廣西桂林市2017-2018學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

廣西桂林市20172018學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合中所含元素為（）A.0，1B.，1C.，0D.1【答案】A【解析】，解，得，故選2.已知直線的斜率為1，則直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則由直線的斜率，則故故選3.下列函數(shù)中，在上是增函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】對于，，當(dāng)時為減函數(shù)，故錯誤；對于，，當(dāng)時為減函數(shù)，故錯誤；對于，在和上都是減函數(shù)，故錯誤；故選4.設(shè)，則（）A.B.0C.1D.【答案】B【解析】故選5.函數(shù)的圖象可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，故選6.若三點在同一直線上，則實數(shù)等于（）A.B.11C.D.3【答案】D【解析】由題意得：解得故選7.已知表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】C【解析】在正方體中，令底面，令滿足，但不成立，故錯誤；，滿足，但不成立，故錯誤；，令滿足，但不成立，故錯誤故選8.根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限約為,而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)約為.則下列各數(shù)中與最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：)A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意：，設(shè)兩邊取對數(shù)有，即最接近故選點睛：本題主要考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題以實際問題的形式給出，但本質(zhì)就是對數(shù)的運算關(guān)系，以及指數(shù)與對數(shù)運算的關(guān)系，難點就是時，兩邊取對數(shù)，要求學(xué)生熟練掌握對數(shù)運算公式。9.已知，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】是定義域上的增函數(shù)，是定義域上的減函數(shù)，是定義域上的減函數(shù)，故選10.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增.若實數(shù)滿足，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】是定義在上的奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，解得故選11.正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】故選點睛：本題考查的知識點主要是球的體積和表面積以及球內(nèi)接多面體。本題主要是要求解出正四棱錐的外接球的球心在它的高所在的直線上，然后求出球的半徑，再根據(jù)球的表面積計算公式求得結(jié)果；12.已知函數(shù)，用表示中最小值，，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】由題意，作出的圖象如圖所示，由圖象，得函數(shù)的零點有三個：；故選C.第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.__________．【答案】6【解析】14.函數(shù)在上的最小值是__________．【答案】最小值為15.—個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為__________．【答案】30【解析】由三視圖可知這是一個下面是長方體，上面是個平躺著的五棱柱構(gòu)成的組合體。長方體的體積為五棱柱的體積是故該幾何體的體積為點睛：本題主要考查的知識點是由三視圖求面積，體積。本題通過觀察三視圖這是一個下面是長方體，上面是個平躺著的五棱柱構(gòu)成的組合體，分別求出長方體和五棱柱的體積，然后相加可得答案。16.邊長為2的菱形中，，將沿折起，使得平面平面，則二面角的余弦值為__________．【答案】【解析】作，則為中點由題意得面作，連則為二面角的平面角故，，點睛：本題考查了由平面圖形經(jīng)過折疊得到立體圖形，并計算二面角的余弦值，本題關(guān)鍵在于先找出二面角的平面角，依據(jù)定義先找出平面角，然后根據(jù)各長度，計算得結(jié)果。三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知函數(shù).（1）若函數(shù)的定義域為，求集合；（2）若集合，求.【答案】(1);(2).【解析】試題分析：⑴滿足函數(shù)有意義的條件為，求出結(jié)果即可；⑵根據(jù)已知條件及并集的運算法則可得結(jié)果；解析：（1)要使函數(shù)有意義，則要，得.所以.（2）∵，∴18.已知直線經(jīng)過點，且與直線垂直.（1）求直線的方程；（2）若直線與平行且點到直線的距離為，求直線的方程.【答案】(1);(2)直線方程為或.【解析】試題分析：⑴利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系求出直線的斜率，代入即可得到直線的方程；⑵由已知設(shè)直線的方程為，根據(jù)點到直線的距離公式求得或，即可得到直線的方程解析：（1）由題意直線的斜率為1，所求直線方程為，即.（2）由直線與直線平行，可設(shè)直線的方程為，由點到直線的距離公式得，即，解得或.∴所求直線方程為或.19.已知函數(shù)（其中為常數(shù)）的圖象經(jīng)過兩點.（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.【答案】(1)見解析；（2）見解析.【解析】試題分析：⑴根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷并證明函數(shù)的奇偶性；⑵根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；解析：（1）解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點∴解得∴.判斷：函數(shù)是奇函數(shù)證明：函數(shù)的定義域，∵對于任意，，∴函數(shù)是奇函數(shù).（2）證明：任取，則∵，∴，∴.∴在區(qū)間上單調(diào)遞增.20.如圖，在長方體中，，是與的交點.求證：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】試題分析：⑴連結(jié)交于點，連結(jié)，推導(dǎo)出，又因為平面，由此證明平面⑵推導(dǎo)出，，從而平面，由此證明平面平面解析：（1）連結(jié)交于點，連結(jié)，∵，∴.∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面.∴.∵,∴∵與相交，∴平面∵平面.∴平面平面.點睛：本題考查了立體幾何中的線面平行及面面垂直，在證明的過程中依據(jù)其判定定理證得結(jié)果，在證明平行中需要做輔助線，構(gòu)造平行四邊形或者三角形中位線證得線線平行，從而證得線面平行21.近年來，“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便，某共享單車公司“”計劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元，根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每個城市至少要投資40萬元，由前期市場調(diào)研可知：甲城市收益與投入(單位：萬元）滿足，乙城市收益與投入(單位：萬元）滿足..設(shè)甲城市的投入為(單位：萬元)，兩個城市的總收益為(單位：萬元）.（1）當(dāng)甲城市投資50萬元時，求此時公司在甲、乙兩個城市的總收益；（2）試問如何安排甲、乙兩個城市的投資，才能使總收益最大？最大收益是多少？【答案】（1）43.5；（2）當(dāng)甲城市投資72萬元，乙城市投資48萬元時，總收益最大，且最大收益為44萬元.【解析】試題分析：⑴當(dāng)甲城市投資萬元時，乙城市投資萬，把代入即可求得結(jié)果；⑵，依題意有，解得，通過換元利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出；解析：（1）當(dāng)時，此時甲城市投資50萬元，乙城市投資70萬元所以總收益(萬元）（2）由題知，甲城市投資萬元，乙城市投資萬元，∴依題意得，解得.∴令，則∴.當(dāng)，即萬元時，的最大值為44萬元.∴當(dāng)甲城市投資72萬元，乙城市投資48萬元時，總收益最大，且最大收益為44萬元.22.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，函數(shù)是偶函數(shù)，方程有兩相等實根.（1）求的解析式；（2）若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)與的圖像有且只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】試題分析：(1)運用待定系數(shù)法，結(jié)合題目條件計算得，(2)分離參量，計算在上的最大值(3)轉(zhuǎn)化為有且只有一個實數(shù)根，換元，關(guān)于的方程只有一個正實根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解析：（1）設(shè).由題意，得.∴，∵是偶函數(shù)，∴即.①∵有兩相等實根，∴且②由①②，解得，∴.（2）若對任意，恒成立，只須在恒成立.令，，則.若對任意，恒成立，只須滿足.∴.（3）函數(shù)與的圖像有且只有一個公共點，即有且只有一個實數(shù)根，即有且只有一個實數(shù)根.令，則關(guān)于的方程