項的二項式系數(shù)均為最大值，B錯誤；令，，所以展開式各項系數(shù)之和是243，C正確；，因為，所以、、時，為有理項，所以D錯誤.故選：AC11.ABC【分析】根據(jù)題意可知點在下方及軸上方，從而可對A判斷；設出切點，求出切線方程，再結合題意中的幾何條件，從而可對B判斷；構造函數(shù)，利用導數(shù)分別可求出的單調(diào)性及最值情況，畫出相應圖象，從而可對C、D判斷求解.【詳解】對A：由題意知可知當點在曲線的下方和軸上方才可以作出兩條切線，所以，故A正確.對B：由在上恒成立，等價于在上橫在上方，設的切點坐標為，其切線方程為，對應的切線經(jīng)過坐標原點，將代入解得，其切線斜率，所以實數(shù)的取值范圍為，故B正確.對C：若在上恒成立，則在時恒成立，即，，設，，則，當時，，當，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，當時，取到極大值也是最大值為，所以，故C正確.對D：由C知，當時，，當時，，當時，，所以在區(qū)間，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，當時，取到極小值，當時，取到極大值，而時，恒成立，故可畫出函數(shù)的圖象如下：要求函數(shù)的零點，即求與圖象的交點個數(shù)，所以可知或時，有且只有一個零點，故D錯誤.故選：ABC.【點睛】方法點睛：（1）導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}.注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問題處理；（2）利用導數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結合思想的應用；（3）證明不等式，構造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.12.0【分析】根據(jù)題意先求出，再求出，再結合期望的性質(zhì)從而可求解.【詳解】由已知得，解得.則，.故答案為：0.13.72【分析】根據(jù)分步計數(shù)原理與分類計數(shù)原理，列出每一步驟及每種情況，計算即可.【詳解】我們需要用四種顏色給五個區(qū)域，，，，涂色，使得區(qū)域，，，的顏色均和區(qū)域的顏色不同，區(qū)域和，和，和，和每對的顏色都不相同.那么首先區(qū)域有四種涂法，顏色確定后、區(qū)域，，，僅可以使用其余三種顏色.由于這四個區(qū)域只能使用三種顏色，故一定存在兩個區(qū)域同色，而相鄰兩個區(qū)域不能同色，所以同色的區(qū)域一定是和，或者和.如果這兩對區(qū)域都是同色的，那么和，以及和，分別需要在剩余的三種顏色里選出一種，且顏色不能相同，所以此時的情況數(shù)有種；如果和同色，但和不同色，那么和的顏色有三種選擇，選擇后，和的顏色只能是剩余的兩種，且不相同，但排列順序有兩種，所以此時的情況數(shù)有種；如果和同色，但和不同色，同理，此時的情況數(shù)有種.綜上，區(qū)域的顏色確定后，剩下四個區(qū)域，，，的涂色方式共有種.而區(qū)域的顏色有四種選擇，所以總的涂色方法有種.故答案為：72.14.【分析】（1）利用導數(shù)可求得函數(shù)的極小值；（2）由題意可得出，分、、三種情況討論，根據(jù)題意可得出關于的不等式，進而可求得的取值范圍.【詳解】由，得.令，得，列表如下：00+遞減極小值遞增所以，函數(shù)的極小值為；（2），，使得，即，.①當時，函數(shù)單調(diào)遞增，，，即；②當時，函數(shù)單調(diào)遞減，，，即；③當時，，不符合題意.綜上：.故答案為：；.15.1.（1）分布列見解析，（2）（i）0.84；（ii）【分析】（1）服從超幾何概率分布，直接求解即可.（2）利用全概率公式求解ChatGPT的回答被采納的概率；利用條件概率公式求解該問題的輸入沒有語法錯誤的概率即可.【詳解】（1）易知的所有取值為，，，此時，，，所以的分布列為：123則；（2）（ｉ）記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件，記“輸入的問題有語法錯誤”為事件，記“ChatGPT的回答被采納”為事件，易知，所以，，，；（ii）若ChatGPT的回答被采納，則該問題的輸入沒有語法錯誤的概率16.（1）（2）常數(shù)項為60，為第5項（3）【分析】（1）首先求出，再由二項式展開式通項求解即可；（3）假設系數(shù)絕對值最大，則它的系數(shù)的絕對值不小于前一項的系數(shù)的絕對值，并且不小于后一項的系數(shù)的絕對值，利用不等式組求解即可.【詳解】（1）依題意可得第2項的二項式系數(shù)為，第3項的二項式系數(shù)為，所以，即，則，或（舍去），所以展開式的通項為.令，解得，所以為常數(shù)項，所以常數(shù)項為60，為第5項.（3）令.解得，又，，，即展開式中系數(shù)絕對值最大的項為.17.（1）63種（2）504種（3）540種【分析】（1）根據(jù)可去裁判的人數(shù)結合組合數(shù)的性質(zhì)分析運算；（2）利用間接法，在所有排列情況下排除擔任第一場比賽的主裁判或擔任第三場比賽的主裁判的可能；（3）根據(jù)題意，分類討論人數(shù)的分配情況運算求解.【詳解】（1）由題意知：可去1，2，3，4，5，6名裁判，所以共有（種）不同的安排方法.（2）這6名裁判擔任6場比賽的主裁判，每場比賽只有1名主裁判，每名裁判只擔任1場比賽的主裁判，共有種方法，若擔任第一場比賽的主裁判的方法數(shù)為；若擔任第三場比賽的主裁判的方法數(shù)為；若擔任第一場比賽的主裁判同時擔任第三場比賽的主裁判的方法數(shù)為；所以不擔任第一場比賽的主裁判，不擔任第三場比賽的主裁判，共有（種）不同的安排方法.（3）亞洲杯組委會將這6名裁判安排到3項不同的活動中，每項活動至少安排1名裁判，則分類如下：①這6名裁判分為1人，1人，4人這三組，共有（種）不同的安排方法；②這6名裁判分為1人，2人，3人這三組，共有（種）不同的安排方法；③這6名裁判分為2人，2人，2人這三組，共有（種）不同的安排方法.綜上所述：組委會將這6名裁判安排到3項不同的活動中，每項活動至少安排1名裁判，共有（種）不同的安排方法.18.（1）（2）（i）（ii）【分析】（1）設出事件，利用全概率公式求解即可；（2）設出事件，，，并求出對應的概率，利用全概率公式求出，然后利用條件概率公式求解即可.【詳解】（1）設事件表示“甲第次從信封中取到論述題”，，，則，，，.由全概率公式得